Четность и нечетность функции калькулятор: Четность и нечетность функции | Онлайн калькулятор

Содержание

Четность нечетность функции онлайн калькулятор с решением. Четность функции

Которые в той или иной степени были вам знакомы. Там же было замечено, что запас свойств функций будет постепенно пополняться. О двух новых свойствах и пойдет речь в настоящем параграфе.

Определение 1.

Функцию у = f(x), х є Х, называют четной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = f (х).

Определение 2.

Функцию у = f(x), х є X, называют нечетной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = -f (х).

Доказать, что у = х 4 — четная функция.

Решение. Имеем: f(х) = х 4 , f(-х) = (-х) 4 . Но (-х) 4 = х 4 . Значит, для любого х выполняется равенство f(-х) = f(х), т.е. функция является четной.

Аналогично можно доказать, что функции у — х 2 ,у = х 6 ,у — х 8 являются четными.

Доказать, что у = х 3 ~ нечетная функция.

Решение. Имеем: f(х) = х 3 , f(-х) = (-х) 3 . Но (-х) 3 = -х 3 . Значит, для любого х выполняется равенство f (-х) = -f (х), т.е. функция является нечетной.

Аналогично можно доказать, что функции у = х, у = х 5 , у = х 7 являются нечетными.

Мы с вами не раз уже убеждались в том, что новые термины в математике чаще всего имеют «земное» происхождение, т.е. их можно каким-то образом объяснить. Так обстоит дело и с четными, и с нечетными функциями. Смотрите: у — х 3 , у = х 5 , у = х 7 — нечетные функции, тогда как у = х 2 , у = х 4 , у = х 6 — четные функции. И вообще для любой функции вида у = х» (ниже мы специально займемся изучением этих функций), где n — натуральное число , можно сделать вывод: если n — нечетное число, то функция у = х» — нечетная; если же n — четное число, то функция у = хn — четная.

Существуют и функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными. Такова, например, функция у = 2х + 3. В самом деле, f(1) = 5, а f (-1) = 1. Как видите, здесь Значит, не может выполняться ни тождество f(-х) = f (х), ни тождество f(-х) = -f(х).

{2}} \neq 1 для любого x \in [-1;1] .

Ограниченной принято называть функцию y=f(x), x \in X тогда, когда существует такое число K > 0 , для которого выполняется неравенство \left | f(x) \right | \neq K для любого x \in X .

Пример ограниченной функции: y=\sin x ограничена на всей числовой оси, так как \left | \sin x \right | \neq 1 .

Возрастающая и убывающая функция

О функции, что возрастает на рассматриваемом промежутке принято говорить как о возрастающей функции тогда, когда большему значению x будет соответствовать большее значение функции y=f(x) . Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значения аргумента x_{1} и x_{2} , причем x_{1} > x_{2} , будет y(x_{1}) > y(x_{2}) .

Функция, что убывает на рассматриваемом промежутке, называется убывающей функцией тогда, когда большему значению x будет соответствовать меньшее значение функции y(x) . Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значений аргумента x_{1} и x_{2} , причем x_{1} > x_{2} , будет y(x_{1})

Корнями функции принято называть точки, в которых функция F=y(x) пересекает ось абсцисс (они получаются в результате решения уравнения y(x)=0 ).

а) Если при x > 0 четная функция возрастает, то убывает она при x

б) Когда при x > 0 четная функция убывает, то возрастает она при x

в) Когда при x > 0 нечетная функция возрастает, то возрастает она и при x

г) Когда нечетная функция будет убывать при x > 0 , то она будет убывать и при x

Экстремумы функции

Точкой минимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0} , у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0} ), и для них тогда будет выполняться неравенство f(x) > f(x_{0}) . y_{min} — обозначение функции в точке min.

Точкой максимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0} , у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0} ), и для них тогда будет выполняется неравенство f(x)

Необходимое условие

Согласно теореме Ферма: f»(x)=0 тогда, когда у функции f(x) , что дифференцируема в точке x_{0} , появится экстремум в этой точке.

Достаточное условие

Когда у производной знак меняется с плюса на минус, то x_{0} будет точкой минимума;
x_{0} — будет точкой максимума только тогда, когда у производной меняется знак с минуса на плюс при переходе через стационарную точку x_{0} .

Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке

Шаги вычислений:

Ищется производная f»(x) ;

Находятся стационарные и критические точки функции и выбирают принадлежащие отрезку ;
Находятся значения функции f(x) в стационарных и критических точках и концах отрезка. Меньшее из полученных результатов будет являться наименьшим значением функции , а большее — наибольшим .

Вычисление потока векторного поля

На предыдущем уроке проанализированы более простые примеры на вычисления потока векторного поля. Здесь задания усложняются поверхностью интегрирования, которая ограничена как одним, так и двумя сечениями.
Как следствие, больше расчетов пределов интегрирования, более сложные двойные интегралы и сами вычисления.
Все важные переходы и приемы хорошо расписаны, а примеры отвечают учебным программам большинства ВУЗов Украины.

ЗАДАНИЕ 8.2 Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S: x²+y²=z², z=1, z=5 (нормаль внешна).
Решение: Поверхность x²+y²=z² — описывает часть конуса с вершиной в начале координат, которое вытянуто вдоль оси Oz и ограничена плоскостями z=1, z=5.
В этом и следующих примерах для представления приведенны рисунки поверхности интегрирования и их проекции в декартовую плоскость
В сечении получили два круга с радиусами, соответственно R=1, R=5.
В силу симметрии нет необходимости интегрировать по кругу, достаточно найти пределы четверти круга :

Напоследок результирующий интеграл множим на четверку.
В примерах на интегрирование по поверхностям нужно быстро выполнять построение классических тел вращения.
Также необходимо правильно находить пересечения плоскостями, иначе правильного ответа не получите.
Вы должны уметь удачно учитывать симметричность функций, их четность или нечетность.
Вычислим дивергенцию векторного поля :

где функции являются соответствующими множителями при орте векторного поля
P=P(x;y;z)=e^2z+2x, Q=Q(x;y;z)=e^x-y, R=R(x;y;z)=2z-e^2y.
За формулой Остроградського-Гаусса находим поток векторного поля
Из тройного интеграла видим, что кроме того, что нужно хорошо уметь верно расставлять пределы интегрирования, умение пользоватся методом замены переменных тоже важно.
Без этого Вы остановитесь на середине интеграла и не будете знать, как возвести интеграл к конечному ответу.

ЗАДАНИЕ 8.4 Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность S: x²+y²=6z, z=1 (нормаль внешна).
Решение: Поверхность x²+y²=6z — коловий параболоид с вершиной в начале координат, который вытянут вдоль оси Oz и ограничен плоскостью z=1.
В перерезе получили круг с радиусом равным корню из шести
Как знать, что получим в перерезе плоскостью?
Кто хорошо читал теорию, тот делает это автоматически, а в целом в уравнение поверхности x²+y²=6z подставляем плоскость z=1.
В результате получим уравнение круга x²+y²=6.
Справа имеем квадрат радиуса, вот и весь анализ.
И такая схема справедлива для целого класса рассмотренных задач.
Как видим из рисунку четверть области V ограничена пределами:

Как и в предыдущем задании, здесь учитываем четность всех функций.
Это позволяет упростить само интегрирование и не разбивать доминирующий интеграл на несколько с одинаковым конечным значением.
Учитывая это, результат умножим на 4.
Но к нему еще следует дойти, потому сначала вычисляем дивергенцию векторного поля :

где функции P, Q, R принимают значение
P=P(x;y;z)=e^z+4x, Q=Q(x;y;z)=2xz-y, R=R(x;y;z)=-2z-x²y.
Вычисляем поток векторного поля по известной формулой:

Для большинства приведенных примеров переход к полярной системе координат под интегралом позволяет упростить дальнейшее их нахождение. Детально останавливаться на этом не будем, в формуле выписаны все этапы интегрирования и замены, поэтому анализируйте самостоятельно.

ЗАДАНИЕ 8.7 Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S:
2(x²+y²)=z², z=2, z=6 (нормаль внешна).
Решение: Уравнение 2(x²+y²) =z² описывает конус с вершиной в начале координат (0;0;0) что вытянут вдоль оси Oz и ограничен плоскостями z=2, z=6 по условию.
В сечении получили круги с радиусами, соответственно корень из двух и восемнадцати

В силу симметрии рассматриваем четверть области V, которая ограничена поверхностями:

Результат интегрирования умножим на 4.
Определяем дивергенцию векторного поля :

где функции задаются зависимостями

За формулой Остроградського-Гаусса находим поток поля F:
Формулы не из легких, однако достаточно распространены на практике, потому не спеша хорошо проанализируйте расстановку пределов интегрирования и замену переменных.
Применение перехода к полярной СК позволяет свести корневые функции к показательным.

ЗАДАНИЕ 8.8 Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность S: x²+y²+z²=4x-2y-4 (нормаль внешна).
Решение: Сведем поверхность x²+y²+z²=4x-2y-4 к каноническому виду
x²-4x+4+y²+2y+1+z²=4+1-4, (x-2)²+(y+1)²+z²=1 — сфера с центром (2;-1;0) и радиусом R=1.
Ее график и проекция на плоскость Oxy приведены ниже
Как можно видеть из рисунку, 1/8 поверхности сферы задается пределами:

Здесь учли четность функций, поэтому интеграл будем множить на 8 (верхняя и нижняя полусферы).
Дивергенцию векторного поля находим по формуле:

где P=P(x;y;z)=sin(2y)+x, Q=Q(x;y;z)=y-sin²(x), R=R(x;y;z)=z-cos(x*y).
Дальше интегрированием вычисляем поток векторного поля: где R=1 — радиус сферы.
Так как здесь подинтегральная функция равна постоянной, то тройной интеграл не что иначе, как объем сферы с радиусом 1, разделенный на 8 (согласно упрощений).
На основе выше рассмотренных задач, попробуйте самостоятельно найти тройной интеграл и убедиться в правильности рассуждений.

ЗАДАНИЕ 8.14 Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S: , (нормаль внешна).
Решение: Поверхность задает конус с вершиной в (0;0;4), что вытянут вдоль оси Oz вниз и ограничен плоскостью z=1.
Графически поверхность интегрирования можно представить из следующих рисунков
В сечении z=1 получим круг с радиусом R=3.
В силу симметрии четверть области V задается следующими пределами:

Не забываем, что при этом нужно интеграл кмножить на 4.
Находим дивергенцию поля :

функции P, Q, R

Поток векторного поля находим по формуле Остроградського-Гаусса :
Тройной интеграл не тяжелый в плане вычислений, и схемы применения замены переменных и возведения к простому виду хорошо расписаны в предыдущих примерах.
Потек равен П=27pi.

ЗАДАНИЕ 8.15 Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность S: 2y-x+z=2, x=0, y=0, z=0 (нормаль внешна).
Решение: Уравнение 2y-x+z=2, -x/2+y/1+z/2=1- описывает плоскость, которая является одной из граней треугольной пирамиды.
Чтобы лучше это представить рассмотрите следующие рисунки к задаче.
Из построения видим, что область V ограничена поверхностью:

Такой анализ позволяет коректно расставить пределы интегрирования в тройном интеграле.
Вычисляем дивергенцию векторного поля :

где P=P(x;y;z)=x+4yz, Q=Q(x;y;z)=e^z+x+y, R=R(x;y;z)=-3z-x²y.
Вычисляем поток векторного поля F:

Интеграл не из легких, поэтому внимательно разберите как расставленные пределы, проанализируйте эффективность замены переменных при упрощении повторного интеграла.

ЗАДАНИЕ 8.25 Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность S: z=-1 (нормаль внешна).
Решение: Анализ уравнения — конус со смещенной относительно начала координат вершиной (0;0;- 3), который вытянут вдоль оси Oz вверх и ограничен сверху плоскостью z=-1.
В сечении имеем круг с радиусом R=2.
Четверть области V описываем следующими пределами:

Правильно найденные пределы интегрирования играют определяющую роль при интегрировании, поэтому помните что это одна из ответственных частей приведенных расчетов.
Результат интегрирования не забывайте множить на 4.
Дивергенцию поля через частичные производные равны:

здесь учтено P=P(x;y;z)=x/2+ln(1-z), Q=Q(x;y;z)=y, R=R(x;y;z)=x²+z/3.
По формуле вычисляем поток векторного поля F:
Переход от повторного к двойному определенному интегралу лучше делать через приведенную замену переменных, остальное интегрирование сводится к простым табличным формулам и определения значений на пределах.
Будьте внимательные при расчетах, в первую очередь проверяйте правильность расстановки пределов интегрирования.
Хорошо заучите замену переменных, которая здесь приведена и применяйте ее в примерах, что подобные за конструкцией к рассмотренным.
При вычислении интегралов проверяйте себя на каждом шагу, наименьшая ошибка при переходах в начале приведет к неправильному ответу напоследок расчетов.

Калькулятор четных или нечетных функций

Чтобы использовать калькулятор четных или нечетных функций, введите функцию и нажмите «Рассчитать».

Содержание:

Калькулятор четных и нечетных функций
Что такое четные и нечетные функции?
Как определить четные и нечетные функции?

Дайте нам отзыв

✎

✉

Калькулятор четной или нечетной функции

Калькулятор четной или нечетной функции классифицирует входную функцию как четную, нечетную или никакую. Этот инструмент особенно полезен для сложных функций, включающих тригонометрию, логарифмирование и т. д.

Что такое четные и нечетные функции?

Четные функции — это те, которые удовлетворяют следующему уравнению:

отрицательное значение, ответ будет таким же как исходное значение. Например, когда f(x ² ) и x = -1, ответ равен 1.

Графики таких функций симметричны, как функции параболы и cosx.

Функция косинуса

Нечетные функции противоположны четным. Уравнение, которому удовлетворяет нечетная функция:

F (x) = — F(x)

Таким образом, такие функции дают противоположное значение исходной функции. Такие экспоненты, как x, x ³ , x ⁵ и т. д., составляют нечетную функцию. Но следует отметить, что не каждый четный показатель является четной функцией, и не каждый нечетный показатель является нечетной функцией, такой как (x + 1) ⁴ и (х — 1) ³ .

Некоторые функции ни четные, ни нечетные . Это функции, которые оказываются где-то между одинаковыми и прямо противоположными значениями.

Как определить четные и нечетные функции?

Используйте для этой цели калькулятор нечетных или четных функций. Для идентификации без использования калькулятора поставьте в функции -x.

Примеры:

Возьмем функцию -5x ⁴ — 7. Как это выглядит? четным или нечетным? Всегда лучше решать. Подставьте -x в функцию.

= -5x ⁴ — 7x ²
= -5(-x) ⁴ -7(-x) ²
= -5(x) ⁴ -7(х ² )

Мы получили значение, с которого начали. Это означает, что указанная выше функция четная.

Следующая функция 6x + 4x ³ . Это даже? Вы никогда не должны говорить, прежде чем решить это должным образом.

Поместите -x вместо x.

= 6х + 4х ³
= 6(-х) + 4(-х) ³
= -6x -4x ³

Как видите, это будет нанесено на противоположную сторону графика. Следовательно, это нечетная функция.

Наконец, у нас есть функция 9x ² + x.

Если вы поместите -x в эту функцию, она будет решать как

= 9x ² + x
= 9(-x) ² + (-x)
= 9x ² — x

Одна половина этой функции инвертируется, а другая половина остается неизменной. Это означает, что оно не четное и не нечетное.

Калькулятор четных или нечетных функций

Онлайн-калькулятор четных или нечетных функций поможет вам определить, является ли определенная функция четной, нечетной или ни одной. Обычно знак значений в функции не имеет значения при вычислении значений функции, и будут использоваться только половинные значения в области. В этой статье мы рассмотрим определения, свойства и то, как определить, является ли функция четной или нечетной.

Что такое четная, нечетная или никакая функция? 92

Свойства четной функции:
Сумма четных функций четна.
Разница четных функций четная.
Произведение четных функций равно четному.
Частное четной функции четно.

Состав функций четный.
Композиция четной и нечетной функций четна.
При необходимости вы можете проверить все вышеуказанные свойства с помощью калькулятора нечетных или четных функций. 3 + 1 не является ни одной из функций. 92 – 3 $$
Следовательно, f (- x) = f (x), что означает, что если мы подставим одни и те же значения в четный или нечетный онлайн-калькулятор, он отобразит те же результаты, что и четная функция.
Однако онлайн-калькулятор составных функций может помочь вам оценить состав функций по введенным значениям функций f(x) и g(x) в определенных точках.
Для нечетной функции:
Если мы подставим (- x) в функцию f (x) и получим противоположное или отрицательное значение функции, то это означает, что функция f (x) является нечетной функцией. 93 + 6x) $$

Следовательно,
$$ f (- x) = – f (x) $$
После вынесения на множитель -1 функция равна начальной функции, что показывает, что это нечетная функция.
Ни для одной функции:
Если подставить (- x) в функцию f (x) и не получить ни четного, ни нечетного, то это означает, что данная функция f (x) не является ни нечетной, ни четной функцией. Проще говоря, он не подпадает под классификацию четных или нечетных.
$$ f (- x) ≠ – f (x) И f (- x) ≠ f (x) $$ 92 + 1) $$
Что не является нечетной функцией.
Следовательно, функция f (x) не является ни нечетной, ни четной.
Множественное представление нечетных и четных чисел:
Множества нечетных и четных чисел могут быть представлены как:
$$ Нечетное = {2x + 1 : x ϵ Z} $$
$$ Четное = { 2x : x ϵ Z} $$
Формальное определение нечетного числа — это целое число вида n = 2x + 1, где x — целое число. Четное число определяется как целое число в форме n = 2x. Этот тип классификации применяется только к целым числам. Нецелые числа, такие как 3,462, 7/9, или бесконечность не являются ни нечетными, ни четными.
Как работает калькулятор четных и нечетных функций?
Онлайн-калькулятор четности или нечетности определяет, является ли функция нечетной, четной или ни одной из следующих шагов:
Ввод:
Сначала введите заданную функцию и выберите переменную из раскрывающегося списка. список.
Нажмите кнопку «Рассчитать».

Вывод:
Калькулятор нечетной или четной функции отображает характер функции как четный, нечетный или ни один из них.
Часто задаваемые вопросы:
Является ли cos X нечетной функцией?
Косинус — четная функция, а синус — нечетная. Вы можете не встретить эти прилагательные четный и нечетный применительно к функциям, но знать их важно.
Является ли тан четной или нечетной функцией?
Sin, cos и tan являются тригонометрическими функциями, они также могут быть выражены как нечетные или четные функции. Тангенс и синус — нечетные функции, а cos — четная функция. Математически мы можем определить это как
Tan (-x) = – tan x
Cos (-x) = cos x
Sin (-x) = -sin x
Почему ноль четное число?
Ноль — это целое число, умноженное на 2, например 0 x 2, по этой причине мы можем спросить, что ноль — это четное число.
Вывод:
Вы можете попросить определить алгебраически, является ли функция четной или нечетной. Для этого воспользуйтесь нашим онлайн-калькулятором четных и нечетных функций, который быстро и без колебаний упрощает введенную функцию. Глядя на функцию, которую необходимо изобразить в виде графика для задания, студент или преподаватель может определить с помощью нашего калькулятора, что будет работать быстро, потому что значения со знаком не имеют значения при расчетах значений функции.
Ссылка:
Из источника Википедии: Четные функции, Нечетные функции, Уникальность, Сложение и вычитание, Умножение и деление, Композиция, Четно-нечетное разложение.
Из источника Lumen Learning: определите, является ли функция четной, нечетной или ни одной из ее графика, установите представление четных и нечетных чисел, свойства четных и нечетных чисел, четных и нечетных десятичных знаков.
Из источника Libre Text: нечетные и четные функции, типы функций: четные, нечетные или ни то, ни другое, заданное представление четных и нечетных чисел, ни нечетных, ни четных.
No related posts.