Как решаются логарифмические уравнения: Логарифмические уравнения и неравенства — Умскул Учебник

Как решаются логарифмические уравнения. Логарифмические уравнения

Психология

Подготовка к итоговому тестированию по математике включает в себя важный раздел — «Логарифмы». Задания из этой темы обязательно содержатся в ЕГЭ. Опыт прошлых лет показывает, что логарифмические уравнения вызвали затруднения у многих школьников. Поэтому понимать, как найти правильный ответ, и оперативно справляться с ними должны учащиеся с различным уровнем подготовки.

Сдайте аттестационное испытание успешно с помощью образовательного портала «Школково»!

При подготовке к единому государственному экзамену выпускникам старших классов требуется достоверный источник, предоставляющий максимально полную и точную информацию для успешного решения тестовых задач. Однако учебник не всегда оказывается под рукой, а поиск необходимых правил и формул в Интернете зачастую требует времени.

Образовательный портал «Школково» позволяет заниматься подготовкой к ЕГЭ в любом месте в любое время. На нашем сайте предлагается наиболее удобный подход к повторению и усвоению большого количества информации по логарифмам, а также по с одним и несколькими неизвестными. Начните с легких уравнений. Если вы справились с ними без труда, переходите к более сложным. Если у вас возникли проблемы с решением определенного неравенства, вы можете добавить его в «Избранное», чтобы вернуться к нему позже.

Найти необходимые формулы для выполнения задачи, повторить частные случаи и способы вычисления корня стандартного логарифмического уравнения вы можете, заглянув в раздел «Теоретическая справка». Преподаватели «Школково» собрали, систематизировали и изложили все необходимые для успешной сдачи материалы в максимально простой и понятной форме.

Чтобы без затруднений справляться с заданиями любой сложности, на нашем портале вы можете ознакомиться с решением некоторых типовых логарифмических уравнений. Для этого перейдите в раздел «Каталоги». У нас представлено большое количество примеров, в том числе с уравнениями профильного уровня ЕГЭ по математике.

Воспользоваться нашим порталом могут учащиеся из школ по всей России. Для начала занятий просто зарегистрируйтесь в системе и приступайте к решению уравнений. Для закрепления результатов советуем возвращаться на сайт «Школково» ежедневно.

Логарифмические уравнения. Продолжаем рассматривать задачи из части В ЕГЭ по математике. Мы с вами уже рассмотрели решения некоторых уравнений в статьях « » , « » . В этой статье рассмотрим логарифмические уравнения. Сразу скажу, что никаких сложных преобразований при решении таких уравнений на ЕГЭ не будет. Они просты.

Достаточно знать и понимать основное логарифмическое тождество, знать свойства логарифма. Обратите внимание на то, то после решения ОБЯЗАТЕЛЬНО нужно сделать проверку — подставить полученное значение в исходное уравнение и вычислить, в итоге должно получиться верное равенство.

Определение :

Логарифмом числа a по основанию b называется показатель степени, в который нужно возвести b, чтобы получить a.

Например:

Log 3 9 = 2, так как 3 2 = 9

Свойства логарифмов:

Частные случаи логарифмов:

Решим задачи. В первом примере мы сделаем проверку. В последующих проверку сделайте самостоятельно.

Найдите корень уравнения: log 3 (4–x) = 4

Так как log b a = x b x = a, то

3 4 = 4 – x

x = 4 – 81

x = – 77

Проверка:

log 3 (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Верно.

Ответ: – 77

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения: log 2 (4 – x) = 7

Найдите корень уравнения log 5 (4 + x) = 2

Используем основное логарифмическое тождество.

Так как log a b = x b x = a, то

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x = 21

Проверка:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Верно.

Ответ: 21

Найдите корень уравнения log 3 (14 – x) = log 3 5.

Имеет место следующее свойство, смысл его таков: если в левой и правой частях уравнения имеем логарифмы с одинаковым основанием, то можем приравнять выражения, стоящие под знаками логарифмов.

14 – x = 5

x = 9

Сделайте проверку.

Ответ: 9

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения log 5 (5 – x) = log 5 3.

Найдите корень уравнения: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Если log c a = log c b, то a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x = 6

Сделайте проверку.

Ответ: 6

Найдите корень уравнения log 1/8 (13 – x) = – 2.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13 – 64

x = – 51

Сделайте проверку.

Небольшое дополнение – здесь используется свойство

степени ().

Ответ: – 51

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения: log 1/7 (7 – x) = – 2

Найдите корень уравнения log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.

Преобразуем правую часть. воспользуемся свойством:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Если log c a = log c b, то a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Сделайте проверку.

Ответ: – 21

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Решите уравнение log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Если log c a = log c b, то a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Сделайте проверку.

Ответ: 2,75

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Решите уравнение log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.

Необходимо с правой стороны уравнения получить выражение вида:

log 2 (……)

Представляем 1 как логарифм с основанием 2:

1 = log 2 2

log с (ab) = log с a + log с b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

Получаем:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

Если log c a = log c b, то a = b, значит

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Сделайте проверку.

Ответ: 0,4

Решите самостоятельно: Далее необходимо решить квадратное уравнение. Кстати,

корни равны 6 и – 4.

Корень «– 4″ не является решением, так как основание логарифма должно быть больше нуля, а при » – 4″ оно равно « – 5». Решением является корень 6. Сделайте проверку.

Ответ: 6.

Решите самостоятельно:

Решите уравнение log x –5 49 = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Как вы убедились, никаких сложных преобразований с логарифмическими уравнениями нет. Достаточно знать свойства логарифма и уметь применять их. В задачах ЕГЭ, связанных с преобразованием логарифмических выражений, выполняются более серьёзные преобразования и требуются более глубокие навыки в решении. Такие примеры мы рассмотрим, не пропустите! Успехов вам!!!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное (х) и выражения с ним находятся под знаком логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений подразумевает, что вы уже знакомы с и .
Как решать логарифмические уравнения?

Самое простое уравнение имеет вид log a x = b , где a и b -некоторые числа,x — неизвестное.
Решением логарифмическое уравнения является x = a b при условии: a > 0, a 1.

Следует отметить, что если х будет находиться где-нибудь вне логарифма, например log 2 х = х-2, то такое уравнение уже называется смешанным и для его решения нужен особый подход.

Идеальным случаем является ситуация, когда Вам попадется уравнение, в котором под знаком логарифма находятся только числа, например х+2 = log 2 2.

Здесь достаточно знать свойства логарифмов для его решения. Но такая удача случается не часто, поэтому приготовьтесь к более сложным вещам.

Но сначала, все-таки, начнём с простых уравнений. Для их решения желательно иметь самое общее представление о логарифме.

Решение простейших логарифмических уравнений

К таковым относятся уравнения типа log 2 х = log 2 16. Невооруженным глазом видно, что опустив знак логарифма получим х = 16.

Для того, чтобы решить более сложное логарифмическое уравнение, его обычно приводят к решению обычного алгебраического уравнения или к решению простейшего логарифмического уравнения log a x = b. В простейших уравнениях это происходит в одно движение, поэтому они и носят название простейших.

Вышеиспользованный метод опускания логарифмов является одним из основных способов решения логарифмических уравнений и неравенств. В математике эта операция носит название потенцирования. Существуют определенные правила или ограничения для подобного рода операций:

• одинаковые числовые основания у логарифмов
• логарифмы в обоих частях уравнения находятся свободно, т. е. без каких бы то ни было коэффициентов и других разного рода выражений.

Скажем в уравнении log 2 х = 2log 2 (1- х) потенцирование неприменимо — коэффициент 2 справа не позволяет. В следующем примере log 2 х+log 2 (1 — х) = log 2 (1+х) также не выполняется одно из ограничений — слева логарифма два. Вот был бы один – совсем другое дело!

Вообщем, убирать логарифмы можно только при условии, что уравнение имеет вид:

log a (…) = log a (…)

В скобках могут находится совершенно любые выражения, на операцию потенцирования это абсолютно никак не влияет. И уже после ликвидации логарифмов останется более простое уравнение – линейное, квадратное, показательное и т.п., которое Вы уже, надеюсь, умеете решать.

Возьмем другой пример:

log 3 (2х-5) = log 3 х

Применяем потенцирование, получаем:

log 3 (2х-1) = 2

Исходя из определения логарифма, а именно, что логарифм — это число, в которое надо возвести основание, чтобы получить выражение, которое находится под знаком логарифма, т. е. (4х-1), получаем:

Опять получили красивый ответ. Здесь мы обошлись без ликвидации логарифмов, но потенцирование применимо и здесь, потому как логарифм можно сделать из любого числа, причем именно такой, который нам надо. Этот способ очень помогает при решении логарифмических уравнений и особенно неравенств.

Решим наше логарифмическое уравнение log 3 (2х-1) = 2 с помощью потенцирования:

Представим число 2 в виде логарифма, например, такого log 3 9, ведь 3 2 =9.

Тогда log 3 (2х-1) = log 3 9 и опять получаем все то же уравнение 2х-1 = 9. Надеюсь, все понятно.

Вот мы и рассмотрели как решать простейшие логарифмические уравнения, которые на самом деле очень важны, ведь решение логарифмических уравнений , даже самых страшных и закрученных, в итоге всегда сводится к решению простейших уравнений.

Во всем, что мы делали выше, мы упускали из виду один очень важный момент, который в последующем будет иметь решающую роль. Дело в том, что решение любого логарифмического уравнения, даже самого элементарного, состоит из двух равноценных частей. Первая – это само решение уравнения, вторая — работа с областью допустимых значений (ОДЗ). Вот как раз первую часть мы и освоили. В вышеприведенных примерах ОДЗ на ответ никак не влияет, поэтому мы ее и не рассматривали.

А вот возьмем другой пример:

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

Внешне это уравнение ничем не отличается от элементарного, которое весьма успешно решается. Но это не совсем так. Нет, мы конечно же его решим, но скорее всего неправильно, потому что в нем кроется небольшая засада, в которую сходу попадаются и троечники, и отличники. Давайте рассмотрим его поближе.

Допустим необходимо найти корень уравнения или сумму корней, если их несколько:

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

Применяем потенцирование, здесь оно допустимо. В итоге получаем обычное квадратное уравнение.

Находим корни уравнения:

Получилось два корня.

Ответ: 3 и -1

С первого взгляда все правильно. Но давайте проверим результат и подставим его в исходное уравнение.

Начнем с х 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Проверка прошла успешно, теперь очередь х 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Так, стоп! Внешне всё идеально. Один момент — логарифмов от отрицательных чисел не бывает! А это значит, что корень х = -1 не подходит для решения нашего уравнения. И поэтому правильный ответ будет 3, а не 2, как мы написали.

Вот тут-то и сыграла свою роковую роль ОДЗ, о которой мы позабыли.

Напомню, что под областью допустимых значений принимаются такие значения х, которые разрешены или имеют смысл для исходного примера.

Без ОДЗ любое решение, даже абсолютно правильное, любого уравнения превращается в лотерею — 50/50.

Как же мы смогли попасться при решении, казалось бы, элементарного примера? А вот именно в момент потенцирования. Логарифмы пропали, а с ними и все ограничения.

Что же в таком случае делать? Отказываться от ликвидации логарифмов? И напрочь отказаться от решения этого уравнения?

Нет, мы просто, как настоящие герои из одной известной песни, пойдем в обход!

Перед тем, как приступать к решению любого логарифмического уравнения, будем записывать ОДЗ. А вот уж после этого можно делать с нашим уравнением все, что душа пожелает. Получив ответ, мы просто выбрасываем те корни, которые не входят в нашу ОДЗ, и записываем окончательный вариант.

Теперь определимся, как же записывать ОДЗ. Для этого внимательно осматриваем исходное уравнение и ищем в нем подозрительные места, вроде деления на х, корня четной степени и т.п. Пока мы не решили уравнение, мы не знаем – чему равно х, но твердо знаем, что такие х, которые при подстановке дадут деление на 0 или извлечение квадратного корня из отрицательного числа, заведомо в ответ не годятся. Поэтому такие х неприемлемы, остальные же и будут составлять ОДЗ.

Воспользуемся опять тем же уравнением:

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

Как видим, деления на 0 нет, квадратных корней также нет, но есть выражения с х в теле логарифма. Тут же вспоминаем, что выражение, находящееся внутри логарифма, всегда должно быть >0. Это условие и записываем в виде ОДЗ:

Т. е. мы еще ничего не решали, но уже записали обязательное условие на всё подлогарифменное выражение. Фигурная скобка означает, что эти условия должны выполняться одновременно.

ОДЗ записано, но необходимо еще и решить полученную систему неравенств, чем и займемся. Получаем ответ х > v3. Теперь точно известно – какие х нам не подойдут. А дальше уже приступаем к решению самого логарифмического уравнения, что мы и сделали выше.

Получив ответы х 1 = 3 и х 2 = -1, легко увидеть, что нам подходит лишь х1= 3, его и записываем, как окончательный ответ.

На будущее очень важно запомнить следующее: решение любого логарифмического уравнения делаем в 2 этапа. Первый — решаем само уравнение, второй – решаем условие ОДЗ. Оба этапа выполняются независимо друг от друга и только лишь при написании ответа сопоставляются, т.е. отбрасываем все лишнее и записываем правильный ответ.

Для закрепления материала настоятельно рекомендуем посмотреть видео:

На видео другие примеры решения лог. уравнений и отработка метода интервалов на практике.

На это по вопросу, как решать логарифмические уравнения , пока всё. Если что то по решению лог. уравнений осталось не ясным или непонятным, пишите свои вопросы в комментариях.

Заметка: Академия социального образования (КСЮИ) — готова принять новых учащихся.

С уравнениями мы все знакомы с начальных классов. Еще там мы учились решать самые простые примеры, и надо признать, что они находят свое применение даже в высшей математике. С уравнениями все просто, в том числи и с квадратными. Если у вас проблемы с этой темой, настоятельно рекомендуем вам повторить ее.

Логарифмы вы, вероятно, тоже уже прошли. Тем не менее, считаем важным рассказать, что это для тех, кто еще не знает. Логарифм приравнивается к степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получилось число, стоящее справа от знака логарифма. Приведем пример, исходя из которого, вам все станет ясно.

Если вы возведете 3 в четвертую степень получится 81. Теперь подставьте по аналогии числа, и поймете окончательно, как решаются логарифмы. Теперь осталось лишь совместить два рассмотренных понятия. Изначально ситуация кажется чрезвычайно сложной, но при ближайшем рассмотрении весе становится на свои места. Мы уверены, что после этой короткой статьи у вас не будет проблем в этой части ЕГЭ.

Сегодня выделяют множество способов решения подобных конструкций. Мы расскажем о самых простых, эффективных и наиболее применимых в случае заданий ЕГЭ. Решение логарифмических уравнений должно начинаться с самого простого примера. Простейшие логарифмические уравнения состоят из функции и одной переменной в ней.

Важно учесть, что x находится внутри аргумента. A и b должны быть числами. В таком случае вы можете попросту выразить функцию через число в степени. Выглядит это следующим образом.

Разумеется, решение логарифмического уравнения таким методом приведет вас к верному ответу. Ног проблема подавляющего большинства учеников в этом случае заключается в том, что они не понимают, что и откуда берется. В результате приходится мириться с ошибками и не получать желаемых баллов. Самой обидной ошибкой будет, если вы перепутаете буквы местами. Чтобы решить уравнение этим способом, нужно зазубрить эту стандартную школьную формулу, потому что понять ее сложно.

Чтобы было проще, можно прибегнуть к другому способу – канонической форме. Идея крайне проста. Снова обратите внимание на задачу. Помните, что буква a – число, а не функция или переменная. A не равно одному и больше нуля. На b никаких ограничений не действует. Теперь из всех формул вспоминаем одну. B можно выразить следующим образом.

Из этого следует, что все исходные уравнения с логарифмами можно представить в виде:

Теперь мы можем отбросить логарифмы. Получится простая конструкция, которую мы уже видели ранее.

Удобство данной формулы заключается в том, что ее можно применять в самых разных случаях, а не только для самых простых конструкций.

Не переживайте насчет ООФ!

Многие опытные математики заметят, что мы не уделили внимание области определения. Сводится правило к тому, что F(x) обязательно больше 0. Нет, мы не упустили этот момент. Сейчас мы говорим об еще одном серьезном преимуществе канонической формы.

Лишних корней здесь не возникнет. Если переменная будет встречаться лишь в одном месте, то область определения не является необходимостью. Она выполняется автоматически. Чтобы убедиться в данном суждении, займитесь решением нескольких простых примеров.

Как решать логарифмические уравнения с разными основаниями

Это уже сложные логарифмические уравнения, и подход к их решению должен быть особым. Здесь редко получается ограничиться пресловутой канонической формой. Начнем наш подробный рассказ. Мы имеем следующую конструкцию.

Обратите внимание на дробь. В ней находится логарифм. Если вы увидите такое в задании, стоит вспомнить один интересный прием.

Что это значит? Каждый логарифм можно представить в виде частного двух логарифмов с удобным основанием. И у данной формулы есть частный случай, который применим с этим примером (имеем ввиду, если c=b).

Именно такую дробь мы и видим в нашем примере. Таким образом.

По сути, перевернули дробь и получили более удобное выражение. Запомните этот алгоритм!

Теперь нужно, что логарифмическое уравнение не содержало разных оснований. Представим основание дробью.

В математике есть правило, исходя из которого, можно вынести степень из основания. Получается следующая конструкция.

Казалось бы, что мешает теперь превратить наше выражение в каноническую форму и элементарно решить ее? Не все так просто. Дробей перед логарифмом быть не должно. Исправляем эту ситуацию! Дробь разрешается выносить в качестве степени.

Соответственно.

Если основания одинаковые, мы можем убрать логарифмы и приравнять сами выражения. Так ситуация станет в разы проще, чем была. Останется элементарное уравнение, которое каждый из нас умел решать еще в 8 или даже в 7 классе. Расчеты вы сможете произвести сами.

Мы получили единственно верный корень этого логарифмического уравнения. Примеры решения логарифмического уравнения достаточно просты, не так ли? Теперь и у вас получится самостоятельно разобраться даже с самыми сложными задачами для подготовки и сдачи ЕГЭ.

Что в итоге?

В случае с любыми логарифмическими уравнениями мы исходим из одного очень важного правила. Необходимо действовать так, чтобы привести выражение к максимально простому виду. В таком случае у вас будет больше шансов не просто решить задание правильно, но еще и сделать это максимально простым и логичным путем. Именно так всегда действуют математики.

Настоятельно не рекомендуем вам искать сложных путей, особенно в этом случае. Запомните несколько простых правил, которые позволят преобразовать любое выражение. К примеру, привести два или три логарифма к одному основанию или вывести степень из основания и выиграть на этом.

Также стоит помнить о том, что в решении логарифмических уравнений необходимо постоянно тренироваться. Постепенно вы будете переходить ко все более сложным конструкциям, а это приведет вас к уверенному решению всех вариантов задач на ЕГЭ. Готовьтесь к экзаменам заблаговременно, и удачи вам!

Как решить логарифмическое уравнение: подробное объяснение

Как решить логарифмическое уравнение? Этим вопросом задаются многие школьники, особенно в преддверии сдачи ЕГЭ по математике. Ведь в задании С1 профильного ЕГЭ могут встретиться именно логарифмические уравнения.

Уравнение, в котором неизвестное находится внутри логарифмов, называется логарифмическим. Причем неизвестное может находится как в аргументе логарифма, так и в его основании.

Способов решения таких уравнений существует несколько. В этой статье мы разберем способ, который легко понять и запомнить.

1. Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами
2. Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями
3. Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями
4. Как сделать проверку – это важно

Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами

Решить логарифмическое уравнение можно разными способами. Чаще всего в школе учат решать логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма. То есть мы имеем уравнение вида:Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее:Таким образом мы получаем простое уравнение, которое сможем легко решить.

При решении логарифмических уравнений важно помнить об области определения логарифма, т.к. аргумент f(x) должен быть больше ноля. Поэтому после решения логарифмического уравнения мы всегда делаем проверку!

Давайте посмотрим, как это работает на примере:

Воспользуемся определением логарифма и получим:

2х + 3 = 3²

Теперь перед нами простейшее уравнение, решить которое не составит труда:

2х + 3 = 9

2х = 6

х = 3

Сделаем проверку. Подставим найденный Х в исходное уравнение:Так как 3² = 9, то последнее выражение верно. Следовательно,  х = 3 является корнем уравнения.

Ответ: х = 3

Основной минус данного метода решения логарифмических уравнений в том, что многие ребята путают, что именно нужно возводить в степень. То есть при преобразовании log_af(x) = b, многие возводят не a в степень b, а наоборот b в степень a. Такая досадная ошибка может лишить вас драгоценных баллов на ЕГЭ.

Поэтому мы покажем еще один способ решения логарифмических уравнений.

Чтобы решить логарифмическое уравнение, нам нужно привести его к такому виду, когда и в правой, и в левой части уравнения будут стоять логарифмы с одинаковыми основаниями. Это выглядит вот так:

Когда уравнение приведено к такому виду, то мы можем «зачеркнуть» логарифмы и решить простое уравнение. Давайте разбираться на примере.

Решим еще раз то же самое уравнение, но теперь этим способом:В левой части у нас логарифм с основанием 2. Следовательно, правую часть логарифма нам нужно преобразовать так, чтобы она тоже содержала логарифм с основанием 2.

Для этого вспоминаем свойства логарифмов. Первое свойство, которое нам здесь понадобится – это логарифмическая единица. Напомним его:То есть в нашем случае:Возьмем правую часть нашего уравнения и начнем ее преобразовывать:Теперь нам нужно 2 тоже внести в логарифмическое выражение. Для этого вспоминаем еще одно свойство логарифма:

Воспользуемся этим свойством в нашем случае, получим:Мы преобразовали правую часть нашего уравнения в тот вид, который нам был нужен и получили:Теперь в левой и в правой частях уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому мы можем их зачеркнуть. В результате, получим такое уравнение:

2х + 3 = 3²

2х + 3 = 9

2х = 6

х = 3

Ответ: х = 3

Да, действий в этом способе больше, чем при решении с помощью определения логарифма. Но все действия логичны и последовательны, в результате чего шансов ошибиться меньше. К тому же данный способ дает больше возможностей для решения более сложных логарифмических уравнений.

Разберем другой пример:Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом:После преобразования правой части наше уравнение принимает следующий вид:Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим:Вспоминаем свойства степеней:

3х – 5 = 4

3х = 9

х = 3

Теперь делаем проверку:то последнее выражение верно. Следовательно,  х = 3 является корнем уравнения.

Ответ: х = 3

Еще один пример решения логарифмического уравнения:Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим:Теперь преобразуем правую часть уравнения:Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили:Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:

Решим данное квадратное уравнение, найдем дискриминант:

Сделаем проверку, подставим х₁ = 1 в исходное уравнение:Верно, следовательно, х₁ = 1 является корнем уравнения.

Теперь подставим х₂ = -5 в исходное уравнение:Так как аргумент логарифма должен быть положительным, выражение не является верным. Следовательно, х₂ = -5 – посторонний корень.

Ответ: х = 1

Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями

Выше мы решали логарифмические уравнения, в которых участвовали логарифмы с одинаковыми основаниями. А что же делать, если основания у логарифмов разные? Например,

Правильно, нужно привести логарифмы в правой и левой части к одному основанию!

Итак, разберем наш пример:Преобразуем правую часть нашего уравнения:

Мы знаем, что 1/3 = 3^-1. Еще мы знаем свойство логарифма, а именно вынесение показателя степени из логарифма:Применяем эти знания и получаем:Но пока у нас есть знак «-» перед логарифмом в правой части уравнения, зачеркивать мы их не имеем права. Необходимо внести знак «-» в логарифмическое выражение. Для этого воспользуемся еще одним свойством логарифма:

Тогда получим:Вот теперь в правой и левой части уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями и мы можем их зачеркнуть:Делаем проверку:Если мы преобразуем правую часть, воспользовавшись свойствами логарифма, то получим:Верно, следовательно, х = 4 является корнем уравнения.

Ответ: х = 4.

Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями

Выше мы разобрали примеры решения логарифмических уравнений, основания которых были постоянными, т. е. определенным значением – 2, 3, ½ … Но в основании логарифма может содержаться Х, тогда такое основание будет называться переменным. Например, log_x+1(х²+5х-5) = 2. Мы видим, что основание логарифма в данном уравнении – х+1. Как же решать уравнение такого вида? Решать мы его будем по тому же принципу, что и предыдущие. Т.е. мы будем преобразовывать наше уравнение таким образом, чтобы слева и справа были логарифмы с одинаковым основанием.Преобразуем правую часть уравнения:Теперь логарифм в правой части уравнения имеет такое же основание, как и логарифм в левой части:Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:Но данное уравнение неравносильно исходному уравнению, так как не учтена область определения. Запишем все требования, относящиеся к логарифму:

1. Аргумент логарифма должен быть больше ноля, следовательно:

2. Основание логарифма должно быть больше 0 и не должно равняться единице, следовательно:

Сведем все требования в систему:

Данную систему требований мы можем упростить. Смотрите х²+5х-5 больше ноля, при этом оно приравнивается к (х + 1)², которую в свою очередь так же больше ноля. Следовательно, требование х²+5х-5 > 0 выполняется автоматически и мы можем его не решать. Тогда наша система будет сведена к следующему:Перепишем нашу систему:Следовательно, наша система примет следующий вид:Теперь решаем наше уравнение:Справа у нас квадрат суммы:Данный корень удовлетворяет наши требования, так как 2 больше -1 и не равно 0. Следовательно, х = 2 – корень нашего уравнения.

Для полной уверенности можем выполнить проверку, подставим х = 2 в исходное уравнение:

Т.к. 3²=9, то  последнее выражение верно.

Ответ: х = 2

Как сделать проверку

Еще раз обращаем ваше внимание, что при решении логарифмических уравнений необходимо учитывать область допустимых значений. Так, основание логарифма должно быть больше ноля и не должно равняться единице. А его аргумент должен быть положительным, т. е. больше ноля.

Если наше уравнение имеет вид log_a (f(x)) = log_a (g(x)), то должны выполняться следующие ограничения:

После решения логарифмического уравнения нужно обязательно сделать проверку. Для этого вам необходимо подставить получившееся значения в исходное уравнение и посчитать его. Времени это займет немного, зато позволит не записать в ответ посторонние корни. Ведь так обидно правильно решить уравнение и при этом неправильно записать ответ!

Итак, теперь вы знаете, как решить логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма и с помощью преобразования уравнения, когда в обеих его частях стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, которые мы можем «зачеркнуть». Отличное знание свойств логарифма, учет области определения, выполнение проверки – залог успеха при решении логарифмических уравнений.

Чтение: Использование определения логарифма для решения логарифмических уравнений | Конечная математика |

Модуль 6: Экспоненциальный рост и спад

Мы уже видели, что каждое

логарифмическое уравнение log _b ( x ) = y эквивалентно экспоненциальному уравнению b 90 022 г = х . Мы можем использовать этот факт вместе с правилами логарифмирования для решения логарифмических уравнений, где аргументом является алгебраическое выражение.

Например, рассмотрим уравнение log

₂ (2) + log ₂ (3 x – 5) = 3.

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать правила логарифмирования, чтобы переписать левую стороны в компактной форме, а затем применить определение бревен для решения для

x :

9{{3}}={6}{x}-{10}23=6x−10

	log2(2)+log2(3x−5)=3\displaystyle{{log}_{{2}}{({2})}}+{{log}_{{2}}{({3 {x}-{5})}}={3}log2​(2)+log2​(3x−5)=3
Вычислить 2 3	8=6x−10\displaystyle{8}={6}{x}-{10}8=6x−10
Добавьте по 10 с обеих сторон	18=6x\displaystyle{18}={6}{x}18=6x
Разделить на 6	х=3\displaystyle{х}={3}х=3

Использование определения логарифма для решения логарифмических уравнений

Для любого алгебраического выражения

S и действительные числа b и c , где b > 0, b ≠ 1,

log

90 011 _b ( S ) = c если и только если b ^c = S

Пример 1

Решить логарифмическое уравнение с помощью алгебры 2lnx=4\displaystyle{2}{ln{{x}}}={4}2lnx=4 9{{{(\frac{{7}}{{2}})}}}x=61​e(27​)

Решить

2ln(x+1)=10\displaystyle{2}{ln{{({x}+{1})}}}={10}2ln(x+1)=10

Используя график, чтобы понять решение логарифмического уравнения, решите

lnx=3\displaystyle{ln{{x}}}={3}lnx=3

Графики y = ln x и y = 3 креста в точке ( e ³ ,3), которая приблизительно равна (20,0855, 3).

Используйте графический калькулятор, чтобы оценить приближенное решение логарифмического уравнения 2 ^x = 1000, решить до 2 знаков после запятой.

х ≈ 9,97

Как и в случае экспоненциальных уравнений, мы можем использовать свойство «один к одному» для решения логарифмических уравнений. Свойство взаимно однозначности логарифмических функций говорит нам, что для любых действительных чисел

x > 0, S > 0, T > 0 и любого положительного вещественного числа b , где b ≠ 1,

журнал _б С = log _b T тогда и только тогда, когда S = T

Например,

Если log ₂ ( x − 1) = лог ₂ (8), затем x − 1 = 8.

Итак, если

x – 1 = 8,

, то мы можем найти

x , и мы получаем x = 9. Для проверки можем подставить x = 9 в исходное уравнение: log ₂ (9 – 1) = log ₂ (8) = 3. Другими словами, когда логарифмическое уравнение имеет одинаковое основание с каждой стороны, аргументы должны быть равный. Это также применимо, когда аргументы являются алгебраическими выражениями. Поэтому, когда у нас есть уравнение с логарифмами одинакового основания на каждой стороне, мы можем использовать правила логарифмирования, чтобы переписать каждую сторону как один логарифм. Затем мы используем тот факт, что логарифмические функции являются взаимно однозначными, чтобы установить аргументы равными друг другу и найти неизвестное.

Например, рассмотрим уравнение

log(3x−2)−log(2)=log(x+4)\displaystyle{log{{({3}{x}-{2})}}}- {log{{({2})}}}={log{{({x}+{4})}}}log(3x−2)−log(2)=log(x+4)

. Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать правила логарифмирования, чтобы переписать левую часть как одиночный логарифм, а затем применить свойство «один к одному» для решения

log(3x−2)−log(2)=log (x+4)\displaystyle{log{{({3}{x}-{2})}}}-{log{{({2})}}}={log{{({x}+{ 4})}}}log(3x−2)−log(2)=log(x+4)

Применение правила отношения логарифмов	log(3x−22)=log(x+4)\displaystyle{log{{(\frac{{{3}{x}-{2}}}{{2}})}}}={log {{({x}+{4})}}}log(23x−2​)=log(x+4)
Применение свойства один к одному логарифма.	3x−22=x+4\displaystyle\frac{{{3}{x}-{2}}}{{2}}={x}+{4}23x−2​=x+4
Умножьте обе части уравнения на 2	3x−2=3x+8\displaystyle{3}{x}-{2}={3}{x}+{8}3x−2=3x+8
Вычесть 2 x и добавить 2	х=10\displaystyle{х}={10}х=10

Чтобы проверить результат, подставьте

в

log(3(10)−2)−log(2)=log((10)+4)\displaystyle{log{{({3}{({10}) }-{2})}}}-{log{{({2})}}}={log{{({({10})}+{4})}}}log(3(10)- 2)−log(2)=log((10)+4)

log(28)−log(2)=log(14)\displaystyle{log{{({28})}}}-{log{ {({2})}}}={log{{({14})}}}log(28)−log(2)=log(14)

log(282)=log(14)\displaystyle{ log{{(\frac{{28}}{{2}})}}}={log{{({14})}}}log(228​)=log(14)

Проверка решения.

Использование свойства однозначности логарифмов для решения логарифмических уравнений

Для любых алгебраических выражений

S и T и любого положительного действительного числа b , где b ≠ 1, log _b S = log _b T тогда и только тогда, когда S = T

Обратите внимание: при решении уравнения, содержащего логарифмы, всегда проверяйте, является ли ответ правильным или является посторонним решением.

Имея уравнение, содержащее логарифмы, решите его, используя свойство «один к одному».

1. При необходимости используйте правила логарифмирования, чтобы скомбинировать одинаковые члены, чтобы результирующее уравнение имело вид log _b S = log _b T .
2. Используйте свойство «один к одному», чтобы установить равные аргументы.
3. Решите полученное уравнение S = T для неизвестного.

Пример 2

9{{2}}-{2}{x}-{3}={0}x2−2x−3=0

Фактор с использованием FOIL:

(x−3)(x+1)=0\displaystyle{({ x}-{3})}{({x}+{1})}={0}(x−3)(x+1)=0

Если произведение равно нулю, один из множителей должен быть равен нулю :

x−3=0 или x+1=0\displaystyle{x}-{3}={0}{\text{ или }}{x}+{1}={0}x−3=0 или x+1=0

Решите для x :

x=3 или x=−1\displaystyle{x}={3}{\text{ или }}{x}=-{1}x= 3 или x=−1

Анализ

Есть два решения:

x = 3 или 9{{2}})}}}={ln{{1}}}ln(x2)=ln1

---

OpenStax, Precalculus, «Экспоненциальные и логарифмические уравнения», под лицензией CC BY 3. 0.

Предыдущий

Следующий

РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

1. Чтобы решить логарифмическое уравнение, перепишите уравнение в экспоненциальной форме и найдите переменную.

Пример 1: Найдите x в уравнении Ln ( x )=8.

Решение:

Шаг 1: Пусть обе части являются показателями основания e. Уравнение Ln ( x )=8 можно переписать.

Шаг 2: К настоящему времени вы должны знать, что когда основание экспоненты и основание логарифма совпадают, левая часть может быть записана как x. Уравнение теперь можно записать .

Шаг 3: Точный ответ:

и примерный ответ

Проверить: Вы можете проверить свой ответ двумя способами. Вы можете построить график функции Ln ( x )-8 и посмотреть, где она пересекает ось x. Если вы правы, график должен пересечь ось X в ответе, который вы получили алгебраически.
Вы также можете проверить свой ответ, подставив значение x в начальный уравнения и определить, равна ли левая часть правой части. Для например, если Ln (2980,95798704)=8, вы правы. Так и есть, и вы правы.

Пример 2: Найдите x в уравнении 7 Log (3 x )=15.

Решение:

Шаг 1: Перед преобразованием логарифмического уравнения в показательное уравнение изолируйте логарифмический член. Разделите обе части исходного уравнения на 7:

Шаг 2: Преобразование логарифмического уравнения в показательное уравнение: если основание не указано, это означает, что основание логарифма равно 10. Напомним также, что логарифмы являются показателями степени, поэтому показатель степени . Уравнение

теперь можно написать

Шаг 3: Разделите обе части приведенного выше уравнения на 3:

точный ответ и приблизительный ответ.

Проверить: Вы можете проверить свой ответ двумя способами: построить график функции

или подставив значение x в исходное уравнение. Если вы выберете график, точка пересечения по оси x должна совпадать с ответом, который вы полученный ( ).
Если выбрать замену, значение левой части исходного уравнение должно равняться значению правой части уравнения после того, как вы рассчитали значение каждой стороны на основе вашего ответа для x.

Пример 3: Найдите x в уравнении

Решение:

Шаг 1: Обратите внимание, что первый член Ln ( x -3) действителен только тогда, когда x >3; термин Ln ( x -2) действителен только тогда, когда x >2; а термин Ln (2 x +24) действителен только тогда, когда x >-12. Если мы потребуем, чтобы x был любым действительным числом, большим 3, все три термина будут действительными. Если все три условия верны, то уравнение верно.

Шаг 2: Упростите левую часть приведенного выше уравнения: По свойствам логарифмов мы знаем, что

Шаг 3: Теперь можно написать уравнение

Шаг 4: Пусть каждая часть приведенного выше уравнения будет показателем степени основания e:

Шаг 5: Упростите приведенное выше уравнение:

Другой способ взглянуть на уравнение шага 3 — понять, что если Ln ( a ) = Ln ( b ), тогда a должно равняться b. В случае этой проблемы, то

Шаг 6: Упростите левую часть приведенного выше уравнения:

Шаг 7: Вычтите 2x + 24 с каждой стороны:

Шаг 8: Фактор левой части приведенного выше уравнения:

Шаг 9: Если произведение двух множителей равно нулю, то хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Если . Если . x = 9 — наше единственное решение. Почему 9 единственное решение? Мы определили нашу область определения как все действительные числа больше 3.

Проверка: Вы можете проверить свой ответ, построив график функции

и определение того, равен ли x-перехват также 9. Если это так, вы правильно отработали задачу.
Вы также можете проверить свой ответ, подставив 9 вместо x слева и правые части исходного уравнения. Если после замены осталось часть уравнения имеет то же значение, что и правая часть уравнения, вы правильно проработали задачу.

Если вы хотите просмотреть другой пример, нажмите «Пример».

Решите следующие задачи. Если вы хотите просмотреть ответ и решение, нажмите Ответ.

Задача 1: Найдите x в уравнении

Ответ

Задача 2: Найдите x в уравнении

Ответ

Задача 3: Найдите x в уравнении

Ответ

Задача 4: Найдите x в уравнении

Ответ

Задача 5: Найдите x в уравнении

Ответ

Задача 6: Найдите x в уравнении

Ответить

[Вернуться к Правилам логарифмов] [Назад к экспоненциальным функциям] [Алгебра] [Тригонометрия] [Сложный Variables] Домашняя страница S.

No related posts.