Числитель и знаменатель разложить на множители: Разложите на множители числитель и знаменатель дроби и сократите её:

Математика — 8

Если числитель или знаменатель рационального выражения является трёхчленом, то для сокращения дроби применяют различные методы разложения на множители.
Если для трёхчлена x² + bx + c возможно найти такие числа m и n, чтобы их произведение было равно с, а сумма была равна b, то в этом случае:

x² + bx + c = (x + m) (x + n).

На самом деле, если m—n = c, m + n = b, тогда можно записать, что x² + bx + c = x² + (m + n) x + m · n = = x² + mx + nx + mn = x (x + m) + n (x + m) = (

x + m) (x + n) Понятно что, если b и с являются целыми числами, то числа m и n надо искать среди делителей числа с.

Пример 1. Для сокращения дроби x² + 5x + 6
x² — 2x — 3 сначала надо разложить числитель и знаменатель на множители.

Для разложения на множители трёхчлена x² + 5x + 6 надо найти два положительных числа, произведение которых равно 6, а сумма 5. Это числа 2 и 3: x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).

Для разложения на множители трёхчлена x² + 2x — 3 надо найти два числа, произведение которых равно -3, а сумма 2. Так как, эти числа 3 и -1, тогда имеем

x² + 2x — 3 = (x + 3)(x — 1).

Для разложения на множители трёхчлена ax² + bx + c надо найти такие числа m и n чтобы mn = ac, m + n = b. Тогда ax² + bx + c = ax² + mx + nx + c = x(ax + m) + (nx + c)
= x(ax + m) + n
a (ax + m) = (ax + m)(x + n
a)

Пример 2. Сократим дробь 2x² + x — 6
2x — 3.

Для 2x² + x — 6 mn = 2 · (-6) = -12, m + n = 1

письмо «Применение разложения на простые множители к сокращению дробей»

Письмо 4. Уроки № 6-7.

Инструкция. Как работать с письмом?

1. Прочитайте письмо от начала до конца «от корки до корки».

2. Возьмите карандаш и выделите карандашом те фрагменты, которые надо записать в классную тетрадь.

3. Приготовьте учебник, тетрадь, пенал.

4. Начинайте читать третий раз, выполняя записи и упражнения в тетради, соблюдая мои советы.

5. Прочитайте четвертый раз и выделите те моменты, которые вам не понятны. В эфире урока во вторник зададите свои вопросы.

Здравствуйте, ребята! Начинается новая неделя «на удаленке». Надеюсь, что вы немного привыкли обучаться самостоятельно. Рада, что многим из вас помогают родители: отправляют сообщения, держат связь с учителями. Это здорово! Большое им спасибо. На этой неделе мы работаем по предмету математика по следующему расписанию:

понедельник 13.04.20 – вы получаете и изучаете письмо 4, выполняете задания, готовитесь обсудить со мной эту тему.

вторник 14.04.20 – эфир урока в Discord в 9.15

среда 15.04.20 – эфир урока в Discord в 12. 00, получаете письмо 5.

четверг 16.04.20 – отправляете ответ на письмо 5 до 14.00.

На этой неделе у вас будет возможность получить оценки за устные ответы на уроках (во вторник и в среду).

Цель на неделю — узнать, для каких операций в математике можно применять разложение числа на простые множители.

Задача на неделю – научиться применять разложение на простые множители к сокращению дробей, к нахождению НОД и НОК.

Но сначала проверим, как вы усвоили предыдущий урок. При проверке ваших работ я увидела, что не все следуют моему образцу оформления. Если надо разложить число на простые множители, то вы:

1) проводите разложение «столбиком» (как на рис.)

₂₎ записывайте каноническое разложение _.

_{Обратите внимание: всего два пункта.}

_{Для тех, кто не смог справиться с этой темой – помните: наше дальнейшее продвижение будет зависеть от того, как вы научитесь выполнять разложение на простые множители.}

Но большинство из вас получили хорошие и отличные оценки. Я рада и горжусь вашей работой. Надеюсь, что она честная!

Сегодня мы поговорим с вами о сокращении дробей. Кто-то возмутится!!!! Мы это уже изучали. Конечно, в 5 классе! Но тема «Разложение на простые множители» — настоящая Золушка в сокращении дробей (вам надо только аккуратно все записать, и ответ будет идеальным, т.е. Золушка за Вас всё сделает).

Что же мы умеем делать? Как мы раньше сокращали дроби? Вспомним! Открывайте тетрадь и записывайте тему урока «СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ С ПОМОЩЬЮ РАЗЛОЖЕНИЯ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ».

1 способ. Мы знаем основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь. Т.е. выполняется равенство .

Например, . Такое преобразование мы называли с вами – сокращением дробей. Надеюсь, что вы записали это в тетрадь!

2 способ. Идем дальше, в этом году мы познакомились с признаками делимости и сокращали дроби последовательно. Например,

, т.е. сначала сократили на 3, потом 5, далее на 7. Так тоже – верно!

А сегодня мы попробуем выполнять сокращение с помощью разложения на простые множители. Откройте учебник стр. 197 №919. Посмотрите, какие «страшные» дроби! Но мы сначала выполним №918.

Разложим 350 и 756 на простые множители. Выполните самостоятельно по образцу (только пункт 1(разложение «столбиком»), без канонического разложения). А потом выпишите произведение простых множителей строчкой.

Если вы все сделали правильно, то у вас получились следующие ответы, проверьте: 350 = 2∙5∙5∙7 756 = 2∙2∙3∙3∙3∙7. А теперь вернемся к №919 (б). Необходимо сократить дробь . Заменим 350 и 756 на произведение множителей. (Запишите образец в тетрадь).

Образец записи.

. Все одинаковые множители сокращаем! Помните, я вам писала о Золушке, посмотрите, как и мы быстро справились с этим примером. После разложения нам осталось только вычеркнуть одинаковые множители и выполнить умножение. А ответ – НЕСОКРАТИМАЯ ДРОБЬ. Точно уже ошибок не будет! Преимущество этого способа, действительно в том, что всегда получается несократимая дробь.

Выполните тренировочные упражнения.

№1. Сократите дроби, предварительно разложив числитель и знаменатель на простые множители:

а) б) в)

Именно с этих примеров начнем завтрашний урок.

За окном – апрель, скоро окончание учебного года, значит, пора подводить итоги. А всё ли вы помните? Давайте проверим. Решайте самостоятельно!!!

№2. Решите уравнение

_№3. Найдите значение числового выражения: (Подумайте, как лучше вычислить)

_{№4. Приведите пример двух чисел, сумма которых меньше их разности, а модуль каждого числа больше 5, но меньше 10.}

САМОПРОВЕРКА.

Ответы к номерам:

№1. а) б) в) дробь несократимая

№2. х = — 2 (Помните: сначала раскрыть скобки, потом перенос слагаемых – и соблюдайте все правила)

№3. 1.

Если вы решили неверно, то находите ошибки, а не подгоняйте под ответ!

№4. Например, – 6 и 9. Модуль каждого числа больше 5, но меньше 10.

Сумма чисел равна – 6+ 9 = 3. Разность чисел 9 – (– 6) = 15. Сумма 3 меньше разности 15.

Мой пример не записывать, воспользуйтесь объяснением и найдите свои примеры чисел.

Всего доброго. До свидания.

P.S. Надеюсь всё, что напечатано черным шрифтом в письме, у вас записано в тетради.

Дроби и множители: значение, примеры и правила

Мы знаем, что натуральные и целые числа также можно называть целыми числами. Предположим, вы делите плитку шоколада на две равные части или половинки, как тогда вы представляете значение в числовом виде? Этот тип числа, дробь, также является основным типом числа, который мы используем в математике.

Мы можем использовать множители, чтобы упростить дроби до их простейшей формы. В этой статье рассматриваются ключевые концепции дробей и множителей, а также некоторые приложения.

Значение дробей и множителей: введение

Начнем с определения и введения понятий дробей и множителей.

Компоненты дроби: числитель и знаменатель

Начнем с определения дроби.

Числовое значение, которое представляет собой часть любого целого значения или вещи, известно как дробь . Дроби известны как рациональные числа (по теории множеств). В математике мы говорим, что рациональные числа находятся в множестве ℚ.

Дроби могут быть представлены как ab, где a известны как числитель, а b известны как знаменатель. По сути, числитель делится на знаменатель.

Давайте попробуем увидеть это с более наглядной точки зрения. Представьте, что 1 пицца состоит из 8 кусочков.

Пицца с 8 кусочками, pixabay.com

Если я возьму 1 кусок пиццы, я возьму 18 кусков пиццы. Это потому, что у нас есть 1 пицца, и мы разделили ее на 8 кусков. Итак, мы видим, что единственный кусок пиццы (1) — это числитель, а общее количество кусочков (8) — знаменатель.

Дробь также можно рассматривать как деление числителя на знаменатель. Давайте посмотрим на пример, чтобы увидеть это в действии.

У меня есть пирог с 8 кусочками. Я хочу разделить его поровну между 4 людьми. Какую часть пирога получит каждый?

Решение:

В пироге 8 кусков, и мы хотим разделить его поровну между 4 людьми. Следовательно, мы вычисляем, что 8÷4=2. Это означает, что каждый человек получает 2 куска пирога.

Если каждый получает по 2 куска, значит, он получает 28 кусков пирога. Это количество кусочков, которые получает каждый человек (2), деленное на общее количество кусочков пирога (8), при этом числитель делится на знаменатель.

Использование коэффициентов для целых чисел

Целые числа также известны как целые числа. В математике они представлены как ℤ. Все целые числа содержат f актеров .

Факторы целого числа — это числа, которые делятся точно на это целое число.

Это означает, что если вы выполните деление в длину, разделив целое число на его множитель, вы не найдете остатка.

Например, 10 можно разделить на 2, чтобы получить 5, 10÷2=5, что означает, что 2 является коэффициентом 10. Точно так же 10 можно разделить на 5, чтобы получить 2, 10÷5=2, что означает, что 5 также является множителем 10. Таким образом, 2 и 5 являются парой множителей 10.

Все целые числа делятся на 1, поэтому 1 является делителем всех целых чисел. Само целое число всегда также является фактором само по себе, например, когда вы делите число само на себя, вы получаете 1. Поскольку этот процесс не оставляет остатка, мы знаем, что число является фактором само по себе.

Все целые числа делятся на 1 и на себя, поэтому имеют как минимум два делителя. Целые числа, которые делятся только на 1 и сами по себе, называются простыми числами.

Единственным исключением из того факта, что все целые числа имеют по крайней мере два делителя, является число 1. Число 1 не считается простым числом, поскольку оно делится на 1 и само на себя, но поскольку 1 является самим собой, оно является только число, содержащее один фактор.

Давайте рассмотрим небольшой пример.

Перечислите все делители числа 24.

Решение:

Итак, на сколько чисел делится 24? Имеем:

24÷1=24,24÷2=12,24÷3=8,24÷4=6,24÷6=4,24÷8=3,24÷12=2,24÷24 =1

За исключением чисел 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24, все остальные числа при делении на 24 не возвращают целых чисел. Это означает, что наши множители равны 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24.

Факторы

Теперь, когда мы поняли основные идеи и понятия, лежащие в основе дробей и множителей, давайте более подробно рассмотрим факторы в частности. . Понимание факторов поможет нам позже, когда мы будем изучать методы упрощения дробей до их простейших и наименьших форм.

Что такое разложение на простые множители?

A Разложение на простые множители просто анализирует целое число как произведение простых множителей. Другими словами, мы определяем все простые множители, которые при умножении дают заданное целое число.

Простой множитель — это просто множитель целого числа, которое также является простым числом. Мы можем найти разложение на простые множители, нарисовав дерево факторов . Факторное дерево показывает нам, как именно мы можем разбить целое число на его множители, а затем разбить эти множители, пока в конечном итоге не получим простые множители.

Давайте посмотрим на наглядный пример.

Нарисуйте дерево множителей для числа 100 и запишите разложение числа 100 на простой множитель. , StudySmarter Originals

Теперь мы можем перестать разбивать 2 на множители, поскольку это простой множитель, а это значит, что его можно разделить только на 1 и на себя. Однако 50 не простое число; поэтому мы должны разбить его дальше. Мы можем разбить 50 на 25×2. Мы можем добавить это к нашему факторному дереву следующим образом:

Простые множители 50, StudySmarter Originals

Опять же, 2 — это простое число, поэтому мы не будем далее разбирать это. Однако мы можем разбить 25 на 5×5. И мы можем добавить его к нашему факторному дереву следующим образом:

Факторное дерево для 100, StudySmarter Originals

Теперь, поскольку 5 — простое число, мы можем остановиться на этом, так как мы не можем дальше разбивать ни одно из этих чисел. Это означает, что мы закончили рисовать наше дерево факторов!

При написании разложения на простые множители мы можем обвести все факторы, которые мы определили как простые, для удобства.

Простые числа, обведенные кружком после разложения, StudySmarter Originals

Когда эти числа умножаются друг на друга, они дают нам 100, поэтому наше разложение на простые множители равно

2×2×5×5

Мы можем сделать это красивее, используя индексы : 22×52.

Какой самый высокий общий делитель?

Наибольший общий делитель (наибольший общий делитель) — это то, что мы можем найти, используя метод разложения на простые множители двух или более различных чисел. Наибольший общий делитель — это число, являющееся делителем всех рассматриваемых чисел. В частности, это самый большой из возможных.

Для этого есть способ, который мы рассмотрим на примере.

Найдите наибольший общий делитель 100 и 120.

Решение:

9014: Найдите разложение обоих простых чисел.

ШАГ	ПРИМЕР
Разложение числа 100 на простой множитель, которое мы знаем из приведенного выше, равно 22×52. Если мы воспользуемся деревом факторов, чтобы найти разложение числа 120 на простые множители, мы получим следующее:0002 Факторное дерево числа 120, StudySmarter Originals Следовательно, наше разложение числа 120 на простые множители равно 23×3×5.
ШАГ 2: Запишите эти два числа в степени (поэтому, если есть только одно число, запишите его в степени 1).	100=22×52120=23×31×51
ШАГ 3: Если в одном из чисел отсутствует множитель из разложения другого числа на простые числа, запишите этот отсутствующий множитель в разложении на простые множители в степени 0.	100 не хватает 3, поэтому подставляем 3 в степени 0:100=22×52×30
ШАГ 4: Сравните одинаковые базовые числа и выберите число с наименьшей степенью.	Между 51 и 52 выберите 51Между 22 и 23, выберите 22Между 30 и 31, выберите 30
ШАГ 5: Перемножьте эти выбранные числа.	22×30×51=20, поэтому наш наибольший общий делитель равен 20.

Дроби

Мы узнали, что дроби состоят из числителей сверху и знаменателей снизу. Дроби имеют целые значения как в числителе, так и в знаменателе, но знаменатель не должен быть равен нулю. Когда дробь имеет одинаковые множители в числителе и знаменателе, мы можем упростить форму дроби.

Сравнение дробей и множителей: как мы можем использовать множители для упрощения дробей?

Когда мы определяем, что дробь можно упростить, это означает, что мы можем разделить числитель и знаменатель на одно и то же число, чтобы получить более простую или меньшую дробь. Это можно сделать только в том случае, если и числитель, и знаменатель имеют общий множитель.

Если мы возьмем наш предыдущий ответ 28, то и 2, и 8 делят множитель 2. Следовательно, если мы разделим и 2, и 8 на 2, мы получим 2÷2=1,8÷2=4. Следовательно, мы можем упростить нашу дробь до 14,9.0003

Иногда в экзаменационных вопросах вас могут попросить дать ответ в самой простой форме. Это означает, что вы должны упростить дробь, прежде чем давать ответ. Давайте посмотрим на примеры.

Упростить 5696.

Решение:

Сначала нам нужно подумать о множителе, который делит числа 56 и 96. Они оба делят 8 как множитель. Следовательно, нам нужно просто разделить каждое из них (и числитель, и знаменатель) на 8.

⇒ 56÷896÷8=712

Это означает, что наша новая упрощенная дробь равна 712.

Упростить 565.

Решение: Здесь 5 и 65 делят 5 как множитель. Итак, мы делим и числитель, и знаменатель на 5.

⇒ 5÷565÷5=113

Следовательно, упрощенная дробь равна 113.

Дроби и множители важны в различных прикладных ситуациях. Изучая другие темы, мы часто обнаруживаем, что нам, возможно, придется определять общий множитель или упрощать дробь как часть решения нашей проблемы.

Правила дробей

Существуют определенные правила, которые применяются при использовании основных математических операций над дробями. Мы увидим правила дробей для следующих операций:

• Сложение и вычитание
• Умножение
• Деление

Сложение или вычитание выполняется на основе дробей 9024 знаменателя они имеют. Нам нужно проверить, совпадают или различны знаменатели данных дробей. Давайте посмотрим, как выполнить сложение или вычитание, если 9Знаменатель 0015 равен

у всех дробей.

1. Сложите/вычтите числители и оставьте знаменатель без изменений.
2. Если возможно, сократите дробь.

⇒ab±cb=a±cb

Где a, b и c — целые числа.

Если знаменатели не совпадают с , необходимо выполнить следующие шаги.

1. Сделайте знаменатель всех дробей одинаковым. Для этого можно умножить числитель и знаменатель одной дроби на знаменатель другой дроби и наоборот.
2. Сделав знаменатель одинаковым, сложите/вычтите числители, не изменяя знаменатель.
3. Просто дробь, если возможно.

⇒ab±cd=a×db×d±c×bd×b

Умножение

При умножении дробей знаменатели не обязательно должны совпадать, в отличие от сложения/вычитания. Вместо этого просто умножьте числители друг на друга и умножьте друг на друга знаменатели. Затем приведите дробь к упрощенной форме. Помните, что дроби, как правило, не должны быть смешанными дробями. Если это смешанная дробь, то сначала преобразуйте ее в правильную или неправильную дробь.

⇒ab×cd=a×cb×d

Деление

При делении дробей мы преобразуем их в форму умножения, чтобы найти ответ. Итак, чтобы преобразовать его в форму умножения, инвертируйте вторую дробь (то есть поменяйте местами числитель и знаменатель) и измените знак деления на знак умножения. Теперь вы можете выполнять шаги умножения как обычно.

⇒ab÷cd=ab×dc

Пример дробей и множителей

Давайте посмотрим несколько решенных примеров для дробей и множителей.

Найдите самый высокий общий фактор (HCF) 48, 108 и 140.

Решение:

Шаг	Пример
Шаг 1: Найти Фактор. числа.	Разложение числа 48 на простые множители с использованием дерева множителей: 2×2×2×2××3=24×3. Факторное дерево 48, StudySmarter Originals Аналогично, разложение числа 108 на простые множители = 22 × 33. Разложение числа 140 на простые множители равно 22 × 5 × 7.
ШАГ 2: Запишите все три числа в степенной записи.	48=24×31,108=22×33,140=22×51×71
ШАГ 3: Запишите пропущенное число множителя из разложения простых чисел других чисел в степени 0.	48=24 ×31×50×70108=22×33×50×70140=22×30×51×71
ШАГ 4: Сравните одинаковые базовые числа и выберите число с наименьшей степенью.	Из 22 и 24 выберите 22 Из 30, 31, 33 выберите 30 Из 50, 51 выберите 50 Из 70,71 выберите 70
ШАГ 5: Умножьте выбранные числа.	22×30×50×70 Итак, HCF (или НОД) равно 4 для данных трех чисел.

Подруга Хейли живет в 25 милях от ее дома. Она уже прошла 11 миль. Представьте пройденное расстояние дробью.

Решение: Общее расстояние от дома Хейли до дома ее подруги составляет 25 миль. Итак, знаменатель будет равен 25.

Хейли проехала 11 миль. Значит, в числителе будет 11,9.0003

Следовательно, расстояние, пройденное дробями, будет 1125.

Решите следующие дроби.

1)67+272)67-133)23×124)23÷12

Решение:

1) 67+27

Для 67 и 27 обе дроби имеют одинаковые знаменатели. Итак, мы можем провести сложение, не меняя знаменатель. Здесь мы добавим числитель и сохраним знаменатель как есть.

⇒ 67+27=6+27=87

2) 67-13

Здесь обе дроби 67,13 имеют разные знаменатели. Сначала сделаем их знаменатели одинаковыми, а затем вычтем полученные дроби.

⇒ 67-13=6×37×3-1×73×7=1821-721=18-721=1121

3) 23×12

Для умножения дробей умножаем числители друг на друга и знаменатели друг с другом.

⇒ 23×12=2×13×2=13

4) 23÷12

Для деления дробей мы переворачиваем вторую дробь, чтобы преобразовать выражение в выражение умножения. Затем мы можем перемножить дроби, чтобы получить ответ.

⇒23÷12=23×21=2×23×1=43

Дроби и множители — Основные выводы

• Числитель — это верхняя часть дроби, а знаменатель — нижняя.
• Факторы — это числа, на которые точно делятся другие числа.
• Числа, состоящие только из двух делителей, называются простыми числами.
• Разложение на простые множители помогает нам вычислить наибольшие общие делители.
• Дроби можно упростить, если числитель и знаменатель имеют общий множитель.

Факторинг — Rational Expressions — Magoosh GMAT

В этом уроке мы рассмотрим рациональные выражения. Итак, что такое рациональные выражения? Рациональное выражение — это отношение, дробь двух алгебраических выражений. Так, например, х минус 3 больше х плюс 2. Это было бы рациональным выражением. Многие из рациональных выражений, которые вы увидите в тесте, можно упростить, и ваша задача — упростить их.

Чтобы упростить рациональное выражение, мы должны разложить выражения в числителе и знаменателе, а затем сократить общие множители. Так, например, предположим, что нас попросили упростить это рациональное выражение. Итак, у нас есть обычное квадратное число в числителе и еще одно обычное квадратное число в знаменателе. На самом деле тот, что в знаменателе, — это просто квадрат разностной картины.

Итак, когда мы факторизуем, мы получаем: x минус 3, умноженное на x плюс 7 в числителе, x минус 3 в квадрате в знаменателе. Мы можем сократить множитель x минус 3, и у нас останется x плюс 7 на x минус 3. И это упрощенная форма того же выражения. Вот еще один. Выражение наверху немного сложное, но обратите внимание, что мы можем вынести наибольший общий множитель, и тогда он просто станет разностью двух квадратов.

Знаменатель представляет собой обычное квадратное число, поэтому мы делим его обычным способом. У нас есть дополнительный множитель x плюс 2, который мы можем отменить. И это упрощает. Два х квадрат времени х минус 2, деленное на х минус 7. Теперь это сложно.

У нас есть у в квадрате плюс 2х минус 8 на х минус 4. Ну, это, мы не можем произвести факторинг, потому что у нас есть две разные переменные в числителе, но вот еще кое-что, что мы можем сделать. Мы всегда можем разделить дробь сложением или вычитанием в числителе, поэтому мы можем разделить это на две дроби. Это своего рода противоположность нахождению общего знаменателя.

Разобьем их на дроби с общим знаменателем. Итак, мы получаем у в квадрате на х минус 4, и мы получаем 2 х минус 8 на х минус 4. Итак, обратите внимание, что во второй дроби мы можем вынести 2 из числителя, и мы получим 2 умножить на х минус 4. Что ж, обратите внимание на эту вторую дробь. , x минус 4 и x минус 4 отменяются. Итак, с первой фракцией мы ничего не можем сделать.

Мы никак не можем упростить. Но вторая часть просто становится плюс 2. Поэтому иногда бывает очень полезно выделить дробь сложением или вычитанием в числителе, а затем упростить одну ее часть. Вот практический вопрос. Поставьте видео на паузу и поработайте над этим.

Так что ладно, если мы собираемся сделать это очень простым способом, мы можем перекрестно умножить. Получаем 22 умножить на 15. Я не хочу выяснять, сколько будет 22 умножить на 15. Тогда у нас было бы очень большое квадратное число, которое мы должны были бы решить.

Обратите внимание на следующее. Обратите внимание, что мы начинаем с этого и просто множим числитель этого. Мы получаем множитель х плюс 15. Отмените эти х плюс 15, и мы придем к уравнению 22 равно х минус 3. Таким образом, х, конечно же, равно 25. Обратите внимание, насколько коварно прост этот вопрос, если вы понимаете, что можете упростить путем отмены.

Вот еще один практический вопрос. Поставьте видео на паузу и поработайте с этим, а потом поговорим об этом. Хорошо. Итак, очевидно, что мы не можем учитывать здесь, потому что у нас есть куча разных переменных.