Сходимость ряда и признаки сходимости числовых рядов
Числовой ряд
называется сходящимся, если его частичная сумма
имеет предел при . Величина
называется при этом суммой ряда, а число
остатком ряда.
Если предел
не существует, то ряд называется расходящимся.
Пример 1
Исследовать на сходимость ряд, рассматривая последовательность его частичных сумм. В случае сходимости найти сумму ряда.
Решение
Преобразуем выражение под знаком суммы:
Данный ряд — сумма геометрических прогрессий со знаменателями и
ряд сходится
Необходимый признак сходимости и критерий Коши
Если ряд сходится, то
Обратное утверждение неверно
Критерий Коши
Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для всякого положительного числа можно подобрать такое , чтобы при и любом положительном выполнялось неравенство
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач.
Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если прибавить или отбросить конечное число его членов.
Пример 2
Исследовать на сходимость ряд:
Решение
Воспользуемся необходимым признаком сходимости:
Необходимый признак сходимости не выполняется — ряд расходится.
Признак сравнения
Если , начиная с некоторого , и ряд
сходится, то ряд
также сходится. Если ряд (**) расходится, то расходится и ряд (*).
В качестве рядов для сравнения удобно, в частности, выбирать геометрическую прогрессию:
которая сходится при и расходится при , и гармонический ряд
являющийся рядом расходящимся.
Пример 3
Решение
Этот ряд сходится, так как
Причем геометрическая прогрессия
знаменатель которой , сходится
Предельный признак сравнения
Если существует конечный и отличный от нуля предел
(в частности, если , то ряды
сходятся или расходятся одновременно.
Пример 4
Ряд
Решение
Сравним заданный ряд с расходящимся гармоническим рядом
Таким образом ряды одновременно расходятся, так как найденный предел конечный и отличный от нуля.
Признак Даламбера
Пусть (начиная с некоторого ) и существует предел
Тогда ряд
сходится, если
,
и расходится, если
.
Если
,
то вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Пример 5
Решение
Воспользуемся признаком Даламбера
Ряд сходится
Признак Коши
Пусть (начиная с некоторого ) и существует предел
Тогда ряд
сходится, если , и расходится, если . Если , то вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Пример 6
Решение
Воспользуемся признаком Коши:
Ряд расходится
Интегральный признак Коши
Если , где функция положительна, монотонно убывает и непрерывна при , то ряд
и интеграл
сходится или расходится одновременно.
С помощью интегрального признака доказывается, что ряд Дирихле
сходится, если
,
и расходится, если
.
Сходимость многих рядов можно исследовать при помощи сравнения с
соответствующим рядом Дирихле.
Пример 7
Исследовать на сходимость числовой ряд:
Решение
Используем интегральный признак Коши.
Соответствующий интеграл:
расходится, следовательно, расходится исходный ряд
Признак сравнения рядов для выяснения их сходимости
Признак сравнения рядов, как и признак Даламбера, радикальный признак Коши и интегральный признак Коши, является достаточным признаком сходимости рядов с положительными членами, так как исследование ряда с помощью этих признаков даёт однозначный ответ на вопрос о том, сходится ряд или расходится.
Применение признака сравнения заключается в том, что исследуемый ряд сравнивают с рядом, сходимость которого заранее известна.
Непосредственное сравнение членов рядов
Пусть даны два ряда с положительными общими членами и
.
Тогда из сходимости второго ряда (ряда с бОльшим общим членом) следует сходимость первого ряда, а из расходимости первого ряда (ряда с меньшим общим членом) – расходимость второго ряда.
Предел отношения общих членов рядов
Пусть даны два ряда с положительными общими членами и . Если , то есть предел отношения общих членов ряда равен конечному и отличному от нуля числу, то оба ряда ведут себя одинаково: или оба сходятся, или оба расходятся.
Трудность применения на практике признака сравнения состоит в необходимости иметь «запас» рядов, сходимость (или расходимость) которых известна, а среди них подобрать такой, чтобы выполнялось условие. Для сравнения часто используются:
- геометрический ряд , который сходится, если |q| < 1 и расходится, если |q| ≥ 1;
- обобщённый гармонический ряд ,
который сходится, если p > 1 и расходится, если p ≤ 1;
- ряд .
Пример 1. Исследовать сходимость ряда
Решение. Члены данного ряда не превосходят соответствующих членов сходящегося геометрического ряда с общим членом
Согласно признаку сравнения, данный ряд также сходится.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда
Решение. Так как
то члены данного ряда меньше членов
сходящегося ряда. На основании признака сравнения данный ряд также сходится.
Пример 3. Исследовать сходимость ряда
Решение. Сравним данный ряд с гармоническим рядом. Первые их члены совпадают, а остальные члены данного ряда больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда:поскольку
Согласно признаку сравнения, данный ряд также расходится.
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
К началу страницы
Пройти тест по теме Ряды
Пример 4. Исследовать сходимость ряда
.
Решение. Так как , а ряд сходится как геометрический ряд с , то по признаку сравнения данный ряд также сходится.
Пример 5. Исследовать сходимость ряда
.
Решение. Выясним значение предела отношения общих членов данного ряда и гармонического ряда :
Так как предел отношения общих членов данного ряда и второго ряда, который расходится, отличен от нуля и не равен бесконечности, то оба ряда ведут себя одинаково. То есть данный ряд так же расходится.
Пример 6. Исследовать сходимость ряда
.
Решение. Выясним значение предела отношения общих членов данного ряда и гармонического ряда :
Так как предел отношения общих членов данного ряда и второго ряда, который расходится,
отличен от нуля и не равен бесконечности, то оба ряда ведут себя одинаково.
То есть данный ряд
так же расходится.
Пример 7. Исследовать сходимость ряда
.Решение. Выясним значение предела отношения общих членов данного ряда и обобщённого гармонического ряда , который расходится, так как . Искать предел будем, учитывая, что , если , поэтому , если . Итак, предел:
.
Так как предел отношения общих членов данного ряда и второго ряда, который расходится, отличен от нуля и не равен бесконечности, то оба ряда ведут себя одинаково. То есть данный ряд так же расходится.
| Назад | Листать | Вперёд>>> |
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
К началу страницы
Пройти тест по теме Ряды
Всё по теме «Ряды»
- Числовые ряды
- Признак сравнения рядов
- Признак Даламбера сходимости рядов
- Радикальный признак Коши сходимости рядов
- Интегральный признак Коши сходимости рядов
- Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак Лейбница
- Функциональные ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
Признак ЛейбницаНайдите 2,5 миллиона страниц статей по математике и статистике
Расширенный поискДля исследователей
Читайте новые и архивные журналы, книги и труды на платформе, предназначенной для математиков и статистиков.
Просмотр заголовков
Для библиотекарей
Найдите выдающуюся литературу от десятков некоммерческих и университетских издателей в мощном и удобном интерфейсе.
Подписки и доступ
Для издателей
Поддерживайте свою независимость и укрепляйте распространение с помощью нашей некоммерческой передовой платформы хостинга и агрегации.
Издательские услуги
О нас
Project Euclid предоставляет платформу для независимых и небольших издательств по математике и статистике, чтобы они могли продолжать вносить свой вклад в жизненно важные исследования в этих дисциплинах экономически эффективным способом.
В нем размещено более 100 изданий со всего мира, в том числе одни из самых выдающихся в своих областях. Созданный библиотекой Корнельского университета в 2000 году и в настоящее время управляемый Duke University Press, Project Euclid поддерживает независимые публикации и стремится противостоять консолидации и коммерциализации научных коммуникаций.
Кто мы
Избранный журнал
Расширенные исследования: Евро-Тбилисский математический журнал является продолжением Тбилисского математического журнала , основанного в 2008 году. Под этим новым названием журнал был перезапущен в сентябре 2021 года, чтобы отразить повышение его стандартов и расширение его охвата.
Это полностью рецензируемый математический журнал, принимающий оригинальные, высококачественные исследовательские статьи во всех областях чистой и прикладной математики. Он принадлежит Тбилисскому центру математических наук и поддерживается Национальной академией наук Грузии и Европейским математическим обществом.
Настоятельно приветствуются качественные материалы по всем направлениям чистой и прикладной математики.
Мичиганский математический журнал: специальный выпуск в честь Гопала Прасада
Мичиганский математический журнал рад объявить о выпуске специального тома в честь Гопала Прасада, его бывшего управляющего редактора (1998–2011), по случаю его 75-летия. Читайте спецвыпуск.
Цены на 2023 год теперь доступны для Euclid Prime
Euclid Prime, коллекция из более чем 30 высокоэффективных наименований, объявила цены на 2023 год для библиотек и других учреждений. Коллекция включает срочный доступ к архивному контенту еще из 18 наименований. Для получения дополнительной информации посетите Euclid Prime в Duke University Press.
МАТЕМАТИКА
СТАТИСТИКА И ВЕРОЯТНОСТЬ
Сплайны многомерной адаптивной регрессии
(Анналы статистики)
Инструментальные переменные: взгляд эконометриста
(Статистическая наука)
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
Анализ устойчивых нестационарных временных рядов и приложения
(Связи в области прикладной математики и вычислительной науки)
Эластика Эйлера и не только
(Журнал геометрии и симметрии в физике)
ИНФОРМАТИКА
Рекурсивный метод наименьших квадратов с линейными ограничениями
(Коммуникации в области информации и систем)
ЛОГИКА
Теория мультимножеств.
(Журнал формальной логики Нотр-Дам)
Аксиома элементарных множеств на грани пирсовской выразимости
(Журнал символической логики)
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Анализ устойчивости динамических систем по Якоби — приложения в гравитации и космологии
(Достижения в области теоретической и математической физики)
последовательностей и серий — Если $a_n$ стремится к нулю, можем ли мы найти такие знаки $s_n$, что $\sum s_n a_n$ сходится?
спросил
Изменено 10 лет, 10 месяцев назад
Просмотрено 2к раз
$\begingroup$
Пусть $a_n$ — последовательность комплексных чисел, сходящаяся к нулю. Всегда ли можно найти $s_n \in \{-1,1\}$ такое, что $\sum_{n=1}^{\infty} s_n a_n$ сходится?
Если $a_n$ — действительные числа, мы можем найти такую последовательность $s_n$.
Если частичная сумма первых $N$ членов положительна, мы следим за тем, чтобы следующие члены были отрицательными, пока сумма не станет меньше нуля. Затем мы переключаемся на то, чтобы сделать члены положительными, пока частичная сумма не станет больше нуля, и так далее. Легко видеть, что частичные суммы будут либо монотонно стремиться к нулю, либо колебаться вокруг нуля с уменьшением амплитуды.
Редактировать: На самом деле нет причин, по которым частичные суммы должны стремиться к нулю в монотонном случае. Однако они все равно сойдутся.
- последовательности и серии
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Мне очень нравится эта задача. Честно говоря, сначала я пытался показать, что это неправда, придумав умный контрпример, придуманный для того, чтобы обмануть ответ Генри. Но перерезать эту вену не мог.
Если я могу свести все доказательство к двум утверждениям:
9{-n}$ для каждого $j \in I$, причем каждый $z_i$ входит ровно в одну из конечных подпоследовательностей. Затем, применяя оценку сверху, мы получаем результат.Итак, теперь у нас есть план.
Доказательство [1.]: ($\spadesuit$)
Заметим, что если $z_1, z_2$ — две комплексные единицы, то есть знаки $s_i$ ст.т. $|s_1z_1 + s_2z_2| \leq \sqrt 2 \leq 2$ (где $\sqrt 2$ является оптимальным, но я использую только $2$, потому что могу утверждать это, опираясь на тривиальное доказательство). Аналогично, если $z_1, z_2$ имеют $|z_1|, |z_2| \leq M$, то есть признаки $s_i$ с.т. $|s_1z_1 + s_2z_2| \leq 2M$. 9\circ$ с $z_3$. Таким образом, $|z_3 + z_2| \leq 1$ или $|z_3 — z_2| \leq 1$. Противоречие. $\diamondsuit$
Итак, задана конечная последовательность комплексных чисел $z_1, \dots, z_k$, где $k \geq 3$ и $|z_i| \leq 1$, мы можем индуктивно выбрать знаки для связанных пар $z_\alpha, z_\beta$ по одному элементу $z_\gamma$, удовлетворяющему $|z_\gamma| \leq 1$, пока не останется только 2 элемента.
{-j}$ сходится, неравенство треугольника дает нам, что наша последовательность также сходится. $\клубный костюм$
РЕДАКТИРОВАТЬ
Как указывает Йохан ниже, отсутствует одна деталь. Я был в процессе написания законченного решения, когда заметил, что моя недостающая деталь включена в сообщение Generic Human, и именно так, как я собирался это сделать. Поэтому я откладываю недостающую деталь.
$\endgroup$
6
$\begingroup$
Примечание. Я написал это доказательство до того, как были опубликованы другие ответы. Я собирался отказаться от него, потому что идея на самом деле такая же, как и у ответа по смешанной математике, но его ответ имеет небольшую проблему, потому что он доказывает только теорему для $k=n$, которая может доказать только то, что подпоследовательность $b_n$ сходится, не вся последовательность.
Итак, вот, надеюсь, правильное доказательство. 9k s_i a_i\право| \le 2M$ за все
$k\le n$.
Мы говорим, что $a$ и $b$ на единичном круге совместимы, если либо $a+b$, либо $a-b$ лежат на единичном круге.
Лемма : Если $a,b,c$ лежат на единичном круге, то хотя бы одно из $(a,b)$, $(b,c)$ или $(a,c)$ является совместимым пара.
Доказательство . Когда $|a+b|>1$ с $a$ и $b$ в единичном круге, мы также имеем $\left|\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b| }\right|>1$, поэтому аргументы $a$ и $b$ отличаются менее чем на $2\pi/3$ (mod $2\pi$). Таким образом, $a$ и $b$ несовместимы тогда и только тогда, когда $\arg a — \arg b\in (-2\pi/3,-\pi/3)\cup(\pi/3,2\pi/3)$ (mod $2\pi$), что показывает, что $a,b,c$ не могут все быть попарно несовместимыми. 9k s_i t_i a_i\right|\le 2$ и для каждого $\epsilon\in\{-1,1\}$ $u_\epsilon = \sum\limits_{\substack{i\le n\\t_i= \epsilon}} s_i a_i$ лежит на единичном диске.
Доказательство .
Это, конечно, верно для $n\le 2$. Продолжаем по индукции: предположим, мы построили $s_1,\dots s_n$ так, что лемма применима. Тогда, если $u_1$ и $u_{-1}$ несовместимы, $a_{n+1}$ совместимо с некоторым $u_\epsilon$, так что мы можем найти $s_{n+1}$ такое, что $u_ \epsilon+s_{n+1}a_{n+1}$ лежит на единичном круге, и перевод $t_{n+1}=\epsilon$ завершает доказательство. Если $u_1$ и $u_{-1}$ совместимы, так что $u_1+\epsilon~u_{-1}$ лежит на единичном круге, мы можем выбрать любые $s’_{n+1}$ и $t ‘_{n+1}$, а для $i\le n$ определим $t’_i=-t’_{n+1}$ и $s’_i=s_i$, если $\epsilon=1$ и $ s’_i=s_i t_i$, если $\epsilon=-1$. 92-2|a\cdot b|\le 2$ для $a,b$ в единичном круге ($\cdot$ — скалярное произведение). Так как лемма доказывает, что сумма может быть записана как $u_1+u_{-1}$ или $u_1-u_{-1}$ с $u_\epsilon$ в единичном круге, это доказывает оценку. Оценка точна для $n\ge 2$: возьмем $(a_1,\dots a_n)=(1,i,0,0,\dots)$.
Однако $\sqrt 2 M$ нельзя использовать для ограничения частичных сумм ($k
Работает ли теорема в высших измерениях?
Да! Назовите размерность $p$. Когда $a$ и $b$ несовместимы с $a,b$ в единичной $(p-1)$-сфере, расстояние между $a$ и $b$ ограничено снизу (1). Это означает, что существует верхняя граница $N$ размера попарно несовместимых множеств на единичной $(p-1)$-сфере, а значит, и на единичном шаре, поскольку $a\mapsto a/\|a\|$ сохраняет несовместимые пары (следствие того, что $\|ta-b\|$ — выпуклая функция от $t$ со значением не более 1 при $t=0$). Тогда доказательство второй леммы остается в силе, используя разбиение $1,\dots n$ на $N$ подмножеств и требуя, чтобы для всех присвоений знака каждому подмножеству сумма была ограничена $N$.
$\endgroup$
4
$\begingroup$
Ответ на ваш вопрос ДА, мы всегда можем найти последовательность знаков, которая делает ряд сходящимся.