Число комбинаций из n по m: Сочетания — урок. Алгебра, 11 класс.

Содержание

Js уникальные сочетания из n по k — ПК портал

Содержание

Основная формула комбинаторики
Число размещений из n элементов по m
Число сочетаний из n элементов по m
Перестановки из n элементов
Определение числа сочетаний
Найти сочетания из n по k
Видеоролик о сочетаниях
Полезные ссылки
Решебник по ТВ

Я создаю приложение для тестирования различных значков. Админы загружают несколько значков и вводят, сколько значков должно отображаться одновременно. Затем приложение отображает все возможные наборы значков в последовательности, пока не будет показана вся комбинация значков.

Теперь мне нужна функция для создания всех уникальных комбинаций значков на основе двух чисел:

количество общих значков (i)
количество значков в каждом наборе (-ах)

Если я = 6 и s = 3, я хочу, чтобы результат выглядел следующим образом:

Все наборы должны быть уникальными
Число может появляться только один раз в наборе

Я пытался закодировать рекурсивную функцию, но у меня нет ничего, что можно было бы показать. Я не могу обойти его 🙁

Комбинаторика — это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиальновозможное количество различных вариантов развития событий.

Основная формула комбинаторики

Пусть имеется k групп элементов, причем i-я группа состоит из n_i элементов. Выберем по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, определяется соотношением N=n₁*n₂*n₃*. *n_k.

Пример 1. Поясним это правило на простом примере. Пусть имеется две группы элементов, причем первая группа состоит из n₁ элементов, а вторая — из n₂ элементов. Сколько различных пар элементов можно составить из этих двух групп, таким образом, чтобы в паре было по одному элементу от каждой группы? Допустим, мы взяли первый элемент из первой группы и, не меняя его, перебрали все возможные пары, меняя только элементы из второй группы. Таких пар для этого элемента можно составить n₂. Затем мы берем второй элемент из первой группы и также составляем для него все возможные пары. Таких пар тоже будет n₂. Так как в первой группе всего n₁ элемент, всего возможных вариантов будет n₁*n₂.

Пример 2. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?
Решение: n₁=6 (т.к. в качестве первой цифры можно взять любую цифру из 1, 2, 3, 4, 5, 6), n₂=7 (т.к. в качестве второй цифры можно взять любую цифру из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), n₃=4 (т.к. в качестве третьей цифры можно взять любую цифру из 0, 2, 4, 6).
Итак, N=n₁*n₂*n₃=6*7*4=168.

В том случае, когда все группы состоят из одинакового числа элементов, т.е. n₁=n₂=. n_k=n можно считать, что каждый выбор производится из одной и той же группы, причем элемент после выбора снова возвращается в группу. Тогда число всех способов выбора равно n k . Такой способ выбора в комбинаторики носит название выборки с возвращением.

Пример 3. Сколько всех четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 5, 6, 7, 8?
Решение. Для каждого разряда четырехзначного числа имеется пять возможностей, значит N=5*5*5*5=5 4 =625.

Рассмотрим множество, состоящие из n элементов. Это множество в комбинаторике называется генеральной совокупностью.

Число размещений из n элементов по m

Определение 1. Размещением из n элементов по m в комбинаторике называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 4. Различными размещениями из трех элементов <1, 2, 3>по два будут наборы (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3),(3, 2). Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и их порядком.

Число размещений в комбинаторике обозначается A_n m и вычисляется по формуле:

Замечание: n!=1*2*3*. *n (читается: «эн факториал»), кроме того полагают, что 0!=1.

Пример 5. Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?
Решение: т.к. нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр, т.е. указанных чисел будет:

Определение 2. Сочетанием из n элементов по m в комбинаторике называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 6. Для множества <1, 2, 3>сочетаниями являются <1, 2>, <1, 3>, <2, 3>.

Число сочетаний из n элементов по m

Число сочетаний обозначается C_n m и вычисляется по формуле:

Пример 7. Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из шести имеющихся?

Решение: Число способов равно числу сочетаний из шести книжек по две, т.е. равно:

Перестановки из n элементов

Определение 3. Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.

Пример 7a. Всевозможными перестановками множества, состоящего из трех элементов <1, 2, 3>являются: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Число различных перестановок из n элементов обозначается P_n и вычисляется по формуле P_n=n!.

Пример 8. Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Решение:эта задача о числе перестановок семи разных книг. Имеется P₇=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способов осуществить расстановку книг.

Обсуждение. Мы видим, что число возможных комбинаций можно посчитать по разным правилам (перестановки, сочетания, размещения) причем результат получится различный, т. к. принцип подсчета и сами формулы отличаются. Внимательно посмотрев на определения, можно заметить, что результат зависит от нескольких факторов одновременно.

Во-первых, от того, из какого количества элементов мы можем комбинировать их наборы (насколько велика генеральная совокупность элементов).

Во-вторых, результат зависит от того, какой величины наборы элементов нам нужны.

И последнее, важно знать, является ли для нас существенным порядок элементов в наборе. Поясним последний фактор на следующем примере.

Пример 9. На родительском собрании присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава родительского комитета, если в него должны войти 5 человек?
Решение: В этом примере нас не интересует порядок фамилий в списке комитета. Если в результате в его составе окажутся одни и те же люди, то по смыслу для нас это один и тот же вариант. Поэтому мы можем воспользоваться формулой для подсчета числа сочетаний из 20 элементов по 5.

Иначе будут обстоять дела, если каждый член комитета изначально отвечает за определенное направление работы. Тогда при одном и том же списочном составе комитета, внутри него возможно 5! вариантов перестановок, которые имеют значение. Количество разных (и по составу, и по сфере ответственности) вариантов определяется в этом случае числом размещений из 20 элементов по 5.

Задачи для самопроверки
1. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?

2. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

3. В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно составить расписание на один день?

4. Сколькими способами можно выбрать 4 делегата на конференцию, если в группе 20 человек?

5. Сколькими способами можно разложить восемь различных писем по восьми различным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?

6. Из трех математиков и десяти экономистов надо составить комиссию, состоящую из двух математиков и шести экономистов. Сколькими способами это можно сделать?

Определение числа сочетаний

Пусть имеется $n$ различных объектов. Чтобы найти число сочетаний из $n$ объектов по $k$, будем выбирать комбинации из $m$ объектов все возможными способами, при этом будем обращать внимание на разный состав комбинаций, но не порядок (он тут не важен, в отличие от размещений).

Например, есть три объекта <1,2,3>, составляем сочетания по 2 объекта в каждом. Тогда выборки <1,2>и <2,1>- это одно и то же сочетание (так как комбинации отличаются лишь порядком). А всего различных сочетаний из 3 объектов по 2 будет три: <1,2>, <1,3>, <2,3>.

На картинке наглядно проиллюстрировано получение всех возможных сочетаний из 4 различных объектов по 2 (их будет 6, см. калькулятор сочетаний ниже, который даст формулу расчета).

Общая формула, которая позволяет найти число сочетаний из $n$ объектов по $k$ имеет вид:

Найти сочетания из n по k

Чтобы вычислить число сочетаний $C_n^k$ онлайн, используйте калькулятор ниже.

Видеоролик о сочетаниях

Не все понятно? Посмотрите наш видеообзор для формулы сочетаний: как использовать Excel для нахождения числа сочетаний, как решать типовые задачи и использовать онлайн-калькулятор.

Расчетный файл из видео можно бесплатно скачать

Полезные ссылки

Решебник по ТВ

Решебник с задачами по комбинаторике и теории вероятностей:

Раздел математики, изучающий количество комбинаций — комбинаторика

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Комбинаторика

2. Комбинаторика

Комбинаторика – раздел математики, изучающий
количества комбинаций, подчиненных определенным
условиям, которые можно составить из элементов,
безразлично
какой
природы,
заданного
конечного
множества.
Комбинации элементов множества могут быть
выполнены путем:
1) перестановок;
2) размещений;
3) сочетаний.
Комбинации могут быть без повторений (в основном) и
с повторениями (оговаривается отдельно).

4. Комбинаторика

Пусть
имеется
n
различных
объектов.
Будем переставлять их всеми возможными способами (число
объектов остается неизменными, меняется только их порядок).
Получившиеся комбинации называются перестановками, а
их число равно:
Pn=n!=1⋅2⋅3⋅…⋅(n−1)⋅n
Символ n! называется факториалом и обозначает
произведение всех целых чисел от 1 до n. По определению,
считают, что 0!=1,1!=1.
Перестановками называют комбинации, состоящие из
одних и тех же n различных элементов и отличающиеся
только порядком их расположения.

5. Комбинаторика

Задача 1. К кассе кинотеатра подходит 4 человека.
Сколько существует различных вариантов установки их в
очередь друг за другом?
Задача 2. Найти количество перестановок букв слова
оливин.

6. Комбинаторика

Пусть
имеется
n
различных
объектов.
Будем выбирать из них m объектов и переставлять всеми
возможными способами между собой (то есть меняется и
состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся
комбинации называются размещениями из n объектов
по m, а их число равно:
Amn=n⋅(n−1)⋅…⋅(n−m+1)=n!/(n−m)!
Размещениями
называют
комбинации,
составленные из n различных элементов по m
элементов, которые отличаются либо составом
элементов, либо их порядком.

7. Комбинаторика

Задача 3. Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Уроки
в течение дня не повторяются. Определить число вариантов
расписания при выборе из 11 дисциплин.
Задача 4. Шифр сейфа состоит только из 6 цифр, которые
должны набираться последовательно и могут повторяться.

Чему
в этом случае равно общее число всех возможных комбинаций
шифра?

8. Комбинаторика

Пусть
имеется
n
различных
объектов.
Будем выбирать из них m объектов всеми возможными способами (то
есть меняется состав выбранных объектов, но порядок не важен).
Получившиеся комбинации называются сочетаниями из n объектов по m,
а их число равно:
Cmn=n!/(n−m)!⋅m!
Сочетаниями называют комбинации, составленные из n
различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы
одним элементом.
Сочетаний всегда меньше чем размещений (так как при
размещениях порядок важен, а для сочетаний — нет), причем именно
в m! раз, то есть верна формула связи:
Amn = Cmn ⋅ Pm

9. Комбинаторика

Задача 5. Сколькими способам можно вывезти со склада 10
ящиков на двух автомашинах, если на каждую автомашину
грузят по 5 ящиков?
Задача 6. В почтовом отделении продаются открытки 10
видов. Сколькими способами можно купить 12 открыток для
поздравлений?

10.

КомбинаторикаФормулы комбинаторики:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Перемещения Pn=n!
Перемещения с повторениями Pn(m1,m2,…mk)=n!/(m1!m2!…mk!)
Размещения Amn=n!/(n-m)!
Размещения с повторениями Amn=nm
Сочетания Cmn=n!/m!⋅(n-m)!
Сочетания с повторениями Cmn+m-1=(n+m-1)!/m!⋅(n−1)!

11. Комбинаторика

При решении задач комбинаторики используют следующие
правила:
1)
Правило суммы. Если некоторый объект А может
быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой
объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А,
либо В можно m + n способами.
2) Правило произведения. Если объект А можно выбрать из
совокупности объектов m способами и после каждого такого
выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов
(А, В) в указанном порядке может быть выбрана m*n способами.

English Русский Правила

комбинаторика — Количество способов выбора $m$ объектов с заменой из $n$ объектов

Это часто называют проблемой звезд и баров.

Да: если у вас есть $n$ различных элементов и вы хотите подсчитать количество возможных вариантов выбора из $m$ элементов с допустимыми повторениями, общее количество равно $\binom{n+m-1}{m}$.

(Да, для комбинаций без замены формула $\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$.)

Я думаю об этом как о числе различных бросков, которые можно сделать с помощью $m$ игральных костей, каждая из которых имеет $n$ сторон, потому что именно в такой обстановке я впервые научился этому.

Вот два доказательства формулы для комбинаций с повторениями. По сути, это один и тот же аргумент, разница только в том, как он представлен. См. также страницу Википедии о «звездах и барах».

Пронумеруем наши объекты $1,2,\ldots,n$. Любой выбор $m$ элементов из этих $n$ возможностей с повторением может быть описан как $m$-кортеж, в котором элементы не уменьшаются: $(a_1,a_2,\ldots,a_m)$, где $1\leq a_1\leq a_2\leq\cdots\leq a_m\leq n$. Это выражение уникально.

Теперь рассмотрим кортеж $(b_1,\ldots,b_m)$, полученный из $(a_1,\ldots,a_m)$, если $$(b_1,\ldots,b_m) = (a_1,a_2+1,a_3+2,\ldots,a_m+(m-1)). $$ Обратите внимание, что $1\leq b_1\lt b_2\lt\cdots\lt b_n\leq n+m-1$; более того, разные $a$-наборы соответствуют разным $b$-наборам; и , что более важно, каждый $m$-набор $(c_1,\ldots,c_m)$ с $1\leq c_1\lt c_2\lt\cdots\lt c_m\leq n+m-1$ соответствует $ a$-набор, а именно $(c_1,c_2-1,\ldots,c_m-m+1)$ (который будет удовлетворять $1\leq c_1\leq c_2-1\leq\cdots\leq c_m-m+1\ leq n$).
Таким образом, подсчет $a$-наборов (т.е. комбинаций с повторениями из $\{1,\ldots,n\}$) эквивалентен подсчету $b$-наборов; Преимущество в том, что для подсчета $b$-кортежей нам просто нужно подсчитать количество возможных $m$-кортежей, выбранных из $\{1,2,\ldots,n+m-1\}$ без замены . Это основная формула $\binom{n+m-1}{m}$. Таким образом, количество возможных комбинаций с повторениями $m$ элементов, выбранных из $n$ возможностей, равно $$\binom{n+m-1}{m}.$$
Рассмотрим множество $\{1,\ldots,n\}$. Добавьте $m-1$ новых символов, $r_1,\ldots,r_{m-1}$. Думайте о $r_i$ как о «повторении $i$-го символа».
Теперь без повторения выберите $m$-кортеж из $\{1,\ldots,n,r_1,\ldots,r_{m-1}\}$. Запишите его в том порядке, в котором каждое число $r$ больше любого числа, числа упорядочены обычным образом, а числа $r$ упорядочены по их индексам. Например, вы можете получить $2,3,r_1,r_3,r_4$. Это будет соответствовать $m$-кортежу с повторениями, полученному заменой $r_i$ на то, что находится в $i$-й позиции, поэтому здесь мы получаем $$2, 3, 2, 2, 2$$ Вы также захотите убедиться здесь, что каждый $m$-кортеж-с-повторениями из $\{1,2,\ldots,n\}$ соответствует одиночному $m$-кортежу-без-повторений из $\{1,2,\ldots,n,r_1,\ldots,r_{m-1}\}$ и наоборот, так что количество комбинаций-с-повторениями из $\{1,2,\ ldots,n\}$ равно количеству комбинаций-без-повторений из $\{1,2,\ldots,n,r_1,\ldots,r_{m-1}\}$. В последнем наборе $n+m-1$ объектов, поэтому мы снова получаем $$\binom{n+m-1}{m}.$$

Метод Python math.comb()

❮ Математические методы

Пример

Найдите общее количество возможностей выбрать k вещей из n штук:

# Import math Library
import math

# Инициализировать количество элементы на выбор
n = 7

# Инициализировать количество возможностей выбрать
k = 5

# Вывести общее количество возможных комбинаций
печать (math. comb(n, k))

Результат будет:

21

Пример выполнения »

Определение и использование

Метод math.comb() возвращает количество способов выбора k неупорядоченных исходов из n возможностей, без повторения, также называемых комбинациями.

Примечание: Параметры, передаваемые в этом методе, должны быть целыми положительными числами.

Синтаксис

math.comb( n , k )

Значения параметров

Параметр	Описание
нет	Обязательно. Положительные целые числа предметов на выбор
к	Обязательно. Положительные целые числа элементов для выбора

Примечание: Если значение k больше, чем значение n , в результате будет возвращено 0.

Примечание: Если параметры отрицательные, возникает ошибка ValueError. Если параметры не являются целыми числами, возникает TypeError.

Технические детали

Возвращаемое значение:	Значение `int` , представляющее общее количество комбинаций
Версия Python:	3,8