Что такое перестановки: Перестановки — урок. Алгебра, 11 класс.

Что такое перестановка?

Перестановка – упорядоченный набор (=множество) n элементов множества E, то есть расположение их в определённом порядке.

Если множество Е состоит из n-элементов, то число перестановок (то есть вариантов расположения n элементов) равно n!, где n — длина перестановки.

Перестановки бывают четными и нечетными.

16. Что такое транспозиция перестановки?

Транспозиция — перемена местами двух элементов перестановки.

Теор.1 Все -перестановок длины  можно расположить одну за другой таким образом, что каждая последующая получается из предыдущей одной транспозицией. Причем можно начинать такое упорядочивание с любой перестановки.

Следствие. Число четных перестановок из  символов равно числу нечетных, т. е.  (при любом  ).

Теор.2 Любая транспозиция меняет чётность перестановки на противоположную.

17. В каком случае два числа образуют инверсию в перестановке?

Инверсию (нарушение порядка) образует пара элементов в перестановке когда меньшее из них расположено правее большего.

Каждой перестановке можно сопоставить число инверсий в ней, которое подсчитывается так: для каждого из элементов определяют количество стоящих правее его меньших чисел, и полученные результаты складываются.

Перестановка называется четной, если число инверсий в ней четно, и нечетной – если инверсий в ней нечётное количество.

ПРИМЕР: Найти число инверсий в перестановке: (5,3,1,4,2,6).

Рассмотрим элементы слева направо по очереди, считая инверсии для каждого.

1)   инверсии с 1-м элементом (5,3) (5,1) (5,4) и (5,2)   =>  4 инверсии

2)   инверсии с 2-м элементом (3, 1) и (3,2)   =>  2 инверсии

 3)   инверсии с 3-м элементом 1   =>  0 инверсий, т. к. 4,2 и 6 больше 1

 4) инверсии с 4-м элементом (4,2)   =>  1 инверсия

 5)   инверсии с 5-м элементом 2   =>  0 инверсий, т.к. 6 больше 2.

Итого в перестановке  4 + 2 + 0 + 1 + 0 = 7 инверсий. Перестановка нечетная.

18. Какая перестановка называется четной?

Четная перестановка — содержащая четное количество инверсий.

*Число инверсий в перестановке подсчитывается так: для каждого из элементов определяют количество инверсий (стоящих правее его меньших чисел), и полученные результаты складывают.

19. Какая перестановка называется нечетной?

Нечетная перестановка — содержащая нечетное количество

инверсий.

*Число инверсий в перестановке подсчитывается так: для каждого из элементов определяют количество инверсий (стоящих правее его меньших чисел), и полученные результаты складывают

20. Как влияет транспозиция на четность перестановки?

Любая транспозиция (то есть перемена местами двух любых элементов) меняет чётность перестановки на противоположную.

21. Какая подстановка называется четной?

Подстановка называется чётной если при всех записях подстановки  чётности верхней и нижней строк (перестановок) – совпадают.

Например, тождественная подстановка() будет чётной:

22. Какая подстановка называется нечетной?

Подстановка называется нечётной если при всех записях подстановки  чётности верхней и нижней строк (т.е. перестановок) – противоположны.

23. Сформулируйте определение определителя матрицы

Определителем (детерминантом) квадратной матрицы n–го порядка называют число, равное алгебраической сумме всех возможных произведений элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца; при этом знак, с которым произведение входит в сумму определяется по правилу:

Сомножители в каждом произведении записываются в порядке следования строк, тогда номера столбцов образуют перестановки. Если перестановка четная, то произведение берется со знаком «+», а если нечётная – то со знаком «-».

Произведение элементов матрицы (слагаемые, из которых состоит сумма) называется членом определителя.

! Элементы матрицы при этом могут быть также и комплексными числами!

НАПРИМЕР, при n=6 произведение а₂₁а₁₃а₆₂а₃₄а₄₆а₅₅ является членом определителя, так как в него входит точно по одному элементу из каждой строки и из каждого столбца.

Подстановка, составленная из его индексов будет:

 

В ней 4 инверсии в верхней строке и 2 в нижней. Общее число инверсий 6, то есть подстановка чётная. Значит, этот член определителя входит в сумму со знаком «+».

Свойства определителей:

1. При транспонировании матрицы её определитель не меняется.

2. Если поменять местами две строки или два столбца определителя, то определитель изменит знак, а по абсолютной величине не изменится.

3. Пусть C = AB где A и B квадратные матрицы. Тогда det C = detA ∙ detB .

4. Если все элементы одной строки (столбца) равны нулю, то и определитель равен нулю.

5. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен 0.

6. Определитель с двумя пропорциональными строками или столбцами равен 0.

7. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

8. Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов.

9. Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число.

10. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы) кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором — вторые слагаемые.

11. Теорема Якоби: Если к элементам некоторого столбца определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произвольный множитель λ, то величина определителя не изменится.

Перестановка – Финансовая энциклопедия

Что такое перестановка?

Перестановка – это математический расчет количества способов, которыми может быть организован конкретный набор, причем порядок расположения имеет значение.

Формула и расчет перестановки

Формула перестановки:

П (п, г) = п! / (номер)!

где

n = общее количество предметов в наборе; r = элементы, взятые для перестановки; “!” обозначает факториал

Обобщенное выражение формулы звучит так: «Сколько способов вы можете расположить ‘r’ из набора ‘n’, если порядок имеет значение?» Перестановку также можно вычислить вручную, где выписаны все возможные перестановки. В комбинации, которую иногда путают с перестановкой, порядок элементов может быть любым.

Ключевые выводы

• Премутация – это количество способов, которыми можно расположить набор.
• Грубо говоря, это означает, «сколькими способами можно что-то устроить».
• Порядок номеров в перестановке, с комбинацией, однако порядок не имеет значения.

Что вам может сказать перестановка

Простой подход к визуализации перестановки – это количество способов, которыми может быть организована последовательность трехзначной клавиатуры. Используя цифры от 0 до 9 и используя конкретную цифру только один раз на клавиатуре, количество перестановок составляет P (10,3) = 10! / (10-3)! = 10! / 7! = 10 x 9 x 8 = 720. В этом примере порядок имеет значение, поэтому перестановка дает количество входов цифр, а не комбинацию.

Вот два примера из финансов и бизнеса. Во-первых, предположим, что управляющий портфелем отобрал 100 компаний для нового фонда, который будет состоять из 25 акций. Эти 25 владений не будут равновзвешенными, а это значит, что будет произведен заказ. Количество способов заказать фонд будет: P (100,25) = 100! / (100-25)! = 100! / 75! = 3.76E + 48. Это оставляет много работы для управляющего портфелем, чтобы создать свой фонд!

Более простой пример: скажем, компания хочет построить свою складскую сеть по всей стране. Компания выберет три места из пяти возможных. Порядок имеет значение, потому что они будут построены последовательно. Количество перестановок: P (5,3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 60.

Перестановки против комбинаций

И перестановка, и комбинации включают группу чисел. Однако при перестановках порядок чисел имеет значение. С комбинациями порядок не имеет значения. Например, при перестановке порядок имеет значение, как в случае с комбинацией шкафчиков.

Таким образом, комбинации шкафчиков не являются комбинациями. Это перестановки. Комбинация шкафчика должна быть введена точно так, как написано в сценарии, например, 6-5-3, иначе она не сработает. Если бы это была верная комбинация, то числа можно было бы вводить в любом порядке и работать.

Также существуют различные типы перестановок. Вы можете найти количество способов записи группы чисел. Но можно найти и перестановки с повторением. То есть общее количество перестановок, когда числа можно использовать более одного раза или не использовать вообще.

 

Permutations — Concept — Precalculus Video by Brightstorm

В статистике, чтобы найти количество возможных расположений набора объектов, мы используем концепцию, называемую перестановками. Существуют методы вычисления

перестановок , и важно понимать разницу между набором с повторением и без него. Другими важными понятиями, которые могут применяться к таким ситуациям, как перестановки, являются фундаментальный принцип подсчета и основная вероятность.

другое расположение перестановка факториал permute

Таким образом, перестановки — это способ сказать, что разные способы упорядочить что-то в порядке, поэтому у вас в основном есть одни и те же элементы, но, переставляя их, вы получаете другую перестановку. Первое, что я хочу сделать, это просто дать вам пример, чтобы визуализировать это. Мы рассматриваем несколько способов расположения букв a, b и c. Итак, я собираюсь начать с того, что просто запишу их, чтобы у нас могли быть a, b, c, мы могли бы просто сохранить сначала наше a, а затем поменять местами наше b и наше c на a, c, b. Нет другого способа, которым мы могли бы сделать сначала a, поэтому мы не можем сначала перейти к b, мы могли бы сказать b, a, c, давайте поменяем местами эти первые 2 буквы и получим b, c, a и, наконец, можем сначала получить c, а затем мы могли бы а, б или в, а затем б, а.

Мы не говорим о словах за слово, мы просто берем общее количество аранжировок, так что у нас осталось 6. Другой способ, которым мы могли бы посмотреть на это, — просто составить небольшое слово, так что давайте скажем, у нас есть 3 буквы, и мы думаем о количестве букв, которые могут быть в каждом месте, хорошо. В нашем распоряжении 3 буквы, поэтому первое место можно заполнить 3 буквами, мы уже использовали одно, поэтому второе место можно оставить на 2, а на последнем месте осталась только одна буква. Используя наш фундаментальный принцип подсчета, мы можем перемножить их вместе и получить в итоге 6, хорошо, очевидно, что этот способ немного проще, но я просто хотел пройти через работу, чтобы вы могли увидеть, как эта 6 на самом деле получается.
Это называется факториал. Хорошо, и в основном мы имеем дело с количеством перестановок, числом различных способов записи одного и того же набора объектов, равным n факториалу. Где факториал берет число, с которым вы имеете дело, и умножает его на каждое меньшее число. Таким образом, число, которое у нас было здесь, было просто 3 факториала, 3 факториала — это всего лишь 3 умножить на 2 умножить на 1, что равно 6. Вот что происходит, если мы задействуем каждый отдельный элемент, с которым работаем.
Так бывает не всегда, поэтому там у нас было 3 буквы, и мы собираем их в 3-буквенное «слово». Что также может случиться, так это то, что мы исключаем некоторые из них, и для этого мы смотрим на то, сколько существует различных способов сделать плейлист из 4 песен из 10 песен? Хорошо, я собираюсь перейти к линейному методу, а не записывать их все, просто чтобы сэкономить немного работы, и в итоге мы получим только 4 доступных нам слота. Обычно вы не включаете одну и ту же песню дважды в плейлист, поэтому мы собираемся разобраться с этим дублированием, поэтому первым слотом может быть 1 из 10 песен. Итак, у нас было 10 вариантов, на втором месте мы уже выбрали одну песню, так что у нас осталось 9., так что мы просто добавим туда 9. Третью мы выбрали 2 песни, уже оставив нам 8, и, наконец, у нас есть 7. Таким образом, количество разных плейлистов из 4 песен из 10 песен будет просто 10 раз 9, раз 8, раз 7.
Мы можем подключить это в ваш калькулятор, но я не совсем обеспокоен тем, что числовое значение в порядке. Есть еще один способ сделать это, используя факториалы, используя эти маленькие восклицательные знаки, о которых мы говорили секунду назад. И что это такое, это называется формулой перестановки, и как это в основном работает, если у вас есть 10 объектов или, скорее, n объектов, и вы переставляете их, выбирая r из них, что вы в конечном итоге с n факториалом над n минус r факториал . Переходя к этой задаче, мы решим ту же самую задачу, на которую мы смотрим, давайте возьмем другой цвет 10, переставим 4, хорошо, мы выбираем из этих 10 песен, мы берем 4 из них, которые будут получится 10 факториал разделить на 10 минус 4 факториала или 6 факториал.
Если бы мы записали это, то в итоге мы получили бы следующее: 10 умножить на 9, умножить на 8 и так далее и так далее, а основание — это 6 умножить на 5, умножить на 4, и так далее, и так далее. Что в конечном итоге произойдет, так это то, что 6, 5, 4, 3, 2 и 1 будут отменяться сверху и снизу, просто оставляя нам 10 раз 9, раз 8, раз 7, хорошо. Так что на самом деле нам даже не нужно было выписывать все эти маленькие слоты, мы могли просто сказать хорошо 10 перестановка 4 мы закончили. Это общее введение в перестановки. Перестановка — это количество способов, которыми вы можете взять набор вещей и переставить их по-другому.

Перестановка

Под перестановкой понимается выбор объектов из набора объектов, порядок которых имеет значение. Номер телефона является примером перестановки десяти чисел; он составлен из набора целых чисел от 0 до 9 и порядка, в котором они расположены в делах. Другой пример перестановки, с которой мы сталкиваемся в нашей повседневной жизни, — это код доступа или пароль. Чтобы разблокировать телефон с помощью пароля, необходимо ввести точную комбинацию букв, цифр, символов и т. д. в точном порядке. В случаях, когда порядок не имеет значения, вместо этого мы называем это комбинацией.

Перестановки могут быть обозначены несколькими способами: _n P _r , ⁿ P _r , P(n, r) и т.д.

Формулы перестановок

Как и комбинации, существуют два типа перестановок: перестановки с повторением и перестановки без повторения.

Перестановки с повторением

Когда перестановка может повторяться, нам просто нужно возвести n в степень любого количества объектов из n, которое мы выбираем, поэтому

n ^r

где n — количество различных объектов в наборе, а r — количество объектов, выбранных из набора n. Например, учитывая набор чисел 1, 2 и 3, сколькими способами мы можем выбрать два числа? P(n, r) = P(3, 2) = 3 ² = 9. Мы можем подтвердить это, перечислив все возможности:

11		12		13
21		22		23
31		32		33

Перестановки без повторения

Для перестановок без повторения нам нужно каждый раз уменьшать количество объектов, которые мы можем выбирать из набора. Например, учитывая, что у нас есть 5 шариков разного цвета (синий, зеленый, красный, желтый и фиолетовый), если мы выберем 2 шарика за раз, после того, как мы выберем синий шарик, следующий шарик не может быть синим. Если бы мы выбирали все 5 шариков, мы бы выбрали из 5 в первый раз, 4, в следующий раз, 3 после этого и так далее, или:

н!

где n — количество предметов в наборе, в данном случае 5 шариков.

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

При необходимости обратитесь к странице факториалов, чтобы освежить в памяти факториалы. Вышеупомянутое означает, что есть 120 способов, которыми мы могли бы выбрать 5 шариков, где порядок имеет значение и где повторение не допускается. Если бы мы хотели выбрать только 2 шарика, нам нужно удалить оставшиеся возможности, разделив общее количество возможностей на количество возможностей, которые нам не нужно учитывать, что дает нам формулу для перестановок без повторений:

P(n, r) =

Итак, для приведенного выше примера с шариками, если бы мы хотели выбрать только 2 шарика, чтобы узнать, сколькими способами мы можем это сделать, мы подставляем 5 вместо n и 2 вместо r.