Что значит иррациональное число: Какие числа называются Иррациональные?

Содержание

Какие числа называются Иррациональные?

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

Понятие иррациональности можно встретить в философских учениях, логических концепциях и даже в психологической типологии Карла Юнга. Но нас все-таки интересует математика: что значит иррациональное число и зачем оно нужно.

Определение иррациональных чисел

Иррациональное число — это действительное число, которое невозможно выразить в форме деления двух целых чисел, то есть в рациональной дроби:

Оно может быть выражено в форме бесконечной непериодической десятичной дроби.

Бесконечная периодическая десятичная дробь — это такая дробь, десятичные знаки которой повторяются в виде группы цифр или одного и того же числа.

Примеры иррациональных чисел:

π = 3,1415926. ..
√2 = 1,41421356…
e = 2,71828182…
√8 = 2.828427…
-√11= -3.31662…

Множество иррациональных чисел договорились обозначать латинской буквой I.

Действительные

или вещественные числа — это все рациональные и иррациональные числа: положительные, отрицательные и нуль.

Если натуральное число n не является точным квадратом, т. е. n ≠ k², где k ∈ Q, то √n — иррациональное число.

Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут

Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас

Свойства иррациональных чисел

Какие числа являются иррациональными мы уже поняли, но это еще не все. Есть еще важная тема для изучения: их основные свойства.

Свойства иррациональных чисел:

результат суммы иррационального числа и рационального равен иррациональному числу;

результат умножения иррационального числа на любое рациональное число (≠ 0) равен иррациональному числу;
результат вычитания двух иррациональных чисел равен иррациональному числу или рациональному;
результат суммы или произведения двух иррациональных чисел равен рациональному или иррациональному, например: √2 * √8 = √16 = 4).

Онлайн-подготовка к ОГЭ по математике — отличный способ снять стресс и закрепить знания перед экзаменом.

Определение рациональных чисел

А теперь наоборот: рассмотрим противоположное заданной теме определение.

Рациональное число — это такое число, которое можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или нуля.

Если число можно получить делением двух целых чисел — это число точно рациональное.

Рациональные числа — это те, которые можно представить в виде:

где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число.

Рациональные числа – это все натуральные, целые числа, обыкновенные дроби, бесконечные периодические дроби и конечные десятичные дроби.

Множество рациональных чисел принято обозначать латинской буквой Q.

Примеры рациональных чисел:

десятичная дробь 1,15 — это 115/100;
десятичная дробь 0,2 — это 1/5;
целое число 0 — это 0/1;
целое число 6 — это 6/1;
целое число 1 — это 1/1;
бесконечная периодическая дробь 0,33333… — это 1/3;

смешанное число это 25/10;
отрицательная десятичная дробь -3,16 — это -316/100.

У рациональных чисел есть определенные законы и ряд свойств — рассмотрим каждый их них. Пусть а, b и c — любые рациональные числа.

Основные свойства действий с рациональными числами

Переместительное свойство сложения: a + b = b + a.
Сочетательное свойство сложения: (a + b) +c = a + (b + c).
Сложение рационального числа и нейтрального элемента (нуля) не изменяет это число: a + 0 = a.
У каждого рационального числа есть противоположное число, а их сумма всегда равна нулю: a + (-a) = 0.
Переместительное свойство умножения: ab = ba.

Сочетательное свойство умножения: (a * b) * c = a * (b * c).
Произведение рационального числа и едины не изменяет это число: a * 1 = a.
У каждого отличного от нуля рационального числа есть обратное число. Их произведение равно единице: a * a−1 = 1.
Распределительное свойство умножения относительно сложения: a * (b + c) = a * b + a * c.

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Лидия Казанцева

Автор Skysmart

К предыдущей статье

Какие числа называются целыми

К следующей статье

131.9K

Что такое функция?

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению
Расскажем, как проходят занятия
Подберём курс

Что такое иррациональное число? Ответ на webmath.

{n}$ для любого целого $n \neq 0$ .

Операции над иррациональными числами

На множестве иррациональных чисел можно ввести четыре основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление; но ни для одной из перечисленных операций множество иррациональных чисел не обладает свойством замкнутости. Например, сумма двух иррациональных чисел может быть числом рациональным.

Например. Найдем сумму двух иррациональных чисел $0,1010010001 \ldots$ и $0,0101101110 \ldots$ . Первое из этих чисел образовано последовательностью единиц, разделенных соответственно одним нулем, двумя нулями, тремя нулями и т.д., второе — последовательностью нулей, между которыми поставлены одна единица, две единицы, три единицы и т.д.:

$$0,1010010001 \ldots+0,0101101110 \ldots=0,111111=0,(1)=\frac{1}{9}$$

Таким образом, сумма двух заданных иррациональных чисел есть число $\frac{1}{9}$ , которое является рациональным.

Пример

Задание. {2}$ и $n$ делятся на 3, следовательно, дробь $\frac{m}{n}$ можно сократить на 3. Но по предположению дробь $\frac{m}{n}$ несократима. Полученное противоречие и доказывает, что число $\sqrt{3}$ непредставимо в виде дроби $\frac{m}{n}$ и, следовательно, иррационально.

Что и требовалось доказать.

Читать дальше: что такое кратное число.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Иррациональное число | Определение, примеры и факты

Развлечения и поп-культура
География и путешествия
Здоровье и медицина
Образ жизни и социальные вопросы
Литература
Философия и религия
Политика, право и правительство
Наука
Спорт и отдых
Технология
Изобразительное искусство
Всемирная история

Этот день в истории
Викторины
Подкасты
Словарь
Биографии
Резюме
Популярные вопросы
Инфографика
Демистификация
Списки
#WTFact
Товарищи
Галереи изображений
Прожектор
Форум
Один хороший факт

Развлечения и поп-культура

География и путешествия
Здоровье и медицина
Образ жизни и социальные вопросы
Литература
Философия и религия
Политика, право и правительство
Наука
Спорт и отдых
Технология
Изобразительное искусство
Всемирная история

Britannica объясняет
В этих видеороликах Britannica объясняет различные темы и отвечает на часто задаваемые вопросы.
Britannica Classics
Посмотрите эти ретро-видео из архивов Encyclopedia Britannica.
Demystified Videos
В Demystified у Britannica есть все ответы на ваши животрепещущие вопросы.
#WTFact Видео
В #WTFact Britannica делится некоторыми из самых странных фактов, которые мы можем найти.
На этот раз в истории
В этих видеороликах узнайте, что произошло в этом месяце (или любом другом месяце!) в истории.

Студенческий портал
Britannica — лучший ресурс для учащихся по ключевым школьным предметам, таким как история, государственное управление, литература и т. д.
Портал COVID-19
Хотя этот глобальный кризис в области здравоохранения продолжает развиваться, может быть полезно обратиться к прошлым пандемиям, чтобы лучше понять, как реагировать сегодня.
100 женщин
Britannica празднует столетие Девятнадцатой поправки, выделяя суфражисток и политиков, творящих историю.
Спасение Земли
Британника представляет список дел Земли на 21 век. Узнайте об основных экологических проблемах, стоящих перед нашей планетой, и о том, что с ними можно сделать!

SpaceNext50
Britannica представляет SpaceNext50. От полета на Луну до управления космосом — мы изучаем широкий спектр тем, которые питают наше любопытство к космосу!

Содержание

Введение

Краткие факты

Связанный контент

Викторины

Числа и математика
Интересные факты об измерениях и математике

Иррациональное число Определение и значение

Основные определения
Викторина
Примеры
Британский
Научный
Культурный

Показывает уровень сложности слова на основе уровня сложности.

Сохрани это слово!

Показывает уровень оценки в зависимости от сложности слова.

сущ. Математика.

число, которое не может быть точно выражено как отношение двух целых чисел.

ТЕСТ

МОЖЕТЕ ЛИ ВЫ ОТВЕЧАТЬ НА ЭТИ ОБЫЧНЫЕ ГРАММАТИЧЕСКИЕ СПОРЫ?

Есть грамматические дебаты, которые никогда не умирают; и те, которые выделены в вопросах этой викторины, наверняка снова всех разозлят. Знаете ли вы, как отвечать на вопросы, которые вызывают самые ожесточенные споры по грамматике?

Вопрос 1 из 7

Какое предложение верно?

Происхождение иррационального числа

Как использовать иррациональное число в предложении

Это потому, что иррациональных чисел намного больше, чем рациональных.
Тренер, возглавивший сборную США по математике, вернулся на вершину|Макс Дж. Леви|16 февраля 2021 г.|Журнал Quanta
Забавно, что вы не дали мне число — иррациональное число — на самом деле это самый распространенный тип числа.
Тренер, который вернул сборную США по математике на вершину|Макс Г. Леви|16 февраля 2021 г.|Журнал Quanta
В этой теории иррациональное число представляло собой отношение двух несоизмеримых геометрических величин.
Британская энциклопедия, 11-е издание, том 11, часть 3|Разное
Расширенная идея заключается в том, что даже когда a или x является иррациональным числом, мы можем говорить об a или x единицах длины в виде меры.
Encyclopaedia Britannica, 11th Edition, Volume 11, Slice 6|Various

Определения иррационального числа в Британском словаре как число

Английский словарь Коллинза — полное и полное цифровое издание 2012 г. © William Collins Sons & Co. Ltd., 1979, 1986 © HarperCollins Publishers 1998, 2000, 2003, 2005, 2006, 2007, 2009, 2012

Научные определения иррационального числа

иррациональное число

между двумя целыми числами и не является мнимым числом.