Всего лишь степени двойки
И. Акулич
«Квант» №2, 2012
Давайте рассмотрим последовательность чисел, первое из которых равно 1, а каждое последующее вдвое больше: 1, 2, 4, 8, 16, … Используя показатели степени, ее можно записать в эквивалентном виде: 20, 21, 22, 23, 24, … Называется она вполне ожидаемо: последовательность степеней двойки. Казалось бы, ничего выдающегося в ней нет — последовательность как последовательность, не лучше и не хуже других. Тем не менее, она обладает весьма примечательными свойствами.
Несомненно, многие читатели встречали ее в классической истории об изобретателе шахмат, который попросил у правителя в награду за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую — два, за третью — четыре, и так далее, всё время удваивая число зерен. Понятно, что суммарное их количество равно
S = 20 + 2
Но так как эта сумма неимоверно велика и во много раз превосходит годовой урожай зерновых по всему миру, вышло, что мудрец ободрал правителя как липку.1
Однако зададимся сейчас другим вопросом: как с наименьшими затратами труда подсчитать величину S? Обладатели калькулятора (или, паче того, компьютера) вполне могут за обозримое время выполнить перемножения, а затем сложить полученные 64 числа, получив ответ: 18 446 744 073 709 551 615. А поскольку объем вычислений немалый, то и вероятность ошибки весьма велика.
Кто похитрей, могут углядеть в этой последовательности геометрическую прогрессию. Не знакомые же с этим понятием (или те, кто попросту забыл стандартную формулу суммы геометрической прогрессии) могут использовать следующие рассуждения. Давайте-ка умножим обе части равенства (1) на 2. Так как при удвоении степени двойки ее показатель увеличивается на 1, то получим
2S = 21 + 22 + 23 + 24 + … + 264. (2)
Теперь из (2) вычтем (1). В левой части, понятное дело, получится 2S – S = S. В правой же части произойдет массовое взаимное уничтожение почти всех степеней двойки — от 21 до 263 включительно, и останется лишь 264 – 20 = 264 – 1. Итак:
S = 264 – 1.
Что ж, выражение заметно упростилось, и теперь, имея калькулятор, позволяющий возводить в степень, можно найти значение этой величины без малейших проблем.
А если и калькулятора нет — как быть? Перемножать в столбик 64 двойки? Еще чего не хватало! Опытный инженер или математик-прикладник, для которого главный фактор — время, сумел бы быстро оценить ответ, т.е. найти его приближенно с приемлемой точностью. Как правило, в быту (да и в большинстве естественных наук) вполне допустима погрешность в 2–3%, а если она не превосходит 1% — то это просто великолепно! Оказывается, подсчитать наши зерна с такой погрешностью можно вообще без калькулятора, и всего за несколько минут. Как? Сейчас увидите.
Итак, надо возможно точней найти произведение 64 двоек (единицу в силу ее ничтожности отбросим сразу). Разобьем их на отдельную группу из 4 двоек и еще на 6 групп по 10 двоек. Произведение двоек в отдельной группе равно 24 = 16. А произведение 10 двоек в каждой из остальных групп равно 210 = 1024 (убедитесь, кто сомневается!). Но 1024 — это около 1000, т.е. 103. Поэтому S должно быть близко к произведению числа 16 на 6 чисел, каждое из которых равно 103, т.е. S ≈ 16·1018 (ибо 18 = 3·6). Правда, погрешность здесь все же великовата: ведь 6 раз при замене 1024 на 1000 мы ошибались в 1,024 раза, а всего мы ошиблись, как легко видеть, в 1,0246 раз. Так что теперь — дополнительно перемножать 1,024 шесть раз само на себя? Нет уж, обойдемся! Известно, что для числа х, которое во много раз меньше 1, с высокой точностью справедлива следующая приближенная формула: (1 + x)n ≈ 1 + xn.
Поэтому 1,0246 = (1 + 0,24)6 ≈ 1 + 0,24·6 = 1,144. Посему надо найденное нами число 16·1018 умножить на число 1,144, в результате чего получится 18 304 000 000 000 000 000, а это отличается от правильного ответа менее чем на 1%. Чего мы и добивались!
В данном случае нам крупно повезло: одна из степеней двойки (а именно — десятая) оказалась весьма близка к одной из степеней десятки (а именно — третьей). Это позволяет нам быстро оценивать значение любой степени двойки, не обязательно 64-й. Среди степеней других чисел подобное встречается нечасто. Например, 510 отличается от 107 также в 1,024 раза, но… в меньшую сторону.2 Впрочем, это того же поля ягода: поскольку 2
Другая интересная особенность рассматриваемой последовательности заключается в том, что любое натуральное число можно построить из различных степеней двойки, причем единственным способом. Например, для номера текущего года имеем
2012 = 22 + 23 + 24 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210.
Доказать эти возможность и единственность не составляет особого труда. Начнем с возможности. Пусть нам надо представить в виде суммы различных степеней двойки некоторое натуральное число N. Сначала запишем его в виде суммы N единиц. Так как единица — это 20, то первоначально N есть сумма одинаковых степеней двойки. Затем начнем объединять их по парам. Сумма двух чисел, равных 2 0, — это 21, так что в результате получится заведомо меньшее количество слагаемых, равных 21, и, возможно, одно число 20, если ему не нашлось пары. Далее попарно объединяем одинаковые слагаемые 21, получая еще меньшее количество чисел 22 (здесь тоже возможно появление непарной степени двойки 21). Затем снова объединяем равные слагаемые попарно, и так далее. Рано или поздно процесс завершится, ибо количество одинаковых степеней двойки после каждого объединения уменьшается. Когда оно станет равным 1 — дело кончено. Осталось сложить все получившиеся непарные степени двойки — и представление готово.
Что касается доказательства единственности представления, то здесь хорошо подходит метод «от противного». Пусть одно и то же число N удалось представить в виде двух наборов различных степеней двойки, которые не полностью совпадают (т. е. имеются степени двойки, входящие в один набор, но не входящие в другой, и наоборот). Для начала отбросим все совпадающие степени двойки из обоих наборов (если таковые имеются). Получатся два представления одного и того же числа (меньшего или равного
2m = (2m–1 + 2m–2 + … + 20) + 1,
то 2m строго больше суммы всех степеней двойки, не превосходящих 2m–1. По этой причине уже наибольшая степень двойки, входящая в первое представление, наверняка больше суммы всех степеней двойки, входящих во второе представление. Противоречие!
Фактически мы только что обосновали возможность записи чисел в двоичной системе счисления. Как известно, в ней используются лишь две цифры — ноль и единица, и каждое натуральное число записывается в двоичной системе единственным способом (например, упомянутое выше 2012 — как 11 111 011 100). Если пронумеровать разряды (двоичные цифры) справа налево, начиная с нуля, то номера тех разрядов, в которых стоят единицы, как раз и будут показателями степеней двоек, входящих в представление.3
Менее известно следующее свойство множества целых неотрицательных степеней двойки. Давайте некоторым из них произвольным образом присвоим знак «минус», т. е. из положительных сделаем отрицательными. Единственное требование — чтобы в результате и положительных, и отрицательных чисел оказалось
Как ни удивительно, но любое целое число можно (и притом единственным способом) представить в виде суммы различных слагаемых нашей «положительно-отрицательной» последовательности.4 И доказать это не очень-то сложно (например, индукцией по показателям степеней двоек). Главная идея доказательства — наличие сколь угодно больших по абсолютной величине как положительных, так и отрицательных слагаемых. Попробуйте выполнить доказательство сами.
Интересно понаблюдать за последними цифрами членов последовательности степеней двойки. Так как каждое последующее число последовательности получается удвоением предыдущего, то последняя цифра каждого из них полностью определяется последней цифрой предыдущего числа. А так как различных цифр ограниченное количество, последовательность последних цифр степеней двойки просто обязана быть периодической! Длина периода, естественно, не превышает 10 (поскольку именно столько цифр мы используем), но это сильно завышенное значение. Попробуем оценить его, не выписывая пока саму последовательность. Ясно, что последние цифры всех степеней двойки, начиная с 21, четные. Кроме того, среди них не может быть нуля — потому что число, оканчивающееся нулем, делится на 5, в чем заподозрить степени двойки никак нельзя. А так как четных цифр без нуля имеется всего четыре, то и длина периода не превосходит 4.
Проверка показывает, что так оно и есть, причем периодичность проявляется почти сразу: 1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, … — в полном соответствии с теорией!
Не менее успешно можно оценить и длину периода последней пары цифр последовательности степеней двойки. Так как все степени двойки, начиная с 2
Аналогично можно доказать, что длина периода последних m цифр последовательности степеней двойки не превышает 4·5m–1 (более того — на самом деле она равна 4·5m–1, но доказать это значительно сложнее).
Итак, на последние цифры степеней двойки наложены довольно жесткие ограничения. А как насчет первых цифр? Здесь ситуация практически противоположная. Оказывается, для любого набора цифр (первая из которых — не ноль) найдется степень двойки, начинающаяся с этого набора цифр. И таких степеней двойки бесконечно много! Например, существует бесконечное количество степеней двойки, начинающихся с цифр 2012 или, скажем, 3 333 333 333 333 333 333 333.
А если рассмотреть только одну самую первую цифру различных степеней двойки — какие значения она может принимать? Нетрудно убедиться, что любые — от 1 до 9 включительно (нуля среди них, естественно, нет). Но какие из них встречаются чаще, а какие реже? Как-то сразу не видно причин, по которым одна цифра должна встречаться чаще другой. Однако более глубокие размышления показывают, что как раз равной встречаемости цифр ожидать не приходится. Действительно, если первая цифра какой-либо степени двойки есть 5, 6, 7, 8 или 9, то первая цифра следующей за ней степени двойки будет обязательно единицей! Поэтому должен иметь место «перекос», по крайней мере, в сторону единицы. Следовательно, вряд ли и остальные цифры будут «равнопредставленными».
Практика (а именно — прямой компьютерный расчет для первых нескольких десятков тысяч степеней двойки) подтверждает наши подозрения. Вот какова относительная доля первых цифр степеней двойки с округлением до 4 знаков после запятой:
1 — 0,3010
2 — 0,1761
3 — 0,1249
4 — 0,0969
5 — 0,0792
6 — 0,0669
7 — 0,0580
8 — 0,0512
9 — 0,0458
Как видим, с ростом цифр эта величина убывает (и потому та же единица примерно в 6,5 раз чаще бывает первой цифрой степеней двойки, чем девятка). Как ни покажется странным, но практически такое же соотношение количеств первых цифр будет иметь место почти для любой последовательности степеней — не только двойки, но, скажем, и тройки, пятерки, восьмерки и вообще почти любого числа, в том числе и нецелого (исключение составляют лишь некоторые «особые» числа). Причины этого весьма глубоки и непросты, и для их уяснения надо знать логарифмы. Для тех, кто с ними знаком, приоткроем завесу: оказывается, относительная доля степеней двойки 5, десятичная запись которых начинается с цифры F (для F = 1, 2, …, 9), составляет lg (F + 1) – lg (F), где lg — так называемый десятичный логарифм, равный показателю степени, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число, стоящее под знаком логарифма.6
Используя упомянутую выше связь между степенями двойки и пятерки, А. Канель обнаружил интересное явление. Давайте из последовательности первых цифр степеней двойки (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, …) выберем несколько цифр подряд и запишем их в обратном порядке. Оказывается, эти цифры непременно встретятся тоже подряд, начиная с некоторого места, в последовательности первых цифр степеней пятерки.7
Степени двойки также являются своеобразным «генератором» для производства широко известных совершенных чисел, которые равны сумме всех своих делителей, за исключением себя самого. Например, у числа 6 четыре делителя: 1, 2, 3 и 6. Отбросим тот, который равен самому числу 6. Осталось три делителя, сумма которых как раз равна 1 + 2 + 3 = 6. Поэтому 6 — совершенное число.
Для получения совершенного числа возьмем две последовательные степени двойки: 2n–1 и 2n. Уменьшим большую из них на 1, получим 2n – 1. Оказывается, если это — простое число, то, домножив его на предыдущую степень двойки, мы образуем совершенное число 2n–1 (2n – 1). Например, при п = 3 получаем исходные числа 4 и 8. Так как 8 – 1 = 7 — простое число, то 4·7 = 28 — совершенное число.8 Более того — в свое время Леонард Эйлер доказал, что все четные совершенные числа имеют именно такой вид. Нечетные совершенные числа пока не обнаружены (и мало кто верит в их существование).
Тесную связь имеют степени двойки с так называемыми числами Каталана, последовательность которых имеет вид 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429… Они часто возникают при решении различных комбинаторных задач. Например, сколькими способами можно разбить выпуклый n-угольник на треугольники непересекающимися диагоналями? Всё тот же Эйлер выяснил, что это значение равно (n – 1)-му числу Каталана (обозначим его Kn–1), и он же выяснил, что Kn = Kn–1·(4n – 6)/n. Последовательность чисел Каталана имеет множество любопытных свойств, и одно из них (как раз связанное с темой этой статьи) заключается в том, что порядковые номера всех нечетных чисел Каталана являются степенями двойки!
Степени двойки нередко встречаются в различных задачах, причем не только в условиях, но и в ответах. Возьмем, например, популярную когда-то (да и поныне не забытую) Ханойскую башню. Так называлась игра-головоломка, придуманная в XIX веке французским математиком Э. Люка. Она содержит три стержня, на один из которых надето n дисков с отверстием в середине каждого. Диаметры всех дисков различны, и они расположены в порядке убывания снизу вверх, т. е. самый большой диск — внизу (см. рисунок). Получилась как бы башня из дисков.
Требуется перенести эту башню на другой стержень, соблюдая такие правила: перекладывать диски строго по одному (снимая верхний диск с любого стержня) и всегда класть только меньший диск на больший, но не наоборот. Спрашивается: какое наименьшее число ходов для этого потребуется? (Ходом мы называем снятие диска с одного стержня и надевание его на другой.) Ответ: оно равно 2n – 1, что легко доказывается по индукции.
Пусть для n дисков потребное наименьшее число ходов равно Xn. Найдем Xn+1. В процессе работы рано или поздно придется снимать самый большой диск со стержня, на который первоначально были надеты все диски. Так как этот диск можно надевать только на пустой стержень (иначе он «придавит» меньший диск, что запрещено), то все верхние n дисков придется предварительно перенести на третий стержень. Для этого потребуется не меньше Xn ходов. Далее переносим наибольший диск на пустой стержень — вот еще один ход. Наконец, чтобы сверху его «притиснуть» меньшими n дисками, опять потребуется не меньше Xn ходов. Итак, Xn+1 ≥ Xn + 1 + Xn = 2Xn + 1. С другой стороны, описанные выше действия показывают, как можно справиться с задачей именно 2Xn + 1 ходами. Поэтому окончательно Xn+1 =2Xn + 1. Получено рекуррентное соотношение, но для того чтобы его привести к «нормальному» виду, надо еще найти X1. Ну, это проще простого: X1 = 1 (меньше просто не бывает!). Не составляет труда, основываясь на этих данных, выяснить, что Xn = 2n – 1.
Вот еще одна интересная задача:
Найдите все натуральные числа, которые нельзя представить в виде суммы нескольких (не менее двух) последовательных натуральных чисел.
Давайте проверим сначала наименьшие числа. Ясно, что число 1 в указанном виде непредставимо. Зато все нечетные, которые больше 1, представить, конечно, можно. В самом деле, любое нечетное число, большее 1, можно записать как 2k + 1 (k — натуральное), что есть сумма двух последовательных натуральных чисел: 2k + 1 = k + (k + 1).
А как обстоят дела с четными числами? Легко убедиться, что числа 2 и 4 нельзя представить в требуемом виде. Может, и для всех четных чисел так? Увы, следующее же четное число опровергает наше предположение: 6 = 1 + 2 + 3. Зато число 8 опять не поддается. Правда, следующие числа вновь уступают натиску: 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 12 = 3 + 4 + 5, 14 = 2 + 3 + 4 + 5, а вот 16 — вновь непредставимо.
Что ж, накопленная информация позволяет сделать предварительные выводы. Обратите внимание: не удалось представить в указанном виде только степени двойки. Верно ли это для остальных чисел? Оказывается, да! В самом деле, рассмотрим сумму всех натуральных чисел от m до n включительно. Так как всего их, по условию, не меньше двух, то n > m. Как известно, сумма последовательных членов арифметической прогрессии (а ведь именно с ней мы имеем дело!) равна произведению полусуммы первого и последнего членов на их количество. Полусумма равна (n + m)/2, а количество чисел равно n – m + 1. Поэтому сумма равна (n + m)(n – m + 1)/2. Заметим, что в числителе находятся два сомножителя, каждый из которых строго больше 1, и при этом четность их — различна. Выходит, что сумма всех натуральных чисел от m до n включительно делится на нечетное число, большее 1, и потому не может быть степенью двойки. Так что теперь понятно, почему не удалось представить степени двойки в нужном виде.
Осталось убедиться, что не степени двойки представить можно. Что касается нечетных чисел, то с ними мы уже разобрались выше. Возьмем какое-либо четное число, не являющееся степенью двойки. Пусть наибольшая степень двойки, на которую оно делится, это 2a (a — натуральное). Тогда если число поделить на 2a, получится уже нечетное число, большее 1, которое мы запишем в знакомом виде — как 2k + 1 (k — тоже натуральное). Значит, в целом наше четное число, не являющееся степенью двойки, равно 2a (2k + 1). А теперь рассмотрим два варианта:
- 2a+1 > 2k + 1. Возьмем сумму 2k + 1 последовательных натуральных чисел, среднее из которых равно 2a. Легко видеть, что тогда наименьшее из них равно 2a – k, а наибольшее равно 2a + k, причем наименьшее (и, значит, все остальные) — положительное, т. е. действительно натуральное. Ну, а сумма, очевидно, составляет как раз 2a(2k + 1).
- 2a+1 < 2k + 1. Возьмем сумму 2a+1 последовательных натуральных чисел. Здесь нельзя указать среднее число, ибо количество чисел четное, но указать пару средних чисел можно: пусть это числа k и k + 1. Тогда наименьшее из всех чисел равно k + 1 – 2a (и тоже положительное!), а наибольшее равно k + 2a. Сумма их тоже равна 2a(2k + 1).
Вот и всё. Итак, ответ: непредставимые числа — это степени двойки, и только они.
А вот еще одна задача (впервые ее предложил В. Произволов, но в несколько иной формулировке):
Садовый участок окружен сплошным забором из N досок. Согласно приказу тети Полли Том Сойер белит забор, но по собственной системе: продвигаясь всё время по часовой стрелке, сначала белит произвольную доску, затем пропускает одну доску и белит следующую, затем пропускает две доски и белит следующую, затем пропускает три доски и белит следующую, и так далее, каждый раз пропуская на одну доску больше (при этом некоторые доски могут быть побелены несколько раз — Тома это не смущает).
Том считает, что при такой схеме рано или поздно все доски будут побелены, а тетя Полли уверена, что хотя бы одна доска останется непобеленной, сколько бы Том ни работал. При каких N прав Том, а при каких — тетя Полли?
Описанная система побелки представляется довольно хаотичной, поэтому первоначально может показаться, что для любого (или почти любого) N каждой доске когда-нибудь достанется своя доля известки, т. е., в основном, прав Том. Но первое впечатление обманчиво, потому что на самом деле Том прав только для значений N, являющихся степенями двойки. Для остальных N найдется доска, которая так и останется навеки непобеленной. Доказательство этого факта довольно громоздко (хотя, в принципе, несложно). Предлагаем читателю выполнить его самому.
Вот каковы они — степени двойки. С виду — проще простого, а как копнешь… И затронули мы здесь далеко не все удивительные и загадочные свойства этой последовательности, а лишь те, что бросились в глаза. Ну, а читателю предоставляется право самостоятельно продолжить исследования в этой области. Несомненно, они окажутся плодотворными.
1 Впрочем, действительно ли правитель согласился выплатить требуемое, история умалчивает. Более вероятно, что для мудреца все закончилось длительным тюремным заключением по статье «за наглость».
2 Для любопытных вот еще одно хорошее совпадение: 69 = 10 077 696, в котором относительное расхождение с ближайшей степенью десятки всего около 0,8%, что примерно втрое меньше, чем для 210.
3 Повсеместно используемая десятичная система устроена по такому же принципу. Только вместо степеней двойки используются степени десятки (потому она так и называется), а цифры в записи показывают, в каком количестве очередную степень десятки надо прибавлять.
4 При этом число 0 (ноль) представляется как полное отсутствие слагаемых (т.е., формально говоря, нулевое их количество).
5 И не только двойки, как было отмечено ранее!
6 Жаждущие подробностей могут прочесть статью В. Болтянского «Часто ли степени двойки начинаются с единицы?» («Квант» №5 за 1978 г.), а также статью В. Арнольда «Статистика первых цифр степеней двойки и передел мира» («Квант» №1 за 1998 г.).
7 См. задачу М1599 из «Задачника «Кванта» («Квант» №6 за 1997 г.).
8 В настоящее время известны 43 совершенных числа, наибольшее из которых равно 230402456(230402457 – 1). Оно содержит свыше 18 миллионов цифр.
Таблица степеней 2 (двойки)
Приведенная таблица кроме степени двойки показывает максимальные числа, которые может хранить компьютер для заданного числа бит. Причем как для целых так и чисел со знаком.
Исторически сложилось, что компьютеры используют двоичную систему счисления, а, соответственно, и хранения данных. Таким образом, любое число можно представить как последовательность нулей и единиц (бит информации). Существует несколько способов представления чисел в виде двоичной последовательности.
Рассмотрим наиболее простой из них — это целое положительное число. Тогда чем больше число нам нужно записать, тем более длинная последовательность бит нам необходима.
Ниже представлена таблица степеней числа 2. Она даст нам представление необходимого числа бит, которое нам необходимо для хранения чисел.Как пользоваться
таблицей степеней числа два?Первый столбец — это степень двойки, который одновременно, обозначает число бит, которое представляет число.
Второй столбец — значение двойки в соответствующей степени (n).
Пример нахождения степени числа 2. Находим в первом столбце число 7. Смотрим по строке вправо и находим значение два в седьмой степени (27) — это 128
Третий столбец — максимальное число, которое можно представить с помощью заданного числа бит (в первом столбце).
Пример определения максимального целого числа без знака. Если использовать данные из предыдущего примера, мы знаем, что 27 = 128. Это верно, если мы хотим понять, какое количество чисел, можно представить с помощью семи бит. Но, поскольку первое число — это ноль, то максимальное число, которое можно представить с помощью семи бит 128 — 1 = 127 . Это и есть значение третьего столбца.
| Степень двойки (n) |
Значение степени двойки 2n |
Максимальное число без знака, записанное с помощью n бит |
Максимальное число со знаком, записанное с помощью n бит |
| 0 | 1 | - | - |
| 1 | 2 | 1 | - |
| 2 | 4 | 3 | 1 |
| 3 | 8 | 7 | 3 |
| 4 | 16 | 15 | 7 |
| 5 | 32 | 31 | 15 |
| 6 | 64 | 63 | 31 |
| 7 | 128 | 127 | 63 |
| 8 | 256 | 255 | 127 |
| 9 | 512 | 511 | 255 |
| 10 | 1 024 | 1 023 | 511 |
| 11 | 2 048 | 2 047 | 1023 |
| 12 | 40 96 | 4 095 | 2047 |
| 13 | 8 192 | 8 191 | 4095 |
| 14 | 16 384 | 16 383 | 8191 |
| 15 | 32 768 | 32 767 | 16383 |
| 16 | 65 536 | 65 535 | 32767 |
| 17 | 131 072 | 131 071 | 65 535 |
| 18 | 262 144 | 262 143 | 131 071 |
| 19 | 524 288 | 524 287 | 262 143 |
| 20 | 1 048 576 | 1 048 575 | 524 287 |
| 21 | 2 097 152 | 2 097 151 | 1 048 575 |
| 22 | 4 194 304 | 4 194 303 | 2 097 151 |
| 23 | 8 388 608 | 8 388 607 | 4 194 303 |
| 24 | 16 777 216 | 16 777 215 | 8 388 607 |
| 25 | 33 554 432 | 33 554 431 | 16 777 215 |
| 26 | 67 108 864 | 67 108 863 | 33 554 431 |
| 27 | 134 217 728 | 134 217 727 | 67 108 863 |
| 28 | 268 435 456 | 268 435 455 | 134 217 727 |
| 29 | 536 870 912 | 536 870 911 | 268 435 455 |
| 30 | 1 073 741 824 | 1 073 741 823 | 536 870 911 |
| 31 | 2 147 483 648 | 2 147 483 647 | 1 073 741 823 |
| 32 | 4 294 967 296 | 4 294 967 295 | 2 147 483 647 |
Необходимо принять во внимание, что не все числа в компьютере представлены таким образом. Существуют и другие способы представления данных. Например, если мы хотим записывать не только положительные, но и отрицательные числа, то нам потребуется еще один бит для хранения значения «плюс/минус». Таким образом, количество бит, предназначенных для хранения чисел у нас уменьшилось на один. Какое максимальное число может быть записано в виде целого числа со знаком можно посмотреть в четвертом столбце.
Для этого же самого примера ( 27 ) семью битами можно записать максимум число +63, поскольку один бит занят знаком «плюс». Но мы можем хранить и число «-63», что было бы невозможно, если бы все биты были бы зарезервированы под хранение числа.
Примеры использования таблицы степеней числа два
Например, нам необходимо узнать, в какую степень нужно возвести число 2, чтобы получить 256. Во втором столбце находим число 256 и считываем, что 256 это два в степени восемь.
Аналогично, 2 в 11 степени равно 2048.
2 в 13 степени равно 8,192.
2 в 15 степени равно 32,768
2 в 17 степени равно 131,072
Хранение и кодирование информации | Описание курса | Использование электронных таблиц Excel
Степени и возведение в степень, вторая, третья, четвёртая степени
Когда число умножается само на себя, произведение называется степенью.
Так 2.2 = 4, квадрат или вторая степень 2-х
2.2.2 = 8, куб или третья степень.
2.2.2.2 = 16, четвёртая степень.
Также, 10.10 = 100, вторая степень 10.
10.10.10 = 1000, третья степень.
10.10.10.10 = 10000 четвёртая степень.
И a.a = aa, вторая степень a
a.a.a = aaa, третья степень a
a.a.a.a = aaaa, четвёртая степень a
Первоначальное число называется корнем степени этого числа, потому что это число, из которого были созданы степени.
Однако не совсем удобно, особенно в случае высоких степеней, записывать все множители, из которых состоят степени. Поэтому используется сокращенный метод обозначения. Корень степени записывается только один раз, а справа и немного выше возле него, но чуть меньшим шрифтом записывается сколько раз выступает корень как множитель. Это число или буква называется показателем степени или степенью числа. Так, а2 равно a.a или aa, потому что корень a дважды должен быть умножен сам на себя, чтобы получилось степень aa. Также, a3 означает aaa, то есть здесь a повторяется три раза как множитель.
Показатель первой степени есть 1, но он обычно не записывается. Так, a1 записывается как a.
Вы не должны путать степени с коэффициентами. Коэффициент показывает, как часто величина берётся как часть целого. Степень показывает, как часто величина берётся как множитель в произведении.
Так, 4a = a + a + a + a. Но a4 = a.a.a.a
Схема обозначения со степенями имеет своеобразное преимущество, позволяя нам выражать неизвестную степень. Для этой цели в показатель степени вместо числа записывается буква. В процессе решения задачи, мы можем получить величину, которая, как мы можем знать, есть некоторой степенью другой величины. Но пока что мы не знаем, это квадрат, куб или другая, более высокая степень. Так, в выражении ax, показатель степени означает, что это выражение имеет некоторую степень, хотя не определено какую степень. Так, bm и dn возводятся в степени m и n. Когда показатель степени найден, число подставляется вместо буквы. Так, если m=3, тогда bm = b3; но если m = 5, тогда bm=b5.
Метод записи значений с помощью степеней является также большим преимуществом в случае использования выражений . Tак, (a + b + d)3 есть (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), то есть куб трёхчлена (a + b + d). Но если записать это выражение после возведения в куб, оно будет иметь вид
a3 + 3a2b + 3a2d + 3ab2 + 6abd + 3ad2 + b3 + d3.
Если мы возьмем ряд степеней, чьи показатели увеличиваются или уменьшаются на 1, мы обнаружим, что произведение увеличивается на общий множитель или уменьшается на общий делитель, и этот множитель или делитель есть первоначальным числом, которое возводится в степень.
Так, в ряде aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
или a5, a4, a3, a2, a1;
показатели , если считать справа налево, равны 1, 2, 3, 4, 5; и разница между их значениями равна 1. Если мы начнем справа умножатьна a, мы успешно получим несколько значений.
Tак a.a = a2, второй член. И a3.a = a4
a2.a = a3, третий член. a4.a = a5.
Если мы начнем слева делить на a,
мы получим a5:a = a4 и a3:a = a2.
a4:a = a3 a2:a = a1
Но такой процесс деления может быть продолжен и далее, и мы получаем новый набор значений.
Так, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.
Полный ряд будет: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.
Или a5, a4, a3, a2, a, 1, 1/a, 1/a2, 1/a3.
Здесь значения справа от единицы есть обратными значениям слева от единицы. Поэтому эти степени могут быть названы обратными степенями a. Можно также сказать, что степени слева есть обратными к степеням справа.
Так, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. И 1:(1/a3) = a3.
Тот же самый план записи может применяться к многочленам. Так, для a + b, мы получим множество,
(a + b)3, (a + b)2, (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b)2, 1/(a + b)3.
Для удобства используется еще одна форма записи обратных степеней.
Согласно этой форме, 1/a или 1/a1 = a-1. И 1/aaa или 1/a3 = a-3.
1/aa или 1/a2 = a-2. 1/aaaa или 1/a4 = a-4.
А чтобы сделать с показателями законченный ряд с 1 как общая разница, a/a или 1, рассматривается как такое, что не имеет степени и записывается как a0.
Тогда, учитывая прямые и обратные степени
вместо aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
можно записать a4, a3, a2, a1, a0, a-1, a-2, a-3, a-4.
Или a+4, a+3, a+2, a+1, a0, a-1, a-2, a-3, a-4.
А ряд только отдельно взятых степеней будет иметь вид:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.
Корень степени может выражен более чем одной буквой.
Так, aa.aa или (aa)2 есть второй степенью aa.
И aa.aa.aa или (aa)3 есть третьей степенью aa.
Все степени цифры 1 одинаковы: 1.1 или 1.1.1. будет равно 1.
Возведение в степень есть нахождение значения любого числа путем умножения этого числа само на себя. Правило возведения в степень:
Умножайте величину саму на себя столько раз, сколько указано в степени числа.
Это правило является общим для всех примеров, которые могут возникнуть в процессе возведения в степень. Но будет правильно дать объяснение, каким образом оно применяется к частным случаям.
Если в степень возводится только один член, то он умножается сам на себя столько раз, сколько указывает показатель степени.
Четвертая степень a есть a4 или aaaa. (Art. 195.)
Шестая степень y есть y6 или yyyyyy.
N-ая степень x есть xn или xxx….. n раз повторенное.
Если необходимо возвести в степень выражение из нескольких членов, применяется принцип, согласно которому степень произведения нескольких множителей равна произведению этих множителей, возведенных в степень.
Tак (ay)2 =a2y2; (ay)2 = ay.ay.
Но ay.ay = ayay = aayy = a2y2.
Так, (bmx)3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b3m3x3.
Поэтому, в нахождении степени произведения мы можем или оперировать со всем произведением сразу, или мы можем оперировать с каждым множителем отдельно, а потом умножить их значения со степенями.
Пример 1. Четвертая степень dhy есть (dhy)4, или d4h4y4.
Пример 2. Третья степень 4b, есть (4b)3, или 43b3, или 64b3.
Пример 3. N-ая степень 6ad есть (6ad)n или 6nandn.
Пример 4. Третья степень 3m.2y есть (3m.2y)3, или 27m3.8y3.
Степень двочлена, состоящего из членов, соединенных знаком + и -, вычисляется умножением его членов. Tак,
(a + b)1 = a + b, первая степень.(a + b)1 = a2 + 2ab + b2, вторая степень (a + b).
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, третья степень.
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4, четвертая степень.
Квадрат a — b, есть a2 — 2ab + b2.
3 + 3a2 + 3a + 1.Квадрат a + b + h есть a2 + 2ab + 2ah + b2 + 2bh + h2
Упражнение 1. Найдите куб a + 2d + 3
Упражнение 2. Найдите четвертую степень b + 2.
Упражнение 3. Найдите пятую степень x + 1.
Упражнение 4. Найдите шестую степень 1 — b.
Квадраты суммы суммы и разницы двочленов встречаются так часто в алгебре, что необходимо их знать очень хорошо.
Если мы умножаем a + h само на себя или a — h само на себя,
мы получаем: (a + h)(a + h) = a2 + 2ah + h2 также, (a — h)(a — h) = a2 — 2ah + h2.
Отсюда видно, что в каждом случае, первый и последний члены есть квадраты a и h, а средний член есть удвоеннное произведение a на h. Отсюда, квадрат суммы и разницы двочленов может быть найден, используя следующее правило.
Квадрат двочлена, оба члена которых положительны, равен квадрату первого члена + удвоенное произведение обоих членов, + квадрат последнего члена.
Квадрат разницы двочленов равен квадрату первого члена минус удвоенное произведение обоих членов плюс квадрат второго члена.
Пример 1. Квадрат 2a + b, есть 4a2 + 4ab + b2.
Пример 2. Квадрат ab + cd, есть a2b2 + 2abcd + c2d2.
Пример 3. Квадрат 3d — h, есть 9d2 + 6dh + h2.
Пример 4. Квадрат a — 1 есть a2 — 2a + 1.
Чтобы узнать метод нахождения более высоких степеней двочленов, смотрите следующие разделы.
Во многих случаях является эффективным записывать степени без умножения.
Так, квадрат a + b, есть (a + b)2.
N-ая степень bc + 8 + x есть (bc + 8 + x)n
В таких случаях, скобки охватывают все члены под степенью.
Но если корень степени состоит из нескольких множителей, скобки могут охватывать всё выражение, или могут применяться отдельно к множителям в зависимости от удобства.
Так, квадрат (a + b)(c + d) есть или [(a + b).(c + d)]2 или (a + b)2.(c + d)2.
Для первого из этих выражений результатом есть квадрат произведения двух множителей, а для второго — произведением их квадратов. Но они равны друг другу.
Куб a.(b + d), есть [a.(b + d)]3, или a3.(b + d)3.
Необходимо также учитывать и знак перед вовлеченными членами. Очень важно помнить, что когда корень степени положительный, все его положительные степени также положительны. Но когда корень отрицательный, значения с нечетными степенями отрицательны, в то время как значения чётных степеней есть положительными.
Вторая степень (- a) есть +a2
Третья степень (-a) есть -a3
Четвёртая степень (-a) есть +a4
Пятая степень (-a) есть -a5
Отсюда любая нечётная степень имеет тот же самый знак, что и число. Но чётная степень есть положительна вне зависимости от того, имеет число отрицательный или положительный знак.
Так, +a.+a = +a2
И -a.-a = +a2
Величина, уже возвёденная в степень, еще раз возводится в степень путем умножения показателей степеней.
Третья степень a2 есть a2.3 = a6.Для a2 = aa; куб aa есть aa.aa.aa = aaaaaa = a6; что есть шестой степенью a, но третьей степенью a2.
Четвертая степень a3b2 есть a3.4b2.4 = a12b8
Третья степень 4a2x есть 64a6x3.
Пятая степень (a + b)2 есть (a + b)10.
N-ая степень a3 есть a3n
N-ая степень (x — y)m есть (x — y)mn
(a3.b3)2 = a6.b6
(a3b2h4)3 = a9b6h12
Правило одинаково применяется к отрицательным степеням.
Пример 1. Третья степень a-2 есть a-3.3=a-6.
Для a-2 = 1/aa, и третья степень этого
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a6 = a-6
Четвертая степень a2b-3 есть a8b-12 или a8/b12.
Квадрат b3x-1, есть b6x-2.
N-ая cтепень ax-m есть x-mn или 1/x.
Однако, здесь надо помнить, что если знак, предшествующий степени есть «-«, то он должен быть изменен на «+» всегда, когда степень есть четным числом.
Пример 1. Квадрат -a3 есть +a6. Квадрат -a3 есть -a3.-a3, которое, согласно правилам знаков при умножении, есть +a6.
2. Но куб -a3 есть -a9. Для -a3.-a3.-a3 = -a9.
3. N-ая степень -a3 есть a3n.
Здесь результат может быть положительным или отрицательным в зависимости от того, какое есть n — чётное или нечётное.
Если дробь возводится в степень, то возводятся в степень числитель и знаменатель.
Квадрат a/b есть a2/b2. Согласно правилу умножению дробей,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a2b2
Вторая, третья и n-ая степени 1/a есть 1/a2, 1/a3 и 1/an.
Примеры двочленов, в которых один из членов является дробью.
1. Найдите квадрат x + 1/2 и x — 1/2.
(x + 1/2)2 = x2 + 2.x.(1/2) + 1/22 = x2 + x + 1/4
(x — 1/2)2 = x2 — 2.x.(1/2) + 1/22 = x2 — x + 1/4
2. Квадрат a + 2/3 есть a2 + 4a/3 + 4/9.
3. Квадрат x + b/2 = x2 + bx + b2/4.
4 Квадрат x — b/m есть x2 — 2bx/m + b2/m2.
Ранее было показано, что дробный коэффициент может быть перемещен из числителя в знаменатель или из знаментеля в числитель. Используя схему записи обратных степеней, видно, что любой множитель также может быть перемещен, если будет изменен знак степени.
Так, в дроби ax-2/y, мы можем переместить x из числителя в знаменатель.
Тогда ax-2/y = (a/y).x-2 = (a/y).(1/x2 = a/yx2.
В дроби a/by3 мы можем переместить у из знаменателя в числитель.
Тогда a/by2 = (a/b).(1/y3) = (a/b).y-3 = ay-3/b.
Таким же образом мы можем переместить множитель, который имеет положительный показатель степени в числитель или множитель с отрицательной степенью в знаменатель.
Так, ax3/b = a/bx-3. Для x3 обратным есть x-3, что есть x3 = 1/x-3.
Следовательно, знаменатель любой дроби может быть полностью удален, или числитель может быть сокращен до единицы, что не изменит значение выражения.
Так, a/b = 1/ba-1, or ab-1.
Таблица последовательных степеней числа 2.
Таблица последовательных степеней числа 2.Таблица степеней числа 2 (два) последовательно представляет число 2 (два) в степени от 0 (нуля) до 29 (двадцати девяти). Все результаты сведены в таблицу, которую можно скачать бесплатно.
Число 2 в нулевой степени. Начинается таблица с нулевой степени числа два. Как известно, любое число в нулевой степени равняется единице. Поэтому два в нулевой степени равняется единице.
Число 2 в первой степени. Если любое число возвести в первую степень, это число останется неизменным. Наша двойка в первой степени, соответственно, равняется двум. Если вы совершенно случайно повстречали число в первой степени, главное — не паникуйте. Никакой угрозы для ваших умственных способностей эта комбинация цифр не представляет. Любое число в первой степени равняется точно такому же числу без всяких показателей степени. Просто в математике не принято возле каждого числа записывать показатель степени один.
Знаменитое «дважды два равно четыре» — это душещипательный математический рассказ о приключениях двойки, попавшей во вторую степень. Как бы там ни было, и на какой бы язык не переводили эту романтическую историю чисел, два во второй степени всегда будет равняться четырем. Возведение любого числа во вторую степень означает, что это число умножается само на себя. На практике это выполняется довольно просто: возьмите число два и умножьте его на точно такое же число два. 2 х 2 = 4 В результате умножения получается число четыре.
В третьей степени число два равняется восьми. В отличие от умножения два на три, когда в результате получается шесть. Число три в показателе степени говорит нам о том, что мы берем три двойки и перемножаем их между собой. Естественно, что между тремя цифрами мы можем поставить только два знака умножения. 2 х 2 х 2 = 8 Как видите, совершенно логично, что два в третьей степени равняется восьми, а не шести.
Число 2 в четвертой степени равняется шестнадцати. Умножаем между собой четыре двойки. 2 х 2 х 2 х 2 = 16 Здесь мы попадаем в область двузначных результатов, когда одно число записывается двумя цифрами. Есть еще два показателя степени числа два, дающие двузначные результаты. Два в пятой степени равняется тридцать два и два в шестой степени равняется шестьдесят четыре.
Трехзначные результаты дает возведение числа два в седьмую, восьмую и девятую степени. А вот число два в десятой степени равняется одной тысяче двадцати четырем, что перевод нас в четырехзначные результаты. Всю дальнейшую эволюцию степеней числа два и их результатов можно проследить по расположенной выше таблице степеней числа два.
Ещё одна таблица степеней числа 2 от 0 до 100. Таблица не самая правильная получилась, но компактная. Особенно полезной данная таблица будет для программистов.
12 декабря 2009 года — 22 сентября 2019 года.
© 2006 — 2021 Николай Хижняк. Все права защищены.
характеристика, причины и методы лечения
Как и любому заболеванию, репродуктивной дисфункции могут быть присвоены различные степени в зависимости от причин возникновения патология и того, какое лечение может быть применимо.
Специалисты выделяют бесплодие 1 степени и 2 степени. Болезнь такого характера может быть выявлена у представителей обоих полов. В числе предпосылок к развитию патологии выступает множество различных факторов. Точный диагноз врачи могут озвучить после проведения полного цикла медико-генетических обследований обоих партнеров. Узнав о наличии такого заболевания, как бесплодие 1 степени и 2 степени, пациенту необходимо точно следовать предписаниям лечащего врача.
Бесплодие 1 степени — характеристика заболевания
Плохая экология, напряженный ритм жизни, множество стрессов сказываются на здоровье человека. Репродуктивная система попадает под такое же негативное влияние, как и все другие органы и реагирует соответственно: лишает пациента возможности продолжения рода.
Бесплодие 1 степени, что это такое? Врачи описывают эту патологию следующим образом: ни один из пациентов не сталкивался с беременностью; то есть, женщина не рожала, а мужчина не становился отцом ни в отношениях с нынешними партнершами, ни ранее.
Бесплодие 2 степени: что это такое? Такое определение дают заболеванию, когда случаи успешного зачатия были ранее зафиксированы в анамнезе пациента. Другое определение этого диагноза — вторичное бесплодие. Его ставят и в том случае, если у женщины происходили неоднократные выкидыши – это указывает на неспособность организма выносить беременность.
Если у пациентки выявлены врожденные анатомические дефекты строения репродуктивной системы, при которых невозможно зачатие и (или) вынашивание ребенка, ставится диагноз бесплодие 1 степени у женщин. Также данную патологию диагностируют при проблемах с овуляцией.
Причиной могут стать сбои эндокринного характера — проблемы в деятельности гипофиза и гипоталамуса.
Бесплодие 2 степени у женщин спровоцировано иными причинами. Оно может возникнуть из-за иммунологической несовместимости — при произведении организмом антител, блокирующих активность сперматозоидов и препятствующих успешному зачатию.
На наличие у мужчины проблем с репродуктивной функцией указывают низкие качественные показатели спермы.
Бесплодие 2 степени: что это такое
Исходя из данных, полученных путем анализов и обследований, врачи могут сообщить пациенту о наличии репродуктивной дисфункции по той или иной причине. Это может быть как первичное, так и бесплодие второй степени. Поняв, какие факторы воздействия оказались ключевыми в том, что женщина неспособна иметь детей, а все попытки мужчины к оплодотворению заканчиваются неудачами, специалисты могут предложить эффективные методы лечения.
Бесплодие 1 степени встречается ввиду наличия генетических заболеваний или неверного формирования органов. Вторая степень патологии может развиться вследствие операбельного вмешательства при аборте, заболеваниях инфекционного или воспалительного характера. Бесплодие 2 степени приводит к наличию спаек, проблемам с проходимостью фаллопиевых труб и риску внематочной беременности.
Диагноз бесплодие 2 степени нередко озвучивают после выявления заболеваний иммунного характера, эндометриоза, проблемах с овуляцией.
Обе степени бесплодия у женщин могут быть диагностированы как на ранней стадии развития патологии, так и после ряда обследований. Если в организме присутствуют новообразования, мешающие нормальному росту и развитию плода, патологии шейки матки, эрозии, диагноз бесплодие 2 будет озвучен врачами в большинстве случаев.
У мужчин при заболевании этой же степени причиной часто является гормональный дисбаланс или побочные эффекты медикаментозного лечения. Причинами может послужить перенесение системных и воспалительных заболеваний и неудачное хирургическое вмешательство.
Можно ли вылечить первичное бесплодие
Постановка точного диагноза требует прохождения всех необходимых обследований обоими партнерами. Получив результаты, репродуктологи могут предположить возможные варианты дальнейшего развития событий и предложить эффективные методы лечения. Бесплодие первой степени требует иных подходов, нежели вторичное.
Нередко в современном мире у женщин обнаруживается психологическое бесплодие. Это значит, что при нормальных показателях физического здоровья у женщины стоит своего рода психологический барьер на пути к материнству. В таких ситуациях необходима консультация у психотерапевта.
Как лечить вторичное бесплодие
Лечение второй степени бесплодия во многих случаях оказывается эффективным. Но, если проблема серьезна, семейной паре может быть показано обращение к вспомогательным репродуктивным технологиям — экстракорпоральному оплодотворению, ИКСИ и т.д. Следует понимать, что каждая конкретная ситуация является уникальной и требует индивидуального подхода.
Что делать, чтобы не были диагностированы любые степени бесплодия
Избежать диагноза бесплодие помогут определенные меры, предпринимаемые в отношении собственного здоровья: ведите здоровый образ жизни, не пренебрегайте профилактическими посещениями врачей, вовремя лечите возникающие заболевания, не дожидаясь последствий, избегайте рискованных половых контактов и заботьтесь об интимной гигиене.
При появлении любых проблем с репродуктивной функцией обращайтесь в клинику «Центр ЭКО» в Крыму. Наши специалисты проводят лечение вторичного бесплодия и первичного. В клинике пациенты могут пройти все необходимые обследования, на основании которых врачи предложат наиболее эффективную лечебную программу.
что это такое и как выбрать технику с подходящей цифрой?
А почините телефон, он всего-то несколько минут под водой лежал, да, знаю на нем написано не допускать контакта с водой, но ведь в чехольчике…
С подобным запросом часто приходится сталкиваться сотрудникам по ремонту различных гаджетов. Запросы, скажу, разной степени глупости. Да, бывают совсем несуразные, но иногда, с точки зрения пользователя, наблюдается определенная логика.
Например, про степень защиты от влаги. Она же — загадочные буквы IPXY. Вместо Y и X в технических характеристиках устройства ставят определенные цифры от 2 до 8, которые означают, что можно делать с техникой: топить, мочить, брызгать…
Так вот. Многие пользователи думают, что если с телефоном можно плавать, то, естественно, вреда не будет и от похода в душ. Но это не так. Каждая степень защиты индивидуальна и не включает в себя все предыдущие.
Сегодня я подумал: ведь скоро Новый год! Сейчас самое время покупать подарки, напишу-ка статью, как выбрать гаджет по степени влагозащиты ipx! К слову, этой аббревиатурой маркируется вся электроника, включая наушники, умные часы и микроволновки.
Что означает аббревиатура IP?IP — это международный стандарт, классифицирующий степень защиты техники от проникновения в ее святая святых частиц мелких фракций (пыли) и воды.
Обозначения IP, IPX и IPXY используются для определения рейтинга, показывающего насколько хорошо устройство защищено от мелких частиц и жидкости, которые могут навредить внутренностям прибора. Официально IP расшифровывается, как «International Protection» (пер. с англ. — «Международная защита»), так как этот стандарт был придуман Международной электротехнической комиссией (IEC). Но чаще аббревиатуру IP расшифровывают как «Ingress Protection» (пер. с англ. — «Защита от внешнего воздействия»). Цифры, идущие за буквами, указывают степень и вид защиты, которая определяется по ГОСТ 14254-96. Самая популярная маркировка — это IP67 и IP68. Стандарт разработан на основе стандарта МЭК 60529 1989 г. и действует с 1 января 1997 г.
Что означает буква X в аббревиатуре IPX?Первая цифра в маркировке обозначает степень защиты от проникновения твердых тел, например, песка, пыли, металла, не в меру любопытных пальцев. Здесь наблюдается определенная градация: при степени защиты 0 устройство не имеет никакой защиты от пыли, а максимальная возможная степень 6 не допустит попадания мелких частиц даже при длительном воздействии. Интересно, конечно, было бы протестировать, но как? В песок закапывать, что ли?
Вторая цифра, стоящая на месте Y, обозначает защиту от влаги. Она бывает от 0 до 8, где при 0 любая влага вредит оборудованию, а при 8 — любимый гаджет можно погружать на глубину более 1 метра.
Иногда в аббревиатуре встречается только одна цифра, например, IPX7. Это означает, что устройство защищено от влаги 7 степенью, а на предмет защиты от твердых частиц техника не тестировалась.
Виды защиты от влаги и пылиТеперь расскажу подробнее об уровнях защиты, которые можно встретить чаще всего. Сразу обозначу, 8 степень защиты от влаги — не предел, на горизонте маячит 9, однако она крайне редко используется, разве что в узкопрофессиональной технике.
Водозащита IPXОзначает, что устройство не защищено от влаги и даже капля способна его убить. Особенно обидно, ведь капля — это совсем чуть-чуть, да почти что ничего и не было. Мой совет: если у вас гаджет так уязвим, носите его в чехле.
Влагозащита IPX2Если защита 1 степени подразумевает отсутствие вреда от вертикально падающих капель (вдруг дождь), то 2 степень — от капель, падающих под углом 15 градусов. В природе такое явление еще надо поискать, а вот капли пота на пробежке как раз подходят под этот стандарт.
Так что если присматриваете наушники для спорта, то у них должно быть минимум IPX2, иначе быстро сломаются (ну или вы недостаточно стараетесь в спортзале).
Степень защиты от влаги IPX4Так же как и IPX2, используется для спортивных девайсов, но обладает более высокой степенью защиты. Телефон или наушники класса водозащиты IPX4 выдерживают прямые брызги и капли пота. Так что пробежать марафон в дождь с такой техникой не проблема, а вот нырять с ними нельзя.
В качестве примера наушников со степенью защиты IPX4 оставлю тут SoundSport wireless, SoundSport Free и Bose Sport Earbuds. Это спортивные наушники с необычным креплением «бабочкой». Кстати, в свое время я написал подробные обзоры всех моделей.
Стандарт защиты от воды IPX6Это уже серьезная IPX защита от воды. Брызги под разными углами не страшны, наушники с такой влагозащищенностью можно брать в душ, но не слишком часто. Плавать по-прежнему с девайсами нельзя, но! Колонку IPX6 спокойно можно оставить на краю бассейна.
Многие испытания проводятся в пресной воде, что не гарантирует безопасную работу техники в море. От моего коллеги я узнал, что IPX6 выдерживает морскую воду и сильные водяные струи, в отличие от IPX5, где степень защиты наушников гарантирует только защиту от водяных струй с любого направления, без уточнения об их природе.
Водонепроницаемость IPX7/8Устройства с такой защитой можно сколько угодно ронять в лужу, раковину и топить в бассейне. Но время пребывания в жидкости не должно быть дольше 30 минут и тонуть гаджет должен не глубже 1 метра.
Конечно, для подводной съемки рыбок степень защиты недостаточная, но поплавать в свое удовольствие в бассейне или в ванной вполне можно.
Для удобства я собрал все степени водонепроницаемости IPX в одну таблицу:
|
IPXY |
От чего защищает |
Описание |
|
IPX |
Нет защиты |
Даже капля — это вода. Нельзя допускать контакта с влагой от слова совсем. |
|
IPX1 |
Защита от вертикальных капель |
Вертикальные капли не повредят девайс, а вот если они под углом — другое дело. |
|
IPX2 |
Падающие брызги, капли под углом 15 градусов |
Защита от капель пота и дождя, обязательно должна быть на всех устройствах для спорта и улицы. |
|
IPX3 |
Защита от дождя, брызги под углом 60 градусов |
Брызги падают вертикально и под углом 60 градусов к рабочей поверхности гаджета. |
|
IPX4 |
Защита от брызг |
Устройству не грозят брызги, в каком бы направлении они ни летели. |
|
IPX5 |
Струи воды |
Защита от струй в любом направлении. |
|
IPX6 |
Морская вода |
Защита от сильных струй воды, в том числе и соленой. |
|
IPX7 |
Погружение на 1 метр |
Устройство можно держать под водой, но короткий отрезок времени. |
|
IPX8 |
Погружение глубже 1 метра |
Техника может работать даже на глубине более 1 метра продолжительное время. |
Что касается защиты от пыли и других твердых частиц — я отделил мух от котлет и публикую в отдельной таблице, чтобы не возникло путаницы с порядковыми цифрами.
|
IPXY |
От чего защищает |
|
IP1Y |
Защита от твердых объектов более 50 мм, например, от руки |
|
IP2Y |
Защита от твердых объектов более 12 мм, скажем, палец |
|
IP3Y |
Защита от твердых объектов более 2,5 мм (отвертка) |
|
IP4Y |
Защита от твердых объектов более 1 мм, например, винт |
|
IP5Y |
Защита от пыли, ограниченный пропуск частиц |
|
IP6Y |
Защита от пыли максимальная из возможных |
На всякий случай напомню, что более высокая степень защиты вовсе не включает в себя все предыдущие. Если с наушниками можно нырять, то душ их способен буквально убить! Или нет. Чтобы знать точно, надо внимательно читать инструкцию.
Что делать, если IP-маркировки нет?Бывает и такое, что степень защиты не указана. Как быть? Положиться на случай, довериться Вселенной и почитать гарантию. Иногда наушники стирают вместе с курткой и они продолжают работать — это означает, что на самом деле они влагоустойчивые, просто производитель не озаботился провести тестирование и указать соответствующую маркировку.
Но лучше все-таки не испытывать судьбу и внимательно прочесть инструкцию, гарантию и отзывы других покупателей.
Надеюсь, было интересно. До новых встреч!
Марк Авершин, приглашенный эксперт
Что такое степень двойки – 4apple – взгляд на Apple глазами Гика
Ниже представлена таблица степеней числа 2. Она даст нам представление необходимого числа бит, которое нам необходимо для хранения чисел.
Как пользоваться
таблицей степеней числа два?| Степень двойки (n) | Значение степени двойки 2 n | Максимальное число без знака, записанное с помощью n бит | |
| 1 | – | – | |
| 1 | 2 | 1 | – |
| 2 | 4 | 3 | 1 |
| 3 | 8 | 7 | 3 |
| 4 | 16 | 15 | 7 |
| 5 | 32 | 31 | 15 |
| 6 | 64 | 63 | 31 |
| 7 | 128 | 127 | 63 |
| 8 | 256 | 255 | 127 |
| 9 | 512 | 511 | 255 |
| 10 | 1 024 | 1 023 | 511 |
| 11 | 2 048 | 2 047 | 1023 |
| 12 | 40 96 | 4 095 | 2047 |
| 13 | 8 192 | 8 191 | 4095 |
| 14 | 16 384 | 16 383 | 8191 |
| 15 | 32 768 | 32 767 | 16383 |
| 16 | 65 536 | 65 535 | 32767 |
| 17 | 131 072 | 131 071 | 65 535 |
| 18 | 262 144 | 262 143 | 131 071 |
| 19 | 524 288 | 524 287 | 262 143 |
| 20 | 1 048 576 | 1 048 575 | 524 287 |
| 21 | 2 097 152 | 2 097 151 | 1 048 575 |
| 22 | 4 194 304 | 4 194 303 | 2 097 151 |
| 23 | 8 388 608 | 8 388 607 | 4 194 303 |
| 24 | 16 777 216 | 16 777 215 | 8 388 607 |
| 25 | 33 554 432 | 33 554 431 | 16 777 215 |
| 26 | 67 108 864 | 67 108 863 | 33 554 431 |
| 27 | 134 217 728 | 134 217 727 | 67 108 863 |
| 28 | 268 435 456 | 268 435 455 | 134 217 727 |
| 29 | 536 870 912 | 536 870 911 | 268 435 455 |
| 30 | 1 073 741 824 | 1 073 741 823 | 536 870 911 |
| 31 | 2 147 483 648 | 2 147 483 647 | 1 073 741 823 |
| 32 | 4 294 967 296 | 4 294 967 295 | 2 147 483 647 |
Примеры использования таблицы степеней числа два
Например, нам необходимо узнать, в какую степень нужно возвести число 2, чтобы получить 256. Во втором столбце находим число 256 и считываем, что 256 это два в степени восемь.
Аналогично, 2 в 11 степени равно 2048.
2 в 13 степени равно 8,192.
2 в 15 степени равно 32,768
2 в 17 степени равно 131,072
Математика – это очень просто, даже проще, чем мы можем себе представить. Сложной математику делают сами математики.
Страницы
вторник, 18 октября 2011 г.
Степени числа два
| Последовательные степени числа два |
Последовательные степени числа два от до 29 представлены на таблице выше. Начинается таблица степеней числа 2 с показателя степени ноль. Любое число в нулевой степени равняется единице. Поэтому два в степени равняется 1. Любое число в первой степени равняется самому себе. Поэтому 2 в степени 1 равно 2.
Если кому-то мало этой таблицы, тогда можете посмотреть другую, где степени числа 2 представлены до 49-й степени.
| Степени числа 2 от 0 до 49 |
| Степени числа два от 50 до 100 |
Надеюсь, эти таблицы степеней числа 2 от 0 до 100 программистам понравятся. Математики любят совать всякую гадость куда попало. Как достойный ученик я не удержался, чтобы не всунуть в таблицу 2 в степени «пи» и 2 в степени «е». Авось, кому-нибудь из вундеркиндов это пригодится. А теперь маленький кусочек теории.
Два во второй степени означает, что число два нужно умножить само на себя. Поэтому 2 в степени 2 или 2 в квадрате равняется четырем.
Вообще, показатель степени показывает, сколько одинаковых чисел перемножается между собой. Так, два в третьей степени или 2 в кубе означает, что три числа 2 перемножаются между собой и это равняется восьми:
Два в четвертой степени будет произведением четырех двоек:
2 х 2 х 2 х 2 = 16
Эта таблица последовательных степеней числа два очень часто применяется в программировании, поскольку там используется двоичная система система счисления.
В заключение нужно ответить на вопрос вселенского масштаба: а 2 в бла-бла-бла степени на какую цифру заканчивается?
Два в любой степени заканчивается на одну из четырех цифр: 2, 4, 8, 6. Именно в такой последовательности они чередуются. (Евангелие от Меня: под выражением «любая степень» нужно понимать любое положительное целое число за исключением нуля. Аминь.) Искать формулы в Интернете мне откровенно лень. Беру карандаш и бумагу, рисую формулы – не правильно. Вторая попытка – то, что нужно. Несколько проверок – готово. Перед вами четыре формулы. Та формула, в которой при делении получается целое число, показывает, на какую цифру оканчивается два, возведенное в указанную степень.
| Формулы для определения последней цифры |
На картинке приведены два примера использования формул. В первом случае 2 в степени 123456789 заканчивается на цифру 2. Во втором случае 2 в степени 11111 заканчивается на цифру 8.
Несколько ответов на вопросы в комментариях.
2 в 999 степени заканчивается на 88.
2 в 2000 и 2 в 2012 степенях заканчиваются на 6 (оба показателя степени без остатка делятся на 4).
Этот вспомогательный материал, который может быть полезен для подготовки к ГИА по информатике, в частности задач 15 ГИА, задач 1 ГИА, B10 ЕГЭ по информатике
Степени двойки таблица
| 1 | |
| 2 1 | 2 |
| 2 2 | 4 |
| 2 3 | 8 |
| 2 4 | 16 |
| 2 5 | 32 |
| 2 6 | 64 |
| 2 7 | 128 |
| 2 8 | 256 |
| 2 9 | 512 |
| 2 10 | 1024 |
| 2 11 | 2048 |
| 2 12 | 4096 |
| 2 13 | 8192 |
| 2 14 | 16384 |
| 2 15 | 32768 |
| 2 16 | 65536 |
| 2 17 | 131072 |
| 2 18 | 262144 |
| 2 19 | 524288 |
| 2 20 | 1048576 |
Автор: Александр Чернышов
Оцените статью, это очень поможет развитию сайта.
“>
Оцените статью: Поделитесь с друзьями!Как найти степень многочлена
Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.
Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.
Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.
Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:
Вы должны включить следующее:
Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.
Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:
Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105
Или заполните форму ниже:
Британская система дипломов с отличием для студентов | Студенты
Система бакалавриата британских университетов исторически отличалась от большинства других систем по всему миру.Эта система, скорее всего, будет отличаться от той, к которой вы привыкли в школе или колледже.
Вы можете узнать больше о том, как ваша работа будет отмечаться / оцениваться в вашем Справочнике для учащихся, который содержит общую информацию и ключевую информацию, относящуюся к вашей программе на получение степени.
Если вы учитесь на бакалавриате в UCL, вы стремитесь получить его с отличием. С этим типом степени уровень вашей успеваемости по программе обозначается «классом» степени — или отличием, — которую вы присуждаете.Большинство университетов присуждают степень на основе оценок за выполненную вами работу. Чтобы различать студентов на основе их академической успеваемости, присуждение степени бакалавра классифицируется следующим образом:
- с отличием первого класса (70% и выше): степень первого класса, обычно называемая «первой» или первой, это высшая степень с отличием, которую вы можете получить.
- Высшая вторая ступень с отличием (60-70%): существует два уровня второй степени. Второй высший класс, известный как 2: 1 или два-один, является высшим из двух уровней.
- Низший второй класс с отличием (50-60%): 2.2 или два-два — это нижний уровень степени второго класса
- С отличием третьего класса (40-50%): известная как «третья» или 3-я степень, эта степень является самой низкой достижимой степенью с отличием
- Обычная степень: если отличнику не удается достичь третьего класса с небольшим отрывом, ему может быть присуждена обычная степень, то есть без отличия.
Присуждение различных классов с отличием по всей Великобритании
В таблице ниже показано процентное соотношение каждого класса с отличием, присуждаемых в Великобритании, по годам.
Почетные степени Великобритании | 1-е | 2: 1 | 2: 2 | 3-е |
|---|---|---|---|---|
2014/15 | % | 49,5% | 23,0% | 5,5% |
2015/16 | 23,6% | 49,6% | 21.7% | 5,1% |
2016/17 | 25,8% | 49,1% | 20,3% | 4,9% |
| 27,8% | 48,5% | 19,2% | 4,5% | |
2018/19 | 28,4% | 48,3% | 19,0% | 4,3% |
Каким образом Маркировка Великобритании по сравнению с другими странами?
Обратите внимание, что этот раздел предназначен для предоставления общей информации о том, как оценивание в секторе высшего образования Великобритании сравнивается с системами оценивания в других странах.Эта информация не относится к допуску в UCL и не должна толковаться в контексте требований к поступлению в UCL.
Прочтите дополнительную информацию о международных академических требованиях UCL.
Полный спектр эквивалентов можно найти на веб-сайте UK Graduate Recruitment Bureau — таблица ниже дает некоторые сравнения.
Тип степени | Оценка UCL | США | Шкала ECTS | Китай (GPA 4.0 шкала) | Германия | Италия | Индия | Нидерланды и Испания | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1-е | 70-100% | 02 A A | 90% (3,7) | Sehr gut | 108 | 75% | 9 | ||||||
2: 1 | 900 69%A- | B | 80% (3.3) | Кишка Кишка | 94 | 60% | 7 | ||||||
60-64% | |||||||||||||
55-59% | B | C | 75% (2,9) | Gut — 0 | 2 9002 84 50% | 6 | |||||||
50-54% | B- | Befriedigend + | 52 | 46-49% | C + | D | 900 02 Бефридигенд | ||||||
43-45% | C | 0002 D | |||||||||||
40-42% | C- | D | |||||||||||
Отказ | 0-39% | F | F | Ungenügend3 003 |
Определение степени и ведущего коэффициента многочленов
Только что найденная формула является примером полинома , который представляет собой сумму или разность членов, каждый из которых состоит из переменной, возведенной в неотрицательную целую степень. {2} + {a} _ {1} x + {a} _ {0 } [/ латекс]
Каждое действительное число a i называется коэффициентом .{i} [/ latex] — это член полинома , равный . Наивысшая степень переменной, которая встречается в полиноме, называется градусом полинома. Старший член — это член с наивысшей степенью, а его коэффициент называется старшим коэффициентом .
Как: для данного полиномиального выражения определите степень и старший коэффициент.
- Найдите наибольшую степень x , чтобы определить градус.
- Определите член, содержащий наибольшую степень x , чтобы найти главный член.{6} + 2х — 6 [/ латекс].
Решение
градусов | Определение второй степени по Merriam-Webster
Определение
второй степени(запись 1 из 2)
1 США, преступления : с уровнем серьезности ниже первой степени : заслуживает наказания, но не самого сурового наказания вторая степень нападение / убийство
2 : причинение травмы средней степени тяжести Получил / получил ожогов второй степени, ожогов. сотрясение мозга второй степени
Определение второй степени (запись 2 из 2)
США
: уровень преступления ниже первой степени и заслуживает менее сурового наказания. Ему было предъявлено обвинение в нападении второй степени.
Что такое 2.1 степень, а стоит ли 2,2 градуса чего-нибудь?
Известный своими высокими стандартами образования, обучение на степень магистра в Великобритании особенно удобно для иностранных студентов. Тем не менее, международные правила приема могут быть сложными, и в Великобритании это не исключение. Вы можете столкнуться с очень специфическими требованиями для участия, такими как «степень бакалавра с оценкой 2,2 или третьей». Что означают эти числа?
Степень классификации
System International Кандидаты на получение степени магистра в Великобритании должны будут иметь международную степень бакалавра, соответствующую тому же стандарту, который требуется для получения степени бакалавра в Великобритании.
В Великобритании степень бакалавра может быть присуждена с отличием или без. Классификация степени зависит от структуры оценок. Вот что означают цифры:
- Отличие первого класса (1-е): это высшая степень. Обычно средний общий балл 70% +
- С отличием второй степени, высшая ступень (2,1): обычно , средний общий балл за экзамен 60% +
- Знак отличия второго класса, низший дивизион (2.2): обычно , средний общий балл 50% +
- С отличием третий класс (3-е место): обычно , средний общий балл 40% +
Обычная степень (проход): степень без отличия. Как правило, для получения степени для магистерской программы необходимо иметь как минимум диплом с отличием второго класса, нижний раздел (2.2), , который иногда называют с отличием второго класса.
Некоторые не ставят точную оценку и просят о «хорошей степени с отличием», что обычно означает первую или 2.1.
Международные сравнения
Британская классификация бакалавриата применялась во многих других странах. Например, если ваш бакалавр из Канады, Индии или Нигерии, вы можете обнаружить, что система очень похожа на эту, но с ее собственными вариациями. Совсем другое дело, если вы не из стран, которые следуют этой системе.
США
Нидерланды
Испания
Франция
Что это значит для вас
Приведенные здесь сравнения являются общим руководством.Есть много вещей, которые следует учитывать, особенно ожидания от программы, нюансы и то, получили ли вы трехлетнюю или четырехлетнюю степень.
Например, даже если ваша степень бакалавра соответствует более низкому уровню награды, чем та, которая указана в критериях отбора, t приемная комиссия может по-прежнему считать вас хорошим кандидатом, если у вас есть правильный академический или профессиональный опыт.
В конце концов, лучший человек, который даст вам обратную связь о том, как сделать ваше заявление идеальным — эксперт по приему, связанный со школой! Они могут выполнить проверку перевода кредита и предоставить вам внутреннюю информацию о программе.
Если у вас есть возможность получить личную помощь, воспользуйтесь ею. Это определенно поможет вам получить преимущество в программе вашего магистра.
Прочтите следующее: Что такое степень MBA и 5 причин, почему вам ее нужно
2.7 Средняя степень | Социальные сети: введение
Средняя степень
Возвращаясь к неориентированному графу на рисунке 1.3, мы можем подсчитать, что у него девять узлов. Хотя подсчитать немного сложнее, у графа 32 ребра. Хотя рисунок 1.3 имеет только 16 линий, соединяющих узлы, мы должны помнить, что эти линии представляют собой взаимные отношения. Таким образом, на самом деле, действительно есть связи, отправляемые в обе стороны, и поэтому количество строк должно быть удвоено, чтобы точно отразить количество фактических связей / ребер, встречающихся в сети. Зная это, мы можем приступить к вычислению некоторых математических свойств сети.
Средняя степень — это просто среднее количество ребер на узел в графе. Расчет относительно несложный.
Всего ребер / Всего узлов = Средняя степень
Таким образом, для рисунка 1.3 средний градус графика равен 3,56 или 32, разделенным на 9. Несмотря на прямолинейность, он предоставляет мощный инструмент для анализа социального мира.
Например, если у нас есть два школьных клуба одинакового размера, и мы спрашиваем студентов, с кем они дружат в клубе, мы можем получить очень разные средние степени. Предположим, что средняя степень в первой сети равна двум, а во второй — пяти.Эта статистика сообщает нам, что люди во второй сети имеют больше друзей в группе, чем в первой сети. Если нас интересует, почему первая группа потерпела неудачу, а вторая группа продолжала встречаться, мы могли бы понять, что лежащие в основе социальные отношения дружбы, которые можно было бы предположить как способствующие выживанию клубов, с самого начала были слабее в первой группе, чем они. попали во вторую группу. Таким образом, мы можем понять причины и / или основные условия, которые формируют социальный мир.
Точно так же ориентированный граф на рисунке 1.4 имеет семь узлов и 11 ребер. Граф имеет только 11 ребер, потому что граф направлен, а это означает, что иногда отношения не являются взаимными, хотя могут быть. Таким образом, нет необходимости «удваивать» количество линий, как в случае неориентированной сети. Средняя степень на графике рисунка 1.4 составляет 1,57 (11/7).
Однако говорить о средней степени в направленной сети не имеет смысла. Это потому, что направление связей, вероятно, будет значимым.Вместо этого теоретический интерес представляет внутренняя и внешняя степень. Кроме того, поскольку для каждой связи в сети есть отправитель и получатель, любая попытка вычислить средний внутренний или конечный градус приведет к тому же ответу, что и вычисление средней степени (т. Е. 1,57 — это средний внутренний градус, средний диплом и средний диплом).
Средняя степень
Возвращаясь к неориентированному графу на рисунке 1.3, мы можем подсчитать, что у него девять узлов.Хотя подсчитать немного сложнее, у графа 32 ребра. Хотя на рис. 1.3 всего 16 линий, соединяющих узлы, мы должны помнить, что эти линии представляют собой взаимные отношения. Таким образом, на самом деле, действительно есть связи, отправляемые в обе стороны, и поэтому количество строк должно быть удвоено, чтобы точно отразить количество фактических связей / ребер, встречающихся в сети. Зная это, мы можем приступить к вычислению некоторых математических свойств сети.
Средняя степень — это просто среднее количество ребер на узел в графе.Расчет относительно несложный.
\ [ \ begin {уравнение} Средняя степень = \ frac {Total Edges} {Total Nodes} = \ frac {m} {n} \ end {уравнение} \] Всего ребер Общее количество узлов = Средняя степень
Таким образом, для рисунка 1.3 средний градус графика равен 3,56 или 32, разделенным на 9. Несмотря на прямолинейность, он предоставляет мощный инструмент для анализа социального мира.
Например, если у нас есть два школьных клуба одинакового размера, и мы спрашиваем студентов, с кем они дружат в клубе, мы можем получить очень разные средние степени.Предположим, что средняя степень в первой сети равна двум, а во второй — пяти. Эта статистика сообщает нам, что люди во второй сети имеют больше друзей в группе, чем в первой сети. Если нас интересует, почему первая группа потерпела неудачу, а вторая группа продолжала встречаться, мы могли бы понять, что лежащие в основе социальные отношения дружбы, которые можно было бы предположить как способствующие выживанию клубов, с самого начала были слабее в первой группе, чем они. попали во вторую группу.Таким образом, мы можем понять причины и / или основные условия, которые формируют социальный мир.
Точно так же ориентированный граф на рисунке 1.4 имеет семь узлов и 11 ребер. Граф имеет только 11 ребер, потому что граф направлен, а это означает, что иногда отношения не являются взаимными, хотя могут быть. Таким образом, нет необходимости «удваивать» количество линий, как в случае неориентированной сети. Средняя степень на графике рисунка 1.4 составляет 1,57 (11/7).
Однако говорить о средней степени в направленной сети не имеет смысла.Это потому, что направление связей, вероятно, будет значимым. Вместо этого теоретический интерес представляет внутренняя и внешняя степень. Кроме того, поскольку для каждой связи в сети есть отправитель и получатель, любая попытка вычислить средний внутренний или конечный градус приведет к тому же ответу, что и вычисление средней степени (т. Е. 1,57 — это средний внутренний градус, средний диплом и средний диплом).
Таким образом, узел B на рисунке 1.4 имеет входящую степень, равную трем, потому что узлы A, D и C отправляют связи, в то время как узел B имеет исходящую степень, равную двум, поскольку он отправляет связи A и D.Представьте, что на рис. 1.4 изображена сеть дружбы. Таким образом, это было бы так, как если бы A, D и C видели в B как друга, а B видит только A и D как друзей. Помня об этой разнице в связях, мы можем использовать сетевые методы, чтобы раскрыть социальную структуру в реальном мире.
Degree and Path Length
Прочтите о том, насколько важны свойства сетей Degree и Path Length для понимания различий между Facebook, Twitter и LinkedIn
Основные знания:
- Степень узла — это количество подключений, которые он имеет к другим узлам в сети.В социальной сети, если у вас 100 друзей, то узел, который представляет вас, имеет степень 100.
- Длина пути — это просто расстояние между двумя узлами, измеренное как количество ребер между ними. Если Эми — друг Брэда, а Брэд — друг Кальвина, то длина пути между Эми и Кэлвином равна 2.
Возможно, вас заинтересует:
График — это математическое представление сети. Чтобы понять, что такое Степень и Длина пути, нам нужно рассмотреть графики более подробно.Давайте начнем с Facebook , относительно простой сети, поскольку она является примером неориентированного графа , что означает, что ребра представляют отношения, которые одинаково верны в обоих направлениях. Например, рассмотрим сети сотрудничества или дружеские отношения в Facebook; если вы сотрудничаете с кем-то или добавляете кого-то в друзья в Facebook, не имеет значения, кто инициировал эти отношения, как только вы добавите кого-то в свой список друзей, вы также появитесь в качестве друга в списках их друзей.Следовательно, в неориентированном графе направление ребер не важно. Это означает, что в неориентированной сети угол градусов узла — это просто сумма всех связанных с ним ребер. Например, рассмотрим следующую сеть: Средняя степень неориентированного графа используется для измерения количества ребер по сравнению с количеством узлов.Для этого мы просто делим сумму степеней всех узлов на общее количество узлов. Например, на графике выше узлы имеют следующие степени: A = 2, B = 2, C = 4, D = 2, E = 3, F = 2, G = 2, H = 1. Сложив все это вместе, мы получим 18, а поскольку узлов 8, средняя степень равна 18, деленному на 8, или 2,25. В графе путь представляет собой последовательность узлов, в которой каждый узел соединен ребром со следующим. Длина пути соответствует количеству ребер на пути. Например, в сети выше пути между A и F следующие: ACDF, ACEF, ABCDF, ABCEF с длинами пути 3,3,4,4 соответственно.Кратчайшие пути — это первые два. Обратите внимание: поскольку направление не имеет значения, пути симметричны, поэтому пути от A до F просто обратны путям от F до A. LinkedIn — хороший пример социальной сети, которая использует пути и длину пути, чтобы показать, как вы можете общаться с другими людьми. Когда вы смотрите на чью-то страницу профиля, она вычисляет кратчайший путь от вас к нему и показывает вам первого человека на этом пути, который может вас познакомить.Считайте свой узел в социальной сети.Какая у вас степень и как она соотносится с другими людьми в той же сети?
Если вам действительно интересно:
Структура сети может быть более сложной, чем в приведенном выше примере. В направленной сети ребра между узлами имеют исходный узел и целевой узел, другими словами, связь работает только в одном направлении. Twitter — это социальная сеть, которая использует направление — в Twitter, когда вы подписаны на кого-то, это не означает, что они подписаны на вас. С другой стороны, Facebook — это ненаправленная сеть: когда вы становитесь другом человека, он также становится вашим другом.Таким образом, вычислить средний уровень в управляемой сети, такой как Twitter, немного сложнее. В некоторых сетях также имеет смысл размещать веса на ребрах, чтобы показать, насколько они сильны или слабы по отношению к другим ребрам в графе. Например, рассмотрим сеть киноактеров, в которой актеры связаны между собой, если они вместе снялись в одном фильме. В этом примере вес может представлять количество раз, когда они играли вместе. Два актера, связанных с большим весом, более тесно связаны (они вместе снимались в большем количестве фильмов), чем двое, связанных с низким весом.Некоторые сети являются одновременно направленными и взвешенными. Ebay — хороший тому пример. Узлы сети Ebay — это люди, а ребра — продажа. Он направлен потому, что если я что-то покупаю у вас, это отличается от того, что вы покупаете что-то у меня. И это взвешено, так как я мог покупать много раз у одного человека, но только один раз у другого. Моделирование сетей как ребер и узлов, с направлением и весом и без него, полезно, поскольку оно позволяет нам разрабатывать инструменты для анализа сетей и понимания их поведения, а затем применять их ко всем видам реальных сетей независимо от того, какие узлы и ребра на самом деле представлять.