Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука
Похожие вопросы
Вычислить объем параллелепипеда построенного на векторах а=3i+4j, b=-3j+k, c=2i+5k.
Решено
Добрый день. Как пишется слово «а то»?? Через дефис или без него? Почему? -то является частицей?
Решено
Сирена пожарной машины включается каждые две секунды. С какой скоростью
(км/ч) мчится эта машина, если наблюдатель, к которому она приближается,
слышит звуки сирены с интервалом 1,8 с?
На десяти прозрачных карточках записаны числа от 0 до 9 Пони наложил карточки 0 3 и получил очень красивую картинку. А какие ещё пары карточек он мог наложить чтобы получить точно такую же картинку
Лодка, скорость которой в 15 км / ч в неподвижной воде идет на 30 км вниз по течению и возвращается в общей сложности 4 часа 30 минут. Скорость потока (в км / час)
Пользуйтесь нашим приложением
Лекция_05 — презентация онлайн
2) Характеристическое уравнение имеет действительные кратные корни. В этом случае каждому вещественному корню ki кратности m соответствует в общем решении слагаемое следующего вида C1 C 2 x C3 x 2 … C m x m 1 e ki x . Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения y 3 y 3 y y 0 . Характеристическое уравнение имеет вид k 1 3 0 , то есть k 1 – корень кратности 3. Следовательно, фундаментальная система решений состоит из функций y1 e x , y 2 xe x , y 3 x 2 e x , а общее решение можно записать в виде y (C1 C 2 x C3 x 2 )e x . 3) Корни характеристического уравнения комплексные. 3.1 Дифференциальное уравнение второго порядка. В данном случае корни характеристического уравнения образуют пару комплексно сопряженных чисел k1 i и k2 i , i 2 1 , фундаментальная система решений имеет вид y1 e ( i ) x , y2 e ( i ) x , общее решение имеет вид y C1e ( i ) x C 2 e ( i ) x . Можно доказать, что фундаментальную систему решений можно записать в виде y1 e x cos x, y 2 e x sin x , а общее решение можно записать в виде y e x C1 cos x C2 sin x . Пример. Найти общее решение уравнения y 6 y 10 0 . Характеристическое уравнение имеет вид k 2 6k 10 0 . Следовательно, корни характеристического уравнения: k1,2 3 i . Фундаментальная система решений имеет вид y1 e 3 x cos x, y 2 e 3 x sin x . Поэтому общее решение заданного уравнения имеет вид: y e 3 x (C1 cos x C2 sin x). 3.2 Дифференциальное уравнение третьего и более высокого порядка В данном случае каждой паре комплексно сопряженных корней k1 i и k2 i кратности m соответствуют 2m частных решений e x cos x, xe x cos x,…, x m 1e x cos x , e x sin x, xe x sin x,…, x m 1e x sin x . Пример. Решить дифференциальное уравнение y ( 4) 8 y 16 y 0 . Характеристическое уравнение имеет вид 2 k 4 8k 2 16 0 или k 2 4 0 . Следовательно, k 2i – корни характеристического уравнения кратности m 2 , фундаментальная система решений имеет вид cos 2 x, x cos 2 x, sin 2 x, x sin 2 x, общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид y (C1 C2 x) cos 2 x (C3 C4 x) sin 2 x . § 6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Частное и общее решения. Методы нахождения частного решения Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) n-го порядка и соответствующее линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) y ( n ) a1 ( x) y ( n 1) … an 1 ( x) y an ( x) y f ( x) , (6.1) y ( n ) a1 ( x) y ( n 1) … an 1 ( x) y an ( x) y 0 . (6.2) Теорема. Общее решение yн линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ) равно сумме общего решения yo соответствующего линейного однородного уравнения (ЛОДУ) и какоголибо частного решения yч линейного неоднородного уравнения: yн yо y ч . (6.3) Основной задачей в данном случае является нахождение частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ). Подбор частного решения для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (метод неопределенных коэффициентов). В случае постоянных коэффициентов a1 , a2 ,…, an 1 и некоторых видов правой части линейного неоднородного дифференциального уравнения (6.1) можно подобрать частное решение в виде функции с неопределенными коэффициентами, которые определяются путем подстановки этой функции в уравнение (6.1). Рассмотрим эти случаи. 1) f x A0 x s A1 x s 1 … As , an 0 . В этом случае существует частное решение уравнения (6.1), имеющее вид: y ч B0 x s B1 x s 1 … Bs , an 0 . Действительно, подставив эту функцию в уравнение (6.1) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим имеющую единственное решение систему линейных уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов B0 , B1 ,…, Bs . Пример. Найти общее решение уравнения y 3 y 2 y 3x 5 . 1) Находим y0. Характеристическое уравнение имеет вид k 2 3k 2 0 , следовательно, его корни имеют вид k1 1 , k 2 3 , общее решение однородного уравнения имеет вид yо C1e x C 2 e 2 x . 2) Находим yч. Будем искать частное решение в виде yч Ax B . Тогда получим yч A, yч 0 . Подставляя выражения для yч , yч , yч в заданное дифференциальное уравнение, получим уравнение: 3 A 2 Ax 2 B 3x 5 , из которого, после приравнивая коэффициентов при степенях x, имеем систему линейных уравнений 2 A 3 , 3 A 2 B 5 . Решение системы дает 3 19 3 19 A , B , yч x . 2 4 2 4 3) Общее решение yн исходного уравнения имеет вид: 3 19 yн C1e x C 2 e 2 x x . 2 4 2) an an 1 … an 1 0, an 0 , т.е. k 0 является α– кратным корнем характеристического уравнения. Тогда частное решение имеет вид: y ч ( B0 x s B1 x s 1 … Bs ) x . Пример. Найти общее решение уравнения y 3 y 2 x 2 5 . 1) Находим y0. Характеристическое уравнение имеет вид k 3 3k 2 0 , его корни имеют вид k1 0 кратность 2 , k 2 3 , общее решение однородного уравнения имеет вид yо C1 C 2 x C3e 3 x . 2) Находим yч. Будем искать yч в виде у ч ( Ах 2 Вх С ) х 2 Ах 4 Вх 3 Сх 2 , Тогда получим уч 4 Ах 3 3Вх 2 2Сх, уч 12 Ах 2 6 Вх 2С , уч 24 Ах 6 В. Подставляя выражения для yч , yч , yч , yч в заданное дифференциальное уравнение, получим уравнение: 24 Ах 6 В 36 Ах 2 18 Вх 6С 2 х 2 5 , из которого, после приравнивая коэффициентов при степенях x, имеем систему линейных уравнений 36 A 2, 24 A 18B 0, 6 B 6C 0. Решая эту систему, получаем 1 2 49 A ,B ,C . 18 27 54 Следовательно, общее решение уравнения имеет вид: 1 4 2 3 49 2 3x yн C1 C2 x C3e x x x . 18 27 54
01.19
01.19
Будем искать yч в виде
)/3