Даны вершины тетраэдра найти длину его высоты опущенной из вершины: Даны координаты вершин пирамиды (тетраэдра)… Решение задач и контрольных работ по высшей математике онлайн

Даны координаты вершин пирамиды (тетраэдра)… Решение задач и контрольных работ по высшей математике онлайн

Краткая теория


Вузовская аналитическая геометрия отличается от курса школьной геометрии. Главное отличие состоит в том, что она основным своим инструментом имеет набор алгебраических формул и методов вычислений. В основе аналитической геометрии лежит метод координат. Аналитическая геометрия имеет набор формул, готовых уравнений и алгоритмов действия. Для успешного и правильного решения главное — разобраться и уделить задаче достаточно времени.

Данная задача является типовой в курсе аналитической геометрии и требует использования различных методов и знаний, таких как декартовые прямоугольные координаты и вектора в пространстве.

Пример решения задачи

Даны координаты вершин пирамиды  . Найти:

  • длину ребра ;
  • угол между ребрами  и ;
  • угол между ребром  и гранью ; 
  • площадь грани ;
  • объем пирамиды;
  • уравнения прямой ;
  • уравнение плоскости ;
  • уравнения высоты, опущенной из вершины  на грань .

Сделать чертеж.

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Решение

Длина ребра

Длину ребра  найдем по формуле расстояния между 2-мя точками:

Угол между ребрами

Угол между ребрами  и  найдем как угол между направляющими векторами   и :

Косинус угла между векторами:

Угол между ребром и гранью. Векторное произведение

Вычислим угол между ребром  и гранью .

Для этого вычислим координаты нормального вектора плоскости  –им будет векторное произведение векторов   и .

 

Найдем векторное произведение. Для этого вычислим определитель:

Нормальный вектор плоскости:   

Синус угла:

 

Площадь грани

Вычислим площадь грани . Она будет численно равна половине модуля векторного произведения векторов     и  :

Искомая площадь:

 

Объем пирамиды. Смешанное произведение векторов

Вычислим объем пирамиды. Он будет равен шестой части модуля смешанного произведения векторов   и :

Для того чтобы вычислить смешанное произведение, необходимо найти определитель квадратной матрицы, составленной из координат векторов:

Искомый объем пирамиды:

Уравнение прямой в пространстве

Вычислим уравнение прямой .   Направляющим вектором искомой прямой является вектор . Кроме того, прямая проходит через точку  

Уравнение искомой прямой:

 

Уравнение плоскости

Вычислим уравнение плоскости . Нормальный вектор плоскости . кроме того, плоскость проходит через точку

 -уравнение грани  

 

Уравнение высоты, опущенной на грань

Составим уравнение высоты, опущенной на грань  из вершины :

Нормальный вектор  является направляющим вектором высоты, кроме того, высота проходит через точку  

Искомое уравнение высоты:

Сделаем схематический чертеж:

Резников е.А.

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 1

Матрицы и системы линейных уравнений.

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Челябинск

2011

ВАРИАНТ 1

1) Вычислить определитель .

2) Найти матрицу , где .

3) Решить систему линейных уравнений тремя способами: а)по формулам Крамера; б)с помощью обратной матрицы; в)методом Гаусса.

4) Найти площадь параллелограмма и острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах: , если .

5) Найти единичный вектор , перпендикулярный векторам и такой, что векторы образуют левую тройку.

6)Даны вершины треугольника А(-1; 7; 1), B(3; -1; -2), C(-5; 3; 1). Вычислить его высоту, проведенную из вершины В и косинус внутреннего угла В.

7) Даны вершины треугольника А(7; 14), В(10; -5), С(1; 12). Найти точку пересечения высоты, опущенной из вершины В, и медианы, проведенной из вершины С. Найти острый угол между ними и расстояние от этой медианы до вершины А.

8) Найти точку В, симметричную точке А( 1; 4; 15) относительно плоскости .

9) Даны вершины треугольника А(3; -1; -5), В(-9;-37; -29), С(-3; -31; -13) . Найти канонические уравнения высоты и медианы, проведенных из вершины С, а также острый угол между ними.

10) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(2; -4; 1) параллельно прямой и вектору .

11) Даны вершины тетраэдра A( 3; -1 ; 0 ), B( -6 ; 0; 1), C( 0; 8; 0), D( 4; 5 ; -5). Найти длину высоты тетраэдра, опущенную из вершины D, угол между гранью ABD и основанием ABC и угол между ребром AD и плоскостью основания АВС.

12) Установить, что уравнение определяет гиперболу, и найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис. Изобразить эту линию на чертеже.

1) Вычислить определитель .

2) Найти матрицу , где .

3) Решить систему линейных уравнений тремя способами: а)по формулам Крамера; б)с помощью обратной матрицы; в)методом Гаусса.

4) Найти площадь параллелограмма и острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах: , если .

5) Найти единичный вектор , перпендикулярный векторам и такой, что векторы образуют левую тройку.

6) Даны вершины треугольника А(2; -1; 0), B(-2; 1; 1), C(2; 2; -1). Вычислить его высоту, проведенную из вершины В и косинус внутреннего угла В.

7) Даны вершины треугольника А(5; -13), В(22; 4), С(1; 3). Найти точку пересечения высоты, опущенной из вершины В, и медианы, проведенной из вершины С. Найти острый угол между ними и расстояние от этой медианы до вершины А.

8) Найти точку В, симметричную точке А( -8; -1; -25) относительно плоскости .

9) Даны вершины треугольника А(3; -1; 5), В(-9; -13;-19), С(-3; -15; -9) . Найти канонические уравнения высоты и медианы, проведенных из вершины С, а также острый угол между ними.

10) Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки А(4; -3; 4) и В(3; 1; 3) параллельно прямой .

11)Даны вершины тетраэдра A( 3 ; -6; 6), B( 9; 7; 3), C( 6; 1; -7), D( -6 ; 5; 8). Найти длину высоты тетраэдра, опущенную из вершины D, угол между гранью ABD и основанием ABC и угол между ребром AD и плоскостью основания АВС.

12) Установить, что уравнение определяет гиперболу, и найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис. Изобразить эту линию на чертеже.

Геометрия

. Как найти длину от вершины тетраэдра до его грани с помощью векторных методов?

спросил

Изменено 5 лет, 6 месяцев назад

Просмотрено 4к раз

$\begingroup$

Предположим, что длина каждого ребра правильного тетраэдра равна $x$ и

a , b , c представляют векторы положения из начала координат O и точек A, B, C. Как найти расстояние от вершины до противоположной грани?

Я думал, что должен использовать концепцию скалярных произведений и т. д., чтобы ответить на этот вопрос, но мое решение не включает никаких векторов и в значительной степени геометрическое. Ответ не совпадает.

Мой мыслительный процесс:

  1. Поскольку это правильный тетраэдр, все его стороны являются равносторонними треугольниками.

  2. Я разделил основание тетраэдра (один треугольник) на 3 области, используя центр тяжести грани, чтобы получить 3 равнобедренных треугольника.

  3. Пусть расстояние от вершины до центроида треугольной грани тетраэдра равно $k$. Поскольку я знаю, что длина наибольшей стороны равнобедренного треугольника равна $x$, я использую правило синусов $\frac{\sin(30)}{k} = \frac{\sin(120)}{x}$ чтобы получить мое значение $k$ с точки зрения $x$.

  4. Теперь у меня есть новый треугольник с гипотенузой $x$ и основанием $k$. Я использую теорему Пифагора, чтобы получить ответ.

Может ли кто-нибудь показать мне, где мой мыслительный процесс пошел не так, или указать направление, в котором я должен подойти к этому вопросу?

  • геометрия
  • векторы

$\endgroup$

4

$\begingroup$

Используем ортогональную систему отсчета с $O$ в начале координат, $\mathbf a$ вдоль первой оси (единичный вектор $\hat i$), $\mathbf b$ в $\hat i\hat j$ плоскости и $\mathbf c$ с компонентами по всем трем осям.

2$$ Подставляя предыдущие значения для $\alpha$ и $\beta$, получаем $$\gamma=x\sqrt\frac{2}{3}$$

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Поскольку вы должны использовать «векторные методы», вот способ приблизиться к этому. Вектор $\mathbf n=\mathbf a\times\mathbf b$ ортогонален грани $\triangle{OAB}$. Тогда расстояние $C$ от этой грани равно длине проекции $\mathbf c$ на $\mathbf n$, а именно, $${|\mathbf n\cdot\mathbf c|\over\|\mathbf n\|}={|\mathbf a \times\mathbf b\cdot\mathbf c| \over \|\mathbf a\times\mathbf b\|}.$$

$\endgroup$

$\begingroup$

Поместите тетраэдр в четырехмерное пространство с вершинами в точках $ (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)$ и $( 0,0,0,1)$. Ребра равны $\sqrt{2}$. Центр одной стороны равен $(1/3,1/3,1/3,0)$, а его расстояние от $(0,0,0,1)$ равно $\sqrt{4/3}$. Таким образом, ваш ответ $\sqrt{2/3}$

$\endgroup$

5

Как найти объем тетраэдра

Все математические ресурсы верхнего уровня ISEE

6 Диагностические тесты 244 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Справка по математике верхнего уровня ISEE » Геометрия » Твердая геометрия » Тетраэдры » Как найти объем тетраэдра

В трехмерном пространстве четыре вершины тетраэдра — тела с четырьмя гранями — имеют декартовы координаты.

Назовите его объем.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Тетраэдр — это треугольная пирамида, и его можно рассматривать как таковую.

Три вершины —  — находятся на -плоскости и могут рассматриваться как вершины треугольного основания. Этот треугольник, как показано ниже, равнобедренный:

Его основание и высота равны 18, поэтому его площадь равна

Четвертая вершина находится вне -плоскости; его перпендикулярное расстояние к вышеупомянутой грани равно его -координате, 9, так что это высота пирамиды. Объем пирамиды 

Сообщить об ошибке

В трехмерном пространстве четыре вершины тетраэдра — тела с четырьмя гранями — имеют декартовы координаты, где .

Укажите его объем в единицах .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Тетраэдр — это треугольная пирамида, и его можно рассматривать как таковую.

Три вершины —  — находятся на горизонтальной плоскости и могут рассматриваться как вершины треугольного основания. Этот треугольник, как показано ниже, равнобедренный:

Его основание равно 12, а высота – 15, поэтому его площадь равна

. Четвертая вершина находится вне этой плоскости; его перпендикулярное (вертикальное) расстояние до вышеупомянутой грани — это разница между -координатами, , так что это высота пирамиды. Объем пирамиды

 

 

Сообщить об ошибке

В трехмерном пространстве четыре вершины тетраэдра — тела с четырьмя гранями — имеют декартовы координаты.

Укажите его объем в единицах .

Возможные ответы:

Правильного ответа нет среди других вариантов.

Правильный ответ:

Объяснение:

Тетраэдр — это треугольная пирамида, и его можно рассматривать как таковую.

Три вершины —  — находятся на горизонтальной плоскости и могут рассматриваться как вершины треугольного основания. Этот треугольник, как показано ниже, является равнобедренным (рисунок не в масштабе):

Его основание равно 20, а высота 9, поэтому его площадь равна

. Четвертая вершина находится вне этой плоскости; его перпендикулярное (вертикальное) расстояние до вышеупомянутой грани — это разница между -координатами, , это высота пирамиды. Объем пирамиды

Сообщить об ошибке

В трехмерном пространстве четыре вершины тетраэдра — тела с четырьмя гранями — имеют декартовы координаты.

Каков объем этого тетраэдра?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Тетраэдр выглядит так:

 это начало координат и  другие три точки, которые находятся на расстоянии двенадцати единиц от начала координат, каждая на одной из трех (взаимно перпендикулярных) осей.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *