Дифференциальные уравнения онлайн второго порядка: Дифференциальные уравнения. Пошаговый калькулятор

Содержание

Дифференциальные уравнения определение, типы ДУ, теория, как решать ДУ первого и второго порядка, методы и примеры подробных решений, онлайн-калькулятор

Многих людей, хоть как-то изучавших курс высшей математики в учебном заведении, приводит в ужас словосочетание «дифференциальные уравнения».

Согласно строгому научному определению в книгах – так именуются математические выражения, где в состав входят функция, ее производная или параметр.

Имеется достаточно большое количество типов этих равенств, рассмотрим подходы к их решению так, чтобы они были понятны даже для «чайников».

Дифференциальные уравнения первого порядка

Обыкновенное диффуравнение (ДУ) 1-го порядка задается относительно некой функции, имеющей вид у(х):

F(x,y(x),y´(x)) = 0,

здесь, F(x,y,y’) – это функция, задающаяся для трех аргументов (в этом примере для х, у и у’).Таково строгое математическое определение ДУ.

Для примера можно привести следующее уравнение:

xy'(x) — y(x)2 = 0

функция вида F(x,y,p) = xp — y2

Простейшие ДУ первого порядка

Общепринятый механизм нахождения решения таких выражений (чаще всего похожи на y’ = f(x)) – это интегрирование левой и правой части такого уравнения на заданном промежутке Х.

После интегрирования получим такое выражение:

∫ y’dx = ∫ f(x)dx

Воспользовавшись свойствами, которые относятся к интегральным выражениям, упростим выражение до вида:

y = F(x) + N

здесь, F(x) – это первообразная от функции f(x) на заданном интервале Х, а N – случайным образом выбранная константа.

Задача №1

Необходимо определить все возможные варианты решения диффуравнения, имеющего вид

Последовательно рассмотрим решение.

Представленное диффуравнение может иметь смысл только при действительных значениях параметра х. Примем условие, что x ≠ 0, тогда выражение легко преобразовывается в следующее:

Если же, напротив, принять, что х = 0, то выражение приобретет следующий вид, характерный для любых функций y’, удовлетворяющих данному условию:

Можно заключить, что решением при справедливости условия х = 0 будет любая функция у, найденная, когда аргумент равен нулю. Остается только проинтегрировать полученное диффуравнение:

Данное выражение – это решение для приведенного диффуравнения.

ДУ с разделяющимися переменными

Среди дифуров 1-го порядка можно выделить такие, где все переменные х и у можно преобразовать так, что они окажутся по разные стороны от знака равенства.

Соответственно уравнения, где путем преобразований это возможно сделать, называются диффуравнениями с разделяющимися переменными.

Их общий вид следующий:

После проведения нескольких преобразований, это выражение может быть сведено к следующему виду:

При составлении преобразований необходимо внимательно разделять переменные, не допуская, чтобы функции обращались в ноль, иначе возможна потеря некоторых значений.

Задача №2

Рассмотрим обыкновенный пример. Необходимо определить все возможные решения диффуравнения y’ = y(x2 + ex)

Как решать? В первую очередь проводим разделение переменных в разные части уравнения:

Данные преобразования справедливы, если у ≠ 0.

Если рассмотреть вариант решения при нулевом показателе функции, то можно заметить ,что

Это означает, что y = 0 – одно из возможных решений задачи.

Рассмотрим другие варианты решений, для чего произведем интегрирование диффуравнения:

Финальная часть преобразований будет вторым решением диффуравнения. Останется только потенциировать это выражение, чтобы привести его к более явному виду:

Правильными решениями, в результате преобразований, будут:

Кроме того, можно воспользоваться онлайн системой для нахождения ответа. Подробные объяснения даны в решебниках Филиппова и Понтрягина.

Линейные неоднородные ДУ первого порядка

Линейные неоднородные уравнения – это такие выражения, которые можно записать в формате y’ + b(x)y = f(x), при этом функции b(x) и f(x) – непрерывные.

Основной принцип при нахождении решения сводится к следующим шагам:

Первым делом для уравнения необходимо произвести поиск решения, которое бы соответствовало линейному однородному диффуравнению.

Затем необходимо варьировать произвольной постоянной, производя ее замену на функцию.

На финальном этапе функция подставляется в первоначальное уравнение, откуда, решая ДУ, получается ответ.

Задача №3

Рассмотрим применение методики решения на примере.

Необходимо найти решение дифференциального уравнения вида

Решение заключается в следующем. Первоначально примем, что y = m∗n, следовательно, получается:

На следующем этапе нужно определить, что такое m (оно обязательно не должно быть равным нулю), при котором все выражение внутри скобок будет равно нулю.

Получаем дополнительное дифференциальное уравнение:

Теперь необходимо принять одно из частных решений n = x2 + 1, которое соответствует равенству С2 — С1=0.

Выполняем оставшиеся преобразования:

Вполне очевидно, что ответом на условие задачи будет функция:

Задача Коши для ДУ

При рассмотрении решения практически любого диффуравнения, имеющего вид F(m,n,n’) = 0, становится очевидно, что это бесконечно большое количество решений (это следствие самого возникновения диффуравнения).

На данном этапе математики сталкиваются с вопросом о выборе конкретного решения и способе его выделения из множества.Иными словами, если представить решения в виде бесконечного множества интегральных кривых, то необходимо найти среди них нужную.

Чтобы это сделать, необходимо рассмотреть плоскость Xoy, где должна быть задана некая точка D0, имеющая координаты (x0, y0) – именно через них и должна пройти интегральная кривая, чтобы стать искомым ответом.

Когда мы с самого начала задаем точку D0(x0, y0) – это означает, задание начального условия y(x0) = y0. Диффуравнение, для которого определено начальное условие в представленном формате, называется уравнением с заданной задачей Коши.

Задача №4

Рассмотрим примеры с объяснениями. Необходимо определить решения задачи Коши вида:

Ход решения строится в три этапа. На первом этапе решаем диффуравнение y’ = xy2 стандартным методом. Его решение приводить не будем, приведем только ответ:

Производим подстановку начального значения (х = 0, у = 1) в решение и находим значение С:

Производим подстановку полученного значения в ответ диффуравнения и получаем одно из частных решений:

Полученная функция – ответ на задачу Коши в этом примере.

Дифференциальные уравнения Бернулли

ДУ Бернулли обычно представлено в следующем виде:

y’ + b(x)y = c(x)yn

Обязательное условие, что функции b(x) и c(x) – являются непрерывными.

Задача №5

Рассмотрим общее решение данного типа на примере. Необходимо выполнить поиск всех возможных решений уравнения:

Во время оценки уравнения в нем можно идентифицировать ДУ Бернулли с параметром ½. Оно легко сводится к линейному ДУ, для этого достаточно заменить выражения:

Находим производную:

Выполним деление по начальному уравнению Бернулли на

и выполним необходимые преобразования:

Произведем замену параметра х на параметр у:

Теперь вычисляем интегрирующий модуль для данной функции, он будет равен:

Теперь производим ряд преобразований для вычисления решения диффуравнения:

Переписываем полученную функцию в неявном виде и получаем ответ:

Дифференциальные уравнения второго порядка

Отличить ДУ 2-го порядка от таковых 1-го порядка достаточно просто – в их составе присутствует вторая производная (y’’) и не содержится производных более высокого уровня.

Общий вид таких уравнений таков:

F(m,n,n’,n») = 0

Линейные однородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение линейных дифференциальных однородных уравнений 2-го порядка крайне просто – они имеют вид:

y» + ry’ + k = 0

При это важным условием теории является причисление r и k к действительным числам.

Задача №6

Рассмотрим решение однородных диффуравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами на примере.

Найти решение диффуравнения 2-го порядка вида:

Во всех таких случаях начинаем с поиска характеристического уравнения:

Методы решения данного уравнения достаточно простые, можно воспользоваться калькулятором или быстро решить на листочке, поэтому их приводить не будем, запишем лишь корни – 1, 5.

Поскольку это все действительные, неодинаковые числа, то можно записать функцию-решение в следующем виде:

Линейные неоднородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Общий вид неоднородных диффуравнений второго порядка легко определить по представленному образцу:

y» + ry’ + ky = f(x)

Переменные r и k должны быть вещественными и постоянными числами.

Задача №7

Рассмотрим подробное решение. Необходимо определить все решения для уравнения y» + y = cos x.

На первом этапе находим в составе неоднородного уравнения его однородную часть – это будет y» — y = 0.

Для него уже выполняем поиск характеристического уравнения – оно будет иметь вид k2 + 1 = 0.

Корнями для данного характеристического уравнения являются k1 = -i и k2 = i.

Исходя из этого записываем решение для однородного уравнения:

Из-за отсутствия параметра с производной первого порядка также будет справедливо записать:

Теперь остается только подставить найденные выражения:

Частное и общее решение для уравнения можно записать:

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные однородные уравнения высших порядков легко отличить, если они совпадают со следующим видом:

Для неоднородных справедлив другой формат:

Для выбора корректного пути решения ДУ, необходимо четко и правильно определить его тип.

Для этого необходимо решить уравнение относительно его производной и проверить, возможно ли разложение функции на множители. После этого достаточно сравнить с одним из типов, приведенным в данной статье.

Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной и её производные (или дифференциалы) различных порядков.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, содержащейся в нём.

Кроме обыкновенных изучаются также дифференциальные уравнения с частными производными. Это уравнения, связывающие независимые переменные , неизвестную функцию этих переменных и её частные производные по тем же переменным. Но мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения и поэтому будем для краткости опускать слово «обыкновенные».

Примеры дифференциальных уравнений:

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5) .

Уравнение (1) — четвёртого порядка, уравнение (2) — третьего порядка, уравнения (3) и (4) — второго порядка, уравнение (5) — первого порядка.

Дифференциальное уравнение n-го порядка не обязательно должно содержать явно функцию, все её производные от первого до n-го порядка и независимую переменную. В нём могут не содержаться явно производные некоторых порядков, функция, независимая переменная.

Например, в уравнении (1) явно нет производных третьего и второго порядков, а также функции; в уравнении (2) — производной второго порядка и функции; в уравнении (4) — независимой переменной; в уравнении (5) — функции. Только в уравнении (3) содержатся явно все производные, функция и независимая переменная.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x), при подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием.

Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения .

Решение. Запишем данное уравнение в виде . Решение состоит в нахождении функции по её производной. Изначальная функция, как известно из интегрального исчисления, есть первообразная для , т. е.

Это и есть решение данного дифференциального уравнения. Меняя в нём C, будем получать различные решения. Мы выяснили, что существует бесконечное множество решений дифференциального уравнения первого порядка.

Общим решением дифференциального уравнения n

-го порядка называется его решение, выраженное явно относительно неизвестной функции и содержащее n независимых произвольных постоянных, т.

е.

Решение дифференциального уравнения в примере 1 является общим.

Частным решением дифференциального уравнения называется такое его решение, в котором произвольным постоянным придаются конкретные числовые значения.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение при .

Решение. Проинтегрируем обе части уравнения такое число раз, которому равен порядок дифференциального уравнения.

В результате мы получили общее решение —

данного дифференциального уравнения третьего порядка.

Теперь найдём частное решение при указанных условиях. Для этого подставим вместо произвольных коэффициентов их значения и получим

Если кроме дифференциального уравнения задано начальное условие в виде , то такая задача называется задачей Коши. В общее решение уравнения подставляют значения и и находят значение произвольной постоянной C, а затем частное решение уравнения при найденном значении C. Это и есть решение задачи Коши.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения из примера 1 при условии .

Решение. Подставим в общее решение значения из начального условия y = 3, x = 1. Получаем

Записываем решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения первого порядка:

При решении дифференциальных уравнений, даже самых простых, требуются хорошие навыки интегрирования и взятия производных, в том числе сложных функций. Это видно на следующем примере.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Уравнение записано в такой форме, что можно сразу же интегрировать обе его части.

Применяем метод интегрирования заменой переменной (подстановкой). Пусть , тогда .

Требуется взять dx и теперь — внимание — делаем это по правилам дифференцирования сложной функции, так как x и есть сложная функция («яблоко» — извлечение квадратного корня или, что то же самое — возведение в степень «одна вторая», а «фарш» — самое выражение под корнем):

Находим интеграл:

Возвращаясь к переменной x, получаем:

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения первой степени.

Не только навыки из предыдущих разделов высшей математики потребуются в решении дифференциальных уравнений, но и навыки из элементарной, то есть школьной математики. Как уже говорилось, в дифференциальном уравнении любого порядка может и не быть независимой переменной, то есть, переменной x. Помогут решить эту проблему не забытые (впрочем, у кого как) со школьной скамьи знания о пропорции. Таков следующий пример.

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Как видим, переменная x в уравнении отсутствует. Вспоминаем из курса дифференциального исчисления, что производная может быть записана также в виде . В результате уравнение приобретает вид

то есть, в нём в некотором виде появился x.

Теперь вспомнаем одно из свойств пропорции: из пропорции выткают следующие пропорции:

то есть в пропорции можно менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно.

Применяя это свойство, преобразуем уравнение к виду

после чего интегрируем обе части уравнения:

Оба интеграла — табличные, находим их:

и получаем решение данного дифференциалного уравнения первого порядка:

Эта статья представила необходимый минимум сведений о дифференциальных уравнениях и их решениях и должна помочь вам уверенно и увлечённо перейти к изучению различных видов дифференциальных уравнений.

Назад

Листать

Вперёд>>>

К началу страницы

Пройти тест по теме Дифференциальные уравнения

Всё по теме «Дифференциальные уравнения»

Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения Бернулли

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Поделиться с друзьями

Дифференциальные уравнения второго порядка — онлайн справочник для студентов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида \(\ F\left(x ; y ; y^{\prime} ; y^{\prime \prime}\right)=0 \)

ПРИМЕР

Задание

Найти общий интеграл дифференциального уравнения второго порядка \(\ y^{\prime \prime}+x=0 \)

Решение

Перепишем заданное уравнение в виде: \(\ y^{\prime \prime}=-x \)

Дважды проинтегрируем. {-3 x} \)

Физика

166

Реклама и PR

Педагогика

Психология

Социология

Астрономия

Биология

Культурология

Экология

Право и юриспруденция

Политология

Экономика

Финансы

История

Философия

Информатика

Право

Информационные технологии

Экономическая теория

Менеджент

719

Математика

338

Химия

Микро- и макроэкономика

Медицина

Государственное и муниципальное управление

География

542

Информационная безопасность

Аудит

Безопасность жизнедеятельности

Архитектура и строительство

Банковское дело

Рынок ценных бумаг

Менеджмент организации

Маркетинг

238

Кредит

Инвестиции

Журналистика

Конфликтология

Этика

Формулы дифференцирования Дифференциальные уравнения первого порядка Решение дифференциальных уравнений Производная сложной функции Производная показательной функции

Узнать цену работы

Узнай цену

своей работы

Имя

Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Принимаю Политику конфиденциальности

Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

Решение задач и контрольных работ по высшей математике онлайн

Определение
Однородные дифференциальные линейные уравнения второго порядка
Неоднородные дифференциальные линейные уравнения второго порядка
Методы решения других видов дифференциальных уравнений
- Дифференциальные уравнения — основные понятия
- Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
- Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
- Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Системы дифференциальных уравнений

Определение

Уравнение

(*)

где и – непрерывные функция в интервале называется неоднородным линейным дифференциальным уравнение второго порядка, функции и – его коэффицинентами. Если в этом интервале, то уравнение принимает вид:

(**)

и называется однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Если уравнение (**) имеет те же коэффициенты и , как уравнение (*), то оно называется однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (*).

Однородные дифференциальные линейные уравнения второго порядка

Пусть в линейном уравнении

и — постоянные действительные числа.

Частное решение уравнения будем искать в виде функции , где – действительное или комплексное число, подлежащее определению. Дифференцируя по , получаем:

Подставляя в исходное дифуравнение, получаем:

Отсюда, учитывая, что , имеем:

Это уравнение называется характеристическим уравнением однородного линейного дифуравнения. Характеристическое уравнение и дает возможность найти . Это уравнение второй степени, поэтому имеет два корня. Обозначим их через и . Возможны три случая:

Корни действительные и разные

В этом случае общее решение уравнения:

Пример 1

Решение

Характеристическое уравнение имеет вид:

Решение характеристического уравнения:

Общее решение исходного дифуравнения:

Корни действительные и равные

В этом случае общее решение уравнения:

Пример 2

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Характеристическое уравнение имеет вид:

Решение характеристического уравнения:

Общее решение исходного дифуравнения:

Корни комплексные

В этом случае общее решение уравнения:

Пример 3

Решение

Характеристическое уравнение имеет вид:

Решение характеристического уравнения:

Общее решение исходного дифуравнения:

Неоднородные дифференциальные линейные уравнения второго порядка

Рассмотрим теперь решение некоторых типов линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

где и – постоянные действительные числа, – известная непрерывная функция в интервале . Для нахождения общего решения такого дифференциального уравнения необходимо знать общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения и частное решение . Рассмотрим некоторые случаи:

Правая часть дифференциального уравнения имеет вид:

Частное решение дифференциального уравнения ищем также в форме квадратного трехчлена:

Подставляя и в исходное дифференциальное уравнение, получим тождество, откуда находим коэффициенты.

Если нуль – однократный корень характеристического уравнения, то

Если нуль – двухкратный корень характеристического уравнения, то

Аналогично обстоит дело, если – многочлен произвольной степени

Пример 4

Решение

Решим соответствующее однородное уравнение.

Характеристическое уравнение:

Общее решение однородного уравнения:

Найдем частное решение неоднородного дифуравнения:

Подставляя найденные производные в исходное дифуравнение, получаем:

Искомое частное решение:

Общее решение исходного дифуравнения:

Правая часть дифференциального уравнения имеет вид:

Частное решение ищем в виде , где – неопределенный коэффициент.

Подставляя и в исходное дифференциальное уравнение, получим тождество, откуда находим коэффициент.

Если – корень характеристического уравнения, то частное решение исходного дифференциального уравнения ищем в виде , когда – однократный корень, и , когда – двукратный корень.

Пример 5

Решение

Характеристическое уравнение:

Общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:

Найдем частное решение соответствующего неоднородного дифференциального уравнения:

Подставляя в исходное дифуравнение, получаем:

Общее решение дифуравнения:

Правая часть дифференциального уравнения имеет вид:

В этом случае частное решение ищем в форме тригонометрического двучлена:

где и – неопределенные коэффициенты

Подставляя и в исходное дифференциальное уравнение, получим тождество, откуда находим коэффициенты.

Эти уравнения определяют коэффициенты и кроме случая, когда (или когда – корни характеристического уравнения). В последнем случае частное решение дифференциального уравнения ищем в виде:

Пример 6

Решение

Характеристическое уравнение:

Общее решение соответствующего однородного дифуравнения:

Найдем частное решение неоднородного дифуравнения

Подставляя в исходное дифуравнение, получаем:

Общее решение исходного дифуравнения:

Дифференциальные уравнения — Математика — Смотреть онлайн видео уроки для начинающих бесплатно!

В категории Дифференциальные уравнения собраны бесплатные онлайн видео уроки по этой теме. Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, которое связывает значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке со значением производных этой функции различных порядков в той же точке. В состав ДУ входит неизвестная функция под знаком производной или дифференциала. Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) – имеет неизвестную функцию с одной переменной. Уравнение частными производными (УРЧП) — неизвестная функция зависит от многих переменных. Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) — включающее случайные процессы. Изучение дифференциальных уравнений по видео урокам будет полезно как для начинающих, так и для более опытных математиков. Видеоуроки из рубрики Дифференциальные уравнения Вы можете смотреть бесплатно в любое удобное время. К некоторым видео урокам по дифференциальным уравнениям приложены дополнительные материалы, которые можно скачать. Приятного Вам обучения!

Новые · Лучшие · Популярные

Смотреть урок онлайн

Геометрический смысл дифференциального уравнения

В этом видео рассказывается о геометрическом смысле дифференциального уравнения. Здесь приводится доказательство и формулировка геометрического смысла дифференциального уравнения как уравнения, которое определяет в некоторой области поле направлений, совпадающее с касательными к графикам решений этого уравнения — интегральными кривыми. Это позволяет, не решая дифференциального уравнения, строить графики его решений. На данном занятии также рассматривается пример, в котором требуется приближенно…

Смотреть урок онлайн

Интегрирующий множитель

В этом онлайн уроке рассказывается о том, что такое интегрирующий множитель и как с его помощью можно решать уравнения. Существует такая функция, при умножении на которую обеих частей исходного уравнения, это уравнение становится уравнением в полных дифференциалах. Такую функцию называют интегрирующим множителем. Здесь будет рассматриваться уравнение общий вида, которое не является уравнением в полных дифференциалах. При нахождении интегрирующего множителя часто используют частные случаи. ..

Смотреть урок онлайн

Решение дифференциального уравнения второго порядка. Часть 2

В этом видео рассказывается о том, как решать дифференциальные уравнения второго порядка, которые не содержат независимую переменную x. Здесь предложена схема, позволяющая понизить порядок и решить уравнение такого вида. Первым шагом, производную искомой функции y заменяют на некоторую функцию p, которая зависит от переменной y. Затем выполняется дифференцирование обеих частей по переменной x, чтобы получить выражение для второй производной функции y. Третьим шагом идет подстановка выражения, в…

Смотреть урок онлайн

Понижение порядка дифференциального уравнения. Часть 1

Урок «Понижение порядка дифференциального уравнения. Часть 1» посвящен вопросу о том, как выполняется понижение порядка дифференциального уравнения. Здесь будет рассмотрено уравнение второго порядка, в котором не содержится искомой функции y. Решить его можно с помощью соответствующей замены переменной, в результате которого происходит преобразование исходного уравнения к уравнению первого порядка. Такое преобразование называется понижение порядка. На этом занятии дана схема последовательная…

Смотреть урок онлайн

Дифференциальные уравнения второго порядка, примеры, решение

Видео «Дифференциальные уравнения второго порядка, примеры, решение» посвящено вопросу о том, что собой представляют линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и как они решаются. Здесь вы узнаете, какой общий вид имеет такое уравнение и его упрощенный вид. Очень важно уметь их решать, т.к. к ним сводится большое количество задач математики, механики, электротехники и некоторых других наук. С помощью линейных уравнений описываются всевозможные…

Смотреть урок онлайн

Уравнение в полных дифференциалах, примеры, решение

В этом видео уроке рассказывается о том, что собой представляют дифференциальные уравнение в полных дифференциалах и как они решаются. В первой части занятия будет сформулировано определение, какое дифференциальное уравнение первого порядка, выраженное через дифференциалы своих переменных, называется уравнением в полных дифференциалах. Здесь вы также научитесь определять, является ли заданное уравнение, уравнением в полных дифференциалах. В данном видео уроке кроме теоретического материала…

Смотреть урок онлайн

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, примеры, решение

Онлайн урок «Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, примеры, решение» посвящен вопросу о том, что такое линейные дифференциальные уравнения и как они решаются. Начинается занятие с формулировки общего определения и разбора структуры такого уравнения. Здесь вы также узнаете, в каком случае уравнение называется однородным. Одним из наиболее эффективных методов решения линейных уравнений является метод Бернулли, алгоритм применения которого будет подробно рассмотрен. В этом видео…

Смотреть урок онлайн

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка, решение

Это видео посвящено вопросу о том, что собой представляют однородные дифференциальные уравнения первого порядка, а также как выполнять их решение на конкретном примере. Начинается урок с формулировки определения однородной функции. В качестве примера используется однородная функция второго порядка. После этого будет сформулировано определение однородного дифференциального уравнения и предоставлен набор формул, позволяющих свести такое уравнение к уравнению с разделяющимися переменными. В…

Смотреть урок онлайн

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 2

В этом онлайн уроке рассказывается о дифференциальных уравнениях с разделяющимися переменными. Такие уравнения могут быть представлены в форме, когда в них входит не производная, а дифференциалы. При такой записи говорят, что дифференциальное уравнение представлено в симметричной форме. При этом переменные x и y равноправны, и каждую из них можно рассматривать как функцию другой. На этом занятии рассказывается, как решать такие уравнения. Решение производится путем преобразования исходного…

Смотреть урок онлайн

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1

Видео урок «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1» посвящен вопросу о решении таких уравнений. Здесь дается определение дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Очень важно уметь решать такие уравнения, потому, что к ним сводится достаточно большое число уравнений других типов. Ход решения исходного уравнения идет через преобразования его к уравнению с разделенными переменными, решение которого можно получить с помощью интегрирования…

1 2

Если у Вас есть качественные видео уроки, которых нет на нашем сайте, то Вы можете добавить их в нашу коллекцию. Для этого Вам необходимо загрузить их на видеохостинг (например, YouTube) и добавить код видео в форму добавления уроков. Возможность добавлять свои материалы доступна только для зарегистрированных пользователей.

Дифференциальные уравнения — онлайн калькулятор.

Как известно, теория обыкновенных дифференциальных уравнений начала развиваться в XVII веке одновременно с возникновением дифференциального и интегрального исчисления. Можно сказать, что необходимость решать дифференциальные уравнения для нужд механики, то есть находить траектории движений, явилась толчком для создания Ньютоном нового исчисления. Законы Ньютона позволяют строить математическую модель механического движения, которая обычно представляет собой дифференциальное уравнение. Рассмотрим, например, подробнее такую задачу. С некоторой высоты сброшено тело массой m. Требуется установить закон изменения скорости падения тела v(t), если на него действует сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости (коэффициент пропорциональности k). По II закону Ньютона где – ускорение движущегося тела, – сумма сил, действующих на тело – силы тяжести и силы сопротивления воздуха. Таким образом, имеем уравнение, связывающее искомую функцию v(t) и ее производную

т. е. дифференциальное уравнение. В настоящее время теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики. Ее разработкой занимались крупнейшие ученые XVIII века, такие как Ж. Даламбер, Ж. Л. Лагранж, А. Клеро и др. Наибольшую роль в развитии этой теории сыграли труды Л. Эйлера. В первых двух томах его «Интегрального исчисления» содержится немало классических примеров интегрирования дифференциальных уравнений, в том числе и решения линейного однородного уравнения любого порядка с постоянными коэффициентами. Отметим, что изучение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) на младших курсах обычно остается на уровне открытий XVIII века, и заключается в освоении приемов интегрирования лишь хорошо изученных типов уравнений и некоторых экзотических случаев, ибо «точно» интегрируемые уравнения – это исключительная редкость во множестве возможных уравнений. Переходя к реальным объектам исследования, студенты, инженеры и аспиранты сталкиваются с более сложными моделями и их математической реализацией. Даже в кругах исследователей – «чистых математиков» довольно долго интегрирование уравнений в квадратурах, теоретико-групповой подход к уравнениям считались тупиковой ветвью в науке. Тем не менее, теория обыкновенных дифференциальных уравнений является базой для уравнений математической физики и, кроме того, развитие современной физики показало, что именно те самые редкие и хорошо изученные случаи и представляют наибольший физический интерес. А успехи, достигнутые в ряде разделов математики – в алгебраической топологии, дифференциальной геометрии и коммутативной алгебре, позволяют надеяться на то, что общая теория уравнений с частными производными будет построена.

В математике и физике часто встречаются задачи, для решения которых требуется решить уравнение, содержащее не только неизвестную функцию и ее аргумент, но и производную неизвестной функции.

Уравнение вида

связывающее независимую переменную x, искомую функцию и ее производные ) , называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Например, уравнения

будут дифференциальными уравнениями первого порядка; уравнения

будут дифференциальными уравнениями второго порядка; уравнение

имеет третий порядок.

Функция называется решением дифференциального уравнения на интервале (a,b) если при ее подстановке в это уравнение получается тождество, справедливое для всех x из интервала (a, b) Например, функция является решением дифференциального уравнения ; функция будет решением уравнения в интервале (-1;1) . Чтобы это проверить, достаточно подставить функцию в соответствующее уравнение.

Уравнение задающее в неявном виде решение дифференциального уравнения, называется интегралом дифференциального уравнения. График решения (интеграла) дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Так же если вы затрудняетесь в решении дифференциального уравнения, всегда можно воспользоваться

онлайн калькулятором

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. Это название не случайно, так как нахождение решений обычно связано с процессом интегрирования. Поскольку процесс интегрирования функции приводит к появлению множества функций, то и решений любое дифференциальное уравнение тоже будет иметь множество. Основной задачей теории дифференциальных уравнений является отыскание всех решений данного дифференциального уравнения в заданной области (в явной или неявной форме). Дифференциальное уравнение называется интегрируемым в квадратурах, если все его решения могут быть получены в результате конечной последовательности элементарных действий над известными функциями и интегрированием этих функций. Таких уравнений сравнительно немного. В нашем курсе мы рассмотрим основные типы дифференциальных уравнений, интегрируемых в квадратурах.

В математике рассматриваются также уравнения, которые связывают искомую функцию нескольких переменных, ее аргументы и частные производные. Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями в частных производных. Их интегрирование представляет собой значительно более сложную задачу, чем интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений. Позднее мы познакомимся с одним типом дифференциальных уравнений в частных производных.

Калькулятор дифференциальных уравнений второго порядка + онлайн-решатель с бесплатными шагами

Калькулятор дифференциальных уравнений второго порядка используется для нахождения начального решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид: M(x) и N(x) являются непрерывными функциями x . 9{ αx } \ [ \ c_{1} \ cos( βx) + c_{2} \ sin( βx) \ ] \]

Условия начального значения y(0) и y´(0) указаны пользователем определить значения c1 и c2 в общем решении.

Что такое калькулятор дифференциальных уравнений второго порядка?

Калькулятор дифференциальных уравнений второго порядка — это онлайн-инструмент, который используется для расчета начального решения однородного или неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.

Как пользоваться калькулятором дифференциальных уравнений второго порядка

Чтобы использовать калькулятор дифференциальных уравнений второго порядка, выполните следующие действия.

Шаг 1

Сначала пользователь должен ввести уравнение линейного дифференциала второго порядка в окне ввода калькулятора. Уравнение имеет вид:

L(x)y´´ + M(x)y´ + N(x) = H(x)

Здесь L(x) , M(x) , и N(x) может быть непрерывным функциями или постоянными в зависимости от пользователя.

Функция ‘H(x)’ может быть равна нулю или быть непрерывной функцией.

Шаг 2

Теперь пользователь должен ввести начальных значений для дифференциального уравнения второго порядка. Их следует вводить в блоки с метками «y(0)» и «y´(0)» .

Здесь y(0) — это значение y при x=0 .

Значение y´(0) получается из первой производной от y и помещения x=0 в функцию первой производной.

Вывод

Калькулятор отображает вывод в следующих окнах.

Ввод

Окно ввода калькулятора показывает ввод дифференциального уравнения , введенного пользователем. Он также отображает условия начального значения y(0) и y´(0) .

Результат

Окно Результат показывает решение с начальным значением , полученное из общего решения дифференциального уравнения. Решение представляет собой функцию x относительно y .

Автономное уравнение

В этом окне калькулятор отображает автономную форму дифференциального уравнения второго порядка. Это выражается сохранением y´´ в левой части уравнения.

Классификация ОДУ

ODE означает Обыкновенное дифференциальное уравнение . Калькулятор отображает классификацию дифференциальных уравнений, введенных пользователем в этом окне.

Альтернативная форма

Калькулятор показывает альтернативную форму входного дифференциального уравнения в этом окне.

Графики решения

Калькулятор также отображает в этом окне график решения решения дифференциального уравнения.

Решенные примеры

Следующий пример решается с помощью калькулятора дифференциальных уравнений второго порядка.

Пример 1

Найдите общее решение приведенного ниже дифференциального уравнения второго порядка: 0) = 4

y´(0) = 6

Решение

Пользователь должен сначала ввести коэффициентов заданного дифференциального уравнения второго порядка в окне ввода калькулятора. Коэффициенты y´´ , y´ и y равны 1 , 4 и 0 соответственно.

Уравнение является однородным, так как правая часть уравнения равна 0 .

После ввода уравнения пользователь должен теперь ввести начальные условия , как показано в примере.

Теперь пользователь должен « 9{- \ 4x} }{ 2 } \]

Калькулятор отображает Автономное уравнение следующим образом:

y´´(x) = – 4y´(x)

Классификация ОДУ входного уравнения является линейным обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка.

Альтернативная форма , выдаваемая калькулятором:

Калькулятор также отображает график решения , как показано на рисунке 1.

Рисунок 1

Все изображения созданы с помощью Geogebra.

Список математических калькуляторов

Дифференциальные уравнения — DE второго порядка

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Уведомление для мобильных устройств

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

В предыдущей главе мы рассмотрели дифференциальные уравнения первого порядка. {2} + br + c = 0\) — вещественные различные корни. 9{2} + br + c = 0\), повторяются, т. е. двойных, корней. Мы будем использовать понижение порядка, чтобы получить второе решение, необходимое для получения общего решения в этом случае.

Снижение порядка – В этом разделе мы кратко рассмотрим тему уменьшения порядка. Это будет один из немногих случаев в этой главе, когда будет рассмотрено дифференциальное уравнение с непостоянными коэффициентами.

Фундаментальные наборы решений. В этом разделе мы рассмотрим некоторые теории решения дифференциальных уравнений второго порядка. Мы определяем фундаментальные наборы решений и обсуждаем, как их можно использовать для получения общего решения однородного дифференциального уравнения второго порядка. Мы также определим вронскиан и покажем, как его можно использовать, чтобы определить, является ли пара решений фундаментальным набором решений.

Подробнее о вронскиане. В этом разделе мы рассмотрим, как можно использовать вронскиан, введенный в предыдущем разделе, для определения того, являются ли две функции линейно независимыми или линейно зависимыми. Мы также дадим и альтернативный метод нахождения вронскиана.

Неоднородные дифференциальные уравнения. В этом разделе мы обсудим основы решения неоднородных дифференциальных уравнений. Определим дополнительное и частное решение и приведем форму общего решения неоднородного дифференциального уравнения.

Неопределенные коэффициенты. В этом разделе мы вводим метод неопределенных коэффициентов для нахождения конкретных решений неоднородного дифференциального уравнения. Мы работаем с большим количеством примеров, иллюстрирующих множество рекомендаций по первоначальному предположению о форме конкретного решения, необходимого для метода.

Изменение параметров. В этом разделе мы вводим метод изменения параметров для нахождения частных решений неоднородного дифференциального уравнения. Мы даем подробное рассмотрение метода, а также выводим формулу, по которой можно найти частные решения.

Механические вибрации. В этом разделе мы рассмотрим механические вибрации. В частности, мы будем моделировать объект, соединенный с пружиной и движущийся вверх и вниз. Мы также допускаем введение в систему демпфера и действия общих внешних сил на объект. Также обратите внимание, что, хотя в этом разделе мы приводим примеры механических вибраций, простое изменение обозначений (и соответствующее изменение в том, что представляют величины) может перенести это практически в любую другую область техники.

Дифференциальные уравнения второго порядка

Здесь мы учимся решать уравнения такого типа:

d ² y dx ² + p dy dx + 900 = 0

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение — это уравнение с функцией и одной или несколькими ее производными:

Пример: уравнение с функцией y и ее производная dy дх

Заказ

Орден является высшей производной (это первая производная? вторая производная? и т.д.):

Пример:

dy dx + y ² = 5x

Имеет только первую производную dy dx , так что «9005 порядок»

Пример:

d ² y dx ² + xy = sin(x)

Вторая производная d ² y dx ² , то есть «Второй порядок» или «Порядок 2»

Example:

d ³ y dx ³ + x dy dx + y = e ^x

This has a third derivative d ³ y dx ³ который превосходит dy dx , то есть «Третий порядок» или «Порядок 3»

Прежде чем приступать к дифференциальным уравнениям второго порядка, убедитесь, что вы знакомы с различными методами решения дифференциальных уравнений первого порядка.

Дифференциальные уравнения второго порядка

Мы можем решить дифференциальное уравнение второго порядка типа: = f(x)

, где P(x), Q(x) и f(x) являются функциями от x, используя:

Неопределенные коэффициенты, которые работают только тогда, когда f(x) является полиномом, экспонентой, синусоидой, косинус или их линейная комбинация.

Изменение параметров, которое немного сложнее, но работает с более широким набором функций.

Но здесь мы начнем с изучения случая, когда f(x) = 0 (это делает его «однородным»):

d ² y dx ² + P(x) dy dx + Q(x)y = 0

, а также где функции P(X) и Q(x) являются константами p и q :

d ² y dx ² + p dy dx + qy = 0

Давайте научимся их решать!

e на помощь

Мы собираемся использовать специальное свойство производной экспоненциальной функции:

В любой точке наклон (производная) e ^x равен значению e ^x :

И когда мы вводим значение «r» вот так:

f(x) = e ^rx

Находим:

первая производная равна f'(x) = re ^rx
вторая производная равна f»(x) = r ² e ^rx

Другими словами, первая и вторая производные f(x) кратны f(x)

Это нам очень поможет!

Пример 1: Решение

D ² Y DX ² + DY DX — 6y = 0

LET Y = E ^RX

— 6y = 0

LET Y = E ^RX

— 6y = 0

Let Y = E ^RX

— 6Y = 0

LET Y = E ^RX

— 6Y = 0

итак получаем:

dy dx = re ^rx
d ² y dx ² = r ² e ^rx

Замените их в уравнение выше:

R ² E ^RX + RE ^RX — 6E ^RX = 0

Упрощение:

E ^RX

09 9099 9099 9099 9099 9099 9099 (
E ^RX
909. ) = 0
r ² + r − 6 = 0
Мы свели дифференциальное уравнение к обыкновенному квадратному уравнению!
Это квадратное уравнение получило специальное название характеристическое уравнение .
Мы можем разложить это на:
(r − 2)(r + 3) = 0
Итак, r = 2 или −3
Итак, у нас есть два решения:
y = e ^2x
y = e ^−3x
Но это не окончательный ответ, потому что мы можем комбинировать различные кратных из этих двух ответов, чтобы получить более общее решение:
y = Ae ^2x + Be ^−3x
Проверить
Давайте проверим этот ответ. First take derivatives:
y = Ae ^2x + Be ^−3x
dy dx = 2Ae ^2x − 3Be ^−3x
d ² y dx ² = 4Ae ^2x + 9Be ^−3x
Теперь подставим в исходное уравнение:
d ² y dx ² + dy dx − 6y = 0
(4Ae ^2x + 9Be ^−3x ) + (2Ae ^2x − 3Be ^{− 3x} ) − 6(Ae ^2x + Be ^−3x ) = 0
4Ae ^2x + 9Be ^−3x + 2Ae ^2x − 3Be ^−3x − 6Ae ^2x − 6Be ^−3x = 0
4Ae ^2x + 2Ae ^2x − 6Ae ^2x + 9Be ^−3x − 3Be ^−3x − 6Be ^−3x = 0
0 = 0
Сработало!
Так вообще этот метод работает?
Ну и да и нет. Ответ на этот вопрос зависит от констант p и q .
С y = e ^rx как решение дифференциального уравнения:
d ² y dx ² + p dy dx + qy = 0
получаем:
r ² e ^rx + pre ^rx + qe ^rx = 0
e ^rx (r ² + pr + q) = 0
г ² + пр + кв = 0
Это квадратное уравнение, и может быть три типа ответа:
два действительных корня
один действительный корень (т.е. оба действительных корня одинаковы)
два сложных корня
Как мы решаем это зависит от типа!
Мы можем легко определить тип, вычислив дискриминант p ² − 4q . Когда будет
положительный получаем два действительных корня
ноль получаем один реальный корень
минус получаем два комплексных корня
Два действительных корня
Когда дискриминант p ² − 4q равен положительному , мы можем перейти прямо к дифференциальному уравнению
д ² y dx ² + p dy dx + qy = 0
через «характеристическое уравнение»:
г ² + пр + кв = 0
к общему решению с двумя действительными корнями r ₁ и r ₂ :
y = Ae ^{r ₁ x} + Be ^{r ₂ x}
Пример 2: Решить
d ² y DX ² — 9 DY DX + 20y = 0
Характерное уравнение:
R ² — + 20000 2
:
9000 2
9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 — . 4)(r − 5) = 0
r = 4 или 5
Итак, общее решение нашего дифференциального уравнения:
y = Ae ^4x + Be ^5x
А вот некоторые примерные значения:
Пример 3: Решить
6 D ² Y DX ² + 5 DY DX — 6Y = 0
Уравнение характерного.
Фактор:
(3R — 2) (2R + 3) = 0
R = 2 3 или — 3 2
Таким образом у = Ае ^{( 2 3 х)} + Be ^{( −3 2 х)}
Пример 4: Решение
D ² Y DX ² — 6 DY DX — Y = 0
. 6r — 1 = 0
Это не просто факторизовать, поэтому мы используем формулу квадратного уравнения:0005
с a = 9, b = −6 и c = −1
x = −(−6) ± √((−6) ² − 4×9×(−1)) 2× 9
x = 6 ± √(36+ 36) 18
x = 6 ± 6√2 18
x = 1 ± √2 3
So the общее решение дифференциального уравнения:
y = Ae ^{( 1 + √2 3 )x} + Be ^{( 1 − √2 3 )x}
Один реальный корень
Когда дискриминант p ² − 4q равен нулю , мы получаем один действительный корень (т. е. оба действительных корня равны).
Вот несколько примеров:
Пример 5: Решение
D ² Y DX ² — 10 DY DX + 25Y = 0
. + 25 = 0
Фактор:
(r — 5) (r — 5) = 0
r = 5
, поэтому мы имеем одно решение: y = E ^5x
НО когда e ^5x это решение, то xe ^5x это тоже решение!
Почему? Я могу показать вам:
y = xe ^5x
dy dx = e ^5x + 5xe ^5x
d ² y dx ² = 5e ^5x + 5e ^5x + 25xe ^5x
So
d ² y dx ² − 10 dy dx + 25y
= 5e ^5x + 5e ^5x + 25xe ^5x − 10(e ^5x + 5xe ^5x ) + 25xe ^5x
= (5e ^5x + 5e ^5x − 10e ^5x ) + (25xe ^5x − 50xe ^5x + 25xe ^5x ) = 0
So, in this case our solution is:
y = Ae ^5x + Bxe ^5x

Как это работает в общем случае?
При y = xe ^rx получаем производные:
dy dx = e ^rx + rxe ^rx
д ² у дх ² = re ^rx + re ^rx + r ² xe ^rx
Так
d ² y dx ² + p dy dx + qy
= (re ^rx + re ^rx + r ² xe ^rx ) + p( e ^rx + rxe ^rx ) + q( 0 9 0 0 9 0 9 0 )
= e ^rx (r + r + r ² x + p + prx + qx)
= e ^rx (2r + p + x(r ² + pr + q))
= e ^rx (2r + p), потому что мы уже знаем, что r ² + pr + q = 0

А когда r ² + pr + q имеет повторяющийся корень, то r = −p 2 и 2r + p = 0
Таким образом, если r является повторяющимся корнем характеристического уравнения, то общее решение равно
.
у = Ae ^rx + Bxe ^rx
Давайте попробуем другой пример, чтобы увидеть, как быстро мы можем получить решение:
Пример 6: Решение
4 D ² Y DX ² + 4 DY DX + Y = 0,00005 . 4r + 1 = 0
Тогда:
(2r + 1) ² = 0
r = − 1 2
Итак, решение дифференциального уравнения0005
y = Ae ^(−½)x + Bxe ^(−½)x
Сложные корни
Когда дискриминант p ² − 4q равен отрицательному , мы получаем комплексные корни.
Давайте попробуем пример, который поможет нам понять, как сделать этот тип:
Пример 7: Решение
D ² Y DX ² — 4 DY DX + 13y = 0
.0425
r ² − 4r + 13 = 0
Это не множит, поэтому мы используем формулу квадратного уравнения:
с a = 1, b = −4 и c = 13
x = −(−4) ± √((−4) ² − 4×1×13) 2×1
x = 4 ± √(16− 52) 2
x = 4 ± √(−36) 2
x = 9 ± 6i0360 2
x = 2 ± 3i
Если мы будем следовать методу, используемому для двух действительных корней, то мы можем попробовать решить:
y = Ae ^(2+3i)x + Be ^{(2− 3i)x}
Мы можем упростить это, так как e ^2x является общим делителем:
y = e ^2x ( Ae ^3ix + Be ^−3ix ) 9002 мы еще не закончили . .. !
Формула Эйлера говорит нам, что:
e ^ix = cos(x) + i sin(x)
Итак, теперь мы можем пойти по совершенно новому пути, чтобы (в конечном счете) сделать вещи проще.
Глядя только на часть «A плюс B»:
Ae ^3ix + Be ^−3ix
A(cos(3x) + i sin(3x)) + B(cos(−3x) + i sin(−3x))
Acos(3x) + Bcos(−3x) + i(Asin(3x) + Bsin(−3x))
Теперь применим тригонометрические тождества: cos(−θ)=cos(θ) и sin(−θ)=−sin(θ):
Acos(3x) + Bcos(3x) + i(Asin(3x) − Bsin(3x)
(A+B)cos(3x) + i(A−B)sin(3x)
Заменить A+B на C и A−B на D:
Ccos(3x) + iDsin(3x)
И мы получаем решение:
y = e ^2x ( Ccos(3x) + iDsin(3x) )

Проверить
У нас есть наш ответ, но, возможно, нам следует проверить, действительно ли он удовлетворяет исходному уравнение:
y = e ^2x ( Ccos(3x) + iDsin(3x) )
dy dx = e ^2x ( -3Csin(9x)+2xiDcos)0408 2x ( Ccos(3x)+iDsin(3x) )
d ² y dx ² = e ^{2x 9x} (-(6C+9i) 6iD)cos(3x)) + 2e ^2x (2C+3iD)cos(3x) + (−3C+2iD)sin(3x) )
Замена:
d ² y 8dx2904 − 4 dy dx + 13y = e ^2x ( −(6C+9iD)sin(3x) + (−9C+6iD)cos(3x)) + 2e ^2x (2C+3iD) cos(3x) + (−3C+2iD)sin(3x)) − 4( e ^2x (-3Csin(3x)+3iDcos(3x)) + 2e ^2x (Ccos(3x)+iDsin(3x)) ) + 13( e ^2x (Ccos(3x) + iDsin(3x)) )
. .. эй, почему бы ВАМ не попробовать сложить все члены, чтобы увидеть, равны ли они нулю … если нет, пожалуйста, дайте мне знать, хорошо?
Как это обобщить?
Обычно, когда мы решаем характеристическое уравнение с комплексными корнями, мы получаем два решения r ₁ = v + wi и r ₂ = v − wi
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения равно
.
y = e ^vx (Ccos(wx) + iDsin(wx))
Пример 8: Решение
D ² Y DX ² — 6 DY DX + 25Y = 0
. + 25 = 0
Используйте формулу квадратного уравнения:
x = −b ± √(b ² − 4ac) 2a
с a = 1, b = −6 и c = 25
x = −(−6) ± √((−6) ² − 4×1× 25) 2 × 1
x = 6 ± √ (36- 100) 2
x = 6 ± √ (-64) 2
x = 6 ±
x = 6 ± 8603
x = 6 ± 8603 2
x = 6 ± 8603 2
x = 6. 2
x = 3 ± 4i
И получаем решение:
y = e ^3x (Ccos(4x) + iDsin(4x))
Пример 9: Решение
9 D ² Y DX ² + 12 DY DX + 29Y = 0
Активные характеристики. + 29 = 0
Используйте формулу квадратного уравнения:
x = −b ± √(b ² − 4ac) 2a
при a = 1 9 и c0 = 2 0 9, b0 = 2 9, b
х = -12 ± √(12 ² — 4×9×29) 2 ×
x = −12 ± √ (144– 1044) 18
x = −12 ± –1359 ± 18
x = –1360 18
x = –1360 18
x = –13609 18
х = − 2 3 ± 5 3 i
And we get the solution:
y = e ^{(− 2 3 )x} (Ccos( 5 3 x) + iDsin( 5 3 х))
Резюме
Решить линейное дифференциальное уравнение второго порядка вида
d ² y dx ² + p dy dx + qy = 0
где p и q константы, надо найти корни характеристического уравнения
г ² + пр + кв = 0
Есть три случая, в зависимости от дискриминанта p ² — 4q . Когда будет
положительный получаем два действительных корня, и решение
y = Ae ^{r ₁ x} + Be ^{r ₂ x}
ноль получаем один действительный корень, а решение
у = Ae ^rx + Bxe ^rx
отрицательное получаем два комплексных корня r ₁ = v + wi и r ₂ = v − wi , и решение
у = е ^vx (Ccos(wx) + iDsin(wx))

9479, 9480, 9481, 9482, 9483, 9484, 9485, 9486, 9487, 9488

Решение однородных дифференциальных уравнений второго порядка — Криста Кинг Математика
Однородные дифференциальные уравнения равны 0
Однородные дифференциальные уравнения второго порядка имеют вид
???ay»+by’+cy=0???
Дифференциальное уравнение является уравнением второго порядка, поскольку оно включает вторую производную от ???y???. Оно однородно, потому что правая часть равна ???0???. Если правая часть уравнения отлична от нуля, дифференциальное уравнение называется неоднородным.
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.
Первое, что мы хотим узнать об однородных дифференциальных уравнениях второго порядка, это то, как находить их общие решения. Формула, которую мы будем использовать для общего решения, будет зависеть от типов корней, которые мы найдем для дифференциального уравнения.
Чтобы найти корни, мы сначала сделаем замену для функции ???y??? через переменную ???r???. Мне нравится говорить, что количество «решеток» на ???y??? равен показателю степени, который вы ставите перед ???r???. Другими словами 92+бр+с=0???
После подстановки у нас есть стандартная форма квадратного уравнения, и мы можем факторизовать левую часть, чтобы найти корни уравнения.
Константы ???c_1??? и ???c_2??? остаются в общем решении. Позже мы узнаем, как решать начальные задачи для однородных дифференциальных уравнений второго порядка, в которых нам будут предоставлены начальные условия, которые позволят нам найти константы и найти частное решение для дифференциального уравнения.
Примеры нахождения общего решения однородного дифференциального уравнения второго порядка, имеющего различные вещественные корни
Пройти курс
Хотите узнать больше о дифференциальных уравнениях? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂
Нахождение общего решения дифференциального уравнения с различными вещественными корнями
9{-3x}???
Это общее решение дифференциального уравнения.
Дифференциальное уравнение является уравнением второго порядка, поскольку оно включает вторую производную от y. Он однороден, потому что правая часть равна 0,
.
Общее решение дифференциального уравнения с одинаковыми действительными корнями
Пример
Найдите общее решение.
???y»+6y’+9y=0???
Если заменить ???y??? в пересчете на ???r??? получаем 92-4(1)(17)}}{2(1)}???
???r=\frac{-2\pm\sqrt{4-68}}{2}???
???r=\frac{-2\pm\sqrt{-64}}{2}???
???r=\frac{-2\pm\sqrt{(64)(-1)}}{2}???
???r=\frac{-2\pm8\sqrt{-1}}{2}???
Так как мнимое число ???i??? определяется как ???i=\sqrt{-1}???, мы получаем
???r=\frac{-2\pm8i}{2}???
???r=-1\pm4i???
Корни — это два комплексных числа, которые являются сопряженными друг с другом, поэтому это комплексно-сопряженные корни. Это означает, что мы будем использовать формулу общего решения для комплексно-сопряженных корней. Сопоставление этих корней с ???r=\alpha\pm{\beta}i??? говорит нам, что ???\alpha=-1??? и ???\бета=4???, так что мы получаем 9{-x}\left[c_1\cos{(4x)}+c_2\sin{(4x)}\right]???
Это общее решение дифференциального уравнения.
Получите доступ к полному курсу «Дифференциальные уравнения»
Изучение математикиКриста Кинг 8 мая 2019 г. математика, изучение онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, дифференциальные уравнения, однородные уравнения, однородные дифференциальные уравнения, второй порядок, уравнения второго порядка, дифференциальные уравнения второго порядка, однородные уравнения второго порядка уравнения, различные действительные корни, действительные корни, равные действительные корни, комплексно-сопряженные корни, общее решение
0 лайков
Уникальность и существование дифференциальных уравнений второго порядка
Уникальность и существование для второго порядка Дифференциальные уравнения
Напомним, что для линейного дифференциального уравнения первого порядка
        y’ + p(t)y = g(t)        y(t ₀ ) = у ₀
, если p(t) и g(t) непрерывна на [a,b], то существует единственная решение на отрезке [a,b].
Мы можем задать те же вопросы о линейном дифференциале второго порядка уравнения. Сначала нам нужно сделать несколько замечаний. Во-первых, это для дифференциального уравнения второго порядка недостаточно указать начальное должность. Мы также должны иметь начальную скорость. Один из способов убедить себя в том, что, поскольку нам нужно обратить две производные, две будут введены константы интегрирования, следовательно, две части информации необходимо найти для определения констант.
Второй комментарий относится к обозначениям. Пусть
        y» + p(t)y’ + q(t)y = g(t)
— линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Затем мы вызываем оператор
        Л(г) = y» + p(t)y’ + q(t)y
соответствующий линейный оператор . Таким образом, мы хотим найти решения уравнения
        Л(г) = g(t)        y(t ₀ ) = у ₀      у'(t ₀ ) = у’ ₀
Мы сформулируем следующую теорему без доказательства. Доказательство хорошо выше уровня этого курса.
Теорема: Существование и Уникальность
Пусть p(t), q(t), и g(t) непрерывна на [a,b], тогда дифференциальное уравнение
y» + p(t)y’ + q(t)y = g(t) у(т ₀ ) = y ₀      y'(t ₀ ) = у’ ₀
имеет уникальное решение, определенное для всех т в [а, б].

Пример
Найдите наибольший интервал, где
        (т ² — 1)y» + 3ty’ + стоимость t y = e ^t у(0) = 4, у'(0) = 5
гарантированно имеет уникальное решение.
Раствор
Мы сначала приводим его в стандартную форму
        y» + 3t/(t ² — 1)y’ + (cost t)/(t ² — 1) y = e ^t /(t ² — 1)       у(0) = 4, у'(0) = 5
p, q и g все непрерывны, кроме момента t = -1 и t = 1. Теорема говорит нам что существует единственное решение на [-1,1].

Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка
Далее мы будем исследовать решения однородных дифференциальных уравнения. Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение
        L(y) = 0
У нас есть следующая теорема
Теорема
Пусть   L(y) = 0 — однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка и пусть у ₁ и у ₂ быть два решения. Тогда с ₁ г ₁ + c ₂ y ₂ также является решением для любой пары или константы c ₁ и c ₂ .
Используя терминологию линейной алгебры, мы знаем, что L является линейным преобразование векторного пространства дифференцируемых функций в сам. Теорема напоминает нам, что ядро линейного преобразования является векторным подпространством.
Доказательство
        L(c ₁ y ₁ + c ₂ y ₂ ) = (c ₁ y ₁ + c ₂ y ₂ )» + p(t)(c ₁ y ₁ + c ₂ y ₂ )’ + q(t)(c ₁ y ₁ + с ₂ у ₂ )
        = c ₁ y ₁ » + c ₂ y ₂ » + p(t)c ₁ y ₁ ‘ + p(t)c ₂ г ₂ ‘ + q(t)c ₁ y ₁ + q(t)c ₂ y ₂
        = c ₁ y ₁ » + p(t)c ₁ y ₁ ‘ + q(t)c ₁ y ₁ + q(t)c ₂ y ₂ » + p(t)c ₂ y ₂ ‘ + q(t)c ₂ y ₂
        = с ₁ (у ₁ » + p(t)y ₁ ‘ + q(t)y ₁ ) + c ₂ (у ₂ » + p(t)y ₂ ‘ + q(t)y ₂ )
        = c ₁ L(y ₁ ) + c ₂ L(y ₂ ) = 0 + 0 = 0,

Далее исследуем начальные условия. Если мы найдем генерала решения однородной системы, можно ли выбрать такие константы, что решение удовлетворяет начальным условиям? То есть можем ли мы найти c ₁ и c ₂ такие, что
        c ₁ y ₁ (t ₀ ) + c ₂ y ₂ (t ₀ ) = y ₀
        c ₁ y ₁ ‘(t ₀ ) + c ₂ y ₂ ‘(t ₀ ) = y ₀ ‘
Мы можем поместить это в матричное уравнение
Это имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы равен не ноль. Этот определитель называется числом 9.0581 Вронскиан .
Это доказывает следующую теорему
Теорема
Пусть
л(г) = 0           y(t ₀ ) = y ₀      y'(t ₀ ) = у’ ₀
быть однородным линейное дифференциальное уравнение второго порядка и пусть y ₁ и y ₂ — два общих решения (Нет начального значения. Тогда если вронскиан
у ₁ у ₂‘ — у ₁‘ у ₂
отлично от нуля, существует решение начального значения задача формы
y = c ₁ y ₁ + c ₂ y ₂

Пример
Рассмотрим дифференциальное уравнение
        у» + 2у’ — 8 лет = 0
Легко проверить, что общее решение дается числом
.
        г = c ₁ e ^2t + c ₂ e ^-4t
Вронскиан из
        г ₁ = e ^2t      y ₂ = e ^-4t
задается
        e ^2t (-4e ^-4t ) — (2е ^2т)e ^-4t = -4e ^-2t — 2e ^-2t = -6e ^-2t
Который никогда не равен нулю. Мы можем заключить, что любая задача с начальными значениями будет иметь единственное решение вида
        г = c ₁ e ^2t + c ₂ e ^-4t
Назад на домашнюю страницу линейных дифференциальных уравнений второго порядка
Назад на главную страницу дифференциальных уравнений
Назад к математике Домашняя страница отдела
электронная почта Вопросы и предложения

Дифференциальные уравнения второго порядка
Возраст от 16 до 18 лет
Статья Майкла Грейлинга
Опубликовано в 2014 г. Пересмотрено в 2019 г. по первой производной, но и по высшим. Естественно, дифференциальные уравнения более высокого порядка возникают в STEP и других экзаменах по высшей математике. Для чего-то большего, чем вторая производная, вопрос почти наверняка будет вести вас через какое-то конкретное трюк, очень специфичный для рассматриваемой проблемы. Однако для дифференциальных уравнений второго порядка вам нужно знать, как их решать в целом. К счастью, применяемая техника проста, и эта статья проведет вас через все, что вам нужно знать, а также с полезным примером! 92} + b \frac{dy}{dt}+cy=0.\)
Здесь \(a\), \(b\) и \(c\) — просто константы. В общем случае коэффициенты рядом с нашими производными могут быть непостоянными, но, к счастью, вам не нужно беспокоиться о том, как подходить к таким задачам, как эта, в целом для STEP.
Теперь наш подход к решению уравнения вышеуказанного типа прост: мы угадываем решение. Конечно, это обоснованная догадка, за которой стоит много математических расчетов, но, по сути, она сводится к попытке найти решение в форме \(y=e^{\lambda t}\). Здесь \(\lambda\) просто неизвестная константа, и наша цель состоит в том, чтобы найти \(\lambda\), для которого решение этого типа удовлетворяет дифференциальному уравнению. Теперь наше предположение подразумевает, что: 9{rt} (A \cos st+B \sin st ).\)
Таким образом, эти три формулы, которые мы получили, — это все, что нам нужно запомнить! Для любого однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами мы просто переходим к вспомогательному уравнению, находим наше (\lambda\), записываем подразумеваемое решение для \(y\), а затем используем начальные условия, чтобы помочь нам найти константы, если требуется.

Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
Одним из дополнений к вышеизложенному, которое мы должны решить, является случай, когда RHS в нашем DE не равен нулю, т.е. когда мы имеем: 92} + b \frac{dy_p}{dt}+cy_p=f(t).\)
Может показаться, что мы бесконечно усложнили задачу, но на самом деле это не так. Теперь должно быть ясно, что \(y_c\) находится из однородного случая, который мы рассмотрели выше; так что все, что нам нужно, чтобы найти это наше вспомогательное уравнение. Для \(y_p\) мы снова используем угадывание решения, но наше точное предположение зависит от f. К счастью, есть лишь небольшой список стандартных предположений, которые вам нужно запомнить:
\(f(t)\) 9259{n-1}+…+Z\)
\(\cos \alpha t\) или \(\sin \alpha t\) \(P\cos\alpha t + Q\sin\alpha t\)
Чтобы найти константы, присутствующие в \(y_p\) выше, нам просто нужно дважды продифференцировать и подставить в его дифференциальное уравнение. Наконец, вооружившись \(y_c\) и \(y_p\), мы получаем общее решение для \(y\) и можем использовать начальные условия для нахождения констант в \(y_c\), если нам это нужно.
Пример
Чтобы поместить все это в контекст, давайте сами проработаем особенно сложный случай.
No related posts.