Дифференцирование под знаком интеграла: Дифференцирование под знаком интеграла

Дифференцирование под знаком интеграла

В этой главе мы познакомимся с необычным методом вычисления интегралов. Его упоминает в своей автобиографии Ричард Фейнман. Хотя применять этот метод для взятия более-менее простых интегралов не стоит (это как палить из пушки по воробьям), он может помочь при вычислении сложных (или вообще не берущихся другими методами) интегралов. Особенно, если подынтегральная функция содержит экспоненту, логарифм, арккосинус и прочие «неудобные» функции.

Фейнман рассказывает, что данный метод практически не упоминался в MIT, когда он учился там (и вообще, университеты мало акцентировали внимание на нем). Сам Фейнман прочел о нем в какой-то книге. Тут стоит отметить, что он настолько наловчился пользоваться этим методом, что зачастую и не прибегал к другим, несмотря на то, что это требует определенного мастерства и опыта.

Теория

Дифференцирование под знаком интеграла применимо только для вычисления определенных и несобственных интегралов. Метод опирается на две следующие теоремы, которые здесь приводятся без доказательства.

Теорема (*). Пусть функция ( , ) определена и непрерывна на прямоугольнике [ , ]×[ , ], на котором также определена и непрерывна первая частная производная ′( , ). Тогда справедливо равенство

		′( , ) .
∫	( , ) = ∫

Для случая несобственных интегралов нужно ввести вспомогательное определение. Пусть( , ) непрерывна по на [0, +∞). Тогда если

+∞

∫

( ) R[0, +∞), ( ) →: [ , ], > 0 | ( , )| 6 ( ),

0

+∞

∫

то интеграл ( , ) равномерно сходится на [ , ], а функция ( ) называется домини-

0

рующей на [ , ].

Теорема (**). Пусть функция ( , )						вместе с ее частной производной ′( , ) определены
							+∞
и непрерывны на [ , ]	[0, +		). Тогда если				∫0	′	( , ) равномерно сходится на [ , ], то
справедливо равенство×		∞
			∫		( , ) = ∫				′( , ) .

137

1 + 2

ln(1 + )

1 + 2 .

1

Похожая теорема формулируется и для несобственных интегралов II рода, но здесь не приводится.

Примеры

Начнем с определенного интеграла

1

∫

0

Введем параметр и функцию от :

∫

( ) = ln(1 + ) .

0

Заметим, что искомый интеграл равен (1). Теперь, пользуясь теоремой 3, продифференцируем

1	(1 + )(1 + 2).
′( ) = ∫0

Обратите внимание, что дифференцирование идет именно по параметру . Получившийся интеграл легко берется разложением в сумму рациональных дробей, в результате чего получится

′( ) = (−

2 2

+ 2

)

0 = − 1 + 2

+ 2 + 2 2

+ 4

· 1 + 2 .

2 ln(1 + ) + 2 arctg( ) + ln( 2 + 1)

1

ln(1 + )

ln 2

Теперь нужно вернуться к ( ). Для этого

проинтегрируем

по левую и правую части

равенства:

( ) = − ∫

1 + 2 +

2

arctg +

8 ln(1 + 2) + .

ln(1 + )

ln 2

Константа , выходящая после взятия неопределенного интеграла очень важна. Вообще говоря, многие трудности при применении метода связаны с ее нахождением (не говоря о введении подходящего параметра). Иногда приходится придумывать другую параметризацию, потому что не удается отыскать константу (что будет продемонстрировано в следующем примере).

Вспомним теперь, что по теореме 40.5

		∫	1 + 2		= ∫0					,
								1 + 2
			ln(1 + )				ln(1 + )
( ) = − ∫0
						2	arctg +		8 ln(1 + 2) + .
		1 + 2 +
		ln(1 + )				ln 2

Заметим, что указанное равенство должно выполняться для всех , удовлетворяющих условию теоремы (*), в частности при = 0, получаем:

(0) = ,

0 = .

138

1 + 2

Таким образом, константу мы нашли. Теперь осталось найти (1), т.е. ответ на задачу

(1) = − (1) + ln22 · 4 + ln8 2, 2 (1) = ln4 2,

1

∫

ln(1 + ) = ln8 2.

0

Теперь рассмотрим чуть более хитрый пример:

+∞

∫ −

sin при > 0.

0

Этот несобственный интеграл сходится при всех > 0, а значит можно применить теорему (**). Несмотря на то, что параметр в подынтегральной функции присутствует, использовать его неудобно, т.к. не получится выразить в конце константу . Вместо этого введем еще один параметр:

	+∞	−
	( ) = ∫0		sin .

При = 1 имеем искомый интеграл. Теперь продифференцируем, а получившиеся интеграл возьмем с помощью формулы интегрирования по частям для несобственных интегралов:

+∞

+∞

′( ) = ∫0

− cos = ∫0

− (sin ) =

1

= →+∞

−

·

+∞

∫

1

lim

( − sin )

− ·0 sin

0 +

− sin

=

+

∞

0

+

= − 2

∫

−1 + ∫

∞

− (cos ) = − 2

− cos .

0

0

Тогда получаем, что

(1 +

2

) ′( ) =

,

2

2

′( ) =

.

2 + 2

Интегрируя последнее равенство

( ) = arctg + .

Вот для этого и нужен был параметр . Теперь мы можем подставить = 0 и легко найти

:

(0) = ,

0 = .

139

Интегрирование подведением под знак дифференциала

• Подведение под знак дифференциала — что это такое?
• Решить примеры самостоятельно, а затем посмотреть решения
• Продолжаем решать задачи вместе

Подведение под знак дифференциала решает возникающую при интегрировании проблему, заключающуюся в том, что в подынтегральном выражении находится сложная функция, например, , , и т. п., а под знаком дифференциала d — просто икс. То есть нет возможности сразу применить таблицу интегралов для нахождения такого интеграла.

Цель подведения под знак дифференциала — получить простую функцию, которую можно интегрировать непосредственно, то есть по таблице интегралов. Тогда путём преобразований подынтегрального выражения получим простую функцию переменной и эта переменная будет находится и под знаком дифференциала d.

Решение заключается в том, что аргументом подынтегральной функции становится промежуточный аргумент («внутренняя» функция исходной сложной функции, например, , , и т. п.), который можно обозначить буквой u, и тот же промежуточный аргумент u подводится под знак дифференциала d.

После того, как такой интеграл будет найден, на место буквы u возвращается обозначаемый ею промежуточный аргумент, и таким образом будет окончательно найден интеграл исходной сложной функции.

Формальная общая запись описанных преобразований выглядит так:

,

где — «внешняя» функция, а — «внутренняя» функция или промежуточный аргумент.

В примерах вместо буквы u будем использовать букву t: так наши решения будут близки к наглядно понятному методу замены переменной. Кстати, в некоторых источниках метод подведения под знак дифференциала считается частным случаем метода замены переменной.

Повторим: наиболее частый случай, когда выгодно применять подведение под знак дифференциала — подынтегральное выражение представляет собой сложную функцию. Но это не единственный случай, когда требуется применять этот метод интегрирования. Другой распространённый случай — когда нет смысла использовать замену переменной, так как это делает вычисления громоздкими. Тогда, чтобы вычисления были короче, можно использовать подведение под знак дифференциала.

Пример 1.  Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

.

Решение. Внесём под знак дифференциала внутреннюю функцию. Это почти то же самое, что найти её производную. Получаем

.

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение, но в нём нет множителя-тройки перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим 1/3 и получаем:

.

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 7:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 2.  Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

.

Решение. Сразу же видим, что дифференциал синуса от икса равен косинусу от икса, а это как раз то, что нам нужно. Внесём под знак дифференциала синус от икса. Получаем

.

Полученное переносим в подынтегральное выражение:

.

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 7:

.

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Пример 3.  Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

.

Решение. Внесём под знак дифференциала внутреннюю функцию. Получаем

.

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение, но в нём нет множителя-двойки перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим 1/2 и получаем:

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 7:

.

Следующие задачи — общий случай: решаются по определению дифференциала функции:

.

Пример 4.  Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

.

Пример 5.  Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

.

Посмотреть правильное решение примеров 4, 5.

В следующих задачах используются правила дифференцирования и интегрирования констант:

Так как , то , иными словами, константу можно подвести под знак дифференциала.

Пример 6.  Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

.

Так как , где C — произвольная константа, то .

Пример 7.  Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

.

Посмотреть правильное решение примеров 6, 7.

---

Пример 8.  Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

.

Решение. Внесём под знак дифференциала внутреннюю функцию — минус икс в квадрате. Получаем

.

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение, но в нём нет множителя-минус двух перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим -1/2 и получаем:

.

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 11:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 9.  Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

.

Решение. Внесём под знак дифференциала внутреннюю функцию — логарифм икса. Получаем

.

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение:

.

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 12:

.

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 10.  Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

.

Решение. Внесём под знак дифференциала внутреннюю функцию — ту, что в знаменателе. Получаем

.

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение, но в нём нет множителя-минус трёх перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим -1/3 и получаем:

.

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 10:

.

Пример 11.  Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

.

Решение. Замечаем, что замена переменной в знаменателе выгодно оборачивается получением табличного интеграла 21 (с арктангенсом). Но в знаменателе у нас икс не в квадрате, а в шестой степени. Представляем икс в шестой степени как , а интеграл преобразуется к . Именно икс в кубе из второго слагаемого в знаменателе представляет собой внутреннюю функцию, которую внесём под знак дифференциала. Получаем

.

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение. В нём нет множителя-тройки перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим 1/3 и получаем:

.

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 21:

.

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 12.  Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

.

Решение. Смотрим в числитель. Там косинус от трёх икс. Смотрим в знаменатель. Там присутствует синус также от трёх икс. Значит, всё выражение в знаменателе можем как внутреннюю функцию внести под знак дифференциала. Получаем

.

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение. В нём нет множителя-минус девяти перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим -1/9 и получаем:

.

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 10:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Назад

Листать

Вперёд>>>

К началу страницы

Пройти тест по теме Интеграл

Начало темы «Интеграл»

Неопределённый интеграл: основные понятия, свойства, таблица неопределённых интегралов

Найти неопределённый интеграл: начала начал, примеры решений

Продолжение темы «Интеграл»

Метод интегрирования по частям

Интегрирование дробей

Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Интегрирование тригонометрических функций

Определённый интеграл

Несобственные интегралы

Площадь плоской фигуры с помощью интеграла

Объём тела вращения с помощью интеграла

Вычисление двойных интегралов

Длина дуги кривой с помощью интеграла

Площадь поверхности вращения с помощью интеграла

Определение работы силы с помощью интеграла

Поделиться с друзьями

Интегралы, зависящие от параметра

Содержание:

1. Теорема 1:
2. Несобственный интеграл

 

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

 

Собственные интегралы, зависящие от параметра 1. 1. Понятие интеграла, зависящего от параметра, и его непрерывность Пусть в прямоугольнике определена функция двух переменных f(x, у) (рис. 1). Предположим, что при любом фиксированном значении у е [с, d] существует интеграл ь Ясно, что этот интеграл является функцией переменного у, Интеграл (1) называется интегралом, зависящим от параметра у. Имеет место следующая теорема о непрерывности интеграла, зависящего от параметра.

Теорема 1:

Если функция /(х, у) непрерывна в прямоугольнике П, то функция /(у), определенная соотношением (1), непрерывна на отрезке [с, d\. Из формулы (1) вытекает, что приращение ) функции /(у), соответствующее приращению аргумента Ду, можно оценить так: По условию теоремы функция f{x} у) непрерывна в замкнутом прямоугольнике П, а значит, f{x}y) равномерно непрерывна в этом прямоугольнике.

Следовательно, для любого е > 0 можно указать такое 6 > 0, что при всех х из [a, b] и всех уиу + Ду из [с, d] таких, что |Ду| , будет выполняться неравенство Отсюда и из оценки (2) получаем, что Это означает, что функция /(у) непрерывна в каждой точке отрезка Следствие (переход к пределу под знаком интеграла). Если функция f(x} у) непрерывна в прямоугольнике П, то где уо — любое фиксированное число, принадлежащее отрезку [с, d). Так как функция /(у) непрерывна на [с, d], то имеют место равенства.

Собственные интегралы зависящие от параметра Дифференцирование интеграла no параметру Интегрирование интеграла по параметру Понятие несобственного интеграла первого рода, зависящего от параметра Равномерная сходимость несобственного интеграла Критерий Коши Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов, зависящих от параметра равносильные равенствам Пример 1. Вычислить предел непрерывна в любом прямоугольнике где . Отсюда по формуле (3) получаем 1.2.

Дифференцирование интеграла no параметру Теорема 2. Если функция f(x} у) и ее частная производная непрерывны в прямо- угольнике , то для любого справедлива формула Лейбница дифференцирования по параметру под знаком интеграла Предполагая, что ], составим разностное отношение Переходя в этом равенстве к пределу при Ду —> 0 и пользуясь непрерывностью частной производной и формулой (3), получим Замечание. Пусть пределы интегрирования зависят от параметра у.

 

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Признак Даламбера. Признак Коши. Критерий Коши сходимости ряда

Эквивалентные бесконечно малые функции. Главная часть бесконечно малой функции. Сравнение бесконечно больших функций

Химические эквиваленты

Классификация зданий и сооружений

 

Тогда где и функции а(у) и 6(у) дифференцируемы на отрезке При условии, что функции /) непрерывны в области (рис. 2), получаем, тто функция F(y) дифференцируема на (с, d\, причем (5) (6) Формула (6) доказывается с помощью дифференцирования сложной функции. Так как , то полная производная где Подставляя выражения доя производных в формулу (7), получим требуемую формулу (6). Пример 2. Применяя дифференцирование по параметру, вычислить интеграл а также ее производная по параметру непрерывны в прямоугольнике.

Поэтому применима теорема 2 о дифференцировании интеграла по параметру при Имеем Положим Интегрируя no t от 0 до, получим Отсюда . Устремляя а к нулю и замечая что /(0) = 0, имеем С = 0. Следовательно, Пример 3. Найти производную для функции Применяя формулу (б), получим: 1.3. Интегрирование интеграла по параметру Теорема 3. Если функций f(x, у) непрерывна в прямоугмьнике , то функция интегрируема на отрезке [с, d\, причем справедливы равенства.

Согласно теореме 1, функция /(у) непрерывна на отрезке [с, d) и поэтому интегрируема на нем. Справедливость формулы (8) следует из равенства повторных интегралов, Пример 4. Проинтегрировать по параметру у интеграл в пределах от 0 до 1. Так как функция непрерывна в прямоугольнике , то применима теорема 3 об интегрировании интеграла по параметру. Имеем §2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 2.1. Понятие несобственного интеграла первого рода, зависящего от параметра Пусть функция двух переменных /(ж, у) определена в полуполосе (рис. А выполняется неравенство Используя неравенство (4), отсюда получим, что для всех у из отрезка Тем самым, критерий Коши равномерной сходимости интеграла выполнен. Цитр 1.

Иссладова тъ на равномерную сходимость несобственный иктграл где я — параметр, Так как при любом произвольные вещественные числа, выполняется неравенство и интеграл сходится, то по признаку Вейерштрасса интеграл (5) равномерно сходится для всех 2.3. Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов, зависящих от параметра Свойство 1. Непрерывность несобственного интеграла по параметру. Если функция непрерывна в области Поо и интеграл сходится равномернопо у наотрезкс (с, dj,то функция 1(у) непрерывна на Свойство 2. Интегрируемость несобственно го интеграла по параметру.

Если функция непрерывна в области И» и интеграл (6) сходится равномерно по у на , то Свойство 3.

Дифференцируемое™ несобственного интеграла по параметру. Пусть функция f(x,y) и сс частная производная непрерывны в области Псо, несобственный интеграл (6) сходится, а интеграл сходится равномерно по у на . Тогда Пример 2. Вычислить интеграл, зависящий от параметра $, В примере 1 мы доказали равномерную сходимость интеграла по параметру s на любом отрезке . Покажем, что интеграл (9) также равномерно сходится по параметру s на любом отрезке.

В самом деле, при любом в, и откуда по признаку Вейерштрасса следует равномерная сходимость интеграла (9). Обозначая подынтегральную функцию интеграла (5) через замечаем, что — подынтегральная функция равномерно сходящегося интеграла (9). Используя свойство дифференцируемое™ несобственного интеграла по параметру, получим Так как 1($) = (в этом легко убедиться путем интегрирования по частям), то Отсюда Пример 3.

Интегрируя равенство по . найти интеграл

Покажем сначала, что несобственный интеграл Собственные интегралы зависящие от параметра Дифференцирование интеграла no параметру Интегрирование интеграла по параметру Понятие несобственного интеграла первого рода, зависящего от параметра Равномерная сходимость несобственного интеграла Критерий Коши Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов, зависящих от параметра зависящий от параметра у, сходится равномерно на отрезке (а, 6). x \ln t,dxd​tx=txlnt, поэтому дифференцирование числителя по показателю степени похоже на то, что мы я хотел бы сделать. 9{1} = \frac{1}{x+1}.g′(x)=∫01​∂x∂​lnttx−1​dt=∫01​lnttxlnt​dt=x+1tx+1​∣∣∣ ∣∣​01​=x+11​. Отсюда следует, что g(x)=ln⁡∣x+1∣+Cg(x) = \ln|x+1| + Cg(x)=ln∣x+1∣+C для некоторой константы CCC.

Чтобы определить CCC, обратите внимание, что g(0)=0g(0) = 0g(0)=0, поэтому 0=g(0)=ln⁡1+C=C0 = g(0) = \ln 1 + C = C0=g(0)=ln1+C=C. Следовательно, g(x)=ln⁡∣x+1∣g(x) = \ln|x+1|g(x)=ln∣x+1∣ для всех xxx таких, что интеграл существует. В частности, g(3)=ln⁡4=2ln⁡2g(3) = \ln 4 = 2\ln 2g(3)=ln4=2ln2. □_\квадрат□​

В примере часть подынтегральной функции была заменена на переменную и полученная функция исследована с помощью дифференцирования под знаком интеграла. Это хорошая иллюстрация принципа решения проблем: если вы застряли на конкретной проблеме, попробуйте решить более общую проблему. 9{\infty} \cos tu \, du,0=g′(t)=∫0∞​costudu, что абсурдно. Проблема в том, что функция f(x,t)=sin⁡tx/xf(x,t) = \sin tx/xf(x,t)=sintx/x не является непрерывно дифференцируемой (рассмотрим ∂f/∂t\ частичное f/\partial t∂f/∂t при x=0x=0x=0), что требовалось в изложенных выше предположениях. {\cos \theta} \cos(\sin\theta) \, d \тета.∫02π​ecosθcos(sinθ)dθ. 9{t \cos\theta} \cos(t\sin\theta) \, d\thetaf(t)=∫02π​etcosθcos(tsinθ)dθ

и используем дифференцирование под знаком интеграла.

страница не найдена — Колледж Уильямс

’62 Центр театра и танца, ’62 Центр
Касса	597-2425
Магазин костюмов	597-3373
Менеджер мероприятий/помощник менеджера	597-4808	597-4815 факс
Производство		597-4474 факс
Магазин сцен	597-2439
’68 Центр изучения карьеры, Мирс	597-2311	597-4078 факс
Академические ресурсы, Парески	597-4672	597-4959 факс
Служба поддержки инвалидов, Парески	597-4672
Приемная, Уэстон Холл	597-2211	597-4052 факс
Позитивные действия, Хопкинс-холл	597-4376
Африканские исследования, Голландия	597-2242	597-4222 факс
Американские исследования, Шапиро	597-2074	597-4620 факс
Антропология и социология, Холландер	597-2076	597-4305 факс
Архивы и специальные коллекции, Sawyer	597-4200	597-2929 факс
Читальный зал	597-4200
Искусство (История, Студия), Spencer Studio Art/Lawrence	597-3578	597-3693 факс
Архитектурная студия, Spencer Studio Art	597-3134
Студия фотографии, Spencer Studio Art	597-2030
Студия гравюры, Spencer Studio Art	597-2496
Скульптурная студия, Spencer Studio Art	597-3101
Senior Studio, Spencer Studio Art	597-3224
Видео/фотостудия, Spencer Studio Art	597-3193
Азиатские исследования, Голландия	597-2391	597-3028 факс
Астрономия/астрофизика, Физика Томпсона	597-2482	597-3200 факс
Отделение легкой атлетики, физического воспитания, отдыха, Ласелл	597-2366	597-4272 факс
Спортивный директор	597-3511
Лодочная пристань, озеро Онота	443-9851
Вагоны	597-2366
Фитнес-центр	597-3182
Хоккейный каток Ice Line, Lansing Chapman	597-2433
Очные занятия, Спортивный центр Чендлера	597-3321
Физкультура	597-2141
Влажная линия бассейна, Спортивный центр Чендлера	597-2419
Информация о спорте, Хопкинс-холл	597-4982	597-4158 факс
Спортивная медицина	597-2493	597-3052 факс
Корты для сквоша	597-2485
Поле для гольфа Taconic	458-3997
Биохимия и молекулярная биология, Биология Томпсона	597-2126
Биоинформатика, геномика и протеомика, Бронфман	597-2124
Биология, Томпсон Биология	597-2126	597-3495 факс
Безопасность и безопасность кампуса, Хопкинс-холл	597-4444	597-3512 факс
Карты доступа/Системы сигнализации	597-4970/4033
Служба сопровождения, Хопкинс-холл	597-4400
Офицеры и диспетчеры	597-4444
Секретарь, удостоверения личности	597-4343
Распределительный щит	597-3131
Центр развития творческого сообщества, 66 Stetson Court	884-0093
Центр экономики развития, 1065 Main St	597-2148	597-4076 факс
Компьютерный зал	597-2522
Вестибюль	597-4383
Центр экологических исследований, выпуск 1966 г. Экологический центр	597-2346	597-3489 факс
Лаборатория наук об окружающей среде, Морли	597-2380
Экологические исследования	597-2346
Лаборатория ГИС	597-3183
Центр иностранных языков, литературы и культуры, Холландер	597-2391	597-3028 факс
Арабистика, Голландия	597-2391	597-3028 факс
Сравнительная литература, Hollander	597-2391
Critical Languages, Hollander	597-2391	597-3028 факс
Лингвистическая лаборатория	597-3260
русский, голландец	597-2391
Центр обучения в действии, Brooks House	597-4588	597-3090 факс
Библиотека редких книг Чапина, Сойер	597-2462	597-2929 факс
Читальный зал	597-4200
Офис капелланов, Парески	597-2483	597-3955 факс
Еврейский религиозный центр, Stetson Court 24	597-2483
Мусульманская молитвенная комната, часовня Томпсона (нижний уровень)	597-2483
Католическая часовня Ньюмана, часовня Томпсона (нижний уровень)	597-2483
Химия, Химия Томпсона	597-2323	597-4150 факс
Классика (греческая и латинская), голландская	597-2242	597-4222 факс
Когнитивные науки, Бронфман	597-4594
Колледж Маршал, Физика Томпсона	597-2008
Отношения с колледжами	597-4057
25-я программа воссоединения, Фогт	597-4208	597-4039 факс
50-я программа воссоединения, Фогт	597-4284	597-4039 факс
Операции по развитию, Мирс-Уэст	597-4154	597-4333 факс
Мероприятия для выпускников, Vogt	597-4146	597-4548 факс
Фонд выпускников	597-4153	597-4036 факс
Отношения с выпускниками, Мирс-Уэст	597-4151	597-4178 факс
Почтовые службы для выпускников и разработчиков, Mears West	597-4369
Развитие, Фогт	597-4256
Связи с донорами, Vogt	597-3234	597-4039 факс
Отдел планирования подарков, Фогт	597-3538	597-4039 факс
Отдел грантов, Мирс-Уэст	597-4025	597-4333 факс
Программа крупных подарков, Vogt	597-4256	597-4548 факс
Родительский фонд, Фогт	597-4357	597-4036 факс
Prospect Management & Research, Mears	597-4119	597-4178 факс
Начало и академические мероприятия, Jesup	597-2347	597-4435 факс
Коммуникации, Хопкинс Холл	597-4277	597-4158 факс
Информация о спорте, Хопкинс-холл	597-4982	597-4158 факс
Веб-команда, Southworth Schoolhouse
Williams Magazines (ранее Alumni Review), Hopkins Hall	597-4278
Информатика, Химия Томпсона	597-3218	597-4250 факс
Конференции и мероприятия, Парески	597-2591	597-4748 факс
Справки о домике на дереве вяза, ферма Маунт-Хоуп	597-2591
Офис контролера, Хопкинс Холл	597-4412	597-4404 факс
Кредиторская задолженность и ввод данных, Hopkins Hall	597-4453
Касса и кассовые чеки, Hopkins Hall	597-4396
Финансовые информационные системы, Хопкинс-холл	597-4023
Карточки для закупок, Хопкинс Холл	597-4413
Студенческие кредиты, Hopkins Hall	597-4683
Танец, ’62 Центр	597-2410
Центр Дэвиса (ранее Мультикультурный центр), Дженнесс	597-3340	597-3456 факс
Харди Хаус	597-2129
Дом Дженнесс	597-3344
Райс Хаус	597-2453
Декан колледжа, Хопкинс Холл	597-4171	597-3507 факс
Декан факультета, Хопкинс Холл	597-4351	597-3553 факс
Обеденные услуги, капельницы	597-2121	597-4618 факс
’82 Гриль, Парески	597-4585
Пекарня, Парески	597-4511
Питание, Дом факультета	597-2452
Обеденный зал Дрисколла, Дрисколл	597-2238
Эко-кафе, Научный центр	597-2383
Grab ‘n Go, Парески	597-4398
Закусочная Lee, Парески	597-3487
Обеденный зал Mission Park, Mission Park	597-2281
Уитменс, Парески	597-2889
Экономика, Шапиро	597-2476	597-4045 факс
английский, голландский	597-2114	597-4032 факс
Объекты, Сервисное здание	597-2301
Запрос автомобиля для колледжа	597-2302
Вечерние/выходные чрезвычайные ситуации	597-4444
Запросы на работу объектов		597-4141 факс
Особые события	597-4020
Склад	597-2143	597-4013 факс
Факультетский клуб, Факультетский дом/Центр выпускников	597-2451	597-4722 факс
Бронирование	597-3089
Офис стипендий, Хопкинс-холл	597-3044	597-3507 факс
Финансовая помощь, Weston Hall	597-4181	597-2999 факс
Геофизические науки, Кларк Холл	597-2221	597-4116 факс
немецкий-русский, голландский	597-2391	597-3028 факс
Глобальные исследования, Холландер	597-2247
Программа магистратуры по истории искусств, The Clark		458-2317 факс
Health and Wellness Services, Thompson Ctr Health	597-2206	597-2982 факс
Санитарное просвещение	597-3013
Услуги комплексного благополучия (консультации)	597-2353
Экстренные ситуации, угрожающие жизни	Звоните 911
Медицинские услуги	597-2206
История, Холландер	597-2394	597-3673 факс
История науки, Бронфман		597-4116 факс
Хопкинс Форест	597-4353
Центр Розенбурга	458-3080
Отдел кадров, здание B&L	597-2681	597-3516 факс
Услуги няни, здание B&L	597-4587
Преимущества	597-4355
Программа помощи сотрудникам	800-828-6025
Занятость	597-2681
Расчет заработной платы	597-4162
Ресурсы для супругов/партнеров	597-4587
Трудоустройство студентов	597-4568
Weather Line (ICEY)	597-4239
Гуманитарные науки, Шапиро	597-2076
Информационные технологии, Джесуп	597-2094	597-4103 факс
Пакеты для чтения курсов, почтовый ящик для офисных услуг	597-4090
Центр кредитования оборудования, Додд, приложение	597-4091
Служба поддержки преподавателей/персонала, [email protected]	597-4090
Мультимедийные услуги и справка для занятий	597-2112
Служба поддержки студентов, [электронная почта защищена]	597-3088
Телекоммуникации/телефоны	597-4090
Междисциплинарные исследования, Hollander	597-2552
Международное образование и учеба вне дома, Хопкинс-холл	597-4262	597-3507 факс
Инвестиционный офис, Хопкинс-холл	597-4447
Офис в Бостоне	617-502-2400	617-426-5784 факс
Еврейские исследования, Мазер	597-3539
Справедливость и право, Холландер	597-2102
Латиноамериканские исследования, Hollander	597-2242	597-4222 факс
Лидерские исследования, Шапиро	597-2074	597-4620 факс
Морские исследования, Бронфман	597-2297
Математика и статистика, Bascom	597-2438	597-4061 факс
Музыка, Бернхард	597-2127	597-3100 факс
Concertline (записанная информация)	597-3146
Неврология, Биология Томпсона	597-4107	597-2085 факс
Центр Окли, Окли	597-2177	597-4126 факс
Управление институционального разнообразия и справедливости, Хопкинс-холл	597-4376	597-4015 факс
Бухгалтерия студентов, Хопкинс Холл	597-4396	597-4404 факс
Исследования производительности, ’62 Центр	597-4366
Философия, Шапиро	597-2074	597-4620 факс
Физика, Физика Томпсона	597-2482	597-4116 факс
Планетарий/Обсерватория Хопкинса	597-3030
Старый театр обсерватории Хопкинса	597-4828
Бронирование	597-2188
Политическая экономия, Шапиро	597-2327
Политология, Шапиро	597-2168	597-4194 факс
Офис президента, Хопкинс-холл	597-4233	597-4015 факс
Дом Президента	597-2388	597-4848 факс
Услуги печати/почты для преподавателей/сотрудников, ’37 House	597-2022
Программа обучения, Бронфман	597-4522	597-2085 факс
Офис проректора, Хопкинс-холл	597-4352	597-3553 факс
Психология, психологические кабинеты и лаборатории	597-2441	597-2085 факс
Недвижимость, здание B&L	597-2195/4238	597-5031 факс
Ипотека преподавателей/сотрудников	597-4238
Аренда жилья для преподавателей/персонала	597-2195
ЗАГС, Хопкинс Холл	597-4286	597-4010 факс
Религия, Голландия	597-2076	597-4222 факс
Романские языки, голландский	597-2391	597-3028 факс
Планировщик помещений	597-2555
Соответствие требованиям безопасности и охраны окружающей среды, класс ’37 Дом	597-3003
Библиотека Сойера, Сойер	597-2501	597-4106 факс
Услуги доступа	597-2501
Приобретение/Серийный номер	597-2506
Услуги каталогизации/метаданных	597-2507
Межбиблиотечный абонемент	597-2005	597-2478 факс
Исследовательские и справочные услуги	597-2515
Стеллаж	597-4955	597-4948 факс
Системы	597-2084
Научная библиотека Шоу, Научный центр	597-4500	597-4600 факс
Научные и технологические исследования, Бронфман	597-2239
Научный центр, Бронфман		597-4116 факс
Магазин электроники	597-2205
Машиностроительный/модельный цех	597-2230
Безопасность	597-4444
Специальные академические программы, Hardy	597-3747	597-4530 факс
Информация о спорте, Хопкинс-холл	597-4982	597-4158 факс
Студенческая жизнь, Парески	597-4747
Планировщик помещений	597-2555
Управление студенческими центрами	597-4191
Планирование студенческих мероприятий	597-2546
Студенческое общежитие, Парески	597-2555
Участие студентов	597-4749
Жилищные программы высшего класса	597-4625
Студенческая почта, Почта Парески	597-2150
Устойчивое развитие/Zilkha Center, Harper	597-4462
Коммутатор, Хопкинс Холл	597-3131
Книжный магазин Уильямс	458-8071	458-0249 факс
Театр, 62 Центр	597-2342	597-4170 факс
Управление траста и недвижимости, Sears House	597-4259
Учебники	597-2580
Вице-президент Campus Life, Хопкинс-холл	597-2044	597-3996 факс
Вице-президент по связям с колледжами, Mears	597-4057	597-4178 факс
Вице-президент по финансам и администрации, Хопкинс Холл	597-4421	597-4192 факс
Центр визуальных ресурсов, Лоуренс	597-2015	597-3498 факс
Детский центр колледжа Уильямс, Детский центр Уильямс	597-4008	597-4889 факс
Художественный музей колледжа Уильямс (WCMA), Лоуренс	597-2429	597-5000 факс
Подготовка музея	597-2426
Служба безопасности музея	597-2376
Музейный магазин	597-3233
Уильямс Интернэшнл	597-2161
Выездной клуб Williams, Парески	597-2317
Аппаратная/стол для учащихся	597-4784
Проект Уильямса по экономике высшего образования, Мирс-Уэст	597-2192
Уильямс Рекорд, Парески	597-2400	597-2450 факс
Программа Уильямса-Эксетера в Оксфорде, Оксфордский университет	011-44-1865-512345
Программа Williams-Mystic, Музей морского порта Mystic	860-572-5359	860-572-5329 факс
Женские, гендерные и сексуальные исследования, Шапиро	597-3143	597-4620 факс
Написание программ, Hopkins Hall	597-4615
Центр экологических инициатив Зилха, Харпер	597-4462

Дифференциация под знаком интегрирования — Решенные примеры

• Автор Simran Simran
• Последнее изменение 18 мая 2022 г.

• Автор Симран Симран
• Последнее изменение 18 мая 2022 г.

Дифференцирование под знаком интегрирования: Интегрирование — это раздел исчисления, который занимается нахождением суммы малых изменений переменной по отношению к другой переменной. Если мы внимательно посмотрим на это определение, то сможем понять, что интегрирование — это обратная сторона производной. В то время как дифференцирование или взятие производной разбивает площадь под кривой на мелкие части, интегрирование суммирует все эти части. Следовательно, интеграл или интегрирование функции также называют первообразной.

Дифференциация или производная — это раздел исчисления, который занимается нахождением скорости изменения переменной по отношению к другой переменной. Наклон кривой имеет аналогичное определение. Итак, если мы представим функцию в виде кривой, то ее наклон будет производной в этой точке. Производная или дифференцирование переменной \(y\) по \(x\) записывается как \(\frac{{dy}}{{dx}}\).

ИЗУЧЕНИЕ ЭКЗАМЕНА НА EMBIBE

Методы решения интегралов

Некоторые задачи интеграции связаны с функциями, не имеющими первообразных. Есть несколько способов решения таких проблем, в том числе

1. Интеграция путем замены

Иногда хорошо подобранная замена сводит сложную задачу интеграции к простой.

Пример:

Рассмотрим эту задачу: \(I = \int {\frac{{\log x}}{x}} dx\)

У нас нет формулы, которая дает первообразную \(\log x\). Здесь мы можем заменить,

\(\лог х = т\)

Дифференцирование обеих частей этого уравнения дает

\(\frac{d}{{dx}}(\log x) = \frac{d}{{dx}}(t)\)

\( \Стрелка вправо \frac{1}{x} = \frac{{dt}}{{dx}}\)

\( \Стрелка вправо \frac{{dx}}{x} = dt\)

Эта замена изменяет интеграл на

.

\(\следовательно, я = \int {\frac{{dt}}{t}} \)

Мы знаем, что первообразная \(\frac{1}{t}\) равна \(\log t\)

\( \Стрелка вправо I = \log t + c\)

\(\следовательно, я = \log (\log x) + c\)

2. Интеграция по частям

Иногда подынтегральная функция является произведением двух различных функций из типов –

• Обратная (I)
• Логарифмическая (L)
• Алгебраическая (A)
• Тригонометрическая (T)
• Экспоненциальная (E)

v\) на основе порядка приоритета ILATE.

Формула интегрирования по частям:

\(\ int u v\,dx = u\int v\,dx – \int {\left({\int v\,dx} \right)} \left( {\frac{{du}}{{dx }}} \справа)dx\)

Пример:

Рассмотрим эту задачу, \(I = \int x \sin x\,dx\).

Нам известны первообразные \(x\), а также первообразные \(\sin x\), но мы не знаем первообразных их произведений. Здесь мы можем использовать интегрирование по частям. Есть две функции: \(x\) алгебраическая и \(\sin x\) тригонометрическая. Следовательно, мы назначаем \(x\) как \(u\) и \(\sin x\) как \(v\) в соответствии с порядком ILATE.

\(I = \int x \sin x\,dx\)

\( \Rightarrow I = x\int {\sin}\,x\,dx — \int {\left({\int {\sin}\, x\,dx} \right)} \left( {\ frac{{d(x)}}{{dx}}} \right)dx\)

\( \Стрелка вправо I = x( – \cos x) – \int {( – \cos x)} (1)dx\)

\( \Rightarrow I = – x\cos x + \int {\cos x} \,dx\)

\(\следовательно, я = – х\cos х + \sin х + с\)

Есть еще много таких методов, которые можно использовать в зависимости от типа подынтегрального выражения. {b(t)} f (x,t)dx\), где \( – \infty < a(t) ,b(t) < \infty \), производная определяется выражением 9\простое число}} (х,т)дх\)

Шаг 2: Интегрируйте RHS, полученные на предыдущем шаге. Взяв частную производную на первом шаге, мы теперь можем выполнить интегрирование, используя другие методы, которые мы изучили ранее. Ответ, полученный на RHS, будет функцией только от \(t\).
\(\следовательно \frac{{dI}}{{dt}} = g(t)\)

Шаг 3: Интегрируйте обе стороны.

\(\frac{{dI}}{{dt}} = g(t)\)

\(\Стрелка вправо dI = g(t)dt\)

\( \стрелка вправо \int d I = \int g (t)dt\) 90}}}{{(\alpha + 1)}}\)
\( \Rightarrow \frac{{dI}}{{d\alpha }} = 0 – \frac{1}{{(\alpha + 1 )}}\)
\( \Стрелка вправо \frac{{dI}}{{d\alpha }} = – \frac{1}{{(\alpha + 1)}}\)
\( \Стрелка вправо dI = – \frac{1}{{(\alpha + 1)}}d\alpha \)
Интегрируя обе части, получаем,
\( \Rightarrow \int d I = \int – \frac{1}{{(\ альфа + 1)}}d\альфа\)
\(\поэтому I = — \log (\альфа + 1) + с\,\,\,\,\,\,\,…. (2)\)
Чтобы найти \(c\), нам нужно проверить исходное уравнение и посмотреть, какое значение \(\alpha \) делает его \(0\). 9t}}}{{t + 1}}\)
\(\следовательно \frac{{dI}}{{dt}} = \frac{1}{{t + 1}}\)
Далее возьмем член \(dt\) на правой стороне и проинтегрируйте обе стороны.
\( \Стрелка вправо \int d I = \int {\frac{1}{{t + 1}}} dt\)
\(\следовательно, I = \log (t + 1) + c\,\,\ ,\,\,\,\,…..(2)\)
Чтобы найти \(c\), нам нужно проверить исходное уравнение и посмотреть, какое значение \(t\) делает его \(0\) .
Если мы подставим \(t=0\) в уравнение \(1\), мы получим значение \(I\) как \(0\).
Подставляя \(t=0\) в уравнение \(2\), получаем, 9{ – a0}}}}{{ – a}}} \right)\)
\(\Стрелка вправо \frac{{dI}}{{da}} = – \left( {0 – \frac{1}{ { – a}}} \right)\)
\(\Стрелка вправо \frac{{dI}}{{da}} = – \frac{1}{a}\)
\(\следовательно \,dI = – \frac{1}{a}da\)
Интегрируя обе стороны,
\(\smallint dI = – \smallint \frac{1}{a}da\)
\(\следовательно \,I = – \log a + c\;\;\;\cdots (2)\)
Чтобы найти \(c\), нам нужно проверить исходное уравнение и посмотреть, какое значение \(a\) делает его \(0\).
Если мы подставим \(a = b\) в уравнении \(2\), мы получим значение \(I\) как \(0\). 9{ – 1}}\left( 0 \right)} \right]\)
\(\Стрелка вправо \ frac{{dI}}{{da}} = – \ frac{1}{a}\left[ {\ frac{\pi }{2} – 0} \right]\)
\(\Стрелка вправо \frac{{dI}}{{da}} = – \frac{\pi }{{2a}}\)
\ (\поэтому \,dI = – \frac{\pi }{{2a}}da\)
Интегрируя обе стороны,
\(\smallint dI = \smallint – \frac{\pi }{{2a}}da\ )
\(\Стрелка вправо I = – \frac{\pi }{2}\smallint \frac{1}{a}da\)
\(\следовательно \,I = – \frac{\pi }{2} (\log a) + c\;\;\;\cdots (2)\)
Чтобы найти \(c\), нам нужно проверить исходное уравнение и посмотреть, какое значение \(a\) делает его \( 0\).
Если мы подставим \(a = b\) в уравнении \(1\), мы получим значение \(I\) как \(0\).
Подставив \(a = b\) в уравнение \(2\), получим,
\(0 = – \frac{\pi }{2}(\log b) + c\)
\(\следовательно \, c = \ frac {\ pi} {2} (\ log b) \)
\ (\ Rightarrow I = — \ frac {\ pi } {2} (\ log a) + \ frac {\ pi } {2} (\log b)\)
\(\Стрелка вправо I = \frac{\pi }{2}\left[ { — \log a + \log b} \right]\)
\(\Стрелка вправо I = \frac {\pi} {2}\left[ {\log b — \log a} \right]\)
\(\следовательно \,I = \frac{\pi}{2}\log \frac{b}{ а}\). 92} + 1}}{2}\).

Сводка

Дифференциация или производная и интегрирование являются двумя неотъемлемыми частями исчисления. Производная – это скорость изменения зависимой переменной при изменении независимой переменной. Интеграция включает в себя добавление небольших изменений в переменную через интервал, чтобы найти общее изменение переменной.

Короче говоря, производная делает из целого маленькие части, а интеграция добавляет много маленьких частей, чтобы создать целое. Таким образом, интегрирование противоположно производной, поэтому интегрирование также называют первообразной. Интеграции бывают двух видов – неопределенные и определенные. Одним из наиболее важных методов решения интегрирования является дифференцирование под знаком интеграла (DUIS).

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

У учащихся может возникнуть много вопросов по теме «Дифференциация под знаком интеграции». Вот несколько часто задаваемых вопросов и ответов.