Дискриминант примеры с решением: 8.2.2. Решение полных квадратных уравнений.

Содержание

Памятка для учеников по решению квадратных уравнений

Решение квадратных уравнений.

Уравнение вида ax² +bx+c=0, где х – переменная, a≠0, b, c – некоторые числа, называется квадратным уравнением.

a≠0, b, c – коэффициенты квадратного уравнения.

D = b² – 4аc – дискриминант квадратного уравнения.

Если D 0, два корня: х₁ = х₂ =

D = 0, один корень х =

D , корней нет.

Пример 1. Назовите коэффициенты уравнения:

а) 2x² +5x+3=0, a=2, b=5, c=3

б) 4x² -5x=0, a=4, b= -5, c=0

в) x² +4x – 2,5=0, a=1, b=4, c=2,5

г) 3x -2x²+4=0, a=-2, b=3, c=4

Помните! Коэффициент a всегда стоит перед х², коэффициент b – перед х, коэффициент c не имеет буквенного множителя!

Пример 2. Сколько корней имеет квадратное уравнение:

а) 2x² +5x+3=0, a=2, b=5, c=3

Решение: D = b² – 4аc = 5²-4*2*3=25-24=10, два корня

б) 4x² -5x+7=0, a=4, b= -5, c=7

Решение: D = b² – 4аc = (-5)²-4*4*7=25-112=-87

в) x² – 4x + 4=0, a=1, b=-4, c=4

Решение: D = b² – 4аc =( -4)²-4*1*4=16-16=0, один корень

Пример 3. Решите уравнение:

а) 2x² +5x+3=0, a=2, b=5, c=3

Решение: D = b² – 4аc = 5²-4*2*3=25-24=10, два корня

х₁ = х₂ =

б) x² – 4x + 4=0, a=1, b=-4, c=4

Решение: D = b² – 4аc =( -4)²-4*1*4=16-16=0, один корень

х =

в) 4x² -5x=0, a=4, b= -5, c=0

Решение: D = b² – 4аc =(- 5)²-4*4*0=250, два корня

х₁ = х₂ =

Алгоритм решения квадратных уравнений:

Выписать коэффициенты;
Найти дискриминант, подставив значение коэффициентов в формулу;
Определить, сколько корней имеет данное уравнение;
Выбрать по значению дискриминанта формулу корней, подставить в нее нужные значения и найти корни уравнения;
Записать ответ.

Использование дискриминанта для прогнозирования количества решений квадратного уравнения

Сделать 5 мин чтения 4 мин видео

Использование дискриминанта для прогнозирования количества решений квадратного уравнения

Когда мы решали квадратные уравнения в предыдущем примеры, иногда мы получали два решения, иногда одно решение, иногда реальных решений не было. Есть ли способ предсказать количество решений квадратного уравнения без фактического решения уравнения? 9{2}-4·3·9=-104\) − 0

Когда дискриминант положительный $(x=\frac{\text{−}b±\sqrt {+}}{2a})$ квадратное уравнение имеет два решения .

Когда дискриминант равен нулю $(x=\frac{\text{−}b±\sqrt{0}}{2a})$ квадратное уравнение имеет одно решение .

Когда дискриминант отрицательный $(x=\frac{\text{−}b±\sqrt{-}}{2a})$ квадратное уравнение имеет 9{2}-4·9·1\\ \text{Упростить. }\hfill & & & \hfill \begin{array}{c}\hfill 36-36\phantom{\rule{1.6em}{0ex}} \\ \hfill 0\phantom{\rule{2.7em}{0ex}}\end{массив}\\ \text{Поскольку дискриминант равен 0, уравнение имеет одно решение.}\hfill & & & \end {массив}\)

Дополнительное видео

Продолжить работу с мобильным приложением | Доступно в Google Play

[Атрибуции и лицензии]

Поделиться мыслями

9{c}\)

$a_{b}$

$\sqrt{a}$

$\sqrt[b]{a}$

$\frac{a}{ б}$

$\cfrac{a}{b}$

$+$

$-$

$\times$

$\div$

$\pm$

$\cdot$

$\amalg$

$\ast$

$\barwedge$

$\bigcirc$

$ \bigodot$

$\bigoplus$

$\bigotimes$

$\bigsqcup$

$\bigstar$

$\bigtriangledown$

$\bigtriangleup$

$\blacklozenge$

$\blacksquare$

$\blacktriangle$

2 \(\

3) $\bullet$
$\cap$
$\cup$
$\circ$
$\circledcirc$
$\dagger$
$ \ddagger$
$\diamond$
$\dotplus$
$\lozenge$
$\mp$
$\ominus$
$\oplus $
$\oslash$
$\otimes$
$\setminus$
$\sqcap$
$\sqcup$
$\square$
$\star$
$\triangle$
$\triangledown$
$\triangleleft$
$\Cap$
$\Cup$
$ \upplus$
$\vee$
$\veebar$
$\клин$
$\wr$
$\следовательно$
$\left ( a \right )$
$\left \| a \right \|$
$\влево [ a \вправо ]$
$\влево \{ a \вправо \}$
$\влево \lceil a \вправо \rceil$
$\влево \ lfloor a \right \rfloor$
$\left ( a \right )$
$\vert a \vert$
$\leftarrow$
$\leftharpoondown$
$\leftharpoonup$
$\leftrightarrow$
$\leftrightharpoons$
$\mapsto$
$\rightarrow$
$\rightharpoondown$
$ \правый гарпунвверх$
$\rightleftharpoons$
$\to$
$\Leftarrow$
$\Leftrightarrow$
$\Rightarrow$
$\overset{a}{ \leftarrow}$
$\overset{a}{\rightarrow}$
$\приблизительно $
$\asymp$
$\cong $
$\dashv $
$\doteq $
$= $
$\equiv $
$\frown $
$\geq $
$\geqslant $
$\гг$
$\gt $
$| $
$\leq $
$\leqslant $
$\ll $
$\lt $
$ \models$
$\neq $
$\ngeqslant $
$\ngtr $
$\nleqslant $
$\nless $
$\not \equiv $
$\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} $
$\parallel $
$\perp $
$\prec $
$\preceq $
$\сим$
$\simeq$
$\smile$
$\succ$
$\succeq$
$\vdash$
$\in$
\ (\ni \)
$\notin $
$\nsubseteq $
$\nsupseteq $
$\sqsubset $
$\sqsubseteq $
$\ sqsupset $
$\sqsupseteq $
$\subset $
$\subseteq $
$\subseteqq $
$\supset $
\\supseteq )
$\supseteqq $
$\emptyset$
$\mathbb{N}$
$\mathbb{Z}$
$\mathbb{Q}$
$\mathbb{R}$
$\mathbb{C}$
$\alpha$
$\beta$
$\gamma$
$\delta $
$\эпсилон$
$\дзета$
$\эта$
$\тета$
$\йота$
$\каппа$
$\lambda$
$\mu$
$\nu$
$\xi$
$\pi$
$\rho$
$\sigma$
$\tau$
$\upsilon$
$\phi$
$\chi$
$\psi$
$\omega$
$\Gamma$
$\Delta$
$\Theta$
$ \Lambda$
$\Xi$
$\Pi$
$\Sigma$
$\Upsilon$
$\Phi$
$\Psi $
$\Омега$
$(а)$
$[а]$ 9{} a\)
Редактировать математику с помощью TeX:
Предварительный просмотр математики:
Квадратное уравнение без решения с примерами
Некоторые квадратные уравнения не имеют действительного решения. Существуют различные способы, с помощью которых мы можем определить, может ли квадратное уравнение иметь решение или нет.
По значению дискриминанта
Наиболее широко используемый метод определения того, имеет ли квадратное уравнение решение, — это просмотр значения дискриминанта.
9{2}-4\times 1\times 5}}{2\left( 1\right) }}$
= ${\dfrac{4\pm \sqrt{16-20}}{2}}$
= ${\dfrac{4\pm \sqrt{-4}}{2}}$
Как мы знаем, квадратный корень из отрицательного числа не является действительным числом. Таким образом, это квадратное уравнение не имеет ни действительных корней, ни решений. Однако уравнение имеет два комплексных решения {2 + i, 2 – i}
Найдите, имеет ли квадратное уравнение x ² + 2x + 5 = 0 действительные решения.
Решение: 9{2}-4\times 1\times 5}}{2\times 1}}$
= ${\dfrac{-2\pm \sqrt{4-20}}{2}}$
= ${\ dfrac{-2\pm \sqrt{-16}}{2}}$
Как мы знаем, квадратный корень из отрицательного числа не является действительным числом. Таким образом, это квадратное уравнение не имеет ни действительных корней, ни решений. Однако уравнение имеет два комплексных решения {2i – i, -2i – i}
Глядя на природу графика
Еще один интересный способ определить, имеет ли квадратное уравнение действительное решение, – посмотреть на график. Если график не касается оси абсцисс, то он не будет иметь действительного решения.
Давайте рассмотрим то же квадратное уравнение x ² – 4x + 5 = 0, чтобы сделать вывод. Предположим, мы строим график, используя точки координат, найденные вручную или с помощью графического калькулятора. В этом случае мы действительно можем обнаружить, что парабола не касается оси x.
Квадратное уравнение без решения Рис. 1
Итак, концепция действительно работает. Давайте попробуем другой такой пример.
Определите, имеет ли квадратное уравнение -x ² – 3x – 10 = 0 действительные корни.
Решение:
Построив данное квадратное уравнение с помощью плоттера, мы получим приведенную ниже параболу:
Поскольку эта парабола не касается оси x, мы можем заключить, что соответствующее квадратное уравнение не имеет действительных решений. Также обратите внимание, что квадратное уравнение без действительного решения может иметь график ниже оси X.
Если мы решим данное уравнение с помощью квадратичной формулы, мы найдем два комплексных решения {1 + i, 1 – i}
Глядя на коэффициенты
Еще один простой способ определить, имеет ли заданное квадратное уравнение действительные корни или решение, — посмотреть на коэффициенты, если уравнение записано в стандартной форме.
Если среднесрочный коэффициент равен нулю (b = 0) и оба знака «a» и «b» имеют одинаковый знак (положительный или отрицательный), то уравнение не будет иметь действительного решения. После упрощения найдем, что решения представляют собой положительные и отрицательные квадратные корни из ${-\dfrac{c}{a}}$
Возможны два случая:
Если c и a оба положительны, то ${\dfrac{c}{a}}$ положительно, а ${-\dfrac{c}{a}}$ отрицательно
Если c и a оба отрицательны, тогда ${\dfrac{c}{a}}$ является положительным, а ${-\dfrac{c}{a}}$ отрицательным
В любом случае нам нужно извлечь квадратный корень из отрицательное число, которое даст нам два комплексных решения.

No related posts.

Памятка для учеников по решению квадратных уравнений

Использование дискриминанта для прогнозирования количества решений квадратного уравнения

Использование дискриминанта для прогнозирования количества решений квадратного уравнения

Дополнительное видео

2 \(\

Квадратное уравнение без решения с примерами

По значению дискриминанта

Глядя на природу графика

Глядя на коэффициенты

Добавить комментарий Отменить ответ