Логарифмические неравенства — подготовка к ЕГЭ по Математике
Решая логарифмические неравенства, мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Также мы используем определение логарифма и основные логарифмические формулы.
Давайте повторим, что такое логарифмы:
Логарифм положительного числа по основанию — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .
При этом
Основное логарифмическое тождество:
Основные формулы для логарифмов:
(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)
(Логарифм частного равен разности логарифмов)
(Формула для логарифма степени)
Формула перехода к новому основанию:
Алгоритм решения логарифмических неравенств
Можно сказать, что логарифмические неравенства решаются по определенному алгоритму. Нам нужно записать область допустимых значений (ОДЗ) неравенства.
И после этого «отбрасываем» логарифмы! При этом, если основание степени , знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что знак неравенства меняется на противоположный.
Конечно, мы не просто «отбрасываем» логарифмы. Мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает, и тогда большему значению х соответствует большее значение выражения .
Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. Большему значению аргумента х будет соответствовать меньшее значение
Важное замечание: лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.
Перейдем к практике. Как всегда, начнем с самых простых неравенств.
1. Рассмотрим неравенство log 3x > log35.
Поскольку логарифмы определены только для положительных чисел, необходимо, чтобы x был положительным. Условие x > 0 называется областью допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Только при таких x неравенство имеет смысл.
Что делать дальше? Стандартный ответ, который дают школьники, — «Отбросить логарифмы!»
Что ж, эта формулировка лихо звучит и легко запоминается. Но почему мы все-таки можем это сделать?
Мы люди, мы обладаем интеллектом. Наш разум устроен так, что все логичное, понятное, имеющее внутреннюю структуру запоминается и применяется намного лучше, чем случайные и не связанные между собой факты. Вот почему важно не механически вызубрить правила, как дрессированная собачка-математик, а действовать осознанно.
Так почему же мы все-таки «отбрасываем логарифмы»?
Ответ простой: если основание больше единицы (как в нашем случае), логарифмическая функция монотонно возрастает, значит, большему значению x соответствует большее значение y и из неравенства log
Обратите внимание, мы перешли к алгебраическому неравенству, и знак неравенства при этом — сохраняется.
Итак, x > 5.
Следующее логарифмическое неравенство тоже простое.
2. log5(15 + 3x) > log52x
Начнём с области допустимых значений. Логарифмы определены только для положительных чисел, поэтому
Решая эту систему, получим: x > 0.
Теперь от логарифмического неравенства перейдем к алгебраическому — «отбросим» логарифмы. Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства при этом сохраняется.
15 + 3x > 2x.
Получаем: x > −15.
Итак,
Ответ: x > 0.
А что же будет, если основание логарифма меньше единицы? Легко догадаться, что в этом случае при переходе к алгебраическому неравенству знак неравенства будет меняться.
Приведем пример.
3.
Запишем ОДЗ. Выражения, от которых берутся логарифмы, должны быть положительно, то есть
Решая эту систему, получим: x > 4,5.
Поскольку , логарифмическая функция с основанием монотонно убывает. А это значит, что большему значению функции отвечает меньшее значение аргумента:
И если , то
2x − 9 ≤ x.
Получим, что x ≤ 9.
Учитывая, что x > 4,5, запишем ответ:
x ∈ (4,5; 9].
В следующей задаче логарифмическое неравенство сводится к квадратному. Так что тему «квадратные неравенства» рекомендуем повторить.
Теперь более сложные неравенства:
4. Решите неравенство
Ответ:
5. Решите неравенство
ОДЗ:
Если , то . Нам повезло! Мы знаем, что основание логарифма больше единицы для всех значений х, входящих в ОДЗ.
Сделаем замену
Обратите внимание, что сначала мы полностью решаем неравенство относительно новой переменной t. И только после этого возвращаемся к переменной x. Запомните это и не ошибайтесь на экзамене!
Ответ:
6.
Запомним правило: если в уравнении или неравенстве присутствуют корни, дроби или логарифмы — решение надо начинать с области допустимых значений.
Поскольку основание логарифма должно быть положительно и не равно единице, получим систему условий:
Упростим эту систему:
Это область допустимых значений неравенства.Мы видим, что переменная содержится в основании логарифма. Перейдем к постоянному основанию. Напомним, что
В данном случае удобно перейти к основанию 4.
Сделаем замену
Упростим неравенство и решим его методом интервалов:
Итак,
Вернемся к переменной x:
Мы добавили условие x > 0 (из ОДЗ).
Ответ:
7. Следующая задача тоже решается с помощью метода интервалов
Как всегда, решение логарифмического неравенства начинаем с области допустимых значений. В данном случае
Это условие обязательно должно выполняться, и к нему мы вернемся. Рассмотрим пока само неравенство. Запишем левую часть как логарифм по основанию 3:
Правую часть тоже можно записать как логарифм по основанию 3, а затем перейти к алгебраическому неравенству:
Видим, что условие (то есть ОДЗ) теперь выполняется автоматически.
Решаем неравенство методом интервалов:
Ответ:
Получилось? Что же, повышаем уровень сложности:
8. Решите неравенство:
Неравенство равносильно системе:
Ответ:
9. Решите неравенство:
Выражение 5—x2навязчиво повторяется в условии задачи. А это значит, что можно сделать замену:
Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, t > 0. Тогда
Неравенство примет вид:
Уже лучше. Найдем область допустимых значений неравенства. Мы уже сказали, что t > 0. Кроме того, (t − 3) (59 · t − 1) > 0
Если это условие выполнено, то и частное будет положительным.
А еще выражение под логарифмом в правой части неравенства должно быть положительно, то есть (625 t − 2)2.
Это означает, что 625t − 2 ≠ 0, то есть
Аккуратно запишем ОДЗ
и решим получившуюся систему, применяя метод интервалов.
Итак,
Ну что ж, полдела сделано — разобрались с ОДЗ. Решаем само неравенство. Сумму логарифмов в левой части представим как логарифм произведения:
«Отбросим» логарифмы. Знак неравенства сохраняется.
Перенесем все в левую часть и разложим по известной формуле разности квадратов:
Вспомним, что (это ОДЗ неравенства) и найдем пересечение полученных промежутков.
Получим, что
Вернемся к переменной x
Поскольку
Ответ:
10. Еще один прием, упрощающий решение логарифмических неравенств, — переход к постоянному основанию. Покажем, как использовать переход к другому основанию и обобщенный метод интервалов.
Запишем ОДЗ:
Воспользуемся формулой и перейдем к основанию 10:
Применим обобщенный метод интервалов. Выражение в левой части неравенства можно записать как функцию
Эта функция может менять знак в точках, где она равна нулю или не существует.
Выражение lg |x − 3| равно нулю, если |x − 3| = 1, то есть x = 4 или x = 2.
Выражение lg (|x| − 2) равно нулю, если |x| = 3, то есть в точках 3 и −3.
Отметим эти точки на числовой прямой, с учетом ОДЗ неравенства.
Найдем знак функции g(x) на каждом из промежутков, на которые эти точки разбивают область допустимых значений. Точно так же мы решали методом интервалов обычные рациональные неравенства.
Ответ:
11. А в следующей задаче спрятаны целых две ловушки для невнимательных абитуриентов.
Запишем ОДЗ:
Итак, Это ОДЗ.
Обратите внимание, что .
Это пригодится вам при решении неравенства.
Упростим исходное неравенство:
Теперь главное – не спешить. Мы уже говорили, что задача непростая – в ней расставлены ловушки. В первую вы попадете, если напишете, что Ведь выражение в данном случае не имеет смысла, поскольку x < 18.
Как же быть? Вспомним, что (x — 18)2=(18 — x)2. Тогда:
Вторая ловушка – попроще.
Запись означает, что сначала надо вычислить логарифм, а потом возвести полученное выражение в квадрат. Поэтому:
Дальше – всё просто. Сделаем замену
Выражение в левой части этого неравенства не может быть отрицательным, поэтому
— не удовлетворяет ОДЗ;
Ответ: 2.
Мы рассмотрели основные приемы решения логарифмических неравенств — от простейших до сложных, которые решаются с помощью обобщенного метода интервалов. Однако есть еще один интересный метод, помогающий справиться и показательными, и с логарифмическими, и с многими другими видами неравенств. Это метод рационализации (замены множителя). О нем — в следующей статье.
Читайте также: Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)
Логарифмические неравенства повышенной сложности
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Логарифмические неравенства» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 08.04.2023
3-8калькулятор с основанием 3 | Icalc – онлайн-калькуляторы
Log Base 3 Calculator (Калькулятор логарифма 3) находит результат функции логарифмирования по основанию 3; Вычислить логарифмическое основание 3 числа.
Что такое номер
Согласно Log Base 3 Калькулятор:
Список log 3 таблицы значений функций, log base 3 чисел.
Логарифмическая база 3 из 1 = логарифм 3 (1) = 0,0000000000
Логарифмическая база 3 из 2 = логарифм 3 (2) = 0,6309297536
Логарифмическая база 3 из 3 = логарифм 3 (3) = 0,000000 3 из 4 = логарифм 3 (4) = 1,2618595071
Основание логарифма 3 из 5 = логарифм 3 (5) = 1,4649735207
Основание логарифма 3 из 6 = логарифм 3 (6) = 1,63060903 7 = log 3 (7) = 1,7712437492
Log Base 3 из 8 = log 3 (8) = 1,8927892607
База 3 из 9 = 3 (9) = 2,0000000000
База 3 из 10 = 3 (10) = 2,095
Основание логарифма 3 из 12 = логарифм 3 (12) = 2,2618595071
База журналов 3 из 15 = log 3 (15) = 2,4649735207
Log Base 3 из 16 = log 3 (16) = 2,52371
База 3 из 17 = 3 (17) = 2,578
База 3 из 18 = 3 (18) = 2,6309297536 38592
Основание логарифма 3 из 20 = log 3 (20) = 2,7268330279
Основание логарифма 3 из 21 = log 3 (21) = 2,7712437492
База журналов 3 из 23 = log 3 (23) = 2,8540498302
Log Base 3 из 24 = log 3 (24) = 2,8927892607
База 3 из 25 = 3 (25) = 2,9299470414
База 3 из 26 = 3 (26) = 2,9656472730 00000
Основание логарифма 3 из 28 = логарифм 3 (28) = 3,0331032563
Основа логарифма 3 из 29 = log 3 (29) = 3,0650447521
База журналов 3 из 31 = log 3 (31) = 3,1257498573
Log Base 3 из 32 = log 3 (32) = 3,1546487679
Основание журнала 3 из 33 = log 3 (33) = 3,1826583386
Основание журнала 3 из 34 = log 3 (34) = 3,2098316767
Журнал Основание 3 из 36 = log 3 (36) = 3,2618595071
Log Основание 3 из 37 = log 3 (37) = 3,2867991282
Log База 3 из 38 = log 3 (3811) = 70 9118 3
Log Base 3 из 40 = log 3 (40) = 3,3577627814
Основание 3 из 41 = log 3 (41) = 3,3802389660
Основание 3 из 42 = log 3 (42) = 3,4021735027
Журнал Основание 3 из 44 = log 3 (44) = 3,4445178458
Log Основание 3 из 45 = log 3 (45) = 3,4649735207
Log База 3 из 46 = log 3 (484) = 7,50 База 3 из 47 = log 3 (47) = 3,5045553754
Log Base 3 из 48 = log 3 (48) = 3,52371
Основание 3 из 49 = log 3 (49) = 3,5424874983
Основание 3 из 50 = log 3 (50) = 3,5608767950
Журнал База 3 из 52 = log 3 (52) = 3,5965770266
Log База 3 из 53 = log 3 (53) = 3,6139154409
Log База 3 из 54 = log 3 (6309) Log = 2,9 База 3 из 55 = log 3 (55) = 3,6476318594
Log Base 3 из 56 = log 3 (56) = 3,6640330099
База 3 из 57 = 3 (57) = 3,6801438592
База 3 из 58 = 3 (58) = 3,6959745057 95
Логарифмическая база 3 из 60 = log 3 (60) = 3,7268330279
Логарифмическая база 3 из 61 = log 3 (61) = 3,7418786469
Логарифмическая база 3 из 62 = log 3 7969 (62) = 3,7418786469 База журналов 3 из 63 = log 3 (63) = 3,7712437492
Log Base 3 из 64 = log 3 (64) = 3,7855785214
Основание логарифма 3 из 65 = log 3 (65) = 3,79962
Основание логарифма 3 из 66 = log 3 (66) = 3,8135880922
Журнал Основание 3 из 68 = log 3 (68) = 3,8407614303
Log Основание 3 из 69 = log 3 (69) = 3,8540498302
Log База 3 из 70 = log 3
Log Base 3 из 72 = log 3 (72) = 3,8927892607
Основание 3 из 73 = log 3 (73) = 3,
Основание 3 из 74 = log 3 (74) = 3,9177288818
Журнал Основание 3 из 76 = log 3 (76) = 3,9420033664
Log Основание 3 из 77 = log 3 (77) = 3,953
Log База 3 из 78 = log 3 (9656) 720 3,0 База 3 из 79 = log 3 (79) = 3,9772428340
Log Base 3 из 80 = log 3 (80) = 3,9886925350
Основание журнала 3 из 81 = log 3 (81) = 4,0000000000
Основание журнала 3 из 82 = log 3 (82) = 4,0111687196
Журнал Основание 3 из 84 = log 3 (84) = 4,0331032563
Log Основание 3 из 85 = log 3 (85) = 4,0438754439
Log База 3 из 86 = log 3 (854) = 20 6015 База 3 из 87 = log 3 (87) = 4,0650447521
Log Base 3 из 88 = log 3 (88) = 4,0754475994
База 3 из 89 = 3 (89) = 4,0857328978
База 3 из 90 = 3 (90) = 4,095
Основание логарифма 3 из 92 = логарифм 3 (92) = 4,115
73
Основа логарифма 3 из 93 = log 3 (93) = 4,1257498573
База журналов 3 из 95 = log 3 (95) = 4,1451173800
Log Base 3 из 96 = log 3 (96) = 4,1546487679
База 3 из 97 = 3 (97) = 4,1640813831
База 3 из 98 = 3 (98) = 4,1734172519
Журнал База 3 из 100 = log 3 (100) = 4.
