Длина разности векторов формула: Как найти разность векторов? Ответ на webmath.ru

Как найти длину суммы векторов? — Мегаобучалка

Линейные операции над геометрическими векторами

Произведение вектора на число

Произведением вектора на число называется вектор, получающийся из вектора растяжением (при ) или сжатием (при ) в раз, причём направление вектора сохраняется, если , и меняется на противоположное, если . (Рис. 2)

Из определения следует, что векторы и = всегда расположены на одной или на параллельных прямых. Такие векторы называютсяколлинеарными. (Можно говорить также, что эти векторы параллельны, однако в векторной алгебре принято говорить «коллинеарны».) Справедливо и обратное утверждение: если векторы и коллинеарны, то они связаны отношением

. (1)

Следовательно, равенство (1) выражает условие коллинеарности двух векторов.

Сумма векторов

Суммой векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец — с концом вектора , при условии, что начало вектора приложено к концу вектора . (Рис. 3)

Это определение может быть распределено на любое конечное число векторов. Пусть в пространстве даны n свободных векторов . Если к концу вектора приложить начало вектора , а к концу вектора — начало вектора и т.д. и, наконец, к концу вектора — начало вектора , то суммой этих векторов служит замыкающий вектор , начало которого совпадает с началом первого вектора , а конец — с концом последнего вектора . (Рис. 4)

Слагаемые называются составляющими вектора , а сформулированное правило — правилом многоугольника. Этот многоугольник может и не быть плоским.

При умножении вектора на число -1 получается противоположный вектор . Векторы и имеют одинаковые длины и противоположные направления. Их сумма даёт нулевой вектор, длина которого равна нулю. Направление нулевого вектора не определено.

В векторной алгебре нет необходимости рассматривать отдельно операцию вычитания: вычесть из вектора вектор означает прибавить к вектору противоположный вектор , т. е.

Пример 1. Упростить выражение:

.

Решение:

,

то есть, векторы можно складывать и умножать на числа так же, как и многочлены (в частности, также задачи на упрощение выражений). Обычно необходимость упрощать линейно подобные выражения с векторами возникает перед вычислением произведений векторов.

Пример 2. Векторы и служат диагоналями параллелограмма ABCD (рис. 4а). Выразить через и векторы , , и , являющиеся сторонами этого параллелограмма.

Решение. Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую диагональ пополам. Длины искомых векторов находим либо как половины сумм векторов, образующих с искомыми треугольник, либо как половины разностей (в зависимости от направления вектора, служащего диагональю), либо, как в последнем случае, половины суммы, взятой со знаком минус. Итак, искомые векторы равны:

Как найти длину суммы векторов?

Эта задача занимает особое место в операциях с векторами, так как предполагает использование тригонометрических свойств. Допустим, Вам попалась задача вроде следующей:

Даны длины векторов и длина суммы этих векторов . Найти длину разности этих векторов .

Решения этой и других подобных задач и объяснения, как их решать — в уроке «Длина суммы векторов и теорема косинусов«.

Простейшие задачи Как найти вектор по двум точкам?

Если даны две точки плоскости   и  , то вектор   имеет следующие координаты:

Если даны две точки пространства   и  , то вектор   имеет следующие координаты:

То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора.

Пример

Даны две точки плоскости   и  . Найти координаты вектора 

Решение: по соответствующей формуле:

Как вариант, можно было использовать следующую запись: 

Можно и так: 

Обязательно нужно понимать различие между координатами точек и координатами векторов:

Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.

Координаты же вектора – это его разложение по базису  , в данном случае  . Любой вектор является свободным, поэтому при необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости. Интересно, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис, в данном случае ортонормированный базис плоскости  .

Записи координат точек и координат векторов вроде бы схожи:  , а смысл координат абсолютно разный, и следует хорошо понимать эту разницу.

Пример

Даны точки  . Найти векторы  .

Как найти длину отрезка?

Если даны две точки плоскости   и  , то длину отрезка   можно вычислить по формуле 

Если даны две точки пространства   и  , то длину отрезка   можно вычислить по формуле 

Примечание: Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты:  и , но более стандартен первый вариант

Пример

Даны точки   и  .

Найти длину отрезка  .

Ответ:

Если дан вектор плоскости  , то его длина вычисляется по формуле  .

Если дан вектор пространства  , то его длина вычисляется по формуле  .

Пример

Даны точки   и  . Найти длину вектора  .

Решение: Сначала найдём вектор  :

По формуле   вычислим длину вектора:

Ответ: 

Пример

а) Даны точки   и  . Найти длину вектора  . б) Даны векторы  ,  ,   и  . Найти их длины.

а)  Решение: найдём вектор  : Вычислим длину вектора: Ответ: 

б) Решение: Вычислим длины векторов:

Действия с векторами в координатах

1) Правило сложения векторов. Рассмотрим два вектора плоскости   и  . Для того, чтобы сложить векторы, необходимо сложить их соответствующие координаты

:  .

Частный случай – формула разности векторов:  .

Аналогичное правило справедливо для суммы любого количества векторов, например, найдём сумму трёх векторов: 

Если речь идёт о векторах в пространстве, то всё точно так же, только добавится дополнительная координата. Если даны векторы  , то их суммой является вектор  .

2) Правило умножения вектора на число.  Для того чтобы вектор   умножить на число  , необходимо каждую координату данного вектора умножить на число  : .

Для пространственного вектора   правило такое же:

Пример

Даны векторы   и  . Найти   и 

Решение: Для действий с векторами справедлив обычный алгебраический приоритет: сначала умножаем, потом складываем:

Ответ: 

Вычисление векторных P-норм — линейная алгебра для науки о данных -IV | by Harshit Tyagi

Математические принципы, лежащие в основе методов регуляризации в машинном обучении

В серии «Линейная алгебра», чтобы дать вам краткий обзор, мы узнали, что такое векторы, матрицы и тензоры, как вычислить скалярное произведение для решать системы линейных уравнений, и что такое единичные и обратные матрицы.

Продолжая серию, следующая очень важная тема Векторные нормы.

Итак,

Что такое векторные нормы?

Векторные нормы — это любые функции, которые отображают вектор в положительное значение, которое является величиной вектора или длиной вектора. Теперь есть разные функции, которые предлагают нам разные способы вычисления длин векторов.

Это нормально, но зачем мы это изучаем и что представляет собой длина этого вектора…?

Зачем изучать Нормы??

Нормы — это очень важная концепция в машинном и глубоком обучении, которая обычно используется для расчета ошибки в прогнозах модели ML/DL.

Длина вектора обычно представляет собой ошибку между предсказанием и фактическим наблюдением (меткой).

Нам часто нужно вычислить длину или величину векторов, чтобы использовать их непосредственно в качестве метода регуляризации в ML или как часть более широких векторных или матричных операций.

Итак, что это за функции?

Нормы — это любые функции, которые характеризуются следующими свойствами:

1. Нормы возвращают неотрицательные значения, поскольку это величина или длина вектора, которые не могут быть отрицательными.
2. Нормы равны 0 тогда и только тогда, когда вектор является нулевым вектором.
3. Нормы следуют неравенству треугольника, т. е. норма суммы двух (или более) векторов меньше или равна сумме норм отдельных векторов. Он просто утверждает, что геометрически кратчайший путь между любыми двумя точками — это линия.
   Представлено уравнением:
   ∥a+b∥≤∥a∥+∥b∥
   , где a и b — два вектора, а вертикальные черты ∥ обычно обозначают норму.
4. Норма вектора, умноженная на скаляр, равна абсолютному значению этого скаляра, умноженному на норму вектора.
   Представляющее уравнение: ∥k⋅ x ∥=|k|⋅∥ x ∥

Расчет P-нормы основан на центральной формуле:

∥ x 5(0 0 ∑ᵢ| x ᵢ|ᵖ)¹/ᵖ

Вот быстрый четырехэтапный процесс получения p-нормы вектора

1. Получите абсолютное значение каждого элемента вектора.
2. Возведите эти абсолютные значения в степень р.
3. Подсчитайте сумму всех этих увеличенных абсолютных значений.
4. Получите p ₜₕ root или поднимите степень до 1/p по результату предыдущего шага.

Теперь, исходя из значения P в формуле , получаем разные типы Норм. Давайте обсудим их один за другим:

Подставив p = 0 в формулу, мы получим норму L⁰.

Все, что возведено в степень 0, вернет 1, кроме 0. L⁰ на самом деле не является нормой, поскольку не обладает характеристикой #4 (описанной выше). Умножение константы даст нам само это число.

Если положить p = 1 , получим L¹ нормы. По сути, формула будет вычислять сумму абсолютных значений вектора.

Формула: |x|₁=(∑ᵢ |xᵢ|)

Используется для расчета средней абсолютной ошибки.

Код Python

Мы можем получить норму L¹, используя модуль линейной алгебры пакета Numpy, который предлагает метод norm(). По умолчанию функция norm настроена на вычисление нормы L2, но мы можем передать значение p в качестве аргумента. Итак, для нормы L¹ мы передадим ей 1:

 from numpy import linalg#создание вектора 
 a = np.array([1,2,3])#вычисление нормы L¹ 
 linalg.norm(a, 1)##output: 6.0 

Ввод p = 2 дает нам норму L². Формула будет вычислять квадратный корень из суммы квадратов значений вектора.

Также известна как евклидова норма. Это широко используемая норма в машинном обучении, которая используется для вычисления среднеквадратичной ошибки.

∥x∥₂ = (∑ᵢ xᵢ²)¹/²

Итак, для вектора u, L² Норма будет выглядеть так:

Код Python

Опять же, используя ту же функцию нормы, мы можем вычислить норму L²:

 норма(а) # или вы можете передать 2 следующим образом: норма(а,2 )## output: 3.7416573867739413 

∑ᵢ|xᵢ|²

Квадрат нормы L2 — это просто норма L2, но без квадратного корня. Возведение в квадрат нормы L2, рассчитанной выше, даст нам норму L2.

Это удобно, потому что удаляет квадратный корень, и мы получаем простую сумму всех квадратов значений вектора.

Евклидова норма в квадрате широко используется в машинном обучении отчасти потому, что ее можно вычислить с помощью векторной операции x ᵀ x.

Код Python

Давайте проверим это в коде Python:

 x = np.array([[1], [3], [5], [7]]) 
 euclideanNorm = x.T.dot(x)## output: array([[84]])np.linalg.norm(x)**2 
 ##ouput: 84.0 

Это норма L∞, которая просто возвращает абсолютное значение наибольшего элемента вектора.

Формула принимает следующий вид:

‖x‖∞=maxᵢ|xᵢ|

Код Python

Давайте проверим это в коде Python, нам просто нужно передать бесконечность в функцию нормы:

 x = np.array([[1], [3], [5], [7] ]) 
 norm(x, np.inf)##output: 7.0 

Вы можете поиграть со всеми кодами Python здесь:

Google Colaboratory

Расчет норм

colab. research.google.com

25 Попробуем проанализировать графики графически. Я использовал ту же формулу для двух измерений (x, y), а третье измерение представляет саму норму.

Вы можете проверить этот поверхностный плоттер, который я использовал для получения этих графиков.

L¹ Норма

Создано с использованием https://academo.org/demos/3d-surface-plotter/

Больше похоже на прикрепленные друг к другу плоскости. X и Y являются параметрами здесь.

Норма L²

https://academo.org/demos/3d-surface-plotter/

Квадрат L² Норма

https://academo.org/demos/3d-surface-plotter/

Квадрат нормы L2 и норма L2 выглядят одинаково, но здесь есть важное отличие в отношении крутизны графика около нулевой отметки (в средней синей области). Квадратная норма L2 плохо различает ноль и другие меньшие значения. Таким образом, это раскрывает одну проблему с его использованием.

В этом уроке мы рассмотрели различные способы вычисления длин или величин векторов, называемые векторными нормами.

В частности, мы научились:

• вычислять норму L1, которая рассчитывается как сумма абсолютных значений вектора.
• вычислить норму L2, которая рассчитывается как квадратный корень из суммы квадратов векторных значений.
• вычислить максимальную норму, которая рассчитывается как максимальные значения вектора.

С помощью этого канала я планирую выпустить пару серий, охватывающих все пространство науки о данных. Вот почему вам стоит подписаться на канал:

• Эти серии будут охватывать все необходимые/требуемые качественные учебные пособия по каждой из тем и подтем, таких как основы Python для науки о данных.
• Объяснение математики и причин того, почему мы делаем то, что делаем в машинном обучении и глубоком обучении.
• Подкасты с учеными и инженерами данных из Google, Microsoft, Amazon и т. д., а также с руководителями компаний, работающих с большими данными.
• Проекты и инструкции по реализации изученных тем. Узнайте о новых сертификатах, Bootcamp и ресурсах, чтобы взломать эти сертификаты, подобные этому Экзамен на сертификат разработчика TensorFlow от Google.

Введение в векторы — Уроки Wyzant

Векторы обычно используются для представления скорости и ускорения, силы и других
направленных величин в физике.

Векторы — это величины размера и направления .

Все объекты, с которыми мы работали в исчислении с одной переменной (Исчисление 1 и
2), имели количество, т. е. мы могли их измерить.

Некоторые величины имеют только размер, например время, температура или вес. Эти величины
называются скалярами . Другие величины могут иметь размер и направление .
Скорости, например, тоже имеют направление, и поэтому они описываются
как векторы. Мы обозначаем векторы стрелкой, указывающей в направлении, в котором они ориентированы.

Направление вектора на координатной плоскости интуитивно понятно. Положительное направление Y,
вверху — это север, а положительное направление х — восток. Следующий вектор

находится немного восточнее севера.

Направление вектора также можно описать с помощью количества. Обычно направление
векторов указывается по отношению к другому направлению. Следующий вектор —
, описанный как «5 миль в час 53,13 градуса к северу от востока».

Этот вектор можно также описать как «5 миль в час 36,87 градуса к востоку от севера».

Чтобы упростить значения векторов, мы используем ось x (или восток) в качестве отправной точки
для измерения. Линия, лежащая на оси x, будет иметь направление 0 градусов.

Следующий вектор может быть обозначен многими различными направлениями.

Последний вектор будет 53,13 градуса к югу от запада.

Скаляры и векторы

Помните, что у скаляров есть только размер, а у векторов есть размер и направление.

Скорость и скорость тоже разные. Хотя они иногда используются взаимозаменяемо, скорость
считается скаляром, а скорость считается вектором.

Существует также расстояние между расстоянием и перемещением. Расстояние является скаляром
, потому что оно имеет только размер. Смещение, однако, является вектором, потому что оно сообщает нам
, как далеко объект переместился в определенном направлении.

Скалярами можно манипулировать по законам арифметики для действительных чисел, тогда как векторы
имеют особые законы, которым необходимо следовать при работе друг с другом. Например,

, если вы прошли 4 квартала, а затем еще 3 квартала, сколько кварталов вы прошли?
Мы можем сложить эти количества, чтобы получить 7 блоков. Однако, если вы прошли 4 квартала
на восток и 3 квартала на север, как далеко вы прошли от начальной точки?
Поскольку эти векторы имеют разные направления, мы не можем просто сложить их вместе.

Количество пройденных градусов можно либо измерить по изображению, либо рассчитать
с помощью тригонометрии.

Результирующий вектор будет состоять из 5 блоков по 0,644 радиана.

Векторное обозначение

Векторы имеют специальные обозначения, отличающие их от скаляров. Векторы может
отметить как

Для наших целей мы всегда будем обозначать вектор стрелкой вверху, чтобы обозначить
величину с направлением.

Предыдущий вектор будет обозначаться как

Мы также можем использовать единичные векторы i и j для обозначения вектора, где i = 1,0 >
и j = 0,1>

Величина или длина вектора обозначается как

Мы используем величину, чтобы найти количество вектора. Всякий раз, когда мы хотим игнорировать

направление вектора (учитывая площадь, объем и т. д.), мы можем просто взять величину.

направление вектора обозначается как

Векторные равенства и операции

Равные векторы

Имеют одинаковую величину и одинаковое направление, они не обязательно должны иметь одинаковые
начальных точки.

Противоположные векторы

Имеют одинаковую длину, но направлены в противоположном направлении. При сложении
противоположных вектора компенсируют друг друга.

Параллельные векторы

Имеют одинаковое направление, но разную длину.

Векторы, имеющие одинаковое направление, могут быть умножены на скаляры, чтобы получить другую величину
.

Добавление вектора

При добавлении векторов мы присоединяем начало второго вектора (начальную точку) к
конец первого вектора (конечная точка).

Вычитание векторов

Скалярное умножение

Скалярное умножение — это когда вектор умножается на скаляр, чтобы увеличить или
уменьшить величину вектора. Скаляр не влияет на направление
вектора.

Точечный продукт

Если у нас есть два вектора u и v , скалярное произведение обозначается как

где |и| и |v| — величины, а Θ — угол между векторами.

Чтобы проиллюстрировать, что означает скалярное произведение, давайте возьмем последнюю часть формулы
и разберем ее.

Если мы возьмем вектор v , умноженный на cos(Θ) , мы получим
проекцию v на u . Проекция образована опусканием перпендикулярной линии
из конечной точки v на u, таким образом образуя прямой угол
. Проекция v на u — это количество вектора v, идущего в направлении u.
Скалярное произведение v и u просто умножает проекцию v на вектор u
(или наоборот).

Если мы вернемся к нашей формуле, мы можем заменить проекцию v на вектор
v.

Этот результат говорит нам, какая часть вектора v идет в направлении вектора
u .

Чем это полезно? Если мы подумаем о физических приложениях, если у нас есть два
силы под углом, мы можем видеть, какая сила действует в определенном направлении.
Скалярное произведение иногда называют скалярным произведением, поскольку оно всегда дает
скалярную величину. Скалярное произведение также может помочь нам измерить угол между векторами,
найти проекции и определить, перпендикулярны ли два вектора, как мы увидим
в следующих примерах.

Обратите внимание, что перпендикулярные векторы всегда будут давать скалярное произведение, равное 0, потому что
не является проекцией, то есть никакое количество векторов не идет в направлении другого вектора.

No related posts.