Доказательство тождеств дискретная математика: 06. Примеры доказательств тождеств с множествами

06. Примеры доказательств тождеств с множествами

Пример 1. Доказать или опровергнуть справедливость тождества(AB)C=(AC)(BC).

Доказательство. Докажем, используя метод взаимного включения. Пусть(AB)C=E, A(AC) (BC)=F.Тогда необходимо доказать или опровергнуть следующее:

EF & FE.

1. Докажем необходимость: EF.

AEA(AB)C A(AB)& aC (aA aB)& aC a(AC) a( BC) a (AC) (BC)⟹A∈F.

2. Докажем достаточность:FE

AFA(AC) (BC)A(AC) a

( BC)(aA & aC)(aВ& aC) A(AB)& aC a(AB)C⟹AE.

3. Следовательно, E=F, т. е. исходное тождество справедливо.

Пример 2. Доказать или опровергнуть справедливость тождества A((AB)(AB))=.

Доказательство. Докажем методом от противного: предположим, что это выражение не равно пустому множеству.

AA((AB)(AB))AA & a((AB)(AB))AA & (a(AB)& a(AB))AA & (aA & aB) &(aA aB)

Получаем противоречие: элемент одновременно принадлежит и не принадлежит множеству . Значит, первоначальное предположение неверно и исходное тождество справедливо, т. е. равно .

Пример 3. Доказать, чтоABB’A’.

Доказательство. Пусть А и В – подмножества некоторого универсума U, АB

XU, xA xB

XU, xA xB

XU, XB’ XA’

Значит B’ A’.

Пример 4.Доказать(AB)C=(AC) (BC).

Доказательство. Докажем, используя геометрический метод. Построим диаграммы Эйлера-Венна для множеств(AB)C И (AC) (

BC):

На первой диаграмме множество (AB)CВыделено черной штриховкой, на второй множество (AC) – светлой, множество (BC) – серой, а множество(AC) (BC)Является их объединением. Сравнивая эти два рисунка, можно сделать вывод, что эти множества равны, следовательно, тождество доказано.

< Предыдущая		Следующая >

Основные тождества алгебры множеств Дискретная математика.

Теория…

Привет, сегодня поговорим про основные тождества алгебры множеств, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое основные тождества алгебры множеств , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика..

Для произвольных множеств А, В, и С справедливы следующие соотношения (табл. 1):

Таблица 1

1. Коммутативность объединения	1’. Коммутативность пересечения
2. Ассоциативность объединения	2’. Ассоциативность пересечения
3. Дистрибутивность объединения относительно пересечения	3’. Дистрибутивность пересечения относительно объединения
4. Законы действия с пустым и универсальным множествами	4’ . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Законы действия с пустым и универсальным множествами
5. Закон идемпотентности объединения	5’. Закон идемпотентности пересечения
6. Закон де Моргана	6’. Закон де  Моргана
7. Закон поглощения	7’. Закон поглощения
8. Закон склеивания	8’. Закон склеивания
9. Закон Порецкого	9’. Закон Порецкого
10. Закон двойного дополнения

Пример 6.

 

Доказать следующее тождество .

Решение.

Докажем это тождество двумя способами: аналитически (используя равносильности алгебры множеств) и конструктивно (используя диаграммы Эйлера-Венна).

1. 

2. Построим соответствующие диаграммы Эйлера-Венна (рис. 7).

Рис. 7.

Я хотел бы услышать твое мнение про основные тождества алгебры множеств Надеюсь, что теперь ты понял что такое основные тождества алгебры множеств и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу.

Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика.

Из статьи мы узнали кратко, но емко про основные тождества алгебры множеств

1.4: Доказательство тождеств — Mathematics LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

23233

• Харрис Квонг
• Государственный университет Нью-Йорка во Фредонии через OpenSUNY

Существует множество способов подтверждения личности. Самый простой — использовать алгебраические манипуляции, как мы продемонстрировали в предыдущих примерах. В алгебраическом доказательстве есть три приемлемых подхода:

• Слева направо : расширяйте или упрощайте левую часть, пока не получите правую часть.

• Справа налево : расширяйте или упрощайте правую часть, пока не получите левую часть. 93\) в левой части каждой строки, это становится (по соглашению) набором из трех уравнений. Короче говоря, аргумент начинается с уравнения, и мы упрощаем его, пока не получим то, что, как мы знаем, истинно. Если этот формат допустим, мы можем «доказать», что \(21=6\), следующим образом:

  \[\begin{eqnarray*}
  21 &=& 6 \\
  6 &=& 21 \\
  27 &=& 27
  \end{eqnarray*}\]

  Написав \(21=6\) в начале доказательства, мы на самом деле скажем « Предположим, что \(21=6\) верно. Но это то, что мы намереваемся доказать . Таким образом, по сути, мы ставим телегу впереди лошади, что логически неверно. Есть и другое объяснение, почему это доказательство неверно. 2 = \frac{ 1}{6} (к+1)(к+2)(2к+3)\). 92+\frac{13}{6}\,k+1.
  \end{eqnarray*}\]
  Поскольку обе стороны дают одинаковый результат, они должны быть равны.

  Хотя доказательство правильное, оно требует двух наборов вычислений. Гораздо проще использовать подход слева направо или справа налево.

  Решение 2

  Лучше начать с левой части и упрощать ее, пока не получится правая часть. Наше секретное оружие — факторизация: 92+7k+6) \\
  &=& \textstyle \frac{1}{6} (k+1)(k+2)(2k+3).
  \end{eqnarray*}\]

  Этот подход обычно лучше и безопаснее, так как не требует сложных вычислений.

  Практическое упражнение \(\PageIndex{1}\)

  Покажите, что \[\label{he:provingID-01}\frac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k +1)(k+2)
  = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}. \] Обязательно используйте один из трех методов, которые мы обсуждали выше.

  Раствор

  92}{4}. \]

  ---

  Эта страница под названием 1.4: Подтверждение личности распространяется по лицензии CC BY-NC-SA, ее автором, ремиксом и/или куратором является Харрис Квонг (OpenSUNY) .

  1. Наверх

  • Была ли эта статья полезной?

  1. Тип изделия

     Раздел или страница

     Автор

     Харрис Квонг

     Лицензия

     CC BY-NC-SA

     Показать страницу TOC

     да

  2. Теги

     На этой странице нет тегов.

     No related posts.