Домножить на сопряженное это: Метод домножения на сопряжённое выражение в математике с примерами решения

Содержание

Метод домножения на сопряжённое выражение в математике с примерами решения

Оглавление:

Метод домножения на сопряжённое выражение

При использовании этого метода выражение, содержащее радикалы, одновременно умножается и делится на сопряжённое к нему выражение, в результате чего иррациональность пропадает, и решение задачи упрощается. Безусловно, при этом необходимо контролировать ситуацию, не допуская потери или приобретения лишних корней.

Приведём вначале определение того, какое иррациональное выражение называется сопряжённым к другому. Пусть S — некоторое выражение, содержащее радикалы (корни). Сопряжённым множителем относительно S называется всякое выражение К , не равное тождественно нулю, такое, что произведение S • К не содержит корней.

1) В частности, для выражения вида где натуральные числа, меньшие n , сопряжённый множитель имеет вид

, так как

2) Для выражения вида сопряжённый множитель есть , так как

3) Для выражения вида сопряжённый множитель есть , так как

4) Для выражения вида сопряжённый множитель есть

так как

5) Для выражения вида сопряжённый множитель находится на основании формул сокращённого умножения

Рассмотрим примеры.

Пример №240.

Решить уравнение

Решение:

Умножив и разделив каждую из дробей на выражение, сопряжённое к её знаменателю (все они положительны, поэтому в результате выполненных преобразований получим равносильное исходному уравнение):

которое после упрощений примет вид

. Решая уравнение стандартным образом, получим ответ. Ответ:

Пример №241.

Решить неравенство

Решение:

Преобразуем подкоренное выражение у первого слагаемого в левой части неравенства, домножив числитель и знаменатель дроби на положительное выражение сопряжён-ное к знаменателю:

Аналогично преобразуем второе слагаемое

Учитывая, что под внешними корнями в левой части неравенства находятся полные квадраты, извлекаем квадратные корни, и решаемое неравенство принимает вид

После упрощения получаем что даёт единственное решение Ответ:

Пример №242.

Найти наименьшее значение функции на отрезке [0,3].

Решение:

Рассмотрим способ решения, не использующий производную этой функции. Преобразуем выражение, определяющее функцию, умножив и разделив его на выражение

Теперь хорошо видно, что на отрезке [0,3] данная (непрерывная) функция определена и монотонно убывает, а значит, достигает своего наименьшего значения на правом конце отрезка, т.е. при x = 3 :

Пример №243.

Решить уравнение

Решение:

Перепишем уравнение в виде:

Применяя метод домножения на сопряжённое выражение, преобразуем левую и правую части уравнения:

Тогда уравнение примет вид

Это уравнение имеет единственное решение x = 2 , которое, как показывает проверка, удовлетворяет исходному уравнению. Других решений нет, поскольку выражение во вторых скобках строго положительно. Ответ:

Пример №244.

Решить неравенство

Решение:

Неравенство заменой сводится к алгебраическому:

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Предмет математика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Помощь студентам в учёбе от Людмилы Фирмаль

Здравствуйте!

Я, Людмила Анатольевна Фирмаль, бывший преподаватель математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института со стажем работы более 17 лет. На данный момент занимаюсь онлайн обучением и помощью по любыми предметам. У меня своя команда грамотных, сильных бывших преподавателей ВУЗов. Мы справимся с любой поставленной перед нами работой технического и гуманитарного плана. И не важно: она по объёму на две формулы или огромная сложно структурированная на 125 страниц! Нам по силам всё, поэтому не стесняйтесь, присылайте.

Срок выполнения разный: возможно онлайн (сразу пишите и сразу помогаю), а если у Вас что-то сложное – то от двух до пяти дней.

Для качественного оформления работы обязательно нужны методические указания и, желательно, лекции. Также я провожу онлайн-занятия и занятия в аудитории для студентов, чтобы дать им более качественные знания.

Моё видео:


Вам нужно написать сообщение в Telegram . После этого я оценю Ваш заказ и укажу срок выполнения. Если условия Вас устроят, Вы оплатите, и преподаватель, который ответственен за заказ, начнёт выполнение и в согласованный срок или, возможно, раньше срока Вы получите файл заказа в личные сообщения.
Сколько может стоить заказ?Стоимость заказа зависит от задания и требований Вашего учебного заведения. На цену влияют: сложность, количество заданий и срок выполнения. Поэтому для оценки стоимости заказа максимально качественно сфотографируйте или пришлите файл задания, при необходимости загружайте поясняющие фотографии лекций, файлы методичек, указывайте свой вариант.
Какой срок выполнения заказа?Минимальный срок выполнения заказа составляет 2-4 дня, но помните, срочные задания оцениваются дороже.
Как оплатить заказ?Сначала пришлите задание, я оценю, после вышлю Вам форму оплаты, в которой можно оплатить с баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, apple pay, google pay.
Какие гарантии и вы исправляете ошибки?В течение 1 года с момента получения Вами заказа действует гарантия. В течении 1 года я и моя команда исправим любые ошибки в заказе.
Качественно сфотографируйте задание, или если у вас файлы, то прикрепите методички, лекции, примеры решения, и в сообщении напишите дополнительные пояснения, для того, чтобы я сразу поняла, что требуется и не уточняла у вас. Присланное качественное задание моментально изучается и оценивается.
Теперь напишите мне в Telegram или почту  и прикрепите задания, методички и лекции с примерами решения, и укажите сроки выполнения. Я и моя команда изучим внимательно задание и сообщим цену.
 Если цена Вас устроит, то я вышлю Вам форму оплаты, в которой можно оплатить с баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, apple pay, google pay.
Мы приступим к выполнению, соблюдая указанные сроки и требования. 80% заказов сдаются раньше срока.
После выполнения отправлю Вам заказ в чат, если у Вас будут вопросы по заказу – подробно объясню. Гарантия 1 год. В течении 1 года я и моя команда исправим любые ошибки в заказе.


<noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/6/583237/slide_7.jpg' /></noscript><div id="yandex_rtb_5" class="yandex-adaptive classYandexRTB"></div> <script type="text/javascript">if(rtbW>=960){var rtbBlockID="R-A-992553-3";}
else{var rtbBlockID="R-A-992553-5";}
window.yaContextCb.push(()=>{Ya.Context.AdvManager.render({renderTo:"yandex_rtb_5",blockId:rtbBlockID,pageNumber:5,onError:(data)=>{var g=document.createElement("ins");g.className="adsbygoogle";g.style.display="inline";if(rtbW>=960){g.style.width="580px";g.style.height="400px";g.setAttribute("data-ad-slot","7683656859");}else{g.style.width="300px";g.style.height="600px";g.setAttribute("data-ad-slot","7683656859");}
g.setAttribute("data-ad-client","ca-pub-5948177564140711");g.setAttribute("data-alternate-ad-url",stroke2);document.getElementById("yandex_rtb_5").appendChild(g);(adsbygoogle=window.adsbygoogle||[]).push({});}})});window.addEventListener("load",()=>{var ins=document.getElementById("yandex_rtb_5");if(ins.clientHeight =="0"){ins.innerHTML=stroke3;}},true);</script> youtube.com/embed/NXwmZ4aXXsQ&#187; frameborder=&#187;0&#8243; allow=&#187;accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture&#187; allowfullscreen=&#187;&#187;/>




<center><ins class="lazy lazy-hidden adsbygoogle"
 style="display:inline-block;width:580px;height:400px"
 data-ad-client="ca-pub-5948177564140711"
 data-ad-slot="9081085738"></ins> <script>(adsbygoogle=window.adsbygoogle||[]).push({});</script></center>
<noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/fsd.videouroki.net/html/2017/09/30/v_59cfcb09bd9e9/img_v99695176_0_1.jpg' /></noscript> youtube.com/embed/WIbBf3NZEZI&#187; frameborder=&#187;0&#8243; allow=&#187;accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture&#187; allowfullscreen=&#187;&#187;/>


 


<noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/cf.ppt-online.org/files/slide/y/ywaLDvHelWJpKxu4jch17o2SbQ3OMr8FX9UnTk/slide-45.jpg' /></noscript> youtube.com/embed/dihxr1liTvQ&#187; frameborder=&#187;0&#8243; allow=&#187;accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture&#187; allowfullscreen=&#187;&#187;/>
Можете смело обращаться к нам, мы вас не подведем. Ошибки бывают у всех, мы готовы дорабатывать бесплатно и в сжатые сроки, а если у вас появятся вопросы, готовы на них ответить.
 В заключение хочу сказать: если Вы выберете меня для помощи на учебно-образовательном пути, у вас останутся только приятные впечатления от работы и от полученного результата!
 Жду ваших заказов!
 С уважением
Пользовательское соглашение
Политика конфиденциальности

Предварительное исчисление алгебры — Почему вы умножаете комплексное число на его комплексно-сопряженное число, чтобы избавиться от него в дроби? 
 Загрузка…
 Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях. Регистрация занимает всего минуту.
 Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу
 Любой может задать вопрос
 Любой может ответить
 Лучшие ответы голосуются и поднимаются на вершину
   Задай вопрос
 спросил  11 лет, 8 месяцев назад 
 Изменено
 4 года, 8 месяцев назад
 Просмотрено
 44к раз
 92.$$
Хотя иногда вы можете умножить комплексное число на какое-то  другое  комплексное число, чтобы получить действительное число (например, вы можете умножить чисто мнимое число на $i$), сопряжение  всегда работает на .
 $\endgroup$
 $\begingroup$
 Точно вещественных кратных сопряженного достаточно, чтобы рационализировать знаменатель $\rm\:z\in \mathbb C\:. \:$ Доказательство: если $\rm\ z\ne0\ $ и $\rm\ y\ :z\ =\ r \in \mathbb R\ $, тогда $\rm\: y\:z\:z’\: =\ r\:z’\: $ so $\rm\ y\ =\ z’ \:r/(z\:z’)\ =\ s\:z’,\ \ s\: =\ r/(z\:z’)\in \mathbb R\:.\:$ Обратно, если $\rm\ y\ =\ s\:z’\:,\ s\in\mathbb R\ $, тогда $\rm\ y\:z\ =\ s\:z’\:z\in \mathbb R \:.$
   
   
 $\endgroup$
 $\begingroup$
 Это лучше всего рассматривать с точки зрения полярного представления комплексного числа. Пусть $z = r \exp (i \theta)$. На что нам нужно умножить, чтобы превратить это в действительное число? $\exp (- i \theta)$, конечно. Любое вещественное число, кратное этому числу, также работает, и у нас всегда есть одно под рукой. Учитывая $z = x + i y = r \exp(i \theta)$, мы можем написать $r \exp(-i \theta) = \overline{z} = x — i y$.
 $\endgroup$
 1
   
 Conjugate Math – Объяснение и примеры 
 Вы когда-нибудь видели две пары выражений, которые отличаются только знаком в середине? Возможно, вы встречали пару сопряженных слов. Сопряжения в математике чрезвычайно полезны, когда мы хотим рационализировать радикальные выражения и комплексные числа.
   Два двучлена являются сопряженными, если они имеют одинаковые члены, но противоположные знаки в середине.  
 Эта статья покажет, как находить сопряжения, понимать, зачем они нам нужны, и применять их при рационализации выражений. Начнем с самого фундаментального — понимания того, что представляют собой конъюгаты.
 Что такое сопряжение в математике? 
 Примером пары сопряженных чисел являются комплексные числа a + bi и a – bi. Заметили, что условия совпадают? Различаются только знаки, находящиеся в середине каждого бинома. Это именно то, что представляют сопряженные числа в математике. 9. Ниже приведены еще несколько примеров пар сопряженных чисел:
 x – y и x + y
 2√2 – 1 и 2√2 + 1
 3 – 2i и 3 + 2i
 В соответствии с определением из сопряженных,  каждая пара имеет одинаковые термины, и каждый отличается только знаком в середине. 
 Как найти сопряжение? 
 Что, если нам дан один бином, и нам нужно найти его сопряженное? Мы всегда можем определить сопряжение данного бинома, сначала определив термины и знак исходного термина.
 Если они у нас есть,  его сопряженное будет содержать те же термины, но средний знак  изменен (с + на – или с – на +). Вот таблица, показывающая, как определяются сопряжения четырех биномов:
  Данный бином   Terms   Sign Change   Conjugate 
 2x – y  2x , y  – → +  2x + y
 √3 + 1  √ 3, 1  + → –  √3 – 1
 a ² b – ab ²  a ² b, ab ²  – → +  a ² б + аб ²
 5 + 2i  5, 2i  + → –  √3 – 1
 Как умножать на сопряженное? 
     Что произойдет, если мы умножим двучлен на сопряженные числа? Возможны два случая, и в каждом случае мы будем применять другой метод.
  Случай 1: Умножение бинома на сопряженный 
 Если у нас есть двучлен m + n, его сопряженным будет m – n. Заметили что-то о двух?  Эти два числа при умножении вернут разницу их квадратов.  Если вам нужно освежить в памяти это алгебраическое свойство, прочтите эту статью. Для нашего примера имеем:
 (m – n)(m + n) = m ²   – n ²
 Это означает, что при перемножении двучлена и его сопряженного результата будет разность квадратов их термов. Вот еще несколько примеров, которые вы можете попробовать:
  Биномиальный   Сопряженный   Произведение 
 2x – 1  2x + 1  4x ² – 1
 3ab + c  3ab – c  9a ² b ² – c ²
 √3 – 4  √3 + 4  3 – 16 = -13
  нам может понадобиться умножить бином, сопряженный с другим выражением. При решении этих проблем обязательно проверьте свои знания по:
 Умножение двух двучленов методом FOIL.
 При умножении выражений с разными терминами применяйте соответствующие приемы.
 Другим полезным свойством является использование техники возведения в квадрат биномов.
 Допустим, мы хотим умножить √3 + 1 на сопряженное число √2 – 1. Сначала нам нужно найти сопряженное число √2 – 1. У нас есть √2 + 1. Так как оба √3 + 1 и √2 + 1 — двучлены, мы можем применить метод FOIL, чтобы найти и упростить произведение двух двучленов.
 (√3 + 1)( √2 + 1) = (√3)( √2) + (√3)(1) + (1)( √2) + (1)(1)
 = √ 6 + √3 + √2 + 1
 Пришло время изучить общие применения сопряженных чисел в математике.
 Как рационализировать подкоренные выражения с помощью спряжения? 
 Одно из наиболее распространенных применений сопряженных чисел происходит, когда мы хотим рационализировать выражение, содержащее радикальные биномы в знаменателе.
 Когда мы рационализируем рациональное выражение,  наша цель состоит в том, чтобы иметь знаменатель, который не содержит радикального члена  . Сопряжения пригодятся, когда у нас есть биномиальное выражение в знаменателе.
 Мы можем  умножить и числитель, и знаменатель на сопряженные знаменателю  . Почему бы нам не попробовать один пример и посмотреть, что происходит с выражением?
 (√2 – 1) / (√2 + 1)
 Если мы хотим рационализировать выражение, показанное выше, мы можем умножить и числитель, и знаменатель на сопряженное со знаменателем.
 (√2 – 1) / (√2 + 1) · (√2 – 1) / (√2 -1)
  = [(√2 – 1) ·(√2 – 1)]/ [(√2 + 1)(√2 – 1)]
 Упростите знаменатель, используя разность двух квадратов, и упростите числитель, возведя в квадрат выражение (√2 – 1).
 = [(√2) ² – 2(√2)(1) + (1) ² ]/[ (√2) ² – (1) ² ]
 = [2 – 2√2 + 1]/[2 – 1]
 = 3 – 2√2
 В полученном выражении больше нет подкоренных выражений в его знаменателе до   подтвердите, что оно было рационализировано с использованием сопряжения знаменателя  . Следовательно, мы видели, как сопряжения используются в рационализирующих выражениях.
   Пример 1  
 Найдите сопряжения следующих двучленов.
 а. 2xy – y
 б. mn ² + m ² n
 c. ab – cd
  Solution 
 Вернемся к основному определению сопряженных чисел: у них одинаковые термины, но разные знаки.
   а. Для 2xy – y его сопряженное выражение по-прежнему будет иметь те же члены, за исключением того, что оно имеет + в качестве своей операции. Следовательно, его сопряженное число равно  2ху + у  .
 б. Точно так же мы используем те же термины, но в противоположном порядке, поэтому сопряжение mn ² + m ² n равно  mn ² – m ² n  .
 в. Наконец, если мы воспользуемся тем же процессом, мы обнаружим, что сопряжение ab — cd равно  ab + cd .
   Пример 2  
 Когда задано линейное выражение, ax + b, опишите результат, когда:
 a. добавляются линейное выражение и его сопряженное. 
 б. из него вычитается сопряженное линейному выражению.
   Решение 
 Давайте продолжим и сначала найдем сопряженное линейное выражение. Используя те же термины, но с противоположной операцией, сопряженное число ax + b равно ax – b.
 Складывая два бинома, мы получаем ax + b + ax – b = 2ax. Сумма на самом деле вдвое превышает значение термина.
 а. В общем, сумма  линейного выражения и его сопряженного равна удвоенному значению первого члена бинома  .
 Проделаем то же самое для их отличия. Имеем:
 (ax + b) – (ax – b) = ax + b – ax + b
 = 2b
 Разница равна удвоенному второму члену бинома.
 б. Это означает, что когда  сопряженное биномиальное число вычитается из двучлена, результат в два раза больше второго члена двучлена. 
   Пример 3  
 Ответьте на следующие вопросы, используя свои знания о спряжениях.
 а. Что является конъюгатом (1000 – 1)? 
 б. Что получится, если умножить (1000 – 1) на сопряженное число? 
 с. Используя то, что вы наблюдали, опишите, как вы можете найти произведение 81 и 79?
  Раствор 
 а. Используя те же термины, но в обратном порядке, сопряженное число (1000 – 1) равно  (1000 + 1)  .
 б. Когда мы умножаем двучлен на сопряженный, мы возводим оба члена в квадрат и вычитаем результат. Отсюда имеем (1000) ² – 1 ² =  999 999  .
 в. Это означает, что мы можем выразить 81 и 79 как сопряженные друг с другом: 81 = 80 + 1 и 79 = 80 – 1. Используя два бинома,  произведение 81 и 79 равно 80 ² – 1 ² = 6399  .
   Пример 4  
 Найдите сопряженное значение знаменателя, затем рационализируйте выражение (-2 + √3) / (6 – 3√3).
  Решение 
 Используя те же термины, но противоположные операции,  сопряжено с 6 – 3√3 равно 6 + 3√3  .
No related posts.