Дробь с отрицательной степенью как решать: Степень с отрицательным показателем — урок. Алгебра, 8 класс.

Возведение числа в отрицательную степень и отличие от возведения в положительную степень

Как известно, в математике существуют не только положительные числа, но и отрицательные. Если знакомство с положительными степенями начинается с определения площади квадрата, то с отрицательными всё несколько сложнее.

Содержание:

• Основные понятия и положения
• Возведение в отрицательную степень числа по модулю от нуля до единицы
  • Значение больше нуля
  • Значение меньше нуля
• Возведение в целую отрицательную степень если модуль больше единицы
• Возведение в случае отрицательного дробного показателя
• Заключение
• Видео

Основные понятия и положения

Это следует знать:

1. Возведением числа в натуральную степень называется умножение числа (понятие число и цифра в статье будем считать эквивалентными) само на себя в таком количестве, каков показатель степени (в дальнейшем будем использовать параллельно и просто слово показатель). 5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

В данном случае, мы видим, что модуль продолжает расти, а вот знак зависит от чётности или нечётности показателя.

Следует заметить, если мы возводим единицу, то она всегда останется сама собой. В случае, если нужно возвести число минус один, то при чётном показателе степени она превратится в единицу, при нечётном останется минус единицей.

Возведение в целую отрицательную степень если модуль больше единицы

Для цифр, чей модуль больше единицы, есть свои особенности действий. Прежде всего, нужно целую часть дроби перевести в числитель, то есть перевести в неправильную дробь. Если у нас имеется десятичная дробь, то её необходимо перевести в обычную. Делается это следующим образом:

• 6 целых 7/17 = 109/17;
• 2,54 = 254/100.

Теперь рассмотрим, как возвести число в отрицательную степень в данных условиях. 3) = 1/rad64 = 1/8.

В этом случае, нужно иметь в виду, что извлечение корней высокого уровня возможно только в специально подобранном виде и, скорее всего, избавиться от знака радикала (корня квадратного, кубического и так далее) при точных вычислениях вам не удастся.

Все же, подробно изучив предыдущие главы, сложностей в школьных вычислениях ожидать не стоит.

Следует заметить, что под описание данной главы подходит и возведение с заведомо иррациональным показателем, например, если показатель равен минус ПИ. Действовать нужно по вышеописанным принципам. Однако, вычисления в подобных случаях становятся настолько сложными, что под силу только мощным электронно-вычислительным машинам.

Заключение

Действие, которое мы изучали, является одной из самых сложнейших задач в математике (особенно в случае дробно-рационального или иррационального его значения). Однако, подробно и пошагово изучив данную инструкцию, можно научиться без особых проблем проделывать это на полном автомате.

Видео

В видео подробно рассказывается о том, как производить вычисления, если степень с отрицательным показателем.

Гайд по математике, на тему: «Степень и её свойства» читать онлайн бесплатно Дарьяна Рогова

Немного об авторе

Меня зовут Дарьяна. Репетиторством по математике занимаюсь довольно давно, с 2011 года. Математика всегда меня привлекала, как предмет, в своём деле я помогаю детям\ученикам долгое время, и всегда есть хороший результат. Каждый ребенок, если у него есть желание понять материал – может научиться решать различные задания по математике, каждый может освоить этот предмет, в нём нет ничего сложного, если разобраться в любой теме. Результаты моей работы впечатляют, спокойно нахожу общий язык с учеником и индивидуально подхожу к любому из них. Даже, казалось бы, самые безнадёжные чувствуют себя увереннее на уроках по математике после занятий со мной.

Этот гайд я написала специально для того, чтобы поделиться своими знаниями, чтобы Вы, дорогой читатель, смогли разобраться в этой теме, понять материал и научились сами применять на практике полученные знания.

Вы можете связаться со мной, записаться на консультацию или занятие онлайн, задать интересующие вопросы и сможете лучше разобраться в предмете с моей помощью. Можете написать мне на почту: [email protected]

Начнём изучение темы «Степени и её свойства» – со свойств степеней.

Чтобы понять, как правильно решать выражения с возведением в степень и с действиями с ней, достаточно знать основные свойства степени.

1. Любое число в нулевой степени равно единице.

2. Любое число в первой степени – равно числу.

3. Если есть одинаковое основание, то показатели степени при умножении – складываются.

4. Если есть одинаковое основание, то показатели степени при делении – вычитаются.

5. Если основание в степени и ещё в степени, то показатели степени в таком положении перемножаются.

6. Если же одно основание отличается от другого основания, но у них одинаковая степень, то степень можно вынести за скобку, а основания перемножить.

7. Когда основание в степени и ещё под корнем, то показатель степени делится на степень корня (т.е., если корень квадратный, то делим на 2, если корень кубический, то делим на 3 и т.д.).

8. Если основание находится в отрицательной степени, то основание следует записать в знаменателе, а показатель степени становится положительным.

9. Если же дробь находится в отрицательной степени, то числитель и знаменатель меняются местами и показатель степени становится положительным.

А теперь разберёмся в применении степеней на практике. Подборка заданий 1.

Пояснение: А) Основание одинаковое, соответственно можно сделать действия со степенями, между «а» умножение, значит степени складываются.

Б) Основание одинаковое, между ними деления, значит, применив 4 свойство степени можно вычесть степени.

В) При таком положении показатели степени перемножаются.

Г) Если произведение возведено в общую степень, значит, нужно каждое число в произведении возвести в степень. То есть число четыре возводим в третью степень, это получится 64, и буква t в третьей степени.

Д) В подобной дроби делаются аналогичные действия, что было под буквой Г – возводится каждое число в степень. 2⁴ = 16, и буква d в четвёртой степени.

Е) При таком положении оснований и степеней – степени вычитаются, получается отрицательная степень, соответственно основание спускается в знаменатель, и степень становится положительной.

Перейдём к разбору решений более усложнённых примеров. Подборка заданий 2.

Пояснение: А) Сначала определимся со знаком. При умножении (-) * (-) = (+). Поэтому знак будет плюс. 5 и 25 можно сократить на 5, вверху 1, внизу осталось 5. И можно сделать действия с одинаковыми основаниями, при умножении степени складываются. Получается одна пятая, которую в дальнейшем можно представить в виде десятичной дроби.

Б) Определив знак (-) * (+) = (-), можно после знака равно ставить знак минус. 2,5 умножаем на 2, получаем 5 целых. И складываем показатели степени одинаковых оснований.1

В) Определяем знак: (-) * (+) = (-), поэтому после знака равно ставим знак минус. Числа не сокращаются, поэтому можно оставить дробью. Так как есть черта дроби, то показатели степени с одинаковыми основаниями вычитаются. Если поделить 16 на 7 в столбик, то можно выяснить, что число нацело не делится, поэтому можно выделить целую часть. Если 16 разделить на 7, то можно взять по 2 целых (2*7=14). Если из 16 вычесть 14, то получится 2, соответственно получается данный ответ на рисунке.

Г) Так как здесь подобное положение скобок, то можно целую часть с дробью перевести в неправильную дробь, и после возвести в квадрат. Разберёмся со знаком, если дробь умножить на себя два раза, то получится знак плюс.2 Дробь возводим в степень, соответственно числитель и знаменатель нужно возвести в квадрат степени. Так получилась последующая дробь, после чего можно выразить целую часть. Что касаемо икса и игрека, то при подобном положении скобок нужно перемножить степени.

В подобном задании нужно привести к общему основанию, чтобы сделать действия со степенями, здесь немного усложняется тем, что вместо букв даны числа. Подборка заданий 3.

Пояснение:

А) Сначала разложим число 25 на множители 5*5 = 5², и ещё в пятой степени. Далее видим число 125, чтобы выяснить какое число и в какой степени даёт его, то можно заглянуть в таблицу степеней. На этой таблице я пометила – какое число и в какой степени даёт 125. То есть это будет 5³.

Далее разбираем всё по свойству степени, при положении скобок – степени перемножаются, при умножении оснований – степени складываются. В конце, при делении – степени вычитаются.

Б) В этом примере следует разложить число 24 на множители (3*8), так как число 24 изначально в пятой степени, то и после раскрытия скобок получится, что каждое число будет в пятой степени. Число 8 можно привести к общему основанию, воспользовавшись таблицей степеней. Получается, что число 8 раскладывается, как 2³, а так как у нас степень ещё есть, то получится таким образом: (2³) ⁵. В таком положении степени перемножаются. И теперь можно сделать действия со степенями с одинаковыми основаниями.

Подборка заданий 4.

Пояснение: В этом уравнении таким же образом в числители степени складываются, а затем вычитаются. Поэтому получается, что х=6.

Пояснение:

А) При таком положении скобок в числители степени перемножаем, число 36 представляем в виде числа в степени (6²), а затем в числители степени складываем, а далее вычитаем. Получается ответ 6 в первой степени.

Б) Здесь аналогично, как и в примере под буквой А. В числителе степени перемножаем, в знаменателе число 25 представляем в виде одинакового основания со степенью (5²), в знаменателе степени складываем, а после – вычитаем. Получается, что в числителе будет отрицательная степень, поэтому число 5 идёт в знаменатель и степень становится положительной. Далее из дроби можно получить десятичную дробь, и она станет окончательным ответом.

Подборка заданий 5.

Пояснение:

В) Сначала определимся со знаком, когда степень четная, то знак будет +, если нечетная, то (-). В данном случае степень четная, соответственно знак будет + при возведении в степень. (-10)² = 100. Далее 100 * 0,9, здесь не обязательно перемножать в столбик, достаточно посчитать сколько нулей у ста, а после запятую у числа 0,9 – перенести вправо на количество знаков, в данном случае – на два знака вперёд переносим запятую, получается 90. Далее вспоминаем как делать действия, если числа противоположные по знакам. 90-120, находим большее число и из большего вычитаем меньшее, ставя знак тот, который у большего числа. То есть 90 – 120 = (-30). У 120 знак минус, из него вычитаем 90 – получаем число 30 и знак ставим тот, который у числа 120.

1 У первого икса есть в степени единица, но она не пишется, хотя подразумевается. Поэтому получается икс в третьей степени.

2 (-) * (-) = (+)

Сложение и вычитание дробей с отрицательными числами

Горячая математика

Как только вы научились складывать и вычитать положительные дроби , вы можете расширить метод, включив в него отрицательные дроби.

Обратите внимание, что:

− 2 3 такой же как − 2 3 и 2 − 3

− 2 − 3 упрощает до 2 3

Когда вы добавляете или вычитаете отрицательную дробь, вы обычно хотите учитывать числитель как отрицательный. Метод точно такой же, за исключением того, что теперь вам может понадобиться добавить отрицательные или положительные числители.

Пример 1:

Найдите сумму.

9 5 + ( − 4 3 )

LCM 5 и 3 является 15 .

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, переименуйте дроби с общим знаменателем.

9 5 «=» 9 × 3 5 × 3 «=» 27 15 − 4 3 «=» − 4 × 5 3 × 5 «=» − 20 15

Так,

9 5 + ( − 4 3 ) «=» 27 15 + ( − 20 15 )

Так как знаменатели одинаковые, складываем числители.

«=» 27 + ( − 20 ) 15 «=» 7 15

Пример 2:

Найдите разницу.

− 7 10 − 2 15

LCM 10 и 15 является 30 .

Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, переименуйте дроби с общим знаменателем.

− 7 10 «=» − 7 10 × 3 3 «=» − 21 30 2 15 «=» 2 15 × 2 2 «=» 4 30

Так,

− 7 10 − 2 15 «=» − 21 30 − 4 30

Так как знаменатели одинаковые, вычтите числители.

− 21 30 − 4 30 «=» − 21 − 4 30

Упрощать. Мы получаем:

− 25 30 или − 5 6

Упрощение выражения с помощью дробной черты | Преалгебра |

Модуль 4: Дроби

Результаты обучения

• Определите отрицательные дроби, которые эквивалентны, если их отрицательный знак находится в другом месте
• Упростите выражения, содержащие дроби, используя порядок операций

Куда ставится знак минус в дроби? Обычно перед дробью ставится знак «минус», но иногда встречаются дроби с отрицательным числителем или знаменателем. Помните, что дроби обозначают деление. Дробь

−13-\frac{1}{3}−31​

может быть результатом деления отрицательного числа

−13\frac{-1}{3}3−1​

на положительный, или деления

1−3\frac{1}{-3}−31​

положительного на отрицательное. Когда числитель и знаменатель имеют разные знаки, частное отрицательно. Если и числитель и знаменатель отрицательны, тогда сама дробь положительна, потому что мы делим отрицательное на отрицательное.

−1−3 = 13отрицательныйотрицательный = положительный \ гидроразрыв {-1} {-3} = \ гидроразрыва {1} {3} \ гидроразрыва {\ текст {отрицательный}} {\ текст {отрицательный}} = \ текст {положительный }−3−1​=31​negativenegative​=positive

Размещение знака «минус» в дроби

Для любых положительных чисел

a и ba\text{ и }ba и b

,

−ab=a−b=−ab\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b} =-\frac{a}{b}b−a​=−ba​=−ba​

Пример

Какие из следующих дробей эквивалентны

7−8?\frac{7}{-8}?−87​?

−7−8,−78,78,−78\frac{-7}{-8},\frac{-7}{8},\frac{7}{8},-\frac{7} {8}−8−7​,8−7​,87​,−87​

Решение:

Частное положительного и отрицательного отрицательное, поэтому

7−8\frac{7}{ -8}−87​

отрицательно. Из перечисленных дробей

−78and−78\frac{-7}{8}\text{and}-\frac{7}{8}8−7​and−87​

также отрицательны.

попробуй

#146162

Упрощение выражения с помощью дробной черты

Полосы дробей действуют как символы группировки. Выражения над и под разделительной чертой следует рассматривать так, как если бы они были заключены в круглые скобки. Например,

4+85−3\frac{4+8}{5 — 3}5−34+8​

означает

(4+8)÷(5−3)\left(4+8). \right)\div \left(5 — 3\right)(4+8)÷(5−3)

. Порядок операций говорит нам сначала упростить числитель и знаменатель — как если бы были скобки — прежде чем делить.

Мы добавим дроби к нашему набору символов группировки из Use the Language of Algebra, чтобы иметь здесь более полный набор.

Группировка символов

Упростите выражение с помощью дробной черты

1. Упростите числитель.
2. Упростите знаменатель.
3. Упростите дробь.

Пример

Упростить:

4+85−3\frac{4+8}{5 — 3}5−34+8​

Показать решение

Решение:

» data-label=»»>

	4+85−3\frac{4+8}{5 — 3}5−34+8​
Упростите выражение в числителе.	125−3\frac{12}{5 — 3}5−312​
Упростите выражение в знаменателе.	122\фрак{12}{2}212​
Упростите дробь.	666

Попробуйте

#146163
В следующем видеоролике представлен еще один пример упрощения различных выражений, содержащих дробную черту. 9{2}+2}22+24−2(3)​
Используйте порядок операций. Умножьте в числителе и используйте показатель степени в знаменателе.

4−64+2\frac{4 — 6}{4+2}4+24−6​

Упростите числитель и знаменатель.

−26\frac{-2}{6}6−2​

Упростите дробь.

−13-\frac{1}{3}−31​

Попробуйте

#146164
9{2}}{64 — 16}64−16(4)2​
Упростите числитель и знаменатель.

1648\фрак{16}{48}4816​

Упростите дробь.

13\frac{1}{3}31​

Попробуйте

#146165

Пример

Упростить:

4(−3)+6(−2)−3(2)−2\frac{4\left(-3\right)+6\left(-2\right)}{-3\left (2\справа)-2}−3(2)−24(−3)+6(−2)​

Показать решение

Решение:

4(−3)+6(−2)−3(2)−2\frac{4\left(-3\right)+6\left(-2\right) }{-3\влево(2\вправо)-2}−3(2)−24(−3)+6(−2)​
Умножить.	−12+(−12)−6−2\frac{-12+\left(-12\right)}{-6 — 2}−6−2−12+(−12)​
Упрощение.	−24−8\frac{-24}{-8}−8−24​
Разделить.	333

Попробуйте

#146167
Посмотрите это видео, чтобы увидеть еще один пример того, как упростить выражение с дробной чертой, которая содержит несколько различных операций.

No related posts.