база. Числа. Корни степени. Целые числа. Степень с натуральным показателем. Дроби, проценты, рациональные числа, Степень с рациональным показателем и ее свойства – StudyWay
Начинаем с вами подготовку к обязательному экзамену – ЕГЭ по математике. Мы будем с вами рассматривать поэтапно темы всех заданий экзаменационной работы начиная с самых простейших тем и заканчивая началом математического анализа и высшей геометрией. Сегодня начнем рассматривать задания ЕГЭ по математике, касающиеся одних из самых простых тем, но вместе с тем очень часто они вызывают затруднения у экзаменующихся (зачастую по невнимательности или излишней самоуверенности). Регулярно изучая материал в нашем блоге, вы сможете подготовиться к ЕГЭ по математике эффективно и за короткий срок. А наши преподаватели смогут объяснить Вам самые трудные темы и устранить проблемы в знаниях. Итак, начнем!
Целые числа
Что такое целые числа? Это натуральные числа, то есть от 1 до бесконечности, это 0, это противоположные натуральным числам.
Всё вместе – целые числа. Например, -5,0,5,10,-10 и так далее.
При округлении количество впоследствии запятой играет огромную роль. В случае если 1-ое количество впоследствии запятой более или же точно также 5, то количество, которое слева от запятой,растет на единицу, в случае если же количество впоследствии запятой меньше 5, то количество слева от запятой не меняется.
Приступим к практике
Задание 1
Обучающихся в группе меньше 50 студентов. За индивидуальную работу часть студентов получила оценку «5», «4», а половина студентов получила оценку «3». Остальные работы были оценены оценкой «2», Сколько было студентов, индивидуальные работы которых были оценены неудовлетворительной оценкой?
Решение
Число студентов всегда выражается целым числом. Значит, надо найти натуральное число меньшее 50 и одновременно делящееся на 7, 3, 2. Единственно возможным таким числом будет число 42.
Заключение пишем так: пусть x – количество учащихся. По условию задачки имеем – учащихся возымели оценку «5»; – учащихся возымели оценку «4»; – учащихся возымели оценку «3».
Например как x обязан в одно и тоже время распределяться на 7, 3, 2, то этим количеством, наименьшим 50, станет количество 42.
Решение этой задачи можно оформить и так:
Числитель дроби – число 41 показывает, какое количество студентов получили оценки «5», «4», «3», а знаменатель – число 42 показывает общее количество студентов. И отсюда можно заключить, что оценку «2» получил 1 студент.
Ответ: 6 студентов получили оценку «5»; 14 студентов получили оценку «4»; 21 студент получил оценку «3»; 1 студент получил оценку «2».
Корни чисел и степени
| Очень трудное содержание, в ней надобно разобраться. уровень – количество, показывающее сколько одно количество множится на себя. К примеру, а2 = а*а. Корень количества – количество, равное на себя себя, возведённому в квадрат, то есть, если корень количества взвести в квадрат, то выйдет само количество. К примеру, (√a)2=a. |
Важны несколько моментов со степенями
а2=а*а
а0=1
а-х=1/aх , где х – абсолютно любое число
(am)n = am*n
С корнями:
x√ах = а
n√am = am/n
mn√amk = n√ak
Пример задания
Задание 9 № 26798
Найди значение выражения: (7*(m5)6+11(m3)10)/(3m15)2
Преобразуем по свойству степеней
7m30 + 11m30/9m30 = m30*(11+7) / 9m30 = 18m30/9m30.
Сократим на 9 и на m30. Получим 2
Ответ: 2
Степень с натуральным показателем
Что такое степень с натуральным показателем? Перейдём к теории:
Существует короткая запись для умножения числа несколько раз на себя, пример:
4⋅4⋅4⋅4⋅4⋅4⋅4=4 в 7 степени = 7раз.
Под an, где n=2,3,4,5…, подразумевают произведение n равных множителей,
| Любой множитель дает собой число a. Выражение an представляют степенью, число a — основанием степени, Число n в урезании именуют естественным показателем, вследствие того собственно что это естественное число (подсчёт символов) |
Не забудь!
a⋅a⋅a⋅…⋅a=an – n раз
an — степень с натуральным показателем;
a — основа степени;
n — показатель степени.
Запись an читается так: «a в n-й степени» или «a в степени n».
a2 читается: «a в квадрате» или «a во второй степени».
a3 — «a в кубе» или «a в третьей степени».
Задание: записать степень произведения 2⋅2⋅2⋅2⋅2 и использовать термины.
Решение.
Дано произведение пяти равных множителей, каждый равен 2, имеем:
2⋅2⋅2⋅2⋅2=2 в 5;
2 в 5 — степень;
2 — основание степени;
5 — показатель степени.
| Дроби Дробь – количество, показывающее доля чего-нибудь. К примеру, имеется пицца, её разрезали на 3 части и взяли 1 кусок. Можно 1/3 записать, то есть 1 из 3-х частей. Количество над чертой – именуется числитель, а под – знаменатель. Дробь может быть верной – числитель меньше знаменателя и неверной – числитель больше знаменателя. Практика Отыскать смысл выражения (-2 ¾ – 3/8) * 160 Заключение -11/4 – 3/8 = (-22 – 3)/8 = -25/8 -25/8 *160 = -25 * 20 = -500 Ответ: -500 |
Процент
Процент – сотая часть какого-либо числа.
Например, 1% = 0,01; 50% = 0,5
Как найти х процентов из а числа? Нужно число а умножить на x/100, тогда вы получите число из х процентов, помните, х и а – это любые числа.
Как перевести какое-либо число в проценты? умножьте на 100.
Приступим к практике
Задание
В 2008 году в городе проживало 40000 человек. В 2009 году, из-за строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько жителей проживало в 2010 году?
Решение
Найдём, сколько человек жило в 2009 году. 40000 * 8/100 = 3200 человек – на столько число жителей выросло в 2009 году, то есть 43200 человек. Подсчитаем, какое количество человек жило 2010 году. 43200 * 9/100 = 3888 – на столько выросло число жителей в 2010 году, то есть 47088 человек.
Ответ: 47088
Рациональные числа
Рациональные числа — это целые и дробные числа (обыкновенные, конечные десятичные, бесконечные дроби).
Важно знать!
Бесконечные непериодические дроби НЕ входят в множество рациональных чисел.
Поэтому число «Пи» (π= 3,14…), основание натурального логарифма
e (e = 2,718..) или √2 НЕ являются рациональными числами.
Множество рациональных чисел пишется с заглавной английской буквой «Q».
Множество «Q» имеет множество целых чисел «Z» и натуральных чисел «N».
Каждое рациональное число можно представить дробью, у которой числитель принадлежит целым числам, а знаменатель — натуральным.
где a ∈ Z (a принадлежит целым числам), b∈N (b принадлежит натуральным числам).
Задачи:
Среди всех отрицательных чисел, не превышающих по абсолютной величине 5/2, указать:
а) меньшее рациональное число;
б) большее рациональное число;
в) меньшее целое число.
Ответ: А) -5/2 Б) нет В) -2
Степень с рациональным показателем
Дробь, в её показателе находится конечная обыкновенная или же десятичная дробь. Любую уровень с оптимальным показателем возможно представить корнем, уровень которого равна знаменателю дроби, находящемуся там в показателе степени, числитель – уровень подкоренного выражения. |
Свойства
- Если нужно умножить две степени с рациональными показателями, имеющие равные основания, то основание оставляем без изменения, показатели складываем.
ap * aq = ap+q. – формула
пример:
- Основание оставляем без изменений, а показатели вычтем. ap/ aq= ap-q.
пример:
- При необходимости возведения степени в другую степень, основание остаётся то же число, показатели степени перемножаем. (ap)q = ap*q
Пример:
- Если в некоторую степень надо возвести произведение произвольных чисел, пользуемся распределительным законом, из него получаем произведение разных оснований в одной степени.
(a * b)p = ap * bp
- Похожее свойство применяем для деления степеней
(a / b)p = ap / bq
- Если дробь имеет отрицательный рациональный показатель степени, избавиться от знака минуса, можно переворотом дроби.
Не забудь! Знак степени не влияет на знак выражения при возведении в степень.
Дробные показатели — Как решить рациональные показатели
Как решить дробные показатели.
- Упрощение дробных показателей
- Упрощение дробей с показателями
- Отрицательные дробные показатели
- Умножение дробных показателей
- Деление дробных показателей
- Добавление дробных показателей
- Вычитание дробных показателей
Упрощение дробных показателей
База b в степени n / m равна:
b n / m = ( m √ b ) n = m √ (b n )
Пример:
База 2 в степени 3/2 равна 1, деленной на базу 2 в степени 3:
2 3/2 = 2 √ (2 3 ) = 2,828
Упрощение дробей с показателями
Дроби с показателями:
( a / b ) n = a n / b n
Пример:
(4/3) 3 = 4 3 /3 3 = 64/27 = 2,37
Отрицательные дробные показатели
База b в степени минус n / m равна 1, деленной на базу b в степени n / m:
b -n / m = 1 / b n / m = 1 / ( m √ b ) n
Пример:
База 2 в степени минус 1/2 равна 1, деленной на базу 2 в степени 1/2:
2 -1/2 = 1/2 1/2 = 1 / √ 2 = 0,7071
Дроби с отрицательными показателями
База a / b, возведенная в степень минус n, равна 1, деленной на базу a / b, возведенную в степень n:
( a / b ) — n = 1 / ( a / b ) n = 1 / ( a n / b n ) = b n / a n
Пример:
База 2 в степени минус 3 равна 1, деленной на базу 2 в степени 3:
(2/3) -2 = 1 / (2/3) 2 = 1 / (2 2 /3 2 ) = 3 2 /2 2 = 9/4 = 2,25
Умножение дробных показателей
Умножение дробных показателей на одинаковые дробные показатели:
а н / м ⋅ б н / м = ( а ⋅ б ) н / м
Пример:
2 3/2 ⋅ 3 3/2 = (2⋅3) 3/2 = 6 3/2 = √ (6 3 ) = √ 216 = 14,7
Умножение дробных показателей с одинаковым основанием:
a n / m ⋅ a k / j = a ( n / m) + (k / j)
Пример:
2 3/2 ⋅ 2 4/3 = 2 (3/2) + (4/3) = 7,127
Умножение дробных показателей на разные показатели и дроби:
а н / м ⋅ б к / дж
Пример:
2 3/2 ⋅ 3 4/3 = √ (2 3 ) ⋅ 3 √ (3 4 ) = 2,828 ⋅ 4,327 = 12,237
Умножение дробей на показатели
Умножение дробей на показатели с одинаковым основанием дроби:
( a / b ) n ⋅ ( a / b ) m = ( a / b ) n + m
Пример:
(4/3) 3 ⋅ (4/3) 2 = (4/3) 3 + 2 = (4/3) 5 = 4 5 /3 5 = 4,214
Умножение дробей на показатели с одинаковым показателем:
( a / b ) n ⋅ ( c / d ) n = (( a / b ) ⋅ ( c / d )) n
Пример:
(4/3) 3 ⋅ (3/5) 3 = ((4/3) ⋅ (3/5)) 3 = (4/5) 3 = 0,8 3 = 0,8⋅0,8⋅0,8 = 0,512
Умножение дробей на показатели с разными основаниями и показателями:
( а / б ) п ⋅ ( в / г ) м
Пример:
(4/3) 3 ⋅ (1/2) 2 = 2,37 / 0,25 = 9,481
Деление дробных показателей
Разделение дробных показателей на одинаковые дробные показатели:
а н / м / б н / м = ( а / б ) н / м
Пример:
3 3/2 / 2 3/2 = (3/2) 3/2 = 1,5 3/2 = √ (1,5 3 ) = √ 3,375 = 1,837
Деление дробных показателей с одинаковым основанием:
a n / m / a k / j = a ( n / m) — (k / j)
Пример:
2 3/2 / 2 4/3 = 2 (3/2) — (4/3) = 2 (1/6) = 6 √ 2 = 1,122
Разделение дробных показателей на разные показатели и дроби:
а н / м / б к / дж
Пример:
2 3/2 / 3 4/3 = √ (2 3 ) / 3 √ (3 4 ) = 2,828 / 4,327 = 0,654
Деление дробей на показатели
Разделение дробей на показатели с одинаковым основанием дроби:
( a / b ) n / ( a / b ) m = ( a / b ) нм
Пример:
(4/3) 3 / (4/3) 2 = (4/3) 3-2 = (4/3) 1 = 4/3 = 1,333
Разделение дробей на показатели с одинаковым показателем:
( a / b ) n / ( c / d ) n = (( a / b ) / ( c / d )) n = (( a⋅d / b⋅c )) n
Пример:
(4/3) 3 / (3/5) 3 = ((4/3) / (3/5)) 3 = ((4⋅5) / (3⋅3)) 3 = (20/9) 3 = 10,97
Разделение дробей на показатели с разными основаниями и показателями:
( а / б ) н / ( в / г ) м
Пример:
(4/3) 3 / (1/2) 2 = 2,37 / 0,25 = 9,481
Добавление дробных показателей
Добавление дробных показателей осуществляется путем увеличения каждого показателя сначала, а затем добавления:
а н / м + б к / дж
Пример:
3 3/2 + 2 5/2 = √ (3 3 ) + √ (2 5 ) = √ (27) + √ (32) = 5,196 + 5,657 = 10,853
Добавление тех же оснований b и показателей n / m:
б н / м + б н / м = 2 б н / м
Пример:
4 2/3 + 4 2/3 = 2⋅4 2/3 = 2 ⋅ 3 √ (4 2 ) = 5,04
Вычитание дробных показателей
Вычитание дробных показателей выполняется сначала повышением каждого показателя, а затем вычитанием:
а н / м — б к / дж
Пример:
3 3/2 — 2 5/2 = √ (3 3 ) — √ (2 5 ) = √ (27) — √ (32) = 5,196 — 5,657 = -0,488
Вычитая те же основания b и показатели n / m:
3 б н / м — б н / м = 2 б н / м
Пример:
3⋅4 2/3 — 4 2/3 = 2⋅4 2/3 = 2 ⋅ 3 √ (4 2 ) = 5,04
Смотрите также
- Правила экспонентов
- Умножение показателей
- Показатели деления
Как решать дробные числа без калькулятора
Нравится? Поделись!
Важной частью вашего изучения алгебры является понимание того, как вычислять показатели степени.
Эта статья представляет собой краткий учебник, объясняющий решение дробных показателей без использования калькулятора. В этой статье дробные показатели были демистифицированы.
В то время как геометрия основана на визуализации, алгебра требует от вас аналитических способностей. Одной из самых интересных математических концепций, которую мне лично нравилось изучать, было решение задач, основанных на алгебраических показателях. Это важный элемент алгебраического волшебства, которым вам необходимо овладеть, чтобы легко решать полиномиальные и числовые задачи. Основное внимание в этой статье Buzzle уделяется объяснению того, как легко решать дробные показатели степени. После краткого обзора математических законов, связанных с вычислением показателей степени, я демонстрирую решение реальных примеров с дробными показателями степени.
Что такое экспоненты?
Я предполагаю, что зайдя так далеко в математике, вы уже знаете, что такое умножение. Идея показателя степени возникла из умножения одного и того же числа на себя несколько раз.
Рассмотрим переменную m, которая умножается на себя 5 раз. Оно будет выражено в математической форме следующим образом:
м х м х м х м х м = м 5
Вместо того, чтобы выражать умножение т в такой длинной форме, используя сокращенную запись, оно выражается в форме — м 5 , так как «m» умножается на себя 5 раз. Здесь m называется «базой», а число 5 известно как «показатель степени» или «степень», до которой m ‘ было возведено в ’. Таким образом, m 5 читается как « m, возведенное в 5 » и понимается как m, умноженное на себя в 5 раз. Теперь существуют определенные правила умножения показателей степени с одним и тем же базовым членом, а именно:
| м а х м б = м (а + б) (m a ) / (m b ) = m a – b (m a ) b = m a x b м -b = 1/м b м 0 = 1 |
Что такое дробные показатели?
После краткого обзора законов умножения показателей степени позвольте мне познакомить вас с дробными показателями степени.
Точно так же, как умножение числа на себя может быть выражено в показателях степени, квадратный, кубический или более высокий корень числа также может быть выражен в экспоненциальной форме. Например:√m = M 1/2
3 √m = M 1/3
5 √ (M 2 ) = M 2/5
ЗДЕСЬ. 1/2 , m 1/3 и m 2/5 имеют дробные показатели степени. Дробная экспонента — это сокращение для выражения квадратного корня или более высоких корней переменной. Последний из приведенных выше терминов — «m 2/5 » — это «корень пятой степени из m в квадрате». Давайте взглянем на правила решения дробных показателей, прежде чем погрузиться в иллюстративные примеры.
Правила решения дробных показателей
Правила упрощения дробных показателей достаточно просты. С практикой вы обнаружите, что их легче понять. Вот правила, которые вам необходимо знать:
| Правила решения дробных показателей |
| n √m = m 1/n n √(m) k = m k/n 335 |
Эти два правила в сочетании с изложенными ранее помогут вам довольно легко решать задачи на экспоненты.
Позвольте мне продемонстрировать, как такие проблемы решаются на примерах в следующем разделе.
Решение дробных показателей?
Когда дело доходит до решения математических задач, лучший способ научиться — это сначала изучить решенные примеры, а затем попытаться решить подобные примеры самостоятельно, постепенно увеличивая уровень сложности. В следующих строках я решаю ряд задач с дробными показателями, чтобы проиллюстрировать, как это делается.
Пример 1 : 27 2/3 = (27 1/3 ) 2 = ( 3 √27) 2 = 3 2 = 3 x 3 =
Пример 2 : 16 1/4 = (16 1/2 ) 1/2 = √(√16) = √4 = 2
64 4/3 ) = [( 3 √8) 2 + ( 3 √64) 4 ] = [2 2 + 4 5 = [2 + ] 5 = [2 + ] 5 260
При нахождении квадратного корня, кубического корня или большего корня любого числа преобразуйте его в мультипликативную серию множителей.
Если вы ищете квадратный корень, подумайте, какое число при умножении дважды окажется заданным числом. Это будет его корнем. Например, если вы хотите найти квадратный корень из 16, подумайте, какое число при умножении на себя дает ответ, равный 16. Это должно быть число меньше 16. После некоторых размышлений, если вы выучили свое умножение таблицы правильно, вы поймете, что 4 — это квадратный корень из 16. Точно так же, когда вы хотите найти кубический корень, подумайте, какое число при трехкратном умножении даст данное число. С практикой вам станет легче.
Если вам все еще трудно договориться с ними, единственное лекарство — практика. Получите кучу задач на дробную экспоненту и начните решать. Примените правила, представленные выше, и продолжайте решать, пока не получите правильные ответы. Практикуйтесь, пока решение таких задач не станет для вас почти второй натурой!
Без категорий
Получайте обновления прямо в папку «Входящие»
Подпишитесь, чтобы получать последние и лучшие статьи с нашего сайта автоматически каждую неделю (плюс-минус).
Адрес электронной почты *
Примеры: совершенные дробные показатели — tentowelvemathtentotwelvemath
В математике мы часто изучаем один набор фактов посредством вычислений, а другой — посредством связанных вычислений. Например . Мы можем рассчитать это. Связанный с этим факт заключается в том, что . Мы знаем этот факт через ассоциации, а не расчеты. Позже, при решении алгебраических уравнений с участием квадрата, нам также нужно будет помнить, что .
А как насчет этого, . Связанный числовой факт состоит в том, что . Мы не «вычисляем», что число, умноженное на себя 5 раз, чтобы получить 32, равно 2: мы знаем это по памяти.
Чтобы облегчить запоминание фактов об экспоненте, вот краткий список наиболее часто используемых способностей: Шпаргалка экспоненты. Если вы уже не можете легко вспомнить эти факты, держите справочный лист под рукой, чтобы вы могли сосредоточиться на концепциях, а не на арифметике.
Как правило, дробный показатель степени приводит к иррациональному числу. Эти вопросы называются «идеальными», потому что все ответы представляют собой целые числа и могут быть оценены без использования калькулятора.
Пример 1:
Мы спрашиваем, какая степень числа четыре равна 16? Это та часть, которую мы вспоминаем. (Чтобы получить корень четвертой степени, вы также можете проделать этот небольшой трюк: квадратный корень, а затем квадратный):
Или просто загляните в шпаргалку Exponent.
Пример 2 :
Во-первых, нам нужно это знать . Не зная этого, этот вопрос просто очень сложен.
Вот как мы справляемся с этим:
Мы знаем, что .
И мы знаем, что
Вот почему мы можем переписать как
В этой форме мы сначала оцениваем скобку по памяти, а затем вычисляем степень:
корень из 125 и возведите его в квадрат.
Пример 4 :
Возьмем квадратный корень из 64, а затем куб.
Пример 5 :
Нет в шпаргалке. Так что давайте искать вероятного родственника. Находим:
Теперь,
И,
Следовательно, .
Теперь у нас есть .
Деление может быть выражено с помощью дроби или с помощью отрицательного показателя степени. Отрицательная экспонента не делает значение отрицательным, потому что деление не делает значение отрицательным.
1 разделить на 7 можно записать как:
Обратите внимание, что все они положительные (все равны ). Как правило, первое, что мы делаем с отрицательным показателем степени (что означает «делить»), — это записываем его в виде дроби (другой способ сказать «разделить»).
Пример 6 :
Отрицательная экспонента представляет повторное деление. Когда мы видим в алгебре, мы понимаем, что это значит, но писать не надо.