Дроби примеры 8 класс: Сложение и вычитание алгебраических дробей — урок. Алгебра, 8 класс.

alexxlab / / Разное

§ Алгебраические дроби. Сокращение алгебраических дробей

Алгебраические дроби. Сокращение Сложение и вычитание алгебраических дробей Умножение алгебраических дробей Деление алгебраических дробей

Прежде чем перейти к изучению алгебраических дробей рекомендуем вспомнить, как работать с обыкновенными дробями.

Запомните!

Любая дробь, в которой есть буквенный множитель, называется алгебраической дробью.

Примеры алгебраических дробей.

; 

a − b
a + b
;  ; 
m + n
n
; 
7(x + 1)
3

Как и у обыкновенной дроби, в алгебраической дроби есть числитель (наверху) и знаменатель (внизу).

Сокращение алгебраической дроби

Алгебраическую дробь можно сокращать. При сокращении пользуются правилами сокращения обыкновенных дробей.

Напоминаем, что при сокращении обыкновенной дроби мы делили и числитель, и знаменатель на одно и тоже число.

Алгебраическую дробь сокращают таким же образом, но только числитель и знаменатель делят на один и тот же многочлен.

Рассмотрим пример сокращения алгебраической дроби.

Определим наименьшую степень, в которой стоит одночлен «a» . Наименьшая степень для одночлена «a» находится в знаменателе — это вторая степень.

Разделим, и числитель, и знаменатель на «a2». При делении одночленов используем свойство степени частного.

Напоминаем, что любая буква или число в нулевой степени — это единица.

Нет необходимости каждый раз подробно записывать, на что сокращали алгебраическую дробь. Достаточно держать в уме степень, на которую сокращали, и записывать только результат.

Краткая запись сокращения алгебраической дроби выглядит следующим образом.

Важно!

Сокращать можно только одинаковые буквенные множители.

Нельзя сокращать

Можно сокращать

Другие примеры сокращения алгебраических дробей.

Как сократить дробь с многочленами

Рассмотрим другой пример алгебраической дроби. Требуется сократить алгебраическую дробь, у которой в числителе стоит многочлен.

Важно!

Сокращать многочлен в скобках можно только с точно таким же многочленом в скобках!

Ни в коем случае нельзя сокращать часть многочлена внутри скобок!

Неправильно

Правильно

Определить, где заканчивается многочлен, очень просто. Между многочленами может быть только знак умножения. Весь многочлен находится внутри скобок.

После того, как мы определили многочлены алгебраической дроби, сократим многочлен «(m − n)» в числителе с многочленом «(m − n)» в знаменателе.

Примеры сокращения алгебраических дробей с многочленами.

Вынесение общего множителя при сокращении дробей

Чтобы в алгебраических дробях появились одинаковые многочлены иногда нужно вынести общий множитель за скобки.

Рассмотрим пример.

В таком виде сократить алгебраическую дробь нельзя, так как многочлен
«(3f + k)» можно сократить только со многочленом «(3f + k)».

Поэтому, чтобы в числителе получить «(3f + k)», вынесем общий множитель «5».

Сокращение дробей с помощью формул сокращенного умножения

В других примерах для сокращения алгебраических дробей требуется
применение формул сокращенного умножения.

В первоначальном виде сократить алгебраическую дробь нельзя, так как нет одинаковых многочленов.

Но если применить формулу разности квадратов для многочлена «(a2 − b2)», то одинаковые многочлены появятся.

Другие примеры сокращения алгебраических дробей с помощью формул сокращенного умножения.


Алгебраические дроби. Сокращение Сложение и вычитание алгебраических дробей Умножение алгебраических дробей Деление алгебраических дробей

8 класс. Алгебра. Алгебраические дроби. — Алгебраические дроби.

Действия с алгебраическими дробями.
Комментарии преподавателя

На данном уроке рассматривается понятие алгебраической дроби. С дробями человек встречается в самых простых жизненных ситуациях: когда необходимо разделить некий объект на несколько частей, например, разрезать торт поровну на десять человек. Очевидно, что каждому достанется почасти торта. В указанном случае мы сталкиваемся с понятием числовой дроби, однако возможна ситуация, когда объект делится на неизвестное количество частей, например, на x. В таком случае возникает понятие дробного выражения. С целыми выражениями (не содержащими деление на выражения с переменными) и их свойствами вы уже познакомились в 7 классе.  Далее мы рассмотрим понятие рациональной дроби, а также допустимых значений переменных.

 

 

Ра­ци­о­наль­ные вы­ра­же­ния де­лят­ся на целые и дроб­ные вы­ра­же­ния.

                            

                                        

      

Опре­де­ле­ние.  Ра­ци­о­наль­ная дробь – дроб­ное вы­ра­же­ние вида , где  – мно­го­чле­ны.  – чис­ли­тель,  – зна­ме­на­тель.

При­ме­ры ра­ци­о­наль­ных вы­ра­же­ний:  – дроб­ные вы­ра­же­ния;  – целые вы­ра­же­ния. В пер­вом вы­ра­же­нии, к при­ме­ру, в роли чис­ли­те­ля вы­сту­па­ет , а зна­ме­на­те­ля – .

Зна­че­ние ал­геб­ра­и­че­ской дроби, как и лю­бо­го ал­геб­ра­и­че­ско­го вы­ра­же­ния, за­ви­сит от чис­лен­но­го зна­че­ния тех пе­ре­мен­ных, ко­то­рые в него вхо­дят. В част­но­сти, в пер­вом при­ме­ре зна­че­ние дроби за­ви­сит от зна­че­ний пе­ре­мен­ных  и , а во вто­ром толь­ко от зна­че­ния пе­ре­мен­ной .

Рас­смот­рим первую ти­по­вую за­да­чу: вы­чис­ле­ние зна­че­ния ра­ци­о­наль­ной дроби при раз­лич­ных зна­че­ни­ях вхо­дя­щих в нее пе­ре­мен­ных.

При­мер 1. Вы­чис­лить зна­че­ние дроби  при а) , б) ,    в) 

Ре­ше­ние. Под­ста­вим зна­че­ния пе­ре­мен­ных в ука­зан­ную дробь: а) , б) , в)  – не су­ще­ству­ет (т. к. на ноль де­лить нель­зя).

Ответ: а) 3; б) 1; в) не су­ще­ству­ет.

Как видим, воз­ни­ка­ет две ти­по­вые за­да­чи для любой дроби: 1) вы­чис­ле­ние дроби, 2) на­хож­де­ние до­пу­сти­мых и недо­пу­сти­мых зна­че­ний бук­вен­ных пе­ре­мен­ных.

Опре­де­ле­ние. До­пу­сти­мые зна­че­ния пе­ре­мен­ных – зна­че­ния пе­ре­мен­ных, при ко­то­рых вы­ра­же­ние имеет смысл. Мно­же­ство всех до­пу­сти­мых зна­че­ний пе­ре­мен­ных на­зы­ва­ет­ся ОДЗ или об­ласть опре­де­ле­ния.

Зна­че­ние бук­вен­ных пе­ре­мен­ных может ока­зать­ся недо­пу­сти­мым, если зна­ме­на­тель дроби при этих зна­че­ни­ях равен нулю. Во всех осталь­ных слу­ча­ях зна­че­ние пе­ре­мен­ных яв­ля­ют­ся до­пу­сти­мы­ми, т. к. дробь можно вы­чис­лить.

При­мер 2. Уста­но­вить, при каких зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной не имеет смыс­ла дробь .

Ре­ше­ние. Чтобы дан­ное вы­ра­же­ние имело смысл, необ­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы зна­ме­на­тель дроби не рав­нял­ся нулю. Таким об­ра­зом, недо­пу­сти­мы­ми будут толь­ко те зна­че­ния пе­ре­мен­ной, при ко­то­рых зна­ме­на­тель будет рав­нять­ся нулю. Зна­ме­на­тель дроби , по­это­му решим ли­ней­ное урав­не­ние:

.

Сле­до­ва­тель­но, при зна­че­нии пе­ре­мен­ной  дробь не имеет смыс­ла.

Ответ: -5.

Из ре­ше­ния при­ме­ра вы­те­ка­ет пра­ви­ло на­хож­де­ния недо­пу­сти­мых зна­че­ний пе­ре­мен­ных – зна­ме­на­тель дроби при­рав­ни­ва­ет­ся к нулю и на­хо­дят­ся корни со­от­вет­ству­ю­ще­го урав­не­ния.

Рас­смот­рим несколь­ко ана­ло­гич­ных при­ме­ров.

При­мер 3. Уста­но­вить, при каких зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной не имеет смыс­ла дробь.

Ре­ше­ние. .

Ответ. .

При­мер 4. Уста­но­вить, при каких зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной не имеет смыс­ла дробь .

Ре­ше­ние..

Встре­ча­ют­ся и дру­гие фор­му­ли­ров­ки дан­ной за­да­чи – найти об­ласть опре­де­ле­ния или об­ласть до­пу­сти­мых зна­че­ний вы­ра­же­ния (ОДЗ). Это озна­ча­ет – найти все до­пу­сти­мые зна­че­ния пе­ре­мен­ных. В нашем при­ме­ре – это все зна­че­ния, кроме . Об­ласть опре­де­ле­ния удоб­но изоб­ра­жать на чис­ло­вой оси.

Для этого на ней вы­ко­лем точку , как это ука­за­но на ри­сун­ке:

 

 

Рис. 1

Таким об­ра­зом, об­ла­стью опре­де­ле­ния дроби будут все числа, кроме 3.

Ответ..

При­мер 5. Уста­но­вить, при каких зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной не имеет смыс­ла дробь .

Ре­ше­ние..

Изоб­ра­зим по­лу­чен­ное ре­ше­ние на чис­ло­вой оси:

Рис. 2

Ответ..

При­мер 6. Уста­но­вить, при каких зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ных не имеет смыс­ла дробь .

Ре­ше­ние.. Мы по­лу­чи­ли ра­вен­ство двух пе­ре­мен­ных, при­ве­дем чис­ло­вые при­ме­ры:  или  и т. д.

Изоб­ра­зим это ре­ше­ние на гра­фи­ке в де­кар­то­вой си­сте­ме ко­ор­ди­нат:

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3. Гра­фик функ­ции 

Ко­ор­ди­на­ты любой точки, ле­жа­щей на дан­ном гра­фи­ке, не вхо­дят в об­ласть до­пу­сти­мых зна­че­ний дроби.

Ответ. .

В рас­смот­рен­ных при­ме­рах мы стал­ки­ва­лись с си­ту­а­ци­ей, когда воз­ни­ка­ло де­ле­ние на ноль. Те­перь рас­смот­рим слу­чай, когда воз­ни­ка­ет более ин­те­рес­ная си­ту­а­ция с де­ле­ни­ем типа .

При­мер 7. Уста­но­вить, при каких зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ных не имеет смыс­ла дробь .

Ре­ше­ние..

По­лу­ча­ет­ся, что дробь не имеет смыс­ла при . Но можно воз­ра­зить, что это не так, по­то­му что: .

Может по­ка­зать­ся, что если ко­неч­ное вы­ра­же­ние равно 8 при , то и ис­ход­ное тоже воз­мож­но вы­чис­лить, а, сле­до­ва­тель­но, имеет смысл при . Од­на­ко, если под­ста­вить  в ис­ход­ное вы­ра­же­ние, то по­лу­чим  – не имеет смыс­ла.

Ответ..

Чтобы по­дроб­нее разо­брать­ся с этим при­ме­ром, решим сле­ду­ю­щую за­да­чу: при каких зна­че­ни­ях  ука­зан­ная дробь равна нулю?

 (дробь равна нулю, когда ее чис­ли­тель равен нулю) . Но необ­хо­ди­мо ре­шить ис­ход­ное урав­не­ние с дро­бью, а она не имеет смыс­ла при , т. к. при этом зна­че­нии пе­ре­мен­ной зна­ме­на­тель равен нулю. Зна­чит, дан­ное урав­не­ние имеет толь­ко один ко­рень .

Таким об­ра­зом, можем сфор­му­ли­ро­вать точ­ное пра­ви­ло на­хож­де­ния об­ла­сти до­пу­сти­мых зна­че­ний дроби: для на­хож­де­нияОДЗ дроби необ­хо­ди­мо и до­ста­точ­но при­рав­нять ее зна­ме­на­тель к нулю и найти корни по­лу­чен­но­го урав­не­ния.

Мы рас­смот­ре­ли две ос­нов­ные за­да­чи: вы­чис­ле­ние зна­че­ния дроби при ука­зан­ных зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ных и на­хож­де­ние об­ла­сти до­пу­сти­мых зна­че­ний дроби.

Рас­смот­рим те­перь еще несколь­ко задач, ко­то­рые могут воз­ник­нуть при ра­бо­те с дро­бя­ми.

При­мер 8. До­ка­жи­те, что при любых зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной дробь .

До­ка­за­тель­ство. Чис­ли­тель – число по­ло­жи­тель­ное. . В итоге, и чис­ли­тель, и зна­ме­на­тель – по­ло­жи­тель­ные числа, сле­до­ва­тель­но, и дробь яв­ля­ет­ся по­ло­жи­тель­ным чис­лом.

До­ка­за­но.

При­мер 9. Из­вест­но, что , найти .

Ре­ше­ние. По­де­лим дробь почлен­но . Со­кра­щать на  мы имеем право, с уче­том того, что  яв­ля­ет­ся недо­пу­сти­мым зна­че­ни­ем пе­ре­мен­ной для дан­ной дроби.

Ответ..

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/algebraicheskie-drobi-arifmeticheskie-operacii-nad-algebraicheskimi-drobyami/osnovnye-ponyatiya?konspekt&chapter_id=13

 

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=CLlvKvg5Sgw

Шпаргалка по

фракций (8 класс) от Rocketroses17 — Скачать бесплатно с Cheatography

Как умножать дроби

1. Если у вас есть смешанная числовая дробь, превратите ее в неправильную дробь

Пример: 1 1/3 x 3/6

2. Умножьте ваши знаменатели

1. 1 1/3 становится 4/3

3. Умножьте ваши числители

2. 3 х 6 = 18

4. Поместите новый числитель над новым знаменателем

3. 4 х 3 = 12

5. Упростите вашу (не)правильную дробь

4. 18/12

6. Готово

5. 18/12 становится 1 1/2

Как делить дроби

1. Если у вас есть смешанная числовая дробь, превратите ее в неправильную дробь

Пример: 1 1/4 ÷ 4/5

2.

Найдите обратную величину второй дроби

1. 1 1/4 становится 5/4

3. Теперь умножьте ваши новые числители

2. 4/5 становится 5/4

4. И… умножьте ваши новые знаменатели

3. 5 х 5 = 25

5. Поместите новый числитель над новым знаменателем

4. 5 х 5 = 25

6. Упростите (не)правильную дробь

5. 25/25

7. Готово

6. 1

Смешанные числа в неправильные дроби

1. Разделить числитель на знаменатель

Пример: 6/4

2. Запишите весь ответ числа

1. 6 ÷ 4 = 1,5

3. Запишите любой остаток выше знаменателя

2. 1

4. Упростите дробь (при необходимости)

3. 2/4

5. Поставьте целое число перед новой дробью

4. 1/2

6. Готово

5. 1 1/2

  

Как складывать дроби

1. Сделайте знаменатели одинаковыми. Для этого найдите наименьшее общее кратное обоих знаменателей

Пример: 3/4 + 7/8

2. Добавьте числители

1. 4 + 4 = 8. Новый знаменатель = 8

3. Поместите этот ответ над знаменателем

2. 6 + 7 = 13

4. Упростите дробь (при необходимости)

3. 13/8

5. Готово!

4. 1 3/4

Как вычитать дроби

1. Сделайте знаменатели одинаковыми. Для этого найдите наименьшее общее кратное обоих знаменателей

Пример: 1/2 — 1/4

2. Вычтите второй числитель из первого числителя

2 + 2 = 4, новый знаменатель = 4

3. Поместите новый числитель над знаменателем

2. 2 — 1 = 1

4. Упростите дробь (при необходимости)

3. 1/4

5. Готово!

4. 1/4

Неправильные дроби в смешанных числах

1. Умножить целое число на знаменатель

Пример: 1 5/10

2. Добавьте это число к вашему числителю

1. 1 х 10 = 10

3. Положите это число на знаменатель

2. 10 + 5 = 15

4. Упростите неправильную дробь, если возможно

3. 15/10

5. Готово!

4. 3/2

  

Члены дробей

Обратное = результат переворачивания числа вверх ногами

1/2 = правильная дробь, так как числитель меньше знаменателя

Первое или верхнее число является числителем. Бывший. 1 в 1/4

3/2 = неправильная дробь, так как числитель больше знаменателя

Второе или меньшее число является знаменателем

1 1/2 = смешанная числовая дробь, потому что целое число и дробь объединены в одну дробь

Когда фигура разделена на равные части, некоторые из которых заштрихованы, количество заштрихованных частей является числителем, а общее количество частей, незаштрихованных или заштрихованных, является вашим знаменателем

Когда есть числитель над другой дробью, вы делите меньшее число, верхнее число делите на нижнее число, а затем делите числитель на новый знаменатель

Как упростить дроби

1. Запишите множители числителя и знаменателя, пока не найдете наименьшее общее кратное

Пример: 6/4

2. Определите наименьшее общее кратное

1. 2, 6, 12 2, 4, 8, 12

3. Разделить числитель и знаменатель на их наименьшее общее кратное

2. 2

4. Запишите новую упрощенную дробь

3. 6 ÷ 2 = 3 и 4 ÷ 2 = 2

5. Готово!

4. 3/2

математика     образование     класс 8

Открытые учебники | Siyavula

Загрузите наши открытые учебники в разных форматах, чтобы использовать их так, как вам удобно. Нажмите на обложку каждой книги, чтобы увидеть доступные для загрузки файлы на английском и африкаанс. Лучше, чем просто бесплатные, эти книги также имеют открытую лицензию! См. различные открытые лицензии для каждой загрузки и пояснения к лицензиям в нижней части страницы.

Математика

    • Читать онлайн

    • Учебники

      • Английский

          • 7A PDF (CC-BY-ND)
          • 7B PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

          • 7A PDF (CC-BY-ND)
          • 7B PDF (CC-BY-ND)
    • Читать онлайн

    • Учебники

      • Английский

          • 8A PDF (CC-BY-ND)
          • 8B PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

          • 8A PDF (CC-BY-ND)
          • 8B PDF (CC-BY-ND)
    • Читать онлайн

    • Учебники

      • Английский

          • 9A PDF (CC-BY-ND)
          • 9B PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

          • 9A PDF (CC-BY-ND)
          • 9B PDF (CC-BY-ND)
    • Читать онлайн

    • Учебники

      • Английский

          • PDF (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY)

      • Африкаанс

          • PDF (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY)

    • Пособия для учителя

      • Английский

          • PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

          • PDF (CC-BY-ND)
    • Читать онлайн

    • Учебники

      • Английский

          • PDF (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY)

      • Африкаанс

          • PDF (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY)

    • Пособия для учителя

      • Английский

          • PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

          • PDF (CC-BY-ND)
    • Читать онлайн

    • Учебники

      • Английский

          • PDF (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY)

      • Африкаанс

          • PDF (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY)

    • Пособия для учителя

      • Английский

          • PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

          • PDF (CC-BY-ND)
    • Читать онлайн

    • Учебники

      • Английский

          • PDF (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY)

      • Африкаанс

          • PDF (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY)

    • Пособия для учителя

      • Английский

          • PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

          • PDF (CC-BY-ND)

Наука

    • Читать онлайн

    • Учебники

      • Английский

          • PDF (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY)

      • Африкаанс

          • PDF (CC-BY-ND)

    • Пособия для учителя

      • Английский

          • PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

          • PDF (CC-BY-ND)
    • Читать онлайн

    • Учебники

      • Английский

          • PDF (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY)

      • Африкаанс

          • PDF (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY)

    • Пособия для учителя

      • Английский

          • PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

          • PDF (CC-BY-ND)
    • Читать онлайн

    • Учебники

      • Английский

          • PDF (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY)

      • Африкаанс

          • PDF (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY)

    • Пособия для учителя

      • Английский

          • PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

          • PDF (CC-BY-ND)
    • Читать онлайн

    • Учебники

      • Английский

          • PDF (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY)

      • Африкаанс

          • PDF (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY-ND)
          • ePUB (CC-BY)

    • Пособия для учителя

      • Английский

          • PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

          • PDF (CC-BY-ND)
    • Читать онлайн

    • Учебники

    • Пособия для учителя

      • Английский

        • Класс 7А

          • PDF (CC-BY-ND)

        • Класс 7Б

          • PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

        • Граад 7А

          • PDF (CC-BY-ND)

        • Граад 7Б

          • PDF (CC-BY-ND)
    • Читать онлайн

    • Учебники

    • Пособия для учителя

      • Английский

        • Класс 8А

          • PDF (CC-BY-ND)

        • Класс 8Б

          • PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

        • Граад 8А

          • PDF (CC-BY-ND)

        • Граад 8Б

          • PDF (CC-BY-ND)
    • Читать онлайн

    • Учебники

    • Пособия для учителя

      • Английский

        • Класс 9А

          • PDF (CC-BY-ND)

        • Класс 9Б

          • PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

        • Граад 9А

          • PDF (CC-BY-ND)

        • Граад 9Б

          • PDF (CC-BY-ND)
    • Читать онлайн

    • Учебники

    • Пособия для учителя

      • Английский

        • Класс 4А

          • PDF (CC-BY-ND)

        • Класс 4Б

          • PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

        • Граад 4А

          • PDF (CC-BY-ND)

        • Граад 4Б

          • PDF (CC-BY-ND)
    • Читать онлайн

    • Учебники

    • Пособия для учителя

      • Английский

        • Класс 5А

          • PDF (CC-BY-ND)

        • Класс 5Б

          • PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

        • Граад 5А

          • PDF (CC-BY-ND)

        • Граад 5Б

          • PDF (CC-BY-ND)
    • Читать онлайн

    • Учебники

    • Пособия для учителя

      • Английский

        • Класс 6А

          • PDF (CC-BY-ND)

        • 6Б класс

          • PDF (CC-BY-ND)

      • Африкаанс

        • Граад 6А

          • PDF (CC-BY-ND)

        • Граад 6Б

          • PDF (CC-BY-ND)

Лицензирование наших книг

Эти книги не только бесплатны, но и имеют открытую лицензию! Один и тот же контент, но разные версии (фирменные или нет) имеют разные лицензии, как объяснено:

CC-BY-ND (фирменные версии)

Вам разрешается и поощряется свободное копирование этих версий.

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *