Дробно-рациональные уравнения — презентация онлайн
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи
1. Дробные рациональные уравнения
2. Разбейте на группы
1) x 1 2 x, x3
2
1)3 x 5 4, x
1
3
3
3
2)( x 1)( x 1) (2 x)( x 1), x1 , x2
2
4
2)3 x 2 5 x 4x, x1 0, x2
1) x 2 4, x 6
1)( x 1) 2 0, x -1
2) x 2 49, x1 7, x2 7
1)13 x 7 2 x 5, x
2)11x 2, x
2
11
2
11
2)2 x 2 1 0, x1
1
3
2
2
, x2
2
2
1)2 x 2 2, x1 1, x2 1
2)4 x 2 4 0, x1 1, x2 1
Рассмотрим две пары уравнений:
1)13 x 7 2 x 5, x
2)11x 2, x
2
11
2
11
1)2 x 2 2, x1 1, x2 1
2)4 x 2 4 0, x1 1, x2 1
Что вы можете сказать об этих уравнениях?
Что у них общего?
Как называются такие уравнения?
Уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают.
Необходимо отметить, что уравнения не
имеющие корней, также являются
равносильными.
Переход от данного уравнения к
равносильному не влияет на множество
корней получающегося уравнения.
Какие основные преобразования выполняли при решении линейных уравнений?
Раскрытие скобок; перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, изменяя знак на противоположный;
прибавление к обеим частям уравнения выражения, содержащее неизвестную.
Менялись ли при этом их корни?
На основе одного из этих преобразований, а именно: перенос слагаемых из одной части
уравнения в другую, меняя при этом знак на противоположный, в 7-м классе
сформулировали свойство уравнений. Сформулируйте его, применив новое понятие.
Если какой-нибудь член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то
получится уравнение, равносильное данному.
Какое еще свойство уравнения вы изучали?
Обе части уравнения можно умножать на одно и тоже число, отличное от нуля.
Применение этого свойства также заменяет исходное уравнение на равносильное ему.
Рассмотрим две другие пары уравнений:
1) x 1 2 x, x
3
2
3
3
2)( x 1)( x 1) (2 x)( x 1), x1 , x2
2
4
1)3 x 5 4, x
1
3
2)3 x 2 5 x 4x, x1 0, x2
1
3
Сравните множество корней уравнений
Видим, что в обоих случаях корень уравнения (1) содержится в множестве корней
уравнения (2).
То есть при переходе одного уравнения к другому множество корней хотя и расширилось,
но потери корней не произошло. В этом случае уравнение (2) называют следствием
уравнения (1). Попытайтесь сформулировать определение уравнения, которое является
следствием данного уравнения.
Уравнение (2) называют следствием уравнения (1), если каждый корень уравнения (1)
является корнем уравнения (2).
Рассмотрим две другие пары уравнений:
1) x 2 4, x 6
2) x 2 49, x1 7, x2 7
1)( x 1) 2 0, x -1
2)2 x 2 1 0, x1
2
2
, x2
2
2
Заметим, что множества корней этих уравнений не совпадают.
Значит такие уравненияявляются неравносильными.
7. Получили следующие группы
Равносильныеуравнения
Неравносильные
уравнения
1) x 1 2 x
2)( x 1)( x 1) (2 x)( x 1)
Уравнение (2) является
следствием уравнения (1)
1)3x 5 4
2)3x 2 5 x 4 x
1) x 2 4
1)( x 1) 2 0
2) x 49
2)2 x 2 1 0
2
1)13x 7 2 x 5,
1)2 x 2 2
2)11x 2
2)4 x 2 4 0
8. Если обе части уравнения являются рациональным выражением, то такие уравнения называют рациональным уравнением. Что же такое рационально
Если обе части уравнения являются рациональнымвыражением, то такие уравнения называют
рациональным уравнением.
Что же такое рациональное
выражение?
Целые и дробные выражения называют
рациональными выражениями.
(см. § 1. п.1. учебника)
Если обе части уравнения являются рациональным
выражением,
то
такие
уравнения
называют
рациональным уравнением.
Рациональные уравнения
Целые рациональные уравнения
2х 3
5 х;
5
2
х 6 х 8 0;
х 5 х 9
.
4
6
Дробно-рациональные уравнения
2х 3
4 х;
5 х
х2 6х 8
0;
х 2
х 5 х 9
.
4х
6
12. Вспомним решение уравнений с дробными коэффициентами
English Русский Правила
Дробно рациональные уравнения. Решения
Уравнение которые можно свести к дроби f(x)/g(x)=0 называется дробно рациональным уравнением.
Решение дробно рациональных уравнений не слишком сложная задача если Вы знаете методику, а она достаточно проста.
Если уравнение имеет несколько слагаемых то переносим их по одну сторону знака равенства и сводим к общему знаменателю. В результате получим дробную функцию f(x)/g(x), которая равна нулю
Следующим шагом находим корни числителя. Отвергаем среди них те, которые не принадлежат области допустимых значений (нули знаменателя) и записываем правильный ответ.
В теории все просто, однако на практике и у школьников и у студентов возникают проблемы при сведены к общему знаменателю, отыскании корней и т.
д. Для ознакомления с решением рассмотрим несколько распространенных задач.
Пример 1. Найти корни уравнения
Решение: По методике переносим слагаемые и сводим к общему знаменателю
Приравниваем числитель и знаменатель к нулю и находим корни. Первое уравнение можем решить по теореме Виета
Второе раскладываем на множители
Если от корней числителя отбросить нули знаменателя то получим только одно решение x=-7.
Внимание: Всегда проверяйте совпадают ли корни числителя и знаменателя. Если такие есть то не учитывайте их в ответе.
Ответ: х=-7.
————————————
Пример 2. Решить уравнение
Решение: Задано дробное рациональное уравнение. Находим сначала корни числителя, для этого решаем квадратное уравнение
Вычисляем дискриминант
и корни уравнения
Получили три нуля числителя .
Квадратное уравнение в знаменателе проще и можем решить по теореме Виета
Числитель и знаменатель не имеют общих корней поэтому все три найденные значения будут решениями.
————————————
Пример 3. Найти корни уравнения
Решение: Переносим слагаемое за знак равенства
и сводим к общему знаменателю
Раскрываем в числителе скобки и сводим к квадратному уравнению
Полученное дробно рациональное уравнение эквивалентно системе двух уравнений
Корни первого вычисляем через дискриминант
Нули второго находим без проблем
Исключаем из решений числителя значение и получим.
Ответ: х=3.
————————————
Задачи на движение
Задача 4. Вертолет пролетел по ветру расстояние 120 км и обратно вернулся, потратив на весь путь 6 час. Найдите скорость ветра если скорость в штиль составляет 45 км/час.
Решение:
Обозначим скорость ветра через х км/час. Тогда за ветром скорость вертолета составит (45+х) км/час, и в обратном направлении (45-х) км/час. По условию задачи вертолет потратил 6 часов на дорогу.
Разделив расстояние на скорость и просуммировав получим время
Получили дробно рациональное уравнение схема решения которого неоднократно повторялась
Решением второго уравнения будут значения x=-45; x=45.
Корни числителя найдем после упрощений
С физических соображений первое решение отвергаем.
Ответ: скорость ветра 15 км/час.
————————————
Задачи о совместной работе
Задача 2. Два лесорубы работая вместе выполнили норму вырубки за 4 дня. Сколько дней нужно на выполнение этой работы каждому лесорубу отдельно если первому для вырубки нормы нужно на 6 дней меньше чем другому?
Решение: Пусть первый лесоруб выполняет норму по х дней. Тогда второму необходимо (х+6) дней.
Это означает что за один день первый выполнит , а второй — часть всей нормы. По условию выполняют норму за 4 дня, то есть оба в день могут выполнить нормы.
Составляем и решаем уравнение
Данное дробно рациональное уравнение эквивалентно системе двух уравнений
Одно решение не соответствует физической сути задачи. Время второго лесоруба
х+6=6+6=12 (дней)
Ответ: Работу первый лесоруб выполнит за 6 дней, а второй за 12.
————————————
Подобных дробно рациональных уравнений можно рассмотреть множество, схема их решения неизменна. В теоретических задачах правильно составляйте уравнение и не заблуждайтесь при сведении к общему знаменателю. Все остальное сводится к решению преимущественно линейных или квадратных уравнений.
Как решать абстрактные дробные (рациональные) уравнения — Криста Кинг Математика
Как мы решаем рациональные уравнения?
Иногда нам хочется взять уравнение, в знаменателе которого есть хотя бы одна дробь с переменной, и записать уравнение по-другому.
Мы будем называть такое уравнение абстрактным дробным уравнением . В этом уроке мы рассмотрим, как это сделать.
Есть несколько вещей, которые мы хотим запомнить о рациональных функциях в целом.
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике.
Читать далее.
Умножение дроби на обратную всегда даст вам значение ???1???.
Например ???x/y??? имеет обратную величину ???y/x??? потому что
???\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}=1???
Помните, что на ???0??? делить нельзя??? так что некоторые инструкторы могут захотеть, чтобы вы включили это ???x??? и ???й??? не может равняться ???0??? вот так:
???\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}=1??? где ???х,у\neq0???
2. Чтобы убрать дробь из уравнения, умножьте все члены в обеих частях уравнения на знаменатель дроби.
Например, чтобы очистить ???b??? из дроби
???ax+\frac{m}{b}=c???
умножить уравнение на ???b??? с обеих сторон.
???ax+\frac{m}{b}=c???
???b\left(ax+\frac{m}{b}=c\right)???
???abx+m=bc???
И на случай, если ваш инструктор захочет это увидеть, помните, что вы не можете делить на ???0???, так что это означает, что ваше новое уравнение верно только там, где ???b\neq0???.
Как решать рациональные (абстрактные дробные) уравнения путем умножения на наименьшее общее кратное всех знаменателей
Пройти курс
Хотите узнать больше об Алгебре 2? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂
Учить больше
Решение уравнения путем очистки знаменателей
Пример
Решить дробное выражение для ???n???, если ???n\neq0???.
???\frac{m}{n}+x+ab=c???
Чтобы избавиться от дроби, мы должны умножить каждый член в обеих частях уравнения на знаменатель ???m/n???.
???\frac{m}{n}+x+ab=c???
???n\left(\frac{m}{n}+x+ab=c\right)???
???n\cdot\frac{m}{n}+n(x)+n(ab)=n(c)???
???m+nx+nab=nc???
Чтобы найти ???n???, нам нужно собрать все термины, содержащие ???n??? с одной стороны уравнения, а затем вычти ???n???.
Двигаемся ???м??? на правую сторону и ???nc??? Слева.
???nx+nab-nc=-m???
Теперь вычитаем ???n???.
???n(x+ab-c)=-m???
Разделите обе части на ???(x+ab-c)???.
???n=\frac{-m}{x+ab-c}???
Напишите знак минус впереди.
???n=-\frac{m}{x+ab-c}???
Попробуем еще.
Чтобы удалить дробь из уравнения, умножьте все члены в обеих частях уравнения на знаменатель дроби.
Пример
Решить для ???x??? если ???x\neq0??? и ???y\neq0???.
???\frac{1}{x}-\frac{m}{y}=p???
Чтобы избавиться от дробей, мы должны умножить каждый член в обеих частях уравнения на оба знаменателя, ???x??? и ???y???.
???\frac{1}{x}-\frac{m}{y}=p???
???xy\left(\frac{1}{x}-\frac{m}{y}=p\right)???
???xy\left(\frac{1}{x}\right)-xy\left(\frac{m}{y}\right)=xy(p)???
???1y-mx=xyp???
???y-mx=xyp???
Найти ???x??? нам нужно собрать все термы, содержащие ???x??? с одной стороны уравнения, а затем вычти ???x???.
Давайте двигаться ???mx??? вправо, чтобы получить
???y=mx+xyp???
Теперь вычтем ???x???.
???y=x(m+yp)???
Разделите обе части на ???m+yp???.
???\frac{y}{m+yp}=\frac{x(m+yp)}{m+yp}???
???\frac{y}{m+yp}=x???
Получить доступ к полному курсу Алгебра 2
Начать
Изучение математикиКриста Кинг математика, выучить онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, алгебра, алгебра 2, алгебра II, дробные уравнения, рациональные уравнения, абстрактные дробные уравнения, дроби с уравнениями, решение уравнений с дробями, решение рациональных уравнения, умножая на обратную
0 лайковКвадратный калькулятор дробей
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
09.2003 
Квадратик дроби легко понять, и вы можете решить почти любую задачу с помощью Алгебратора. Так спокойно .
Это помогло мне решить самые сложные математические задачи. Я благодарен за это.
Есть ли у вас какие-либо детали, которыми можно поделиться, что привело бы меня к подробностям о продукте?