Сокращение Алгебраических дробей
Поможем понять и полюбить математику
Начать учиться
126.6K
Алгебраическая дробь только с виду страшна и зубаста. На деле — это коллаборация старых-добрых обыкновенных дробей и буквенных множителей. Давайте познакомимся с ними поближе и узнаем, что такое сокращение алгебраических дробей.
Определение
Алгебраическая дробь — это дробь, в числителе и/или знаменателе которой стоят алгебраические выражения (буквенные множители). Вот так:
Алгебраическая дробь содержит буквенные множители и степени.
Необыкновенной алгебраическую дробь делают буквы. Если заменить их на цифры, то карета превратится в тыкву — алгебраическая дробь тут же станет обыкновенной.
Если вы засомневались, что должно быть сверху — числитель или знаменатель — переходите по ссылке и освежите знания по теме обыкновенных дробей.
Реши домашку по математике на 5.
Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.
Сокращение алгебраических дробей
Сократить алгебраическую дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель. Общий множитель числителя и знаменателя в алгебраической дроби — многочлен и одночлен.
Сокращение дробей с буквами и степенями проходит в три этапа:
Определите общий множитель.
Сократите коэффициенты.
Поделите все числители и все знаменатели на общий множитель.
Для сокращения степеней в дробях применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями:
Пример сокращения дроби со степенями и буквами:
Следуя формуле сокращения степеней в дробях, сокращаем x3 и x2
Вычитаем: 3 — 1
Получаем сокращенную дробь.
Запоминаем: сокращать можно только одинаковые буквенные множители. Иными словами, сокращать можно только дроби с одинаковыми буквами.
| ❌ Так нельзя | ✅ Так можно |
Примеры сокращения алгебраических дробей с одночленами:
Пример сокращения №1.
Как решаем:
Общий множитель для числителя и знаменателя — 8.
Х и x2 делим на x и получаем ответ.
Получаем сокращенную алгебраическую дробь.
Пример сокращения №2.
Как решаем:
Общий множитель для числителя и знаменателя — 7.
b3 и b делим на b.
Вычитаем: 3 — 1 и получаем ответ.
Получаем сокращенную дробь.
Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
Сокращение алгебраических дробей с многочленами
Чтобы верно сократить алгебраическую дробь с многочленами, придерживайтесь двух главных правил:
сокращайте многочлен в скобках только с таким же многочленом в скобках;
сокращайте многочлен в скобках целиком — нельзя сократить одну его часть, а другую оставить. Не делайте из многочленов одночлены.
| ❌ Так нельзя | ✅ Так можно |
Запомните: многочлены в алгебраической дроби находятся в скобках.
Между этими скобками вклиниться может только знак умножения. Всем остальным знакам там делать нечего.
Примеры сокращения алгебраических дробей с многочленами:
Последовательно сокращаем: сначала x, затем (x+c), далее сокращаем дробь на 6 (общий множитель).
Сокращаем многочлены a+b (в дроби их 3).Вынесение общего множителя при сокращении дробей
При сокращении алгебраических дробей иногда не хватает одинаковых многочленов. Для того, чтобы они появились, вынесите общий множитель за скобки.
Чтобы легко и непринужденно выносить множитель за скобки, пошагово выполняйте 4 правила:
Найдите число, на которое делятся числа каждого одночлена.
Найдите повторяющиеся буквенные множители в каждом одночлене.
Вынесите найденные буквенные множители за скобку.
Далее работаем с многочленом, оставшимся в скобках.
Алгебра не терпит неточность. Всегда проверяйте, верно ли вынесен множитель за скобки — сделать это можно по правилу умножения многочлена на одночлен.
| Для умножения одночлена на многочлен нужно умножить поочередно все члены многочлена на этот одночлен. |
Пример 1.
Как решаем:
Выносим общий множитель 6
Делим 42/6
Сокращаем получившиеся одинаковые многочлены.
Пример 2.
Как решаем: в числителе выносим общий множитель a за скобки, в знаменателе выносим общий множитель c за скобки и сокращаем оставшиеся в скобках многочлены.
Сокращение дробей. Формулы сокращенного умножения
Перед формулами сокращенного умножения не устоит ни одна дробь — даже алгебраическая.
Чтобы легко ориентироваться в формулах сокращенного умножения, сохраняйте и заучивайте таблицу. Формулы подскажут вам, как решать алгебраические дроби.
| Квадрат суммы | (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| Квадрат разности | (a-b)2 = a2 — 2ab — b2 |
| Разность квадратов | a2 – b2 = (a – b)(a+b) |
| Куб суммы | (a+b)3 = a3 + 3a2 |
| Куб разности | (a-b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3 |
| Сумма кубов | a3 + b3 = (a + b)(a2— ab+b2) |
| Разность кубов | a3 — b3 = (a — b)(a2+ ab+b2) |
Примеры сокращения дробей с помощью формул сокращенного умножения:
Применяем формулу разности квадратов a2 − b2 = (a − b) (a + b) и сокращаем одинаковые многочлены.
Чтобы раскрыть тему сокращения алгебраических дробей и полностью погрузиться в мир числителей и знаменателей, решите следующие примеры для самопроверки.
Примеры сокращения дробей за 7 и 8 классы
Сократите дроби:
Тема сокращения алгебраических дробей достаточно обширна, и требует к себе особого внимания. Чтобы знания задержалась в голове хотя бы до ЕГЭ, сохраните себе памятку по сокращению дробей. Этот алгоритм поможет не растеряться при встрече с алгебраическими дробями лицом к лицу.
Чтобы сократить дробь, найдите общий множитель числителя и знаменателя.
Поделите числитель и знаменатель на общий множитель.
Чтобы разделить многочлен на множители, вынесите общий множитель за скобку.
Второй способ разделить многочлен на множители — применить формулы сокращенного умножения.
Выучите все формулы сокращенного умножения — они помогут легко преобразовывать выражения и экономить время при решении задач.
Можно забыть свое имя, но формулу разности квадратов помнить обязательно — она будет встречаться чаще других.
Всегда проверяйте результат сокращения: алгебра — точна, коварна и не любит давать вторые шансы.
Шпаргалки для родителей по математике
Все формулы по математике под рукой
Анастасия Белова
К предыдущей статье
247.6K
Осевая и центральная симметрия
К следующей статье
Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику
На вводном уроке с методистом
Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению
Расскажем, как проходят занятия
Подберём курс
Разложение на простые множители / Обыкновенные дроби / Справочник по математике 5-9 класс
- Главная
- Справочники
- Справочник по математике 5-9 класс
- Обыкновенные дроби
- Разложение на простые множители
Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, то есть разложить на простые множители. Заметим, что при любом способе получается одно и то же разложение, если не учитывать порядка записи множителей. |
Например, число 150 — это произведение чисел 15 и 10, то есть 150 = 1510. Числа 15 и 10 составные, значит, их тоже можно разложить на множители: 15 = 35, 10 = 25. Значит, получаем, что 150 = 3525, в данном произведении все множители простые, то есть мы разложили число 150 на простые множители.
150 = 530 = 556 = 5532.
Как мы видим, в обоих случаях получились одни и те же простые множители. Обычно множители принято записывать в порядке их возрастания, то есть от меньшего к большему:
150 = 2355.
При разложении на множители удобно использовать признаки делимости на 2, 3 и 5.
Например, разложим на простые множители число 3 528:
Данное число заканчивается на чётную цифру 8, значит, оно делится на 2.
Получаем 3 528 : 2 = 1 764. Проведем вертикальную черту и запишем слева от неё делимое 3 528, а справа делитель — 2. Частное запишем под числом 3 528.
Число 1 764 заканчивается тоже на четную цифру 4, а , значит, тоже делится на 2, при делении получаем в частном число 882.
882 тоже делится на 2. При делении в частном получаем число 441.
Число 441 заканчивается нечетной цифрой, значит, оно не делится на 2. Сумма цифр данного число равна 4 + 4 + 1 = 9, 9 делится на 3, значит, 441 тоже делится на 3. При делении в частном получаем число 147.
1 + 4 + 7 = 12, значит, 147 делится на 3. При делении в частном получаем число 49.
4 + 9 = 13. 13 не делится на 3, значит, 49 тоже не делится на 3. Также число 49 не заканчивается цифрами 0 и 5, а, значит, оно не делится на 5. Но 49 делится на простое число 7. При делении получаем в частном 7.
7 — это простое число и оно делится только на простое число 7. В частном получаем 1:
Разложение закончено.
При этом справа от черты мы получили все простые множители, на которые можно разложить число 3 528. Получаем:
3 528 = 2223377.
При этом одинаковые множители можно заменить степенью, то есть мы можем записать:
3 528 = 233272.
Советуем посмотреть:
Доли. Обыкновенные дроби
Сравнение дробей
Делители и кратные
Признаки делимости на 10, на 5 и на 2
Четные и нечетные числа
Признаки делимости на 9 и на 3
Простые и составные числа
Наибольший общий делитель
Наименьшее общее кратное
Деление и дроби
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Смешанное число
Сложение и вычитание смешанных чисел
Основное свойство дроби
Решето Эратосфена
Приведение дробей к общему знаменателю
Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Умножение обыкновенных дробей
Деление обыкновенных дробей
Обыкновенные дроби
Правило встречается в следующих упражнениях:
6 класс
Номер 142, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 143, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 175, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 2, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Задание 11, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 122, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 157, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 180, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 202, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 2, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2
7 класс
Номер 349, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 434, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Обзор факторинга с примерами — Smartick
Еще раз привет! Вы знаете, что такое факторинг ? Вы знаете, для чего он используется? В этом посте мы ответим на эти вопросы.
Как разложить на множители
Факторизация числа выполняется путем записи числа как произведения всех его простых множителей.
Пример:
12 = 2 x 2 x 3
Вы также можете выразить это с помощью степеней:
12 = 2 2 x 3
Если вы хотите увидеть больше примеров факторинга, нажмите здесь.
Теперь, когда мы знаем, как факторизовать, давайте посмотрим, для чего он полезен и как мы можем его использовать.
Вычисление наименьшего общего кратного (НОК)
НОК набора чисел вычисляется путем факторизации всех чисел. После факторизации выбираются общие кратные с наибольшим показателем степени и кратные, которые не являются общими. Они умножаются, и в результате получается LCM этих чисел.
Пример:
LCM (12, 20)
Мы учитываем числа:
12 = 2 2 x 3
20 = 2 2 x 5
Теперь мы выбираем.
общие множители (22) и необщие множители (3 и 5)
Умножьте множители:
2 2 x 3 x 5 = 60
Следовательно, НОК (12, 20) = 60
Вычисление наибольшего общего делителя (GCF)
GCF рассчитывается путем факторизации всех чисел. После факторизации выбираются общие множители, возведенные в меньшую степень. После этого коэффициенты умножаются.
Пример:
GCF (30, 40)
Мы учитываем числа:
30 = 2 x 3 x 5
40 = 2 3 x 5
9 Теперь мы выбрать самые высокие общие множители, возведенные в низшую степень (2 и 5)
Умножить множители:
2 x 5 = 10
Следовательно, GCF (30, 40) = 10
Для упрощения дробей
Дроби упрощаются путем деления числителя и знаменателя на одно и то же число до тех пор, пока они не будут иметь общих делителей.
Пользоваться факторингом в этом случае очень просто: мы факторизуем числитель и знаменатель, затем сокращаем общие множители и, наконец, умножаем оставшиеся множители.
Пример: Сначала разложите числитель и знаменатель.
Теперь сократите множители, которые находятся в числителе и знаменателе.
Факторы, которые остались, это факторы, которые мы должны умножить.
И это упрощенная дробь!
Выполнение умножения
Некоторые умножения могут быть проще, если сначала выполнить разложение на множители, поскольку множители можно удобно сгруппировать.
Пример:
25 x 12
Мы учитываем числа:
25 = 5 x 5
12 = 2 x 2 x 3
Следовательно, 25 x 12 = 5 x 5 x 2 х 2 х 3
Возьмем 2 и 5 с одной стороны и остальные множители с другой.
Таким образом, мы можем выполнить умножение гораздо проще.
Как правило, факторинг можно использовать для упрощения числовых расчетов.
Можете ли вы придумать какой-либо другой способ использования факторинга? Поделись с нами!
И вы уже знаете: чтобы продолжить изучение факторинга и всех предметов математики, зарегистрируйтесь в Smartick и станьте математическим гением ☺.
Подробнее:
- Автор
- Последние сообщения
Smartick
Команда создания контента.
Мультидисциплинарная и мультикультурная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создать наилучший математический контент.
Последние сообщения от Smartick (посмотреть все)
Как разложить многочлены на множители
Лучший способ разложения многочленов на множители начинается с преобразования дробей в более простые термины. Полиномы представляют собой алгебраические выражения с двумя или более членами, точнее, суммой нескольких членов, которые имеют разные выражения одной и той же переменной. Стратегии, которые помогают упростить многочлены, включают в себя выделение наибольшего общего множителя с последующим группированием уравнения в его наименьшие члены.
То же самое справедливо и при решении многочленов с дробями.
Определение многочленов с дробями
У вас есть три способа просмотра многочленов фраз с дробями. Первая интерпретация касается многочленов с дробями в качестве коэффициентов. В алгебре коэффициент определяется как числовая величина или константа, находящаяся перед переменной. Другими словами, коэффициенты для 7_a_, b и (1/3) c равны 7, 1 и (1/3) соответственно. Таким образом, двумя примерами многочленов с дробными коэффициентами будут: 92 + x — 2}
оценивается с помощью разложения на неполные дроби, которое, кстати, включает разложение многочленов на множители, и в простейшей форме будет:
\bigg(\frac{3}{x+2}\bigg) +\bigg(\frac{5}{x-1}\bigg)
Основы факторинга – распределительное свойство и метод FOIL
Факторы представляют собой два числа, которые при умножении дают третье число.
В алгебраических уравнениях факторизация определяет, какие две величины были перемножены, чтобы получить данный многочлен. Дистрибутивное свойство сильно соблюдается при умножении многочленов. Распределительное свойство по существу позволяет умножать сумму, умножая каждое число по отдельности перед добавлением произведений. Обратите внимание, например, как применяется распределительное свойство в примере:
7(10x + 5) \text{ для получения бинома } 70x + 35.
Но, если два бинома умножаются вместе, то используется расширенная версия распределительного свойства с помощью метода FOIL. FOIL представляет собой аббревиатуру для перемножения первых, внешних, внутренних и последних терминов. Следовательно, разложение полиномов на множители влечет за собой выполнение метода FOIL в обратном порядке. Возьмем два вышеупомянутых примера с полиномами, содержащими дробные коэффициенты. Выполнение метода FOIL в обратном порядке для каждого из них приводит к коэффициентам 92 + \frac{3}{4}x + \frac{1}{8} = \bigg(x + \frac{1}{4}\bigg)\bigg(x + \frac{1}{2} \bigg)
Действия при разложении полиномиальных дробей на множители
Как видно из вышеизложенного, полиномиальные дроби включают полином в числителе, деленный на полином в знаменателе.