Дроби уравнения: § Как решить уравнение с неизвестным в дроби

Методы решения уравнений, содержащих дроби

В этой статье я расскажу методики решения рациональных уравнений, содержащих дроби.

Что такое рациональное уравнение? Это уравнение, которое содержит в себе такие действия как сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень с целым показателем. Извлечение корня — это недопустимое действие для рационального уравнения. Корень делает уравнение иррациональным, как, собственно, и дробный показатель степени.

В свою очередь рациональные уравнения делятся на два вида: целые рациональные и дробные рациональные.

К целым рациональным уравнениям относятся линейные и квадратные уравнения. Рассмотрим пример:

Это уравнение является…попробуешь угадать?…линейным. Его можно запросто увидеть, если деление на 2 и на 6 заменить умножением на 1/2 и 1/6 соответственно. Но оно все-таки содержит в себе знаменатель, поэтому мы его и рассматриваем в данной статье.

К дробным рациональным уравнениям относятся уравнения, которые содержат икс в знаменателе. Например, это уравнение дробное рациональное:

Методика решения приведенных примеров, в принципе, одинакова. Разница состоит в том, что в дробных рациональных уравнениях знаменатель не должен равняться нулю, поэтому при их решении оговаривают ограничения для икса. По-научному говорят, что находят область допустимых значений (ОДЗ).

Но давайте начнем с простого.

Целое рациональное уравнение.

Сначала решим целое рациональное уравнение.

Если ты в уравнении видишь дроби, то надо от них избавится, ведь уравнение без дробей решается намного приятнее)

В этом уравнении находим общий знаменатель. Он равен 6. Это значит, что обе части уравнения надо умножить на 6 (одинокий икс тоже).

Обычно этот шаг пропускают и переходят к следующему, но я его все равно распишу:

Числители и знаменатели сокращаются и получается элементарное уравнение:

Приводим подобные слагаемые:

Чтобы найди икс надо -10 разделить на 10 (произведение делим на известный множитель). Получаем ответ:

Готово!

Дробное рациональное уравнение.

Теперь решим дробное рациональное уравнение.

Я уже писала о том, что в дробных рациональных уравнениях знаменатели не должны равняться нулю. Знаменатель второй дроби нас устраивает, ведь 3 не равно 0) А вот знаменатель первой дроби требует от нас, чтобы мы нашли ОДЗ.

А дальше по накатанной: надо обе части уравнения умножить на общий знаменатель. Общим знаменателем будет выражение 3(х + 9).

Снова распишу подробно, но если ты шаришь, то следующую запись можешь не писать.

В первой дроби сокращаем (х + 9), а во второй — тройки. Получаем такое уравнение:

Здесь можно раскрыть скобки, потом перенести известные в одну сторону, а неизвестные — в другую… Но делать я этого не стану, а просто обе части уравнения разделю на -2. А еще поменяю местами левую и правую части уравнения, чтобы привести его к привычному виду.

Чтобы найти неизвестное слагаемое надо из суммы вычесть известное слагаемое, т. е. из -9 вычесть 9.

Ответ таков:

Сравниваем с ОДЗ… Всё отлично. Корень уравнения подходит.

Альтернативный метод решения уравнения с дробями.

Но нельзя пройти мимо другого метода решения данного уравнения: с помощью пропорции. Помнишь, как она раскрывается? Правильно, крест-накрест. И не надо искать общий знаменатель)

Перемножаем….и о чудо! Получаем уравнение, которое мы уже решали!

Дальнейшее решение расписывать не буду, оно есть выше.

Такой способ решения уравнений хорош, когда в уравнении имеются две дроби.

 

В завершении решу еще одно уравнение предложенными выше способами.

 

Только ты решаешь какой способ выбрать.

Твой персональный препод Васильева Анна)

Вставка математического уравнения в OneNote для Mac

OneNote для Microsoft 365 для Mac OneNote 2021 for Mac OneNote 2019 for Mac OneNote 2016 for Mac Еще…Меньше

Если вам нужно сообщить математические уравнения или формулы в заметках, это можно сделать непосредственно на компьютере Mac. С помощью OneNote можно вставлять в заметки дроби, экспоненты, логарифмы и другие математические структуры.

Примечание: Имейте в виду, Microsoft OneNote в настоящее время уравнение не вычисляется.

Добавление или редактирование уравнения

Примечание: Имейте в виду, Microsoft OneNote в настоящее время формула не вычисляется. Это помогает структурировать формулы, когда нужно донести математические уравнения в заметках.

1. Щелкните место в заметке, куда вы хотите вставить уравнение.

2. На вкладке Вставка нажмите кнопку Уравнение.

3. org/ListItem»>

   Будет вставлен заполнитель Место для уравнения.

4. Введите уравнение.

5. По завершении нажмите клавишу ВВОД.

6. Если вы захотите изменить его позже, просто щелкните его.

Совет: По умолчанию для уравнений используется шрифт Cambria Math, но вы можете изменить его.

Вставка математических символов в уравнение

В формулу можно вставлять более сложные символы.

org/ItemList»>

1. Щелкните место в заметке, куда вы хотите вставить символ.

2. В строке меню щелкните Изменить > Эмодзи и символы

   .

3. Если диалоговое окно «Символы» с категориями символов не вы видите полностью слева, щелкните в правом верхнем.

4. В диалоговом окне Символы щелкните Математические символы слева.

5. org/ListItem»>

   Дважды щелкните символ, который необходимо вставить.

Совет: Добавляйте часто используемые символы в избранное, чтобы быстрее находить их.

Создание структур

Если вы хотите использовать структуры, например дроби, надстрочные или подстрочные знаки, вы можете добавить их с помощью клавиатуры.

1. Чтобы использовать структуру, введите символ в уравнение и нажмите клавишу ПРОБЕЛ. Вы можете использовать следующие символы:

2. Чтобы ввести данные внутри структуры, щелкните ее.

Дополнительная информация

Если вам нужно вставить более сложную формулу или структуру, например суммирование, интеграл или матрицу, создайте уравнение в Word с помощью функции Формула и скопируйте его в заметки.

 

См. также

Сочетания клавиш в OneNote

Решение уравнений с дробями или десятичными коэффициентами — предварительное исчисление

К концу этого раздела вы сможете:

• Решать уравнения с дробными коэффициентами
• Решение уравнений с десятичными коэффициентами

Давайте воспользуемся общей стратегией решения линейных уравнений, представленной ранее, для решения уравнения .

The next line says, “Subtract,” and shows one-eighth x equals negative one-fourth. The next line says, “Multiply both sides by the reciprocal of one-eighth,” and shows a red 8 over 1 times one-eighth x equals a red 8 over 1 times negative one-fourth. The next line says, “Divide,” and shows 12x over a red 12 equals 4.8 over a red 12. The last line says, “Simplify,” and shows x equals negative 2.» data-label=»»>

Чтобы изолировать термин, вычтите его с обеих сторон.
Упростите левую сторону.
Измените константы на эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея.
Вычесть.
Умножьте обе части на обратную величину .
Упрощение.

Этот метод работал нормально, но многие студенты не чувствуют себя очень уверенно, когда видят все эти дроби. Итак, мы собираемся показать альтернативный метод решения уравнений с дробями. Этот альтернативный метод исключает дроби.

Мы применим свойство равенства умножения и умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении. Результатом этой операции будет новое уравнение, эквивалентное первому, но без дробей. Этот процесс называется очисткой уравнения дробей . Давайте снова решим то же уравнение, но на этот раз воспользуемся методом очистки дробей.

Решить: .

Решение

The next line says, “Solve using the General Strategy for Solving Linear Equations,” and shows x plus 4 minus a red 4 equals 2 minus a red 4. The last step says, “Check. Let x equal negative 2.” Beside that is the original equation followed by one-eighth times a red negative 2 plus one-half, equal sign with a question mark, one-fourth. Below that is negative 2 over 8 plus one-half, equal sign with a question mark, one-fourth. Below that is negative 2 over 8 plus 4 over 8, equal sign with a question mark, one-fourth. Below that is 2 over 8, equal sign with a question mark, one-fourth. The last line says one-fourth equals one-fourth.» data-label=»»>

Найдите наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении.
Умножьте обе части уравнения на этот ЖК-дисплей, 8. Это очищает дроби.
Использовать Распределительное свойство.
Упростите — и заметьте, больше никаких дробей!
Решите, используя общую стратегию решения линейных уравнений.
Упрощение.
Проверить: Пусть

Решить: .

Показать ответ

Решить: .

Показать ответ

y = 3

Обратите внимание на (рисунок), что после того, как мы очистили уравнение дробей, оно стало таким же, как те, которые мы решали ранее в этой главе. Мы изменили задачу на ту, которую уже знали, как решить! Затем мы использовали общую стратегию решения линейных уравнений.

1. Найдите наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении.
2. Умножьте обе части уравнения на этот ЖК-дисплей. Это очищает дроби.
3. Решите, используя общую стратегию решения линейных уравнений.

Решить: .

Решение

Мы хотим очистить дроби, умножив обе части уравнения на ЖК-дисплей всех дробей в уравнении.

The next line says, “Multiply both sides of the equation by 12,” and shows a red 12 times each side of the original equation. The next line says, “Distribute,” and shows 12 times 7 equals 12 times one-half x plus 12 times three-fourths x minus 12 times two-thirds x. The next line says, “Simplify — and notice, no more fractions!” Beside that is 84 equals 6x plus 9x minus 8x. The next line says, “Combine like terms,” and shows 84 equals 7x. The next line says, “Divide by 7,” and shows 84 over a red 7 equals 7x over a red 7. The next line says, “Simplify,” and shows 12 equals x. The last step says, “Check: Let x equal 12.” Beside that is the original equation. Below that is 7 followed by an equal sign with a question mark, then one-half times a red 12 plus three-fourths times a red 12 minus two-thirds times a red 12. Bellow that is 7 followed by an equal sign with a question mark, then 6 plus 9 minus 8. The last line says 7 equals 7, followed by a check mark.» data-label=»»>

Найдите наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении.
Умножьте обе части уравнения на 12.
Распределить.
Упростите — и заметьте, больше никаких дробей!
Объедините похожие термины.
Разделить на 7.
Упрощение.
Проверить: Пусть .

Решить: .

Показать ответ

v = 40

Решить: .

Показать ответ

u = −12

В следующем примере у нас будут переменные и дроби с обеих сторон уравнения.

Решить: .

Решение

The next step says, “Distribute,” and shows 6x plus 6 times one-third equals 6 times one-sixth x minus 6 times one-half. The next step says, “Simplify — no more fractions!” and shows 6x plus 2 equals x minus 3. The next line says, “Subtract x from both sides,” and shows 6x minus a red x plus 2 equals x minus a red x minus 3. The next line says, “Simplify,” and shows 5x plus 2 equals negative 3. The next line says, “Subtract 2 from both sides,” and shows 5x plus 2 minus a red 2 equals negative 3 minus a red 2. The next line says, “Simplify,” and shows 5x equals negative 5. The next line says, “Divide by 5,” and shows 5x over a red 5 equals negative 5 over a red 5. The next line says, “Simplify,” and shows x equals negative 1. The next line says, “Check,” and shows the original equation. The following line says, “Substitute x equals negative 1.” Beside that is a red negative 1 plus one-third followed by an equal sign with a question mark, then one-sixth times a red negative 1 minus one-half. Below that is negative 1 plus one-third followed by an equal sign with a question mark, then negative one-sixth minus one-half. Below that is negative 3 over 3 plus 1 over 3 followed by an equal sign with a question mark, then negative 1 over 6 minus 3 over 6. Below that is negative 2 over 3 followed by an equal sign with a question mark, then negative 4 over 6. The last line says negative 2 over 3 equals negative 2 over 3.» data-label=»»>

Найдите ЖК всех дробей в уравнении.
Умножьте обе стороны на LCD.
Распределить.
Упрости — больше никаких дробей!
Вычесть с обеих сторон.
Упрощение.
Вычтите 2 с обеих сторон.
Упрощение.
Разделить на 5.
Упрощение.
Проверить: заменить .

Решить: .

Показать ответ

a = −2

Решить: .

Показать ответ

c = −2

На (рис.) мы начнем с использования свойства Distribution. Этот шаг сразу очистит дроби!

Решить: .

Решение

Below that is 1 followed by an equal sign with a question mark, then one-half times parentheses 4 times a red 0 plus 2. Below that is 1 followed by an equal sign with a question mark, then one-half times 2. Below that is a 1 followed by an equal sign with a question mark, then 2 over 2. The last line says 1 equals 1.» data-label=»»>

Распределить.
Упрощение. Теперь не нужно очищать дроби!
Вычтите 1 с обеих сторон.
Упрощение.
Разделить на 2.
Упрощение.
Проверить: Пусть .

Решить: .

Показать ответ

p = −4

Решить: .

Показать ответ

q = 2

Во многих случаях даже после распределения будут дроби.

Решить: .

Решение

The next line says, “Simplify,” and shows y equals 9. The last step says, “Check. Substitute: 9 for y,” and shows the original equation. Below that is one-half times parentheses red 9 minus 5, equal sign with a question mark, one-fourth times parentheses red 9 minus 1. Below that is one-half times 4, equal sign with a question mark, one-fourth times 8, then 2 equals 2 followed by a check mark.» data-label=»»>

Распределить.
Упрощение.
Умножение на LCD, 4.
Распределить.
Упрощение.
Соберите термины слева.
Упрощение.
Соберите константы справа.
Упрощение.
Проверить: заменить .

Решить: .

Показать ответ

n = 2

Решить: .

Показать ответ

м = −1

В некоторых уравнениях есть десятичные дроби. Такое уравнение возникает, когда мы решаем задачи, связанные с деньгами и процентами. Но десятичные дроби — это еще один способ представления дробей. Например, и . Итак, когда у нас есть уравнение с десятичными дробями, мы можем использовать тот же процесс, который мы использовали для очистки дробей, — умножить обе части уравнения на наименьший общий знаменатель.

Решить: .

Решение

Единственным десятичным знаком в уравнении является . Так как , LCD есть . Мы можем умножить обе части на, чтобы очистить десятичную дробь.

The next line says, “Add 50 to get all constants to the right,” and shows 8x minus 50 plus a red 50 equals 70 plus a red 50. The next line says, “Simplify,” and shows 8x equals 120. The next line says, “Divide both sides by 8,” and shows 8x over a red 8 equals 120 over a red 8. The next line says, “Simplify,” and shows x equals 15. The last step says, “Check. Let x equal 15.” Beside that is 0.8 times a red 15 minus 5 equals 7, then 12 minus 5 equals 7, then 7 equals 7.» data-label=»»>

Умножьте обе стороны на LCD.
Распределить.
Умножьте, и обратите внимание, десятичных знаков больше нет!
Добавьте 50, чтобы получить все константы справа.
Упрощение.
Разделите обе части на 8.
Упрощение.
Проверить: Пусть .

Решить: .

Показать ответ

x = 20

Решить: .

Показать ответ

x = 10

Решить: .

Решение

Посмотрите на десятичные дроби и придумайте эквивалентные дроби.

Обратите внимание, ЖК-дисплей.

Путем умножения на ЖК-дисплее мы очистим десятичные дроби.

The next line says, “Simplify,” and shows 2 equals 19x minus 150. The next line says, “Collect the constants to the left,” and shows 2 plus a red 150 equals 19x minus 150 plus a red 150. The next line says, “Simplify,” and shows 152 equals 19x. The next line says, “Divide by 19,” and shows 152 over a red 19 equals 19x over a red 19. The next line says, “Simplify,” and shows 8 equals x. The last line says, “Check: Let x equal 8,” and shows 0.06 times a red 8 plus 0.02 equals 0.25 times a red 8 minus 1.5. Below that is 0.48 plus 0.02 equals 2.00 minus 1.5. The last line says 0.50 equals 0.50.» data-label=»»>

Умножьте обе стороны на 100.
Распределить.
Умножьте, и больше никаких десятичных знаков.
Соберите переменные справа.
Упрощение.
Соберите константы слева.
Упрощение.
Разделить на 19.
Упрощение.
Проверить: Пусть .

Решить: .

Показать ответ

ч = 12

Решить: .

Показать ответ

k = −1

В следующем примере используется уравнение, типичное для тех, которые мы увидим в приложении к деньгам в следующей главе. Обратите внимание, что мы сначала распределим десятичную дробь, прежде чем очистим все десятичные дроби в уравнении.

Решить: .

Решение

30x plus 0.15 equals a red 100 times 2.85. The next line says, “Distribute,” and shows 30x plus 15 equals 285. The next line says, “Subtract 15 from both sides,” and shows 30x plus 15 minus a red 15 equals 285 minus a red 15. The next line says, “Simplify,” and shows 30x equals 270. The next line says, “Divide by 30,” and shows 30x over a red 30 equals 270 over a red 30. The next line says “Simplify” and shows x equals 9. The next line says, “Check,” and shows the original equation. Below that is “Let x equal 9” and 0.25 times a red 9 plus 0.05 times parentheses red 9 plus 3, equal sign with a question mark, 2.85. Below that is 2.25 plus 0.05 times 12, equal sign with a question mark, 2.85. Below that is 2.25 plus 0.60 followed by an equal sign with a question mark, then 2.85. The last line shows 2.85 equals 2.85.» data-label=»»>

Сначала раздайте.
Объедините похожие термины.
Чтобы убрать десятичные дроби, умножьте на 100.
Распределить.
Вычтите 15 с обеих сторон.
Упрощение.
Разделить на 30.
Упрощение.
Проверить: Пусть .

Решить: .

Показать ответ

n = 9

Решить: .

Показать ответ

d = 16

• Решите уравнения с дробными коэффициентами, очистив дроби.
  1. Найдите наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении.
  2. Умножьте обе части уравнения на этот ЖК-дисплей. Это очищает дроби.
  3. Решите, используя общую стратегию решения линейных уравнений.

Решите уравнения с дробными коэффициентами

В следующих упражнениях решите уравнение, очистив дроби.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.

Решение уравнений с десятичными коэффициентами

В следующих упражнениях решите уравнение, удалив десятичные дроби.

25.	26.
27.	28.
29.	30.
31.	32.
33.	34.
35.	36.
37.	38.
39.	40.

Повседневная математика

Монеты   41. У Тейлора десять центов и пенни. Количество копеек больше, чем количество десятицентовиков. Решите уравнение для , количество десятицентовиков.

Марки 42.  Трэвис накупил марок и марок. Количество марок было меньше количества марок. Решите уравнение для , чтобы найти количество марок, купленных Трэвисом.

Письменные упражнения

43. Объясните, как найти наименьший общий знаменатель .	44. Если в уравнении несколько дробей, как умножение обеих частей на ЖК облегчает решение?
45. Если в уравнении есть дроби только с одной стороны, то почему нужно умножать обе части уравнения на ЖКИ?	46. Что такое LCD в уравнении? Откуда вы знаете?

1. х = -1	3. у = -1	5.
7. х = 4	9. м = 20	11. х = -3
13.	15. х = 1	17. б = 12
19. х = 1	21. р = -41	23.
25. у = 10	27. j = 2	29. х = 18
31. х = 18	33. х = 20	35. п = 9
37. д = 8	39. q = 11	41 д = 18
43. Ответы будут разными.	45. Ответы будут разными.

Эта глава была адаптирована из книги «Решение уравнений с дробями или десятичными коэффициентами» в Preалгебра (OpenStax) Линн Маречек, МэриЭнн Энтони-Смит и Андреа Ханикатт Матис, которая находится под лицензией CC BY 4.0. Адаптация Изабелы Мазур. Дополнительную информацию см. на странице Авторские права.

Решение линейных уравнений с дробями

Нужно сначала немного потренироваться без дробей?

• Решение простых линейных уравнений с целыми коэффициентами
• Решение более сложных линейных уравнений с целыми коэффициентами

При решении уравнений с дробями обычно проще сначала очистить дроби путем умножения на наименьший общий знаменатель всех участвующих фракций.

Процедура проиллюстрирована на примеры ниже. Как только дроби исчезнут, уравнения намного проще!

Примеры

Решить: $\displaystyle\frac{2}{3}x + 6 = 1$

Решение: Напишите хороший чистый список эквивалентных уравнений:

$\displaystyle\frac{2}{3}x + 6 = 1$	исходное уравнение
$\displaystyle3\left(\frac{2}{3}x + 6\right) = 3(1)$	умножьте обе части на $\,3\,$
$2x + 18 = 3$	упростить; все дроби пропали
$2x = -15$	вычесть $\,18\,$ с обеих сторон
$\displaystyle x = -\frac{15}{2}$	разделить обе части на $\,2\,$

Решить: $\displaystyle -3x -\frac{8}{9} = \frac{5}{6}$

Решение:

$\displaystyle -3x -\frac{8}{9} = \frac{5}{6}$	исходное уравнение
$\displaystyle 18\left(-3x -\frac{8}{9}\right) = 18(\frac{5}{6})$	умножьте обе части на $\,18\,$ который является наименьшим общим кратным $\,9\,$ и $\,6\,$
$-54x — 16 = 15$	упростить; все дроби пропали
$-54x = 31$	добавить $\,16\,$ с обеих сторон
$\displaystyle x = -\frac{31}{54}$	разделить обе части на $\,-54\,$

Практика

Для более продвинутых учащихся доступен график.