Число е | это… Что такое Число е?
e — математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера (не путать с т. н. числами Эйлера I рода) или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».
Играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также многих других разделах математики.
2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757…[1]
Содержание
|
Способы определения
Число e может быть определено несколькими способами.
- Через предел:
- (второй замечательный предел).
- Как сумма ряда:
- или .
- или .
- Как единственное число a, для которого выполняется
- Как единственное положительное число a, для которого верно
Свойства
Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравнения является функция , где c — произвольная константа.- Число e иррационально и даже трансцендентно. Это первое число, которое не было выведено как трансцендентное специально, его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e — нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.
- , см. формула Эйлера, в частности
- Ещё одна формула, связывающая числа е и π, т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»
- Для любого комплексного числа z верны следующие равенства:
- Число e разлагается в бесконечную цепную дробь следующим образом:
- , то есть
- Представление Каталана:
История
Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x был равен .
Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует (см.: Непер).
Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред.
Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли при анализе следующего предела:
Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690—1691 годы.
Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» 1736 год. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c, буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.
Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a, b, c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой. Неправдоподобно предположение, что Эйлер выбрал e как первую букву в своей фамилии (нем. Euler).
Способы запоминания
- Для получения приблизительного значения нужно выписать подряд цифры, выражающие число букв в словах следующего стишка, и поставить запятую после первого знака: «Мы порхали и блистали, но застряли в перевале; не признали наши крали авторалли».
- Стишок:
- Два и семь, восемнадцать,
- Двадцать восемь, восемнадцать,
- Двадцать восемь, сорок пять,
- Девяносто, сорок пять.
- Легко запомнить как 2, далее запоминаем 71, потом повторяющиеся 82, 81, 82
- Число e можно запомнить по следующему мнемоническому правилу: два и семь, далее два раза год рождения Льва Толстого (1828), затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника (
- Цифры 45, 90 и 45 можно запоминать как «год победы над фашистской Германией, затем дважды этот год и снова он»
- В другом варианте правила e связывается с президентом США Эндрю Джексоном: 2 — столько раз избирался, 7 — он был седьмым президентом США, 1828 — год его избрания, повторяется дважды, поскольку Джексон дважды избирался. Затем — опять-таки равнобедренный прямоугольный треугольник.
Доказательство иррациональности
Пускай рационально. Тогда , где и целые положительные, откуда
Умножая обе части уравнения на , получаем
Переносим в левую часть:
Все слагаемые правой части целые, следовательно:
- — целое
Но с другой стороны
Получаем противоречие.
Интересные факты
- В IPO компании 2004 году было объявлено о намерении компании увеличить свою прибыль на 2 718 281 828 долларов. Заявленная цифра представляет собой первые 10 цифр известной математической константы.
- В языках программирования символу e в экспоненциальных записях числовых литералов соответствует число 10, а не Эйлерово число. Это связано с историей создания и использования языка для математических вычислений FORTRAN[2]:
Я начал программировать в 1960 году на FORTRAN II, используя компьютер IBM 1620. В то время, в 60-е и 70-е годы, FORTRAN использовал только заглавные буквы. Возможно, это произошло потому, что большинство старых устройств ввода были телетайпами, работавшими с 5-битовым кодом Бодо, который не поддерживал строчные буквы. Буква E в экспоненциальной записи тоже была заглавной и не смешивалась с основанием натурального логарифма
e, которое всегда записывается маленькой буквой. Символ E просто выражал экспоненциальный характер, то есть обозначал основание системы — обычно таким было 10. В те годы программисты широко использовали восьмеричную систему. И хотя я не замечал такого, но если бы я увидел восьмеричное число в экспоненциальной форме, я бы предположил, что имеется в виду основание 8. Первый раз я встретился с использованием маленькой e в экспоненциальной записи в конце 70-х годов, и это было очень неудобно. Проблемы появились потом, когда строчные буквы по инерции перешли в FORTRAN. У нас существовали все нужные функции для действий с натуральными логарифмами, но все они записывались прописными буквами.
- Таким образом, записи типа
7.38e-43
в языках программирования будет соответствовать число , а не .
Примечания
- ↑ 2 миллиона цифр после запятой
- ↑ Эккель Б. Философия Java = Thinking in Java. — 4-е изд. — СПб.: Питер, 2009. — С. 84. — (Библиотека программиста). — ISBN 978-5-388-00003-3
См. также
- Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера
Ссылки
- История числа e (англ. )
- e for 2.71828… (история и правило Джексона, англ.)
- последовательность A001113 в OEIS
Число е | это… Что такое Число е?
e — математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера (не путать с т. н. числами Эйлера I рода) или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».
Играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также многих других разделах математики.
2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757…[1]
Содержание
|
Способы определения
Число e может быть определено несколькими способами.
- Через предел:
- (второй замечательный предел).
- Как сумма ряда:
- или .
- Как единственное число a, для которого выполняется
- Как единственное положительное число a, для которого верно
Свойства
Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравнения является функция , где c — произвольная константа.- Число e иррационально и даже трансцендентно. Это первое число, которое не было выведено как трансцендентное специально, его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e — нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.
- , см. формула Эйлера, в частности
- Ещё одна формула, связывающая числа е и π, т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»
- Для любого комплексного числа z верны следующие равенства:
- Число e разлагается в бесконечную цепную дробь следующим образом:
- , то есть
- Представление Каталана:
История
Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x был равен .
Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует (см.: Непер).
Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред.
Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли при анализе следующего предела:
Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690—1691 годы.
Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» 1736 год. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c, буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.
Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a, b, c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой. Неправдоподобно предположение, что Эйлер выбрал e как первую букву в своей фамилии (нем. Euler).
Способы запоминания
- Для получения приблизительного значения нужно выписать подряд цифры, выражающие число букв в словах следующего стишка, и поставить запятую после первого знака: «Мы порхали и блистали, но застряли в перевале; не признали наши крали авторалли».
- Стишок:
- Два и семь, восемнадцать,
- Двадцать восемь, восемнадцать,
- Двадцать восемь, сорок пять,
- Девяносто, сорок пять.
- Легко запомнить как 2, далее запоминаем 71, потом повторяющиеся 82, 81, 82
- Число e можно запомнить по следующему мнемоническому правилу: два и семь, далее два раза год рождения Льва Толстого (1828), затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45, 90 и 45 градусов). Стихотворная мнемофраза, иллюстрирующая часть этого правила: «Экспоненту помнить способ есть простой: две и семь десятых, дважды Лев Толстой»
- Цифры 45, 90 и 45 можно запоминать как «год победы над фашистской Германией, затем дважды этот год и снова он»
- В другом варианте правила e связывается с президентом США Эндрю Джексоном: 2 — столько раз избирался, 7 — он был седьмым президентом США, 1828 — год его избрания, повторяется дважды, поскольку Джексон дважды избирался. Затем — опять-таки равнобедренный прямоугольный треугольник.
Доказательство иррациональности
Пускай рационально. Тогда , где и целые положительные, откуда
Умножая обе части уравнения на , получаем
Переносим в левую часть:
Все слагаемые правой части целые, следовательно:
- — целое
Но с другой стороны
Получаем противоречие.
Интересные факты
- В IPO компании 2004 году было объявлено о намерении компании увеличить свою прибыль на 2 718 281 828 долларов. Заявленная цифра представляет собой первые 10 цифр известной математической константы.
- В языках программирования символу e в экспоненциальных записях числовых литералов соответствует число 10, а не Эйлерово число. Это связано с историей создания и использования языка для математических вычислений FORTRAN[2]:
Я начал программировать в 1960 году на FORTRAN II, используя компьютер IBM 1620. В то время, в 60-е и 70-е годы, FORTRAN использовал только заглавные буквы. Возможно, это произошло потому, что большинство старых устройств ввода были телетайпами, работавшими с 5-битовым кодом Бодо, который не поддерживал строчные буквы. Буква E в экспоненциальной записи тоже была заглавной и не смешивалась с основанием натурального логарифма e, которое всегда записывается маленькой буквой. Символ E просто выражал экспоненциальный характер, то есть обозначал основание системы — обычно таким было 10. В те годы программисты широко использовали восьмеричную систему. И хотя я не замечал такого, но если бы я увидел восьмеричное число в экспоненциальной форме, я бы предположил, что имеется в виду основание 8. Первый раз я встретился с использованием маленькой e в экспоненциальной записи в конце 70-х годов, и это было очень неудобно. Проблемы появились потом, когда строчные буквы по инерции перешли в FORTRAN. У нас существовали все нужные функции для действий с натуральными логарифмами, но все они записывались прописными буквами.
- Таким образом, записи типа
7.38e-43
в языках программирования будет соответствовать число , а не .
Примечания
- ↑ 2 миллиона цифр после запятой
- ↑ Эккель Б. Философия Java = Thinking in Java. — 4-е изд. — СПб.: Питер, 2009. — С. 84. — (Библиотека программиста). — ISBN 978-5-388-00003-3
См. также
- Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера
Ссылки
- История числа e (англ.)
- e for 2.71828… (история и правило Джексона, англ.)
- последовательность A001113 в OEIS
трансцендентных чисел
Трансцендентное число
Трансцендентное число — это любое число, которое равно , а не алгебраическому числу
.Примеры трансцендентных чисел включают π (Pi) и e (число Эйлера) .
Алгебраическое число
Что же такое алгебраическое число?
Проще говоря , когда у нас есть полиномиальное уравнение, такое как (например)
2x
2 — 4x + 3 = 0, коэффициенты которого (числа 2, −4 и 3) рациональны (целые числа или простые дроби) . ..
… тогда x равно Алгебраическому .
(Подробности см. в разделе Алгебраические числа).
Мы можем представить себе все виды многочленов:
- х — 1 = 0 имеет х = 1 ,
- х + 1 = 0 имеет х = — 1 ,
- 2x — 1 = 0 имеет х = ½ ,
- x 2 − 2 = 0 имеет x = √2 ,
- и так далее
Все целые числа, все рациональные числа, некоторые иррациональные числа (например, √2) являются алгебраическими.
На самом деле трудно придумать число, которое было бы , а не Алгебраическим.
Но они существуют! И много их!
Они превосходят силу алгебраических методов.
— Леонард Эйлер
Номера Лиувилля
Еще в 1844 году Джозеф Лиувилль придумал этот номер:
= 0,110001000000000000000000100…… | |
(цифра равна 1, если это k! знаков после запятой, и 0 в противном случае.) |
Это очень интересный номер, потому что:
- нерационально, а
- это не является корнем любого полиномиального уравнения и поэтому не является алгебраическим .
Фактически, Джозеф Лиувилль успешно составил первое доказуемое Трансцендентное Число .
Это число теперь известно как Константа Лиувилля . и учится в 9 классе0005 Числа Лиувилля .
Больше трансцендентных чисел
Лишь в 1873 г. трансцендентность первого «непостроенного» числа была доказана, когда Чарльз Эрмит доказал, что e (число Эйлера) трансцендентно.
Затем в 1882 году Фердинанд фон Линдеманн доказал, что число π (пи) трансцендентно.
На самом деле доказать, что число является Трансцендентным, довольно сложно, хотя известно, что они очень распространены…
Трансцендентные числа распространены
Большинство действительных чисел трансцендентны. Аргумент для этого:
- Алгебраические числа «счетны» (просто говоря, список целых чисел «счетен», и мы можем расположить алгебраические числа в порядке 1 к 1 с целыми числами, поэтому они также являются счетными).
- Но Настоящие числа «Неисчислимы».
- А поскольку вещественное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным, то трансцендентальное число должно быть «неисчисляемым».
- Итак, Трансцендентов гораздо больше, чем Алгебраиков.
Тот же аргумент применим к комплексным числам.
Трансцендентальная Функция
Точно так же, как трансцендентное число «не алгебраично», так и трансцендентная функция также «не алгебраична».
Говоря более формально, трансцендентная функция — это функция, которая не может быть построена за конечное число шагов из элементарных функций и их обратных функций.
Примером трансцендентной функции является синусоидальная функция sin(x) .
Q: Почему математики не использовали свои зубы?
A: Они хотели превзойти функции зубов.
Сноска: Подробнее о Liouville NumbersA Число Лиувилля — это особый тип трансцендентного числа, которое может быть равно 9.0009 очень близко к по рациональным числам. More formally a Liouville Number is a real number x , with the property that, for any positive integer n , there exist integers p and q (with q >1) такой, что: Теперь мы знаем, что x иррационально, поэтому всегда будет разница между x и любым p/q: таким образом, мы получаем часть «0<». Но второе неравенство показывает нам, насколько мала разница. На самом деле неравенство говорит о том, что «число можно приблизить бесконечно близко, но никогда не получить его». На самом деле Лиувиллю удалось показать, что если число имеет быстро сходящийся ряд рациональных приближений, то оно трансцендентно. Другое интересное свойство заключается в том, что для любого положительного целого числа n существует бесконечное число пар целых чисел (p,q), удовлетворяющих приведенному выше неравенству. |
Что означает E в математике?
Обновлено 20 декабря 2020 г.
Автор Chris Deziel
Буква E может иметь два разных значения в математике, в зависимости от того, является ли она заглавной E или строчной e. Обычно на калькуляторе вы видите заглавную букву Е, которая означает возведение числа, следующего за ней, в степень 10. Например, 1E6 будет означать 1 × 10 6 , или 1 миллион. Обычно буква E используется для чисел, которые были бы слишком длинными для отображения на экране калькулятора, если бы они были написаны от руки.
Математики используют строчную букву e для гораздо более интересной цели — для обозначения числа Эйлера. Это число, как и π, является иррациональным числом, потому что оно имеет неповторяющуюся десятичную дробь, простирающуюся до бесконечности. Подобно иррациональному человеку, иррациональное число кажется бессмысленным, но число, которое обозначает e, не обязательно должно иметь смысл, чтобы быть полезным. На самом деле, это одно из самых полезных чисел в математике.
E в научной нотации и значение 1E6
Вам не нужен калькулятор, чтобы использовать E для выражения числа в экспоненциальном представлении. Вы можете просто обозначить E как базовый корень экспоненты, но только тогда, когда основание равно 10. Вы не будете использовать E для обозначения основания 8, 4 или любого другого основания, особенно если основание является числом Эйлера, e.
Когда вы используете E таким образом, вы записываете число x E y , где x — первый набор целых чисел в числе, а y — показатель степени . Например, число 1 миллион можно записать как 1E6. В обычных научных обозначениях это 1 × 10 6 или 1 с 6 нулями. Точно так же 5 миллионов будут 5E6, а 42 732 будут 4,27E4. При написании числа в экспоненциальном представлении, независимо от того, используете ли вы E или нет, вы обычно округляете число до двух знаков после запятой.
Откуда взялось число Эйлера e?
Число, представленное буквой e, было открыто математиком Леонардом Эйлером как решение проблемы, поставленной другим математиком, Якобом Бернулли, 50 лет назад. Проблема Бернулли была финансовой. 9n
, где r равно 1, а n – период оплаты.
Оказывается, по мере того как n приближается к бесконечности, результат становится все ближе и ближе к e, который равен 2,7182818284 с точностью до 10 знаков после запятой.