Эквивалентные бесконечно малые величины: Справочник по высшей математике

Справочник по высшей математике

Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. Изд-во «Наука». М. 1977 г. Справочник включает весь материал, входящий в программу основного курса математики высших учебных заведений. Детальная рубрикация и подробный предметный указатель позволяют быстро получать необходимую информацию. Книга окажет неоценимую помощь студентам, инженерам и научным работникам. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ § 1. Понятие о предмете аналитической геометрии § 2. Координаты § 3. Прямоугольная система координат § 4. Прямоугольные координаты § 5. Координатные углы § 6. Косоугольная система координат § 7. Уравнение линии § 8. Взаимное расположение линии и точки § 9. Взаимное расположение двух линий § 10. Расстояние между двумя точками § 11. Деление отрезка в данном отношении § 11а. Деление отрезка пополам § 12. Определитель второго порядка § 13. Площадь треугольника § 14. Прямая линия; уравнение, разрешенное относительно ординаты (с угловым коэффициентом) § 15. Прямая, параллельная оси § 16. Общее уравнение прямой § 17. Построение прямой по ее уравнению § 18. Условие параллельности прямых § 19. Пересечение прямых § 20. Условие перпендикулярности двух прямых § 21. Угол между двумя прямыми § 22. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой § 23. Уравнение прямой, проходящей через две точки § 24. Пучок прямых § 25. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой § 26. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой § 27. Взаимное расположение прямой и пары точек § 28. Расстояние от точки до прямой § 29. Полярные параметры прямой § 30. 2+bx+c § 51. Директрисы эллипса и гиперболы § 52. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы § 53. Конические сечения § 54. Диаметры конического сечения § 55. Диаметры эллипса § 56. Диаметры гиперболы § 57. Диаметры параболы § 58. Линии второго порядка § 59. Запись общего уравнения второй степени § 60. Упрощение уравнения второй степени; общие замечания § 61. Предварительное преобразование уравнения второй степени § 62. Завершающее преобразование уравнения второй степени § 63. О приемах, облегчающих упрощение уравнения второй степени § 64. Признак распадения линий второго порядка § 65. Нахождение прямых, составляющих распадающуюся линию второго порядка § 66. Инварианты уравнения второй степени § 67. Три типа линий второго порядка § 68. Центральные и нецентральные линии второго порядка § 69. Нахождение центра центральной линии второго порядка § 70. Упрощение уравнения центральной линии второго порядка § 71. Равносторонняя гипербола как график уравнения y=k/x § 72. Равносторонняя гипербола как график уравнения y=(mx+n)/(px+q) § 73. Полярные координаты § 74. Связь между полярными и прямоугольными координатами § 75. Архимедова спираль § 76. Полярное уравнение прямой § 77. Полярное уравнение конического сечения АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ § 78. Понятие о векторах и скалярах § 79. Вектор в геометрии § 80. Векторная алгебра § 81. Коллинеарные векторы § 82. Нуль-вектор § 83. Равенство векторов § 84. Приведение векторов к общему началу § 85. Противоположные векторы § 86. Сложение векторов § 87. Сумма нескольких векторов § 88. Вычитание векторов § 89. Умножение и деление вектора на число § 90. Взаимная связь коллинеарных векторов (деление вектора на вектор) § 91. Проекция точки на ось § 92. Проекция вектора на ось § 93. Основные теоремы о проекциях вектора § 94. Прямоугольная система координат в пространстве § 95. Координаты точки § 96. Координаты вектора § 97. Выражения вектора через компоненты и через координаты § 98. Действия над векторами, заданными своими координатами § 99. Выражение вектора через радиусы-векторы его начала и конца § 100. Длина вектора. Расстояние между двумя точками § 101. Угол между осью координат и вектором § 102. Признак коллинеарности (параллельности) векторов § 103. Деление отрезка в данном отношении § 104. Скалярное произведение двух векторов § 104а. Физический смысл скалярного произведения § 105. Свойства скалярного произведения § 106. Скалярные произведения основных векторов § 107. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей § 108. Условие перпендикулярности векторов § 109. Угол между векторами § 110. Правая и левая системы трех векторов § 111. Векторное произведение двух векторов § 112. Свойства векторного произведения § 113. Векторные произведения основных векторов § 114. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей § 115. Компланарные векторы § 116. Смешанное произведение § 117. Свойства смешанного произведения § 118. Определитель третьего порядка § 119. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей § 120. Признак компланарности в координатной форме § 121. Объем параллелепипеда § 122. Двойное векторное произведение § 123. Уравнение плоскости § 124. Особые случаи положения плоскости относительно системы координат § 125. Условие параллельности плоскостей § 126. Условие перпендикулярности плоскостей § 127. Угол между двумя плоскостями § 128. Плоскость, проходящая через данную точку параллельно данной плоскости § 129. Плоскость, проходящая через три точки § 130. Отрезки на осях § 131. Уравнение плоскости в отрезках § 132. Плоскость, проходящая через две точки перпендикулярно данной плоскости § 133. Плоскость, проходящая через данную точку перпендикулярно двум плоскостям § 134. Точка пересечения трех плоскостей § 135. Взаимное расположение плоскости и пары точек § 136. Расстояние от точки до плоскости § 137. Полярные параметры плоскости § 138. Нормальное уравнение плоскости § 139. Приведение уравнения плоскости к нормальному виду § 140. Уравнения прямой в пространстве § 141. Условие, при котором два уравнения первой степени представляют прямую § 142. Пересечение прямой с плоскостью § 143. Направляющий вектор § 144. Углы между прямой и осями координат § 145. Угол между двумя прямыми § 146. Угол между прямой и плоскостью § 147. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости § 148. Пучок плоскостей § 149. Проекции прямой на координатные плоскости § 150. Симметричные уравнения прямой § 151. Приведение уравнений прямой к симметричному виду § 152. Параметрические уравнения прямой § 153. Пересечение плоскости с прямой, заданной параметрически § 154. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки § 155. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой § 156. Уравнения прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной плоскости § 157. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и данную прямую § 158. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной двум данным прямым § 159. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и параллельной другой данной прямой § 160. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и перпендикулярной данной плоскости § 161. Уравнения перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую § 162. Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую § 163. Условие, при котором две прямые пересекаются или лежат в одной плоскости § 164. Уравнения общего перпендикуляра к двум данным прямым § 165. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми § 165а. Правые и левые пары прямых § 166. Преобразование координат § 167. Уравнение поверхности § 168. Цилиндрические поверхности, у которых образующие параллельны одной из осей координат § 169. Уравнения линии § 170. Проекция линии на координатную плоскость § 171. Алгебраические поверхности и их порядок § 172. Сфера § 173. Эллипсоид § 174. Однополостный гиперболоид § 175. Двуполостный гиперболоид § 176. Конус второго порядка § 177. Эллиптический параболоид § 178. Гиперболический параболоид § 179. Перечень поверхностей второго порядка § 180. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка § 181. Поверхности вращения § 182. Определители второго и третьего порядков § 183. Определители высших порядков § 184. Свойства определителей § 185. Практический прием вычисления определителей § 186. Применение определителей к исследованию и решению системы уравнений § 187. Два уравнения с двумя неизвестными § 188. Два уравнения с двумя неизвестными § 189. Однородная система двух уравнений с тремя неизвестными § 190. Два уравнения с двумя неизвестными § 190а. Система n уравнений с n неизвестными ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 192. Рациональные числа § 193. Действительные (вещественные) числа § 194. Числовая ось § 195. Переменные и постоянные величины § 196. Функция § 197. Способы задания функции § 198. Область определения функции § 199. Промежуток § 200. Классификация функций § 201. Основные элементарные функции § 202. Обозначение функции § 203. Предел последовательности § 204. Предел функции § 205. Определение предела функции § 206. Предел постоянной величины § 207. Бесконечно малая величина § 208. Бесконечно большая величина § 209. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами § 210. Ограниченные величины § 211. Расширение понятия предепа § 212. Основные свойства бесконечно малых величин § 213. Основные теоремы о пределах § 214. Число е § 215. Предел sinx/x при x стремящемся к 0 § 216. Эквивалентные бесконечно малые величины § 217. Сравнение бесконечно малых величин § 217а. Приращение переменной величины § 218. Непрерывность функции в точке § 219. Свойства функций, непрерывных в точке § 219а. Односторонний предел; скачок функции § 220. Непрерывность функции на замкнутом промежутке § 221. Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 223. Скорость § 224. Определение производной функции § 225. Касательная § 226. Производные некоторых простейших функций § 227. Свойства производной § 228. Дифференциал § 229. Механический смысл дифференциала § 230. Геометрический смысл дифференциала § 231. Дифференцируемые функции § 232. Дифференциалы некоторых простейших функций § 233. Свойства дифференциала § 234. Инвариантность выражения f'(x)dx § 235. Выражение производной через дифференциалы § 236. Функция от функции (сложная функция) § 237. Дифференциал сложной функции § 238. Производная сложной функции § 239. Дифференцирование произведения § 240. Дифференцирование частного (дроби) § 241. Обратная функция § 242. Натуральные логарифмы § 243. Дифференцирование логарифмической функции § 244. Логарифмическое дифференцирование § 245. Дифференцирование показательной функции § 246. Дифференцирование тригонометрических функций § 247. Дифференцирование обратных тригонометрических функций § 247а. Некоторые поучительные примеры § 248. Дифференциал в приближенных вычислениях § 249. Применение дифференциала к оценке погрешности формул § 250. Дифференцирование неявных функций § 251. Параметрическое задание линии § 252. Параметрическое задание функции § 253. Циклоида § 254. Уравнение касательной к плоской линии § 254а. Касательные к кривым второго порядка § 255. Уравнение нормали § 256. Производные высших порядков § 257. Механический смысл второй производной § 258. Дифференциалы высших порядков § 259. Выражение высших производных через дифференциалы § 260. Высшие производные функций, заданных параметрически § 261. Высшие производные неявных функций § 262. Правило Лейбница § 263. Теорема Ролля § 264. Теорема Лагранжа о среднем значении § 265. Формула конечных приращений § 266. Обобщенная теорема о среднем значении (Коши) § 267. Раскрытие неопределенности вида 0/0 § 268. Раскрытие неопределенности вида бесконесность на бесконечность § 269. Неопределенные выражения других видов § 270. Исторические сведения о формуле Тейлора § 271. Формула Тейлора § 272. Применение формулы Тейлора к вычислению значений функции § 273. Возрастание и убывание функции § 274. Признаки возрастания и убывания функции в точке § 274а. Признаки возрастания и убывания функции в промежутке § 275. Максимум и минимум § 276. Необходимое условие максимума и минимума § 277. Первое достаточное условие максимума и минимума § 278. Правило нахождения максимумов и минимумов § 279. Второе достаточное условие максимума и минимума § 280. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции § 281. Выпуклость плоских кривых; точка перегиба § 282. Сторона вогнутости § 283. Правило для нахождения точек перегиба § 284. Асимптоты § 285. Нахождение асимптот, параллельных координатным осям § 286. Нахождение асимптот, не параллельных оси ординат § 287. Приемы построения графиков § 288. Решение уравнений. Общие замечания § 289. Решение уравнений. Способ хорд § 290. Решение уравнений. Способ касательных § 291. Комбинированный метод хорд и касательных ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 293. Первообразная функция § 294. Неопределенный интеграл § 295. Геометрический смысл интегрирования § 296. Вычисление постоянной интегрирования по начальным данным § 297. Свойства неопределенного интеграла § 298. Таблица интегралов § 299. Непосредственное интегрирование § 300. Способ подстановки (интегрирование через вспомогательную переменную) § 301. Интегрирование по частям § 302. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений § 303. Тригонометрические подстановки § 304. Рациональные функции § 304а. Исключение целой части § 305. О приемах интегрирования рациональных дробей § 306. Интегрирование простейших рациональных дробей § 307. Интегрирование рациональных функций (общий метод) § 308. О разложении многочлена на множители § 309. Об интегрируемости в элементарных функциях § 310. Некоторые интегралы, зависящие от радикалов § 311. Интеграл от биномиального дифференциала § 312. Интегралы вида … § 313. Интегралы вида S R(sinx, cosx)dx § 314. Определенный интеграл § 315. Свойства определенного интеграла § 316. Геометрический смысл определенного интеграла § 317. Механический смысл определенного интеграла § 318. Оценка определенного интеграла § 318а. Неравенство Буняковского § 319. Теорема о среднем интегрального исчисления § 320. Определенный интеграл как функция верхнего предела § 321. Дифференциал интеграла § 322. Интеграл дифференциала. Формула Ньютона — Лейбница § 323. Вычисление определенного интеграла с помощью неопределенного § 324. Определенное интегрирование по частям § 325. Способ подстановки в определенном интеграле § 326. О несобственных интегралах § 327. Интегралы с бесконечными пределами § 328. Интеграл функции, имеющей разрыв § 329. О приближенном вычислении интеграла § 330. Формулы прямоугольников § 331. Формула трапеций § 332. Формула Симпсона (параболических трапеций) § 333. Площади фигур, отнесенных к прямоугольным координатам § 334. Схема применения определенного интеграла § 335. Площади фигур, отнесенных к полярным координатам § 336. Объем тела по поперечным сечениям § 337. Объем тела вращения § 338. Длина дуги плоской линии § 339. Дифференциал дуги § 340. Длина дуги и ее дифференциал в полярных координатах § 341. Площадь поверхности вращения ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЛИНИЯХ § 342. Кривизна § 343. Центр, радиус и круг кривизны плоской линии § 344. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны плоской линии § 345. Эволюта плоской линии § 346. Свойства эволюты плоской линии § 347. Развертка (эвольвента) плоской линии § 348. Параметрическое задание пространственной линии § 349. Винтовая линия § 350. Длина дуги пространственной линии § 351. Касательная к пространственной линии § 352. Нормальная плоскость § 353. Вектор-функция скалярного аргумента § 354. Предел вектор-функции § 355. Производная вектор-функции § 356. Дифференциал вектор-функции § 357. Свойства производной и дифференциала вектор-функции § 358. Соприкасающаяся плоскость § 359. Главная нормаль. Сопутствующий трехгранник § 360. Взаимное расположение линии и плоскости § 361. Основные векторы сопутствующего трехгранника § 362. Центр, ось и радиус кривизны пространственной линии § 363. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны пространственной линии § 364. О знаке кривизны § 365. Кручение РЯДЫ § 367. Определение ряда § 368. Сходящиеся и расходящиеся ряды § 369. Необходимое условие сходимости ряда § 370. Остаток ряда § 371. Простейшие действия над рядами § 372. Положительные ряды § 373. Сравнение положительных рядов § 374. Признак Даламбера для положительного ряда § 375. Интегральный признак сходимости § 376. Знакопеременный ряд. Признак Лейбница § 377. Абсолютная и условная сходимость § 378. Признак Даламбера для произвольного ряда § 379. Перестановка членов ряда § 380. Группировка членов ряда § 381. Умножение рядов § 382. Деление рядов § 383. Функциональный ряд § 384. Область сходимости функционального ряда § 385. О равномерной и неравномерной сходимости § 386. Определение равномерной и неравномерной сходимости § 387. Геометрический смысл равномерной и неравномерной сходимости § 388. Признак равномерной сходимости; правильные ряды § 389. Непрерывность суммы ряда § 390. Интегрирование рядов § 391. Дифференцирование рядов § 392. Степенной ряд § 393. Промежуток и радиус сходимости степенного ряда § 394. Нахождение радиуса сходимости § 395. Область сходимости ряда, расположенного по степеням х – х0 § 396. Теорема Абеля § 397. Действия со степенными рядами § 398. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда § 399. Ряд Тейлора § 400. Разложение функции в степенной ряд § 401. Разложение элементарных функций в степенные ряды § 402. Применение рядов к вычислению интегралов § 403. Гиперболические функции § 404. Обратные гиперболические функции § 405. Происхождение наименований гиперболических функций § 406. О комплексных числах § 407. Комплексная функция действительного аргумента § 408. Производная комплексной функции § 409. Возведение положительного числа в комплексную степень § 410. Формула Эйлера § 411. Тригонометрический ряд § 412. Исторические сведения о тригонометрических рядах § 413. Ортогональность системы функций cos nx, sin nx § 414. Формулы Эйлера-Фурье § 415. Ряд Фурье § 416. Ряд Фурье для непрерывной функции § 417. Ряд Фурье для четной и нечетной функции § 418. Ряд Фурье для разрывной функции ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ § 420. Функция трех и большего числа аргументов § 421. Способы задания функций нескольких аргументов § 422. Предел функции нескольких аргументов § 424. Непрерывность функции нескольких аргументов § 425. Частные производные § 426. Геометрический смысл частных производных для случая двух аргументов § 427. Полное и частное приращения § 428. Частный дифференциал § 429. О выражении частной производной через дифференциал § 430. Полный дифференциал § 431. Геометрический смысл полного дифференциала (случай двух аргументов) § 432. Инвариантность выражения … полного дифференциала § 433. Техника дифференцирования § 434. Дифференцируемые функции § 435. Касательная плоскость и нормаль к поверхности § 436. Уравнение касательной плоскости § 437. Уравнения нормали § 438. Дифференцирование сложной функции § 439. Замена прямоугольных координат полярными § 440. Формулы для производных сложной функции § 441. Полная производная § 442. Дифференцирование неявной функции нескольких переменных § 443. Частные производные высших порядков § 444. Полные дифференциалы высших порядков § 445. Техника повторного дифференцирования § 446. Условное обозначение дифференциалов § 447. Формула Тейлора для функции нескольких аргументов § 448. Экстремум (максимум и минимум) функции нескольких аргументов § 449. Правило нахождения экстремума § 450. Достаточные условия экстремума (случай двух аргументов) § 451. Двойной интеграл § 452. Геометрический смысл двойного интеграла § 453. Свойства двойного интеграла § 454. Оценка двойного интеграла § 455. Вычисление двойного интеграла (простейший случай) § 456. Вычисление двойного интеграла (общий случай) § 457. Функция точки § 458. Выражение двойного интеграла через полярные координаты § 459. Площадь куска поверхности § 460. Тройной интеграл § 461. Вычисление тройного интеграла (простейший случай) § 462. Вычисление тройного интеграла (общий случай) § 463. Цилиндрические координаты § 464. Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты § 465. Сферические координаты § 466. Выражение тройного интеграла через сферические координаты § 467. Схема применения двойного и тройного интегралов § 468. Момент инерции § 471. Криволинейный интеграл § 472. Механический смысл криволинейного интеграла § 473. Вычисление криволинейного интеграла § 474. Формула Грина § 475. Условие, при котором криволинейный интеграл не зависит от пути § 476. Другая форма условия предыдущего параграфа ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 478. Уравнение первого порядка § 479. Геометрический смысл уравнения первого порядка § 480. Изоклины § 481. Частное и общее решения уравнения первого порядка § 482. Уравнения с разделенными переменными § 483. Разделение переменных. Особое решение § 484. Уравнение в полных дифференциалах § 484а. Интегрирующий множитель § 485. Однородное уравнение § 486. Линейное уравнение первого порядка § 487. Уравнение Клеро § 488. Огибающая § 489. Об интегрируемости дифференциальных уравнений § 490. Приближенное интегрирование уравнений первого порядка по методу Эйлера § 491. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов § 492. О составлении дифференциальных уравнений § 493. Уравнение второго порядка § 494. Уравнение n-го порядка § 495. Случаи понижения порядка § 496. Линейное уравнение второго порядка § 497. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами § 498. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части § 498а. Связь между случаями 1 и 3 § 498 § 499. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью § 500. Линейные уравнения любого порядка § 501. Метод вариации постоянных § 502. Системы дифференциальных уравнений. Линейные системы НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ § 503. Строфоида § 504. Циссоида Диокла § 505. Декартов лист § 506. Верзьера Аньези § 507. Конхоида Никомеда § 508. Улитка Паскаля; кардиоида § 509. Линия Кассини § 510. Лемниската Бернулли § 511. Архимедова спираль § 512. Эвольвента (развертка) круга § 513. Логарифмическая спираль § 514. Циклоиды § 515. Эпициклоиды и гипоциклоиды § 516. Трактриса § 517. Цепная линия

Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Бесконечно малые функции.Замечательные эквивалентности в пределах 12 сравнение бесконечно малых функций

Что такое бесконечные малые функции

Однако бесконечно малой функция может быть только в конкретной точке. {2} -5x+6} =\mathop{\lim }\limits_{x\to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)} =\mathop{\lim }\limits_{x\to 2} \frac{(x+2)}{(x-3)} =\frac{4}{-1} =-4\ne 0\]

Свойства эквивалентных бесконечно малых

1. Разность двух эквивалентных бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка относительно каждой из них.
2. Если из суммы нескольких бесконечно малых разных порядков отбросить бесконечно малые высших порядков, то оставшаяся часть, называемая главной, эквивалентна всей сумме.

Из первого свойства следует, что эквивалентные бесконечно малые могут стать приближенно равными со сколь угодно малой относительной погрешностью. Поэтому знак ≈ применяется как для обозначения эквивалентности бесконечно малых, так и для записи приближенного равенства их достаточно малых значений.

При нахождении пределов очень часто приходится применять замену эквивалентных функций для быстроты и удобства вычислений. Таблица эквивалентных бесконечно малых представлена ниже (табл. {\frac{1}{x} } \right)=\ln e=1\]

(применили второй замечательный предел)

Как было показано, сумма, разность и произведение бесконечно малых функции являются бесконечно малыми, чего нельзя сказать о частном: деление одной бесконечно малой на другую может дать разные результаты.

Например, если а(х) = 2х, р(х) = Зх, то

Если же а(х) = х 2 , Р (л;) = х 3 , то

Целесообразно ввести правила сравнения бесконечно малых функций с использованием соответствующей терминологии.

Пусть при х -» а функции а(х) и p(.v) бесконечно малые. Тогда различают следующие варианты их сравнения, в зависимости от величины с предела в точке а их отношения:

• 1. Если с = I, то а (х) и Р (х) — эквивалентные бесконечно малые: а(х) — р(х).
• 2. Если с = 0, то а(х) — бесконечно малая более высокого порядка, чем р(х) (или имеет более высокий порядок малости).
• 3. Если с = d * 0 (d — число), то а(х) и Р(х) — бесконечно малые одного порядка.

Часто бывает недостаточно знания, что одна бесконечно малая по отношению к другой является бесконечно малой более высокого порядка малости, нужно еще оценить величину этого порядка. Поэтому используется следующее правило.

4. Если Mm — — =d*0, то а(х) — бесконечно малая л-го порядка отно- *->лр»(*)

ситсльно Р (х). В этом случае используют символ о «о малое»): а(х) = о(Р(х)).

Заметим, что верны аналогичные правила сравнения бесконечно малых функций при х -»оо, х -» -оо, х -> +«>, а также в случае односторонних пределов при х -» а слева и справа.

Из правил сравнения вытекает одно важное свойство:

то существует и предел lim 1 , причем оба этих предела равны.

В ряде случаев доказанное утверждение упрощает вычисление пределов и проведение оценок.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Функции sin х и х при х -» 0 являются эквивалентными бесконечно малыми в силу предела (8. 11), т.с. при х -> 0 sin х ~ х.

Действительно, мы имеем:

• 2. Функции sin кх и sin х являются при д: -> 0 бесконечно малыми одного порядка, поскольку
• 3. Функция а(х) = cos ах — cos bx (а * Ь) является при х -» 0 бесконечно малой второго порядка малости по отношению к бесконечно малой.v, так как

Пример 7. Найти lim

*-+° х + х»

Решение. Так как sin кх ~ кх и х + х 2 ~ х:

Сравнение бесконечно больших функций

Для бесконечно больших функций также имеют место аналогичные правила сравнения, с той лишь разницей, что для них вместо термина «порядок малости» употребляется термин «порядок роста».

Поясним сказанное на примерах.

1. Функции f(x) = (2 + х)/х и g(x) = 2/х при х -» 0 являются эквивалентными бесконечно большими, поскольку

Данные функции /(х) и #(*) имеют одинаковый порядок роста.

2. Сравним порядки роста функций f(x) = 2х? + I и g(x) = х 3 + х при х -> для чего найдем предел их отношения:

Отсюда следует, что функция g (х) имеет более высокий порядок роста, нежели функция / (х).

3. Бесконечно большие при х -» °о функции/(х) = Зх 3 + х и #(х) = х 3 — 4х 2 имеют одинаковый порядок роста, так как

4. Функция /(х) = х 3 + 2х + 3 является при х -» бесконечно большой

третьего порядка по отношению к бесконечно большой функции g (х) = х — I, поскольку

Пусть a (x ) и b (x ) – б.м. функции при x ® a (x ® + ¥, x ® –¥, x ® x 0 , …). Рассмотрим предел их отношения при x ® a .

1. Если = b и b – конечное число, b ¹ 0, то функции a (x ), b (x ) называются бесконечно малыми одного порядка малости при x ® a .

2. Если = 0, то a (x ) называют бесконечно малой высшего порядка , чем b (x ) при x ® a . Очевидно, в этом случае = ¥.

3. Если a (x ) – б.м. высшего порядка, чем b (x ), и = b ¹ 0 (b – конечное число, k Î N ), то a (x ) называют бесконечно малой k -го порядка, по сравнению с b (x ) при x ® a .

4. Если не существует (ни конечный, ни бесконечный), то a (x ), b (x ) называют несравнимыми б.м. при x ® a .

5. Если = 1, то a (x ), b (x ) называются эквивалентными б.м. при x ® a , что обозначается так: a (x ) ~ b (x ) при x ® a .

Пример 1 . a (x ) = (1 – x ) 3 , b (x ) = 1 – x 3 .

Очевидно, что при x ® 1 функции a (x ), b (x ) являются б.м. Для их сравнения найдем предел их отношения при x ® 1:

Вывод: a (x b (x ) при x ® 1.

Нетрудно убедиться, что = (убедитесь!), откуда следует, что a (x ) – б.м. 3-го порядка малости, по сравнению с b (x ) при x ® 1.

Пример 2 . Функции a 1 (x ) = 4x , a 2 (x ) = x 2 , a 3 (x ) = sinx , a 4 (x ) = tgx являются бесконечно малыми при x ® 0. Сравним их:

0, , = 1, = ¥.

Отсюда заключаем, что a 2 (x ) = x 2 – б.м. высшего порядка, по сравнению с a 1 (x ) и a 3 (x ) (при x ® 0), a 1 (x ) и a 3 (x ) – б.м. одного порядка, a 3 (x ) и a 4 (x ) – эквивалентные б.м., т. е. sinx ~ tgx при x ® 0.

Теорема 1 . Пусть a (x ) ~ a 1 (x ), b (x ) ~ b 1 (x ) при x ® a . Если существует , то существует и , и = .

Доказательство. = 1, = 1,

= = .

Эта теорема позволяет упрощать нахождение пределов.

Пример 3 .

Найти .

В силу первого замечательного предела sin4x ~ 4x , tg3x ~ 3x при x ® 0, поэтому

Теорема 2 . Бесконечно малые функции a (x ) и b (x ) эквивалентны (при x ® a ) тогда и только тогда, когда a (x ) – b (x ) является б.м. высшего порядка, по сравнению с a (x ) и b (x ) (при x ® a ).

Доказательство

Пусть a (x ) ~ b (x ) при x ® a . Тогда = = 0, т.е. разность a (x ) – b (x a (x ) при при x ® a (аналогично с b (x )).

Пусть a (x ) – b (x ) – б.м. высшего порядка, по сравнению с a (x ) и b (x ), покажем, что a (x ) ~ b (x ) при x ® a :

= = + = 1,

Контрольная работа

Дисциплина: Высшая математика

Тема: Пределы. Сравнение бесконечно малых величин

1. Предел числовой последовательности

2. Предел функции

3. Второй замечательный предел

4. Сравнение бесконечно малых величин

Литература

1. Предел числовой последовательности

Решение многих математических и прикладных задач приводит к последовательности чисел, заданных определенным образом. Выясним некоторые их свойства.

Определение 1.1. Если каждому натуральному числу

по какому-то закону поставлено в соответствие вещественное число , то множество чисел называется числовой последовательностью.

Исходя из определения 1, видно, что числовая последовательность всегда содержит бесконечное число элементов. Изучение различных числовых последовательностей показывает, что с ростом номера их члены ведут себя по-разному. Они могут неограниченно увеличиваться или уменьшаться, могут постоянно приближаться к какому-то числу или вообще не проявлять какой-либо закономерности.

Определение 1.2. Число

называется пределом числовой последовательности , если для любого числа существует такой номер числовой последовательности , зависящий от , что для всех номеров числовой последовательности выполняется условие .

Последовательность, которая имеет предел, называется сходящейся. В этом случае пишут

.

Очевидно, для выяснения вопроса о сходимости числовой последовательности необходимо иметь критерий, который был бы основан только на свойствах ее элементов.

Теорема 1.1. (теорема Коши о сходимости числовой последовательности). Для того, чтобы числовая последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого числа

существовал такой номер числовой последовательности , зависящий от , что для любых двух номеров числовой последовательности и , которые удовлетворяют условию и , было бы справедливо неравенство .

Доказательство. Необходимость. Дано, что числовая последовательность

сходится, значит, в соответствии с определением 2, у нее существует предел . Выберем какое-то число . Тогда, по определению предела числовой последовательности, существует такой ее номер , что для всех номеров выполняется неравенство . Но так как произвольно, то будет выполняться и . Возьмем два каких-то номера последовательности и , тогда .

Отсюда следует, что

, то есть необходимость доказана.

Достаточность. Дано, что

. Значит, существует такой номер , что для данного условия и . В частности, если , а , то или при условии, что . Это значит, что числовая последовательность для ограничена. Следовательно, по крайней мере, одна из ее подпоследовательностей должна сходиться. Пусть . Докажем, что сходится к также.

Возьмем произвольное

. Тогда, согласно определению предела, существует такой номер , что для всех выполняется неравенство . С другой стороны, по условию дано, что у последовательности существует такой номер , что для всех и будет выполняться условие . и зафиксируем некоторое . Тогда для всех получим: .

Отсюда следует, что

Исчисление

— Что означает бесконечно малый?

спросил 9 лет, 6 месяцев назад

Изменено 2 месяца назад

Просмотрено 16 тысяч раз

$\begingroup$

Я читал, что бесконечно малый очень мал, он немыслимо мал, но мне не совсем удобно его применение. Мой первый вопрос заключается в том, что является бесконечно малой постоянной величиной? Это не может быть стационарное значение, потому что если это так, то существует меньшее значение на прямой числовой линии, поэтому это должно быть движущееся значение. Перемещение значения к $0$, поэтому в большинстве случаев мы используем его величину, равную нулю, но в то же время мы также знаем, что бесконечно малый не равен, поэтому во всех тех местах, где мы использовали бесконечно малый показатель, равный $0$, мы совершаем бесконечно малую ошибку и не являются точными на $100\%$, может быть $9Точность 9,9999\dots\%$, но не $100\%$! Поэтому, пожалуйста, объясните понятие бесконечно малого, его применение и методологию в контексте предыдущего абзаца или интуитивно, пожалуйста.

• исчисление
• терминология
• интуиция
• нестандартный анализ
• бесконечно малые

$\endgroup$

5

$\begingroup$

Действительные числа $\mathbb{R}$ являются примером поле , пространство, где можно складывать, вычитать, умножать и делить элементы. Кроме того, $\mathbb{R}$ является примером упорядоченного поля , т. е. для любых $a, b \in \mathbb{R}$ имеем либо $a < b$, $a = b$, или $а > b$. Обратите внимание, что существуют некоторые дополнительные условия взаимодействия между неравенствами и полевыми операциями.

положительных бесконечно малых в упорядоченном поле — это элемент $e > 0$ такой, что $e < \frac{1}{n}$ для всех $n \in \mathbb{N}$. А отрицательная бесконечно малая — это $e < 0$, такое что $-e$ — положительная бесконечно малая. бесконечно малый является либо положительным бесконечно малым, либо отрицательным бесконечно малым, либо нулем.

В $\mathbb{R}$ есть только одна бесконечно малая, ноль — это и есть архимедово свойство $\mathbb{R}$. Таким образом, хотя люди используют слово «бесконечно малый», чтобы передать интуицию, реальные числа не имеют ненулевых бесконечно малых, поэтому их объяснение ошибочно.

В раннем развитии исчисления Ньютоном и Лейбницем понятие бесконечно малого использовалось широко, но никогда не определялось явно. В ходе истории это было исправлено путем введения ограничений, которые все еще отражают интуицию, но на самом деле определены совершенно точно.

Следует отметить, что другие упорядоченные поля имеют ненулевые бесконечно малые числа. Вы даже можете попытаться найти упорядоченное поле, содержащее все известные и любимые вами действительные числа, а также бесконечно малые, отличные от нуля. Такая штука существует! Абрахам Робинсон впервые показал, что такое упорядоченное поле существует в $1960$, используя теорию моделей, но на самом деле его можно построить с помощью того, что называется сверхмощной конструкцией. *\mathbb{R}$. Имея под рукой гиперреалы, вы можете взять все идеи, которые использовали Ньютон и Лейбниц, и интерпретировать их почти буквально. Исчисление, выполненное таким образом, часто называют нестандартный анализ .

$\endgroup$

10

$\begingroup$

В общем, лучше думать о бесконечно малых как об интуиции или мотивации, а не как о чем-то, что существует на самом деле. В стандартной теории действительных чисел нет такой вещи, как бесконечно малая величина.

На заре исчисления многие идеи определялись в терминах интуитивного представления о бесконечно малых, но в XIX веке20-м веке, когда математики все больше и больше стремились убедиться, что основы математики имеют смысл, они нашли проблемы с бесконечно малыми числами и способ выполнять исчисления, не нуждаясь в бесконечно малых числах, и поэтому отбросили их.

В исчислении «движущая идея» бесконечно малых величин остается в некоторых обозначениях:

$$\frac{dy}{dx}$$ не является дробью, но мы представляем ее как дробь бесконечно малых величин. Главное помнить, что это не на самом деле 9б f(x)\;dx$$ $dx$ снова представляет интуитивную идею бесконечно малого, но это не фактическое число, а обозначение.

Более современная математика может дать строгое основание, включающее бесконечно малые числа. Это нестандартно и, вероятно, сложнее, чем вам нужно.

$\endgroup$

8

$\begingroup$

Бесконечно малые числа являются естественным продуктом человеческого воображения и используются с древних времен, поэтому я бы не назвал их «немыслимо малыми». О них можно думать и даже графически изображать их с помощью педагогического приема микроскопов, как в классическом учебнике Кейслера 9. 0033 Элементарное исчисление .

По моему опыту преподавания бесконечно малых величин в классе, студенты склонны думать о бесконечно малых величинах как о величинах, стремящихся к нулю, или в терминах «переменных величин», как их часто описывали пионеры исчисления, такие как Лейбниц и Коши. Это полезная интуиция, которую следует поощрять, но в конечном итоге они должны быть построены как постоянные (или, как вы говорите, «стационарные») значения, если их нужно формализовать в рамках современной математической структуры. 92$, где $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ алгебраически упрощается до $2x+\Delta x$, и вызывает недоумение исчезновение бесконечно малого члена $\Delta x$, который дает окончательный ответ $2 х$; это формализуется математически в терминах функции стандартной части.

Чтобы ответить на ваш вопрос о приложениях бесконечно малых: их много (см. текст Кейслера), но с точки зрения педагогики они являются полезной альтернативой усложнениям эпсилон, дельта-методов, часто используемых при введении таких понятий исчисления, как непрерывность. Методы эпсилон, дельта включают логические сложности, связанные с чередованием кванторов; многочисленные исследования в области образования показывают, что они часто являются серьезным препятствием для изучения исчисления. Бесконечно малые числа обеспечивают альтернативный подход, более доступный для студентов и не требующий экскурсий в логические сложности, необходимые для эпсилон-дельта-подхода.

На самом деле, вчера я провел небольшой опрос на своем уроке математики, представив (A) эпсилон, дельта-определение и (B) бесконечно малое определение; по крайней мере, две трети студентов нашли определение (Б) более понятным.

Чтобы ответить на недавний комментарий , разница между нашим подходом и подходом Кейслера заключается в том, что мы тратим не менее двух недель на детализацию подхода эпсилон-дельта (после того, как студенты уже понимают основные понятия через их бесконечно малые определения). Таким образом, студенты получают значительное воздействие на оба подходят. Наш образовательный опыт и реакция студентов на наш подход подробно описаны в этой недавней публикации.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Представьте себе число, абсолютное значение которого меньше, чем абсолютное значение любого отличного от нуля действительного числа. Это бесконечно малое число. Вот как я это понимаю.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Я считаю, что современная математика в основном держится подальше от бесконечно малых. Мы предпочитаем говорить в терминах пределов и в предложениях вроде «Для всех чисел $\epsilon$, какими бы малыми они ни были, выполняется следующее свойство».

Я думаю, что нестандартный анализ определяет бесконечно малые: http://en. wikipedia.org/wiki/Non-standard_calculus

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Рассмотрим Бесконечность . Это «стационарное значение»? Где он находится в числовом ряду? Бесконечность — это концепция. Его значение больше, чем любое значение, которое вы можете себе представить.

Аналогично, Бесконечно малый — это понятие; его значение меньше любого значения, которое вы можете себе представить.

Посмотрите это видео, и вы поймете, почему Infinitesimal и Infinitesimal нельзя «объяснить» тому, кто ищет «приложения» / «методологию».

$\endgroup$

1

Inf — калькулятор, который может обрабатывать бесконечные и бесконечно малые числа

Inf — калькулятор, который может обрабатывать бесконечные и бесконечно малые числа. Введите выражение в приглашении : и нажмите Enter. Для получения дополнительной документации прокрутите вниз.

О Информации

Основное использование

Inf — это калькулятор, который может обрабатывать бесконечные и бесконечно малые числа.

9— возведение в степень

<, >, == — сравнения (обратите внимание на двойной знак равенства для проверки на равенство)

()[]{} — Можно использовать все три стиля скобок.

Встроенные функции:

• грех, кос, загар
• асин, акос, атан
• кв, абс.
• эксп, пер

Inf представляет бесконечные и бесконечно малые величины как числа Леви-Чивиты. У студентов, изучающих исчисление, часто создается впечатление, что понятие бесконечного или бесконечно малого числа никогда не может быть определено ни в какой строгой или строгой форме. самосогласованный способ. Это не правда. Туллио Леви-Чивита определил числа Леви-Чивита около 19.00, так что это было известно более века, что существовали строго определяемые системы счисления, включающие бесконечность. Великие математики, такие как Ньютон, Гаусс и Эйлер, использовали бесконечно малы, и теперь, когда современные математики поставили их на более строгую основу, нет причин уклоняться от них. Чтобы узнать больше о применении бесконечно малых по исчислению см. мою бесплатную книгу по исчислению. (Если вы попали сюда из-за того, что в книге по математическому анализу рассказывается о калькуляторе, вы должны понимать, что метод Леви-Чивита числа, используемые Inf, не являются полной гиперреальной системой счисления, упомянутой в книге. Они являются их подмножеством, таким же образом что рациональные числа являются подмножеством действительных чисел. Вот почему некоторые расчеты дают ошибку в калькуляторе, хотя они хорошо определены в гиперреальных числах.)

Есть две основные вещи, которые нужно понять об этой системе:

1. Числа Леви-Чивиты подчиняются всем тем же элементарным аксиомам арифметики, что и действительные числа.
2. Система содержит много разных размеров бесконечных чисел и множество размеров бесконечно малые, но все они выражаются в терминах основного строительного блока d, который является положительной бесконечно малой величиной, которую мы произвольно выделить и дать название.

Вот несколько примеров, которые вы можете попробовать в калькуляторе, чтобы понять, как все это работает: 9-10 … верно, потому что d меньше любого положительного действительного числа

1/0 … не определено

Выражение 1/0 появляется как неопределенное, а не бесконечное число. Это связано с тем, что одним из элементарных Аксиома арифметики состоит в том, что деление на ноль неопределенно. Чтобы получить бесконечный результат, вы можете сделать что-то вроде 1/d, где d — символ встроенный в калькулятор для представления одного конкретного бесконечно малого числа.

• 1/d … не вызывает ошибку, как 1/0 92
• sqrt(d)>d … верно

Чтобы понять, почему должно быть много разных размеров бесконечностей и бесконечно малых величин, рассмотрим следующий пример. Мы можем из элементарных аксиом арифметики следует, что если х больше нуля, то 2х больше х. 4]/д

Результат равен 32+(24)d+8d ² +d ³ , что соответствует тому факту, что производная равна 32. Правильный способ справиться с этим — не сказать, что конечные члены равны нулю, а просто определить производную как стандартную часть . частного dy/dx, что означает его главный член, в котором нет d.

• 1/(1-d) … рассчитывается с использованием геометрического ряда с определенной степенью точности
• exp(d) … вычисляется с использованием ряда Тейлора
• (1-cos d)/d … дает бесконечно малый результат, который эквивалентен утверждению, что lim _x→0 [(1-cos d)/d]=0, что можно проверить с помощью L «Правило больницы

Для удобства дальнейшего определим бесконечную переменную h.

• час=1/день
• h … возвращает свое представление в виде базового строительного блока d
• 2*h>h … верно, потому что 2h больше бесконечности, чем h
• 2*ч+1>2*ч . .. и еще большая бесконечность
• sqrt(h+1)-sqrt(h-1) … показывает, что это выражение (возможно, вопреки здравому смыслу) бесконечно мало
• exp(h) … не определено в системе Levi-Civita

Чтобы усилить утверждение 2 выше, бесконечно малый d не обладает никакими особыми свойствами, которые позволили бы выделить его среди всех остальных положительных бесконечно малых. Мы просто предполагаем его можно выбрать произвольно из множества положительных бесконечно малых. Произвольность этого выбора можно понять по аналогии с комплексные числа. Чтобы построить комплексные числа, мы начнем с предположения, что решение уравнения x ² +1=0 существует. Из аксиом алгебры следует, что таких решений с противоположными знаками два, так как знак x не влияет на значение x ² . Назовем один из них i, а другой -i. Обратите внимание, что совершенно не имеет значения, какой из них i, а какой -i. Аналогично в случае чисел Леви-Чивиты, мы предполагаем, что существует положительное решение бесконечной системы одновременных уравнений {x

Неопределенный результат для exp(1/d) является примером того, что числа Леви-Чивиты представляют собой меньшую систему, чем гиперреальные числа. которые были определены Авраамом Робинсоном около 1960. Гиперреальные числа соответствуют свойствам действительных чисел даже лучше, чем числа Леви-Чивиты. Например, экспоненциальная функция может принимать положительный бесконечный аргумент в гиперреальной системе, но это не работает в системе Леви-Чивиты. числа. Однако гиперреалы не могут быть удобно представлены на компьютере.

Необычные детали

Дополнительные специальные переменные:

• levi_civita_n — задает количество членов, которые следует поддерживать в последовательных разложениях чисел Леви-Чивиты
• точность — устанавливает количество цифр точности для печати в выводе

Дополнительные встроенные операторы:

• ; — разделяет несколько операторов в одной строке
• , — строит массивы, например, (1,2)
• = — присваивает выражение справа переменной с именем слева

Дополнительные встроенные функции:

• этаж, потолок — округлить в меньшую или большую сторону до целого числа
• массив — преобразует число Леви-Чивиты, комплексное число или рациональное число в представление в виде массива 92

В Firefox вы можете использовать стрелку вверх и стрелку вниз, чтобы вернуться к введенным ранее строкам.