Если число делится нацело на 2 и на 5 то оно делится нацело на 10: Заполняем пропуски. 1). Если запись натурального числа оканчивается цифрой __, то оно делится нацело…

Основные правила математики с примерами. 6 класс. Часть 1.

Содержание

Продолжение: Основные правила математики с примерами. 6 класс. Часть 2.

• Делимость натуральных чисел
• Простые и составные числа
• Признаки делимости натуральных чисел
  
• Разложение числа на простые множители
• Основное свойство дроби
• Сокращение дробей
• Наибольший общий делитель
• Наименьшее общее кратное
• Модуль числа
• Сложение и вычитание дробей
• Сложение и вычитание рациональных чисел

Делимость натуральных чисел

Если натуральное число  делится нацело на натуральное чис­ло , то число называют кратным числа , число — делителем числа .

a : b = целое число12  : 1 =12    12 : 2 = 6  12 : 3 = 4 12 : 4 = 3  12 : 6 = 2  12  : 12 = 1

12 -кратное числам 1, 2, 3, 4, 6, 12.

1, 2, 3, 4, 6, 12 — делители 12.

Для любого натурального числа  каждое из чисел

a · 1, a · 2, a · 3,. ..

является кратным числа .

Число 6. Кратные 6 · 1,   6 · 2,    6 · 3,   6 · 4, …      или по-другому запишем   6,  12,   18,   24, …

Наименьшим делителем любого натурального числа  является число , а наибольшим — само число .

Число 6. Наименьший делитель: 1.  Наибольший делитель: 6.

Среди чисел, кратных , наибольшего нет, а наименьшее есть — это само число .

Число 6. Наименьшее кратное: 6. Наибольшее кратное: нет.

Если каждое из чисел и делится нацело на число ,то и сумма также делится нацело на число .

a = 12, b = 6, k = 3 

12  : 3 = 4 -целое,   6 : 3 = 2 — целое      12 и 6 делятся нацело на 3.

+ = 12 + 6 =18       18 : 3 = 6-целое.    18  делится нацело на 3.

Если число  делится нацело на число ,  а число не делится на­цело на число , то сумма также не делится нацело на число .

a = 12, b = 7, k = 3 

12  : 3 = 4 —  целое,   7 : 3 = нецелое число.     7 не делится нацело на 3.

+ = 12 + 7 =19        19 : 3 = нецелое число.  19 не делится нацело на 3.

Простые и составные числа

Натуральное число называют простым, если оно имеет только два разных делителя: единицу и само это число.

Натуральное число, имеющее более двух делителей, называют составным.

Числа 2, 3 , 5, 7 — простые. Каждое имеет 2 делителя: 1 и само число.

Числа 4, 6, 8 — составные. Делители 4: 1, 2, 4;               6: 1, 2, 3, 6;                 8: 1, 2, 4, 8   —    делителей больше 2-ух.

Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, то есть разложить на простые множители.

Число 6. Представим в виде произведения простых чисел: 6 = 2 · 3.

Число 8. Представим в виде произведения простых чисел: 8 = 2 · 2 · 2.

Если наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен 1, то их называют взаимно простыми.

Числа 7 и 15. Наибольший общий делитель этих чисел одновременно — это  1.   7 и 15  — взаимно простые.

Признаки делимости натуральных чисел

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится нацело на 10.

100 делится на 10, так как оканчивается на 0.

Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, отличной от 0, то это число не делится нацело на 10.

17 не делится на 10, так как не оканчивается на 0.

Если натуральное число разделить на 10, то остаток равен числу, записанному последней цифрой этого числа.

Если 17 разделить на 10, то остаток 7.

Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится нацело на 2.

Четные цифры: 0, 2, 4, 6, 8. Число 18 заканчивается на четную цифру 8, поэтому делится на 2.

Если запись натурального числа оканчивается нечетной цифрой, то это число не делится нацело на 2.

Нечетные цифры: 1, 3, 5, 7, 9. Число 19 заканчивается на нечетную цифру 9, поэтому  не делится на 2.

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится нацело на 5.

Числа 20 и 35 делятся на 5, так как оканчиваются  на 0 или 5 соответственно.

Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, отличной от цифр 0 и 5, то это число не делится нацело на 5.

Число 27  не оканчивается ни на 0, ни на 5, поэтому на 5 не делится.

Если сумма цифр натурального числа делится нацело на 9, то и само число делится нацело на 9.

Число 117.  1 + 1 +7  = 9;   9 : 9 = 1;  9  нацело делится на 9, поэтому 117 делится на 9.

Если сумма цифр натурального числа не делится нацело на 9, то и само число не делится нацело на 9.

Число 110.  1 + 1 + 0  = 2;   2 нацело не делится на 9, поэтому 110 не делится на 9.

Если сумма цифр натурального числа делится нацело на 3, то и само число делится нацело на 3.

Число 57.  5 + 7 = 12;   12 : 3 = 4. 12  нацело делится на 4, поэтому 57 делится на 3.

Если сумма цифр натурального числа не делится нацело на 3, то и само число не делится нацело на 3.

Число 56.  5 + 6  = 11;   11 нацело не делится на 3, поэтому 56 не делится на 3.

Разложение числа на простые множители

Разложить числа 12 и 16 на простые множители, представить числа в виде произведения простых множителей:

12631223           1684212222                     12 = 2 · 2 · 3 = 22 · 316 = 2 · 2 · 2 · 2 = 24;;  

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель данной дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получим дробь, равную данной:

ab = a · nb · n

25=2 · 35 · 3=615

равенство сохраняется.

Если числитель и знаменатель данной дроби разделить на их общий делитель (или на одно и то же натуральное число), то получим дробь, равную данной:

a : nb : n = ab 

816=8 : 816 : 8=12 

равенство сохраняется.

Сокращение дробей

Деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от 1, называют сокращением дроби.

924= 9 : 324 : 3=38

  3 — общий делитель чисел 9 и 24.

Дробь, числитель и знаменатель которой — взаимно простые числа, называют несократимой.

38

несократимая дробь, так как числа 3 и 8 взаимно простые.

Если сократить дробь на наибольший общий делитель числителя и знаменателя, то получим несократимую дробь.

2436 = 24 : 1236 : 12=23

Есть общие делители чисел 24 и 36: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Но число 12 — наибольший общий делитель .

Наибольший общий делитель

Найти наибольший общий делитель чисел 12 и 16.

Разложим на простые множители. Выбираем только те множители, которые есть и в первом, и во втором разложении

12631223           1684212222                     НОД(12,16) = 2 · 2 = 4;   Или другая запись: представим в виде произведения простых множителей12 = 2 · 2 · 3 ;16 = 2 · 2 · 2 · 2 ;     НОД(12,16) = 2 · 2 = 4

Наименьшее общее кратное

Найти наименьшее общее кратное чисел 12 и 16. Разложим числа на простые множители. Выпишем разложение первого числа. Дополним числами из разложения второго числа без повторений

12631223           1684212222                     НОК(12,16) = 2 · 2 · 3· 2 · 2 = 24 · 3 = 48;  

Другая запись : представим в виде произведения простых множителей

 12 = 2 · 2 · 3 ;16 = 2 · 2 · 2 · 2 ;     НОК(12,16) =2 · 2 · 3  · 2 · 2 = 48.

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:

• найти наименьший общий знаменатель данных дробей;
• найти дополнительные множители для каждой из дробей, разделив общий знаменатель на знаменатели данных дробей;
• умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее до­полнительный множитель.

Привести дроби к наименьшему общему знаменателю.

524 и 136

1. Найти Наименьшее общее кратное чисел 24 и 36 — это число 72( 72 нацело делится и на 24, и на 36)
2. Посчитать дополнительные множители

72 : 24 = 3;72 : 36 = 2.3. 5\324=5 · 324 · 3=1572;1\236=1 ·2 36 · 2=272.

Целые числа. Рациональные числа

Все натуральные числа, противоположные им числа и число 0 называют целыми числами.

Натуральные числа называют целыми положительными числами. Числа -1, -2, -3, … называют целыми отрицательными числами.

Объединив натуральные числа с целыми отрицательными и нулем, получим целые числа.

Объединив целые числа с дробными, получим рациональные числа.

Модуль числа

Модулем числа называют расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой.

Модуль числа < обозначают так:

a

(читают: «модуль a»).
Модуль положительного числа равен этому числу; модуль отри­цательного числа равен числу, противоположному данному;

a = a, a≥0—a, a<0

Модуль числа принимает только неотрицательные значения. Модули противоположных чисел равны:

a = —a5 = 5,  —5 = —(—5) = 5 или5 =  —5 = 5

Сложение и вычитание дробей

Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.
Чтобы найти разность двух дробей с одинаковыми знаменате­лями, надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычи­таемого, а знаменатель оставить тот же.

15 + 25 = 1 + 25 = 3567 — 27 = 6 — 27 = 47

Чтобы сложить (вычесть) две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю, а потом применить пра­вило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.

15 + 25 = 1 + 25 = 3567 — 27 = 6 — 27 = 47

Сложение и вычитание рациональных чисел

Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо:

• найти модули слагаемых;
• из большего модуля вычесть меньший модуль;
• перед полученным числом поставить знак слагаемого с боль­шим модулем.

—17⏞—17=17+ ⏞>15⏞15=15= —(17 — 15) = —2;—12 + 15 =15 — 12 = 3 —здесь можно 2ое слагаемое вынести вперед и решить как простой пример на вычитание 

Чтобы сложить два отрицательных числа, надо:

• найти модули слагаемых;
• сложить модули слагаемых;
• перед полученным числом поставить знак «-».

— 17⏞—17=17—12⏞—12=12 = —(17 + 12) = —29

Сумма двух противоположных чисел равна нулю:

—a+a=0 или a—a=0

—5 + 5 = 0;5 — 5 = 0.

a+0 = 0+a = a

7 + 0 = 0 + 7 = 7.

Чтобы найти разность двух чисел можно

к уменьшаемому при­бавить число, противоположное вычитаемому.

15 — 3 = 15 + (—3) = 12.

Продолжение: Основные правила математики с примерами. 6 класс. Часть 2.

Данная информация составлена на базе УМК  А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир. Примеры составлены мной Косыхиной Н.В.

Какие из следующих чисел делятся на 2, 5 и 10 мкА. 19400Б. 125370С. 3000000Д. 580911

Последняя обновленная Дата: 26 марта 2023 г.

•

Общее представление: 266,4K

•

Просмотр сегодня: 3,43K

Ответ

. Проверено

266,4K+ просмот тесты на делимость для каждого числа на 2, 5 и 10. Числа, прошедшие тест, считаются делящимися на это число, в противном случае они не делятся.

Полный пошаговый ответ :
Мы проверили каждое и проверили, делится ли число на 2, 5 и 10 или нет.
A. 19400
Это четное число, поэтому оно делится на 2.
Единичная цифра этого числа равна 0, следовательно, делится на 5.
Единичная цифра этого числа равна 0, следовательно, делится на 10.
Следовательно, 19400 делится на 2, 5 и 10.
B. 125370
Это четное число, следовательно, оно делится на 2.
Единичная цифра этого числа равна 0, поэтому оно делится на 5.
Единица этого числа 0, следовательно, делится на 10.
Следовательно, 125370 делится на 2, 5 и 10.
C. 3000000
Это четное число, следовательно, делится на 2.
Единица этого числа 0, следовательно, делится на 5.
Единичная цифра этого числа 0, следовательно, делится на 10.
Следовательно, 3000000 делится на 2, 5 и 10.
D. 580911
Это нечетное число, следовательно, не делится на 2.
Единица измерения этого числа не оканчивается ни на 0, ни на 5, следовательно, не делится на 5.
Единица измерения этого числа не равна 0, следовательно, не делится на 10.
Следовательно, 125370 не делится на 2, 5 и 10.
Следовательно, варианты (A), (B) и (C) делятся на 2, 5 и 10.

Примечание : Делимость на 2: Поскольку мы знаем, что все четные числа делятся на 2, а число является четным числом, если его единичная цифра содержит четные цифры, т. Е. Если число заканчивается такими цифрами, как 0, 2, 4, 6, 8, то число четное и, следовательно, делится на 2.
Делимость на 5: Если число оканчивается на 0 или 5, то оно делится на 5.
Делимость на 10: Если число оканчивается на 0, то оно делится на 10.

Недавно обновленные страницы

Если пружина имеет период T и разрезана на n равный класс 11 физики CBSE

Планета движется вокруг Солнца по почти круговой орбите физика 11 класса CBSE

В любом треугольнике AB2 BC4 CA3 и D является серединой 11 класса математики JEE_Main

Если в aDelta ABCangle A 45circ угол C 60circ тогда математика класса 11 JEE_Main

Если в треугольнике rmABC сторона равна sqrt 3 + 1rmcm и угол класс 11 по математике JEE_Main

Если пружина имеет период T и разрезана на n равный класс 11 по физике CBSE

Планета движется вокруг Солнца почти по кругу орбита класса 11 по физике CBSE

В любом треугольнике AB2 BC4 CA3 и D является средней точкой класса 11 по математике JEE_Main

В треугольнике ABC 2asin dfracAB+C2 равно IIT Класс скрининга 11 по математике JEE_Main

Если в aDelta ABCangle A 45circ угол C 60circ затем 11 класс математики JEE_Main

Если в треугольнике rmABC сторона равна sqrt 3 + 1rmcm и угол класс 11 математика JEE_Main

Тенденции сомнения

делимость — Как доказать, что если число делится на два других числа, то оно делится на их продукт

спросил 8 лет, 11 месяцев назад

Изменено 2 года, 4 месяца назад

Просмотрено 7к раз

$\begingroup$

Я хочу доказать, что если $a \mid n$ и $b \mid n$, то $a \cdot b \mid n$ для $\forall n \ge a \cdot b$, где $a, b, n \in \mathbb{Z}$

Я застрял.
$n = a \cdot k_1$
$n = b \cdot k_2$
$\следовательно a \cdot k_1 = b \cdot k_2$

РЕДАКТИРОВАТЬ: поэтому для fizzbuzz не имеет смысла проверять, число делится на 15, чтобы узнать, делится ли оно и на 3, и на 5?

• элементарная теория чисел
• делимость

$\endgroup$

4

$\begingroup$

Это неверно. Например, 3 | 30 и 6 | 30, но их произведение 18 не делит 30, хотя $3 \times 6 < 30$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Возможно, вы думаете о следующем: если $a\mid n$ и $b\mid n$ и $a,b$ взаимно просты (не имеют общего делителя, кроме 1), то $ab\mid n$.

Доказательство . Имеем $n=ak$ и $n=bl$ для некоторых целых чисел $k,l$. Поэтому $b\mid ak$; поскольку $a,b$ взаимно просты, отсюда следует $b\mid k$, поэтому $k=bm$, поэтому $n=abm$; поэтому $ab\mid n$.