Натуральный логарифм нуля равен: Calculadoras y herramientas en línea

Логарифмы натуральные — Энциклопедия по экономике

Для подобных вычислений могут быть использованы таблицы натуральных логарифмов. Натуральный логарифм 1,0806 равен 0,0775, а антилогарифм 0,0775 равен 1,0806.  [c.143]
Вероятность р уклонения домашнего хозяйства от обследования как функция некоторых его характеристик. В качестве переменных, от которых зависит «вероятность уклонения» р, в данной работе рассматриваются три характеристики z 1 = ln , — логарифм (натуральный) совокупных душевых расходов ДХ  [c.27]

Из формул следует, что общий прирост результативного показателя распределяется по факторам пропорционально отношениям логарифмов факторных индексов к логарифму результативного показателя. И не имеет значения, какой логарифм используется — натуральный или десятичный.  [c.63]

В таком виде эта формула (5) в настоящее время используется как классическая, описывающая логарифмический метод анализа. Из этой формулы следует, что общее приращение результативного показателя распределяется по факторам пропорционально отношению логарифмов факторных индексов к логарифму результативного показателя.

При этом не имеет значения, какой логарифм используется (натуральный In N или десятичный lg N).  [c.126]

In — натуральный логарифм с — стандартное отклонение годового уровня дохода по акциям.  [c.664]

Решение. От исходных значений переменных K/L и Y/L перейдем к их натуральным логарифмам и, используя метод наименьших квадратов, рассчитаем оценки параметров модели (5.19)1. Получим  [c.128]

Отметим, что логарифм здесь может быть любым — натуральным, десятичным или по любому другому основанию.  [c.68]

Так, в качестве модели относительных изменений объемов экспорта и относительного изменения экспортных цен широко используют зарекомендовавшую себя линейную множественную регрессию с двумя причинными и одной результативной переменными, включенными в модель в виде значений натуральных логарифмов соответствующих признаков  [c.114]

Количества перевозимой продукции Qv Q2 и Q3 (на оси абсцисс эти объемные показатели могут быть представлены также в виде десятичных или натуральных логарифмов значений признака), которые видны в точках пересечения At, Аг и Аъ, — это те своеобразные критические массы грузов, что являются границей, разделяющей друг от друга те ситуации, когда с точки зрения формирования расходов выгодно применение того или иного вида транспортных средств.

Следует помнить, что в настоящее время дешевых транспортных средств нет вовсе — можно лишь говорить о тех или иных видовых преимуществах в конкретных ситуациях.  [c.210]

Непрерывно начисляемая ставка доходности равна натуральному логарифму (1+ ставка доходности).  [c.274]

In — натуральный логарифм е — основание натурального логарифма (приблизительно 2,71828) N(d) — вероятность того, что значение нормально распределенной переменной меньше d Методику, аналогичную методике оценки стоимости опционов, можно применить и в других случаях. Во-первых, для оценки стоимости условных требований, связанных с поступлением доходов от акций и облигаций. Во-вторых, для оценки кредитных гарантий. В третьих, для оценки стоимости реальных опционов, содержащихся в инвестиционных решениях в связи с проведением научно-исследовательских работ и выбором направлений развития технологий производства.  [c.282]

Дело в том, что сумма найденных по методу наименьших квадратов значений выравненной кривой должна равняться сумме значений эмпирической кривой, и в этом заключается одно из оправданий применения метода. Но в случае указанной процедуры равенство суммы значений теоретического и эмпирического рядов соблюдается лишь по отношению к прямой в логарифмах, найденной методом наименьших квадратов, но не должно обязательно иметь место для этих рядов в натуральном масштабе теоретические значения показательной кривой для первоначального ряда обнаруживают часто систематическое, смещение, и их сумма и сумма членов исходного ряда разнятся и иногда очень существенно.  [c.128]

Набор совокупности месторождений для каждой имитации.. Предполагается, что потенциальные ресурсы НГО оцениваются величиной R, распределение же месторождений по запасам характеризуется случайной величиной. При этом натуральные логарифмы величин запасов распределены по нормальному закону с математическим ожиданием ц и дисперсией ст2. Тогда функция плотности вероятностей величины запасов z имеет следующий вид  [c.209]

Исследуемой выборкой случайных величин будут натуральные логарифмы отношения цен закрытия индекса РТС.  [c. 85]

Вернемся к полученной в предыдущем параграфе гистограмме натуральных логарифмов относительного изменения цены закрытия индекса РТС.  [c.89]

Так как эта книга полна математических уравнений, я попытался сделать математические обозначения легкими для понимания, причем настолько легкими, чтобы их можно было взять из текста и перенести на экран компьютера. Умножение всегда будет обозначаться звездочкой ( ), а возведение в степень будет обозначаться поднятым знаком вставки (Л). Поэтому квадратный корень числа будет обозначаться так Л(1/2). Вы никогда не встретите знак корня. Деление в большинстве случаев выражено черточкой (/). При использовании знака корня и средства выражения деления с помощью горизонтальной линии длинные подкоренные выражения, а также выражения в числителе и знаменателе дроби, часто не берутся в скобки. При переводе такого выражения в компьютерный код может возникнуть путаница, мы избежим ее с помощью этих условных обозначений для деления и возведения в степень.

Скобки будут единственным оператором группировки, и они могут быть использованы для ясности выражения, даже если в них математически нет необходимости. В качестве оператора группировки также могут использоваться фигурные скобки. Большинство математических функций, используемых в книге, довольно просты (например, функция абсолютного значения и функция натурального логарифма). Есть одна функция, которая может быть знакома не всем читателям, — это экспоненциальная функция, обозначаемая в книге ЕХР(). Математически она чаще выражается как постоянная е, равная 2,7182818285, возведенная в степень. Таким образом  [c.9]

Различие между десятичным и натуральным логарифмом следующее. Десятичный логарифм — это логарифм, который имеет в основании 10, в то время как натуральный логарифм имеет в основании число е, где е = 2,7182818285. Десятичный логарифм X математически обозначается log(X), в то время как натуральный логарифм обозначается 1п(Х). Натуральный логарифм может быть преобразован в десятичный путем умножения натурального логарифма на 0,4342917.

Таким же образом мы можем преобразовать десятичный логарифм в натуральный путем умножения десятичного логарифма на 2,3026.  [c.101]

Заметим, что выражение в квадратных скобках стремится к единице, а показатель степени — к — оо, т. е. получаем неопределенность типа 171е0. Пусть этот предел равен А. Найдем предел натурального логарифма изучаемой нами функции, который должен быть равен In A  [c.66]

Иногда удобно применять натуральное основание логарифма е. В этом случае получающиеся единицы информации называются натуральными или натоми. Переход от основания а к основанию b требует лишь умножения на logA a.  [c.23]

В конце концов одна компания объявила о непрерывно начисляемом сложном проценте, так что выплаты производились равномерно и непрерывно в течение года. Применительно к нашей формуле это означает, что т стремится к бесконечности8. Может показаться, что это означает огромный объем вычислений для наших сберегательных и кредитных компаний. К счастью, кто-то еще помнил курс алгебры средней школы и заметил, что если т стремится к бесконечности, то выражение [1 + (г/т) » приближенно равно (2,718).

Число 2,718, или, как его обозначают, е — это основание натурального логарифма.  [c.39]

Введем функцию S(a] — ln(l + avg %profit (a) . Так как натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, то максимум функции S(a) соответствует  [c.207]

Чему равен натуральный логарифм 1 2. Разбираемся с натуральным логарифмом

нередко берут цифру е = 2,718281828 . Логарифмы по данному основанию именуют натуральным . При проведении вычислений с натуральными логарифмами общепринято оперировать знаком l n , а не log ; при этом число 2,718281828 , определяющие основание, не указывают.

Другими словами формулировка будет иметь вид: натуральный логарифм числа х — это показатель степени , в которую нужно возвести число e , чтобы получить x .

Так, ln(7,389…) = 2, так как e 2 =7,389… . Натуральный логарифм самого числа e = 1, потому что e 1 =e , а натуральный логарифм единицы равен нулю, так как e 0 = 1.

Само число е определяет предел монотонной ограниченной последовательности

вычислено, что е = 2,7182818284… .

Весьма часто для фиксации в памяти какого либо числа, цифры необходимого числа ассоциируют с какой-нибудь выдающейся датой. Скорость запоминания первых девяти знаков числа е после запятой возрастет, если заметить, что 1828 — это год рождения Льва Толстого!

На сегодняшний день существуют достаточно полные таблицы натуральных логарифмов.

График натурального логарифма (функции y = ln x ) является следствием графика экспоненты зеркальным отражением относительно прямой у = х и имеет вид:

Натуральный логарифм может быть найден для каждого положительного вещественного числа a как площадь под кривой y = 1/x от 1 до a .

Элементарность этой формулировку, которая состыковывается со многими другими формулами, в которых задействован натуральный логарифм, явилось причиной образования названия «натуральный».

Если анализировать натуральный логарифм , как вещественную функцию действительной переменной, то она выступает обратной функцией к экспоненциальной функции, что сводится к тождествам:

e ln(a) =a (a>0)

ln(e a) =a

По аналогии со всеми логарифмами, натуральный логарифм преобразует умножение в сложение, деление в вычитание:

ln (xy ) = ln (x ) + ln (y )

ln (х/у)= lnx — lny

Логарифм может быть найден для каждого положительного основания, которое не равно единице, а не только для e , но логарифмы для других оснований отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем, и, обычно, определяются в терминах натурального логарифма.

Проанализировав график натурального логарифма, получаем, что он существует при положительных значениях переменной x . Он монотонно возрастает на своей области определения.

При x → 0 пределом натурального логарифма выступает минус бесконечность ( -∞ ).При x → +∞ пределом натурального логарифма выступает плюс бесконечность ( + ∞ ). При больших x логарифм возрастает довольно медленно. Любая степенная функция x a с положительным показателем степени a возрастает быстрее логарифма. Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумы у него отсутствуют.

Использование натуральных логарифмов весьма рационально при прохождении высшей математики. Так, использование логарифма удобно для нахождения ответа уравнений, в которых неизвестные фигурируют в качестве показателя степени. Применение в расчетах натуральных логарифмом дает возможность изрядно облегчить большое количество математических формул. Логарифмы по основанию е присутствуют при решении значительного числа физических задач и естественным образом входят в математическое описание отдельных химических, биологических и прочих процессов. Так, логарифмы употребляются для расчета постоянной распада для известного периода полураспада, или для вычисления времени распада в решении проблем радиоактивности. Они выступают в главной роли во многих разделах математики и практических наук, к ним прибегают в сфере финансов для решения большого числа задач, в том числе и в расчете сложных процентов.

Натуральный логарифм

График функции натурального логарифма. Функция медленно приближается к положительной бесконечности при увеличении x и быстро приближается к отрицательной бесконечности, когда x стремится к 0 («медленно» и «быстро» по сравнению с любой степенной функцией от x ).

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию , где e — иррациональная константа, равная приблизительно 2,718281 828 . Натуральный логарифм обычно обозначают как ln(x ), log e (x ) или иногда просто log(x ), если основание e подразумевается.

Натуральный логарифм числа x (записывается как ln(x) ) — это показатель степени , в которую нужно возвести число e , чтобы получить x . Например, ln(7,389…) равен 2, потому что e 2 =7,389… . Натуральный логарифм самого числа e (ln(e) ) равен 1, потому что e 1 = e , а натуральный логарифм 1 (ln(1) ) равен 0, поскольку e 0 = 1.

Натуральный логарифм может быть определён для любого положительного вещественного числа a как площадь под кривой y = 1/x от 1 до a . Простота этого определения, которое согласуется со многими другими формулами, в которых применяется натуральный логарифм, привела к появлению названия «натуральный». Это определение можно расширить на комплексные числа , о чём будет сказано ниже.

Если рассматривать натуральный логарифм как вещественную функцию действительной переменной, то она является обратной функцией к экспоненциальной функции, что приводит к тождествам:

Подобно всем логарифмам, натуральный логарифм отображает умножение в сложение:

Таким образом, логарифмическая функция представляет собой изоморфизм группы положительных действительных чисел относительно умножения на группу вещественных чисел по сложению, который можно представить в виде функции :

Логарифм может быть определён для любого положительного основания, отличного от 1, а не только для e , но логарифмы для других оснований отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем, и, как правило, определяются в терминах натурального логарифма. Логарифмы полезны для решения уравнений, в которых неизвестные присутствуют в качестве показателя степени. Например, логарифмы используются для нахождения постоянной распада для известного периода полураспада, или для нахождения времени распада в решении проблем радиоактивности . Они играют важную роль во многих областях математики и прикладных наук, применяются в сфере финансов для решения многих задач, включая нахождение сложных процентов.

История

Первое упоминание натурального логарифма сделал Николас Меркатор в работе Logarithmotechnia , опубликованной в 1668 году , хотя учитель математики Джон Спайделл ещё в 1619 году составил таблицу натуральных логарифмов. Ранее его называли гиперболическим логарифмом, поскольку он соответствует площади под гиперболой. Иногда его называют логарифмом Непера, хотя первоначальный смысл этого термина был несколько другой.

Конвенции об обозначениях

Натуральный логарифм принято обозначать через «ln(x )», логарифм по основанию 10 — через «lg(x )», а прочие основания принято указывать явно при символе «log».

Во многих работах по дискретной математике, кибернетике, информатике авторы используют обозначение «log(x )» для логарифмов по основанию 2, но это соглашение не является общепринятым и требует разъяснения либо в списке использованных обозначений, либо (при отсутствии такого списка) сноской или комментарием при первом использовании.

Скобки вокруг аргумента логарифмов (если это не приводит к ошибочному чтению формулы) обычно опускают, а при возведении логарифма в степень показатель приписывают непосредственно к знаку логарифма: ln 2 ln 3 4x 5 = [ ln( 3 )] 2 .

Англо-американская система

Математики, статистики и часть инженеров обычно используют для обозначения натурального логарифма либо «log(x )», либо «ln(x )» , а для обозначения логарифма по основанию 10 — «log 10 (x )».

Некоторые инженеры, биологи и другие специалисты всегда пишут «ln(x )» (или изредка «log e (x )»), когда они имеют в виду натуральный логарифм, а запись «log(x )» у них означает log 10 (x ).

log e является «натуральным» логарифмом, поскольку он возникает автоматически и появляется в математике очень часто. Например, рассмотрим проблему производной логарифмической функции:

Если основание b равно e , то производная равна просто 1/x , а при x = 1 эта производная равна 1. Другим обоснованием, по которому основание e логарифма является наиболее натуральным, является то, что он может быть довольно просто определён в терминах простого интеграла или ряда Тейлора , чего нельзя сказать о других логарифмах.

Дальнейшие обоснования натуральности не связаны со счислением. Так, например, есть несколько простых рядов с натуральными логарифмами. Пьетро Менголи и Николай Меркатор называли их логарифмус натуралис несколько десятилетий до тех пор, пока Ньютон и Лейбниц не разработали дифференциальное и интегральное исчисление.

Определение

Формально ln(a ) может быть определён как площадь под кривой графика 1/x от 1 до a , т. е. как интеграл :

Это действительно логарифм, поскольку он удовлетворяет фундаментальному свойству логарифма:

Это можно продемонстрировать, допуская следующим образом:

Численное значение

Для расчета численного значения натурального логарифма числа можно использовать разложение его в ряд Тейлора в виде:

Чтобы получить лучшую скорость сходимости, можно воспользоваться следующим тождеством:

при условии, что y = (x −1)/(x +1) и x > 0.

Для ln(x ), где x > 1, чем ближе значение x к 1, тем быстрее скорость сходимости. Тождества, связанные с логарифмом, можно использовать для достижения цели:

Эти методы применялись ещё до появления калькуляторов, для чего использовались числовые таблицы и выполнялись манипуляции, аналогичные вышеописанным.

Высокая точность

Для вычисления натурального логарифма с большим количеством цифр точности ряд Тейлора не является эффективным, поскольку его сходимость медленная. Альтернативой является использование метода Ньютона , чтобы инвертировать в экспоненциальную функцию, ряд которой сходится быстрее.

Альтернативой для очень высокой точности расчёта является формула:

где M обозначает арифметико-геометрическое среднее 1 и 4/s, и

m выбрано так, что p знаков точности достигается. (В большинстве случаев значение 8 для m вполне достаточно.) В самом деле, если используется этот метод, может быть применена инверсия Ньютона натурального логарифма для эффективного вычисления экспоненциальной функции. (Константы ln 2 и пи могут быть предварительно вычислены до желаемой точности, используя любой из известных быстро сходящихся рядов.)

Вычислительная сложность

Вычислительная сложность натуральных логарифмов (с помощью арифметико-геометрического среднего) равна O(M (n ) ln n ). Здесь n — число цифр точности, для которой натуральный логарифм должен быть оценен, а M (n ) — вычислительная сложность умножения двух n -значных чисел.

Непрерывные дроби

Хотя для представления логарифма отсутствуют простые непрерывные дроби , но можно использовать несколько обобщённых непрерывных дробей, в том числе:

Комплексные логарифмы

Экспоненциальная функция может быть расширена до функции, которая даёт комплексное число вида e x для любого произвольного комплексного числа x , при этом используется бесконечный ряд с комплексным x . Эта показательная функция может быть инвертирована с образованием комплексного логарифма, который будет обладать большей частью свойств обычных логарифмов. Есть, однако, две трудности: не существует x , для которого e x = 0, и оказывается, что e 2πi = 1 = e 0 . Поскольку свойство мультипликативности действительно для комплексной экспоненциальной функции, то e z = e z +2nπi для всех комплексных z и целых n .

Логарифм не может быть определён на всей комплексной плоскости , и даже при этом он является многозначным — любой комплексный логарифм может быть заменён на «эквивалентный» логарифм, добавив любое целое число, кратное 2πi . Комплексный логарифм может быть однозначным только на срезе комплексной плоскости. Например, ln i = 1/2 πi или 5/2 πi или −3/2 πi , и т.д., и хотя i 4 = 1, 4 log i может быть определена как 2πi , или 10πi или −6 πi , и так далее.

См. также

• Джон Непер — изобретатель логарифмов

Примечания

1. Mathematics for physical chemistry . — 3rd. — Academic Press, 2005. — P. 9. — ISBN 0-125-08347-5 , Extract of page 9
2. J J O»Connor and E F Robertson The number e . The MacTutor History of Mathematics archive (сентябрь 2001). Архивировано
3. Cajori Florian A History of Mathematics, 5th ed . — AMS Bookstore, 1991. — P. 152. — ISBN 0821821024
4. Flashman, Martin Estimating Integrals using Polynomials . Архивировано из первоисточника 12 февраля 2012.

Совсем неплохо, правда? Пока математики подбирают слова, чтобы дать вам длинное путанное определение, давайте поближе посмотрим на это простое и ясное.

Число e означает рост

Число e означает непрерывный рост. Как мы видели в прошлом примере, e x позволяет нам увязать процент и время: 3 года при росте 100% есть то же самое, что и 1 год при 300%, при условии «сложных процентов».

Можно подставлять любые значения процента и времени (50% на протяжении 4 лет), но лучше задать процент как 100% для удобства (получается 100% на протяжении 2 лет). За счёт перехода к 100% мы можем сфокусироваться исключительно на компоненте времени:

e x = e процент * время = e 1.0 * время = e время

Очевидно, что e x означает:

• насколько вырастет мой вклад через x единиц времени (при условии 100%-го непрерывного роста).
• например, через 3 промежутка времени я получу в e 3 = 20.08 раз больше «штуковин».

e x — это масштабирующий коэффициент, показывающий, до какого уровня мы вырастем за x отрезков времени.

Натуральный логарифм означает время

Натуральный логарифм — это инверсия числа e, такой причудливый термин для обозначения противоположности. Кстати, о причудах; по латыни он называется logarithmus naturali , отсюда и появилась аббревиатура ln.

И что эта инверсия или противоположность означает?

• e x позволяет нам подставить время и получить рост.
• ln(x) позволяет нам взять рост или доход и узнать время, необходимое для его получения.

Например:

• e 3 равняется 20.08. Через три отрезка времени у нас будет в 20.08 раз больше того, с чего мы начали.
• ln(20.08) будет примерно 3. Если вас интересует рост в 20.08 раз, вам понадобится 3 промежутка времени (опять же, при условии стопроцентного непрерывного роста).

Всё ещё читаете? Натуральный логарифм показывает время, нужное, чтобы достичь желаемого уровня.

Этот нестандартный логарифмический счёт

Вы проходили логарифмы — это странные существа. Как им удалось превратить умножение в сложение? А деление в вычитание? Давайте посмотрим.

Чему равняется ln(1)? Интуитивно понятно, что вопрос стоит так: сколько нужно ждать, чтобы получить в 1 раз больше того, что у меня есть?

Ноль. Нуль. Нисколько. У вас уже это есть единожды. Не требуется нисколько времени, чтобы от уровня 1 дорости до уровня 1.

• ln(1) = 0

Хорошо, что насчёт дробного значения? Через сколько у нас останется 1/2 от имеющегося количества? Мы знаем, что при стопроцентном непрерывном росте ln(2) означает время, необходимое для удвоения. Если мы обратим время вспять (т.е. подождём отрицательное количество времени), то получим половину от того, что имеем.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0.693

Логично, правда? Если мы вернёмся назад (время вспять) на 0.693 секунды, то обнаружим половину имеющегося количества. Вообще можно переворачивать дробь и брать отрицательное значение: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. Это означает, что, если мы вернёмся в прошлое на 1.09 отрезков времени, то обнаружим только треть от нынешнего числа.

Ладно, а как насчёт логарифма отрицательного числа? Сколько времени нужно, чтобы «вырастить» колонию бактерий от 1 до -3?

Это невозможно! Нельзя получить отрицательное число бактерий, не так ли? Вы можете получить максимум (эээ. .. минимум) нуль, но вам никак не получить отрицательное число этих маленьких тварей. В отрицательном числе бактерий просто нет смысла.

• ln(отрицательное число) = неопределено

«Неопределено» означает, что нет такого промежутка времени, который надо было бы прождать, чтобы получить отрицательное значение.

Логарифмическое умножение — просто умора

Сколько времени займёт четырёхкратный рост? Конечно, можно просто взять ln(4). Но это слишком просто, мы пойдём другим путём.

Можно представить четырёхкратный рост как удвоение (требующее ln(2) единиц времени) и затем снова удвоение (требующее ещё ln(2) единиц времени):

• Время на 4х рост = ln(4) = Время на удвоится и затем ещё раз удвоится = ln(2) + ln(2)

Интересно. Любой показатель роста, скажем, 20, можно рассматривать как удвоение сразу после 10-кратного увеличения. Или роста в 4 раза, и затем в 5 раз. Либо же утроение и затем увеличение в 6.666 раз. Видите закономерность?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Логарифм от A, умноженного на B, есть log(A) + log(B). Это отношение сразу обретает смысл, если оперировать в терминах роста.

Если вас интересует 30-кратный рост, вы можете подождать ln(30) за один присест, либо же подождать ln(3) Для утроения, и затем ещё ln(10) для удесятирения. Конечный результат тот же самый, так что конечно время должно оставаться постоянным (и остаётся).

Что на счёт деления? В частности, ln(5/3) означает: сколько времени понадобится для того, чтобы вырасти в 5 раз, и затем получить 1/3 от этого?

Отлично, рост в 5 раз есть ln(5). Рост в 1/3 раза займёт -ln(3) единиц времени. Итак,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Сие означает: дайте вырасти в 5 раз, и затем «вернитесь во времени» к той отметке, где останется всего треть от того количества, так что у вас получится 5/3 рост. В общем получается

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Я надеюсь, что странная арифметика логарифмов начинает обретать для вас смысл: умножение показателей роста становится сложением единиц времени роста, а деление превращается в вычитание единиц времени. Не надо запоминать правила, попробуйте осознать их.

Использование натурального логарифма при произвольном росте

Ну конечно, — скажете вы, — это всё хорошо, если рост 100%-ный, а что в случае 5%, которые я получаю?»

Нет проблем. «Время», которое мы рассчитываем с помощью ln(), на самом деле является комбинацией процентной ставки и времени, тот самый Х из уравнения e x . Мы всего лишь решили задать процент как 100% для простоты, но мы вольны использовать любые числа.

Допустим, мы хотим достичь 30-кратного роста: берём ln(30) и получаем 3.4 Это означает:

• e x = рост
• e 3.4 = 30

Очевидно, это уравнение означает «100%-ная доходность на протяжении 3.4 лет даёт рост в 30 раз». Мы можем записать это уравнение в таком виде:

• e x = e ставка*время
• e 100% * 3.4 года = 30

Мы можем менять значения «ставки» и «времени», лишь бы ставка * время оставалось 3.4. Например, если нас интересует 30-кратный рост — сколько нам придётся ждать при процентной ставке 5%?

• ln(30) = 3. 4
• ставка * время = 3.4
• 0.05 * время = 3.4
• время = 3.4 / 0.05 = 68 лет

Я рассуждаю так: «ln(30) = 3.4, значит, при 100%-ном росте это займёт 3.4 года. Если я удвою скорость роста, необходимое время уменьшится вдвое».

• 100% за 3.4 года = 1.0 * 3.4 = 3.4
• 200% за 1.7 года = 2.0 * 1.7 = 3.4
• 50% за 6.8 года = 0.5 * 6.8 = 3.4
• 5% за 68 года = .05 * 68 = 3.4 .

Здорово, правда? Натуральный логарифм может использоваться с любыми значениями процентной ставки и времени, поскольку их произведение остаётся постоянным. Можете перемещать значения переменных сколько душе угодно.

Отпадный пример: Правило семидесяти двух

Правило семидесяти двух — математический приём, позволяющий оценить, сколько времени понадобится, чтобы ваши деньги удвоились. Сейчас мы его выведем (да!), и более того, мы попробуем уяснить его суть.

Сколько времени понадобится, чтобы удвоить ваши деньги при 100% ставке, нарастающей ежегодно?

Оп-па. Мы использовали натуральный логарифм для случая с непрерывным ростом, а теперь ты ведёшь речь о ежегодном начислении? Не станет ли это формула непригодной для такого случая? Да, станет, однако для реальных процентных ставок вроде 5%, 6% или даже 15%, разница между ежегодным начислением процентов и непрерывным ростом будет невелика. Так что грубая оценка работает, мм, грубо, так что мы сделаем вид, что у нас полностью непрерывное начисление.

Теперь вопрос прост: Как быстро можно удвоиться при 100%-ном росте? ln(2) = 0.693. Нужно 0.693 единиц времени (лет — в нашем случае), чтобы удвоить нашу сумму с непрерывным ростом 100%.

Так, а что если процентная ставка — не 100%, а скажем, 5% или 10%?

Легко! Поскольку ставка * время = 0.693, мы удвоим сумму:

• ставка * время = 0.693
• время = 0.693 / ставка

Получается, если рост 10%-ный, это займёт 0.693 / 0.10 = 6.93 лет на удвоение.

Чтобы упростить вычисления, давайте домножим обе части на 100, тогда можно будет говорить «10», а не «0. 10″:

• время на удвоение = 69.3 / ставка, где ставка выражена в процентах.

Теперь черёд удваиваться при ставке 5%, 69.3 / 5 = 13.86 лет. Однако 69.3 — не самое удобное делимое. Давайте выберем близкое число, 72, которое удобно делить на 2, 3, 4, 6, 8 и другие числа.

• время на удвоение = 72 / ставка

что и является правилом семидесяти двух. Всё шито-крыто.

Если вам нужно найти время для утроения, можете использовать ln(3) ~ 109.8 и получить

• время на утроение = 110 / ставка

Что является ещё одним полезным правилом. «Правило 72» применимо росту по процентным ставкам, росту населения, культур бактерий, и всего, что растёт экспоненциально.

Что дальше?

Надеюсь, натуральный логарифм теперь приобрёл для вас смысл — он показывает время, необходимое для роста любого числа при экспоненциальном росте. Я думаю, натуральным он называется потому, что e — универсальная мера роста, так что ln можно считать универсальным способом определения, сколько времени нужно для роста.

Каждый раз, когда вы видите ln(x), вспоминайте «время, нужное, чтобы вырасти в Х раз». В предстоящей статье я опишу e и ln в связке, так что свежий аромат математики заполнит воздух.

Дополнение: Натуральный логарифм от e

Быстрая викторина: сколько будет ln(e)?

• математический робот скажет: поскольку они определены как инверсия одна другой, очевидно, что ln(e) = 1.
• понимающий человек: ln(e) это число времени, чтобы вырасти в «е» раз (около 2.718). Однако число e само по себе является мерой роста в 1 раз, так что ln(e) = 1.

Мыслите ясно.

9 сентября 2013

Почему журнал 0 не определен?

журнал 0 не определен. Это не настоящее число, потому что вы никогда не сможете получить ноль, возведя что-либо в степень любого другого числа . Вы никогда не сможете достичь нуля, вы можете только приблизиться к нему, используя бесконечно большую и отрицательную силу.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на mclph.umn.edu

Является ли log 0 минус бесконечность?

Это означает, что значение log 0 примерно равно отрицательной бесконечности.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на infinitylearn.com

Может ли быть нулевой лог?

Логарифм нуля не определен — математически невозможно нанести ноль на логарифмическую шкалу. Вместо того чтобы вводить ноль, вы можете ввести низкое значение (скажем, -10 по логарифмической шкале), а затем использовать настраиваемые отметки, чтобы правильно пометить график (чтобы он был помечен как «0», а не как «-10».

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на graphpad.com

Каково значение логарифма 0?

Логарифмическая функция logab может быть определена только в том случае, если b > 0, и совершенно невозможно найти значение x, если ax = 0. Следовательно, log0 10 или log of 0 не определены. Никакое число не может соответствовать уравнению, если x равно любому значению. Следовательно, log 0 равен не определено.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на vedantu.com

В чем отличие журнала 0?

Итак, основание 10 логарифма нуля не определено. Натуральная логарифмическая функция 0 обозначается как «log _и 0”. Он также известен как логарифмическая функция от 0 по основанию e. Представление натурального логарифма 0 есть ln (0).

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на byjus.com

Почему мы не можем найти журнал 0?

Как вы справляетесь с журналом 0?

Методы работы с нулевыми значениями при выполнении логарифмического преобразования переменной

1. Добавьте постоянное значение © к каждому значению переменной, затем выполните логарифмическое преобразование.
2. Присвоить нулевое значение среднему значению.
3. Использовать квадратный корень вместо логарифмического для преобразования.

Запрос на удаление

| Полный ответ см. на обсуждение.analyticsvidhya.com

Почему журнал 1 равен нулю?

Как мы знаем, любое число, возведенное в степень 0, равно 1. Таким образом, 10, возведенное в степень 0, делает приведенное выше выражение верным. Это будет условием для всех базовых значений log, где основание, возведенное в степень 0, даст ответ как 1. Следовательно, значение log 1 равно нулю. 9t всегда 1, как мы знаем. Следовательно, логарифмическая база 1 может быть определена только в одной точке 1, и ее значение может быть любым, поэтому она не будет функцией. В частности, логарифмическая база 1 (1) не определена.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на quora.com

Определена ли база журнала 1?

Но мы знаем, что 1 в любой степени всегда равно 1. Итак, log a (по основанию 1) не определен.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на quora.com

Определен ли журнал на бесконечности?

Log _e ∞ = ∞ (или) ln( ∞)= ∞

Как десятичное, так и натуральное логарифмическое значение бесконечности имеют одно и то же значение.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на byjus.com

Почему log10 равен 1?

Мы знаем, что log _a a=1. Следовательно, значение log 10 base 10 = 1, это из-за значения e ¹ =1.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на vedantu.com

Отрицательное значение журнала не определено?

Логарифмы отрицательных чисел не определены в действительных числах так же, как квадратные корни отрицательных чисел не определены в действительных числах. Логарифм отрицательных чисел не определен.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на vedantu.com

Может ли журнал базы быть между 0 и 1?

Таким образом, для любого основания b > 1 логарифмы чисел от 0 до 1 являются отрицательными числами, логарифм 1 равен 0, а логарифмы чисел больше 1 являются положительными действительными числами, как показано на изображении ниже.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на theochem.ru.nl

Что имеет натуральный логарифм 0?

Ответ и объяснение: Натуральный логарифм 0, ln(0), является неопределенным числом. Натуральный логарифм, обозначаемый ln(x), представляет собой логарифм с основанием e, что означает, что ln(e) = loge(x).

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на homework.study.com

Какой журнал невозможен?

Следовательно, log 5-7 — это тот, который невозможен в логарифмических выражениях.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на brainly.in

Существует ли логарифм 0 с основанием 10?

Логарифмическая функция от 0 до основания 10 обозначается как «log10 0». … Невозможно найти значение х, если ах = 0, т. е. 10х = 0, где х не существует. Итак, основание 10 логарифма нуля не определено.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на brainly.in

Что такое комплексный логарифм 0?

log 0 и -1/0 не имеют значений.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на quora.com

Что такое значение log100?

Следовательно, значение log 100 равно 2 .

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на byjus.com

Каково значение журнала 001 )?

=−3∗1=−3 или 3.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на toppr.com

Возможен ли журнал (- 1?

log(−1)=(2n+1)πi,n=0,±1,… Определение логарифма, которое я использую, таково: logz — это любое комплексное число w такое, что ew=z.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на math.stackexchange.com

Что такое значение журнала 2?

Значение журнала 2 по основанию 10 равно 0,301. Логарифмическая функция или функция логарифма используется в большинстве математических задач, которые содержат экспоненциальные функции.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на byjus.com

Сколько будет 10 в нулевой степени?

Числа в нулевой степени равны единице. В предыдущих примерах показаны степени больше единицы, но что происходит, когда она равна нулю? Быстрый ответ заключается в том, что любое число b в нулевой степени равно единице.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на freecodecamp.org

Как определяется журнал?

Логарифм определяется как степень, в которую нужно возвести число, чтобы получить другие значения. Другими словами, он дает ответ на вопрос «Сколько раз нужно умножить число, чтобы получить другое число?». Логарифм числа выражается как. журнал _б х = у.

Запрос на удаление

| Посмотреть полный ответ на byjus.com

← Предыдущий вопрос
Могут ли животные определить, когда вы плачете?

Следующий вопрос →
Кто нуб в PUBG?

python — Как применить натуральный логарифм к матрице и получить ноль, когда запись матрицы равна нулю

спросил 3 года 5 месяцев назад

Изменено 3 года, 5 месяцев назад

Просмотрено 286 раз

В Python у меня есть матрица с некоторыми нулевыми значениями, как я могу применить натуральный логарифм и получить ноль, когда запись матрицы равна нулю? Я использую numpy. log(matrix) для применения функции натурального логарифма, но я получаю nan, когда запись матрицы равна нулю, и я хотел бы, чтобы вместо этого она была равна нулю

• python
• numpy
• natural- логарифм

1

Вы можете сделать что-то вроде этого:

 обр = numpy.nan_to_num (numpy.log (матрица))
 

Поведение nan_to_num заменяет все значения NaN нулями.

Дополнительную информацию можно найти здесь:

• https://docs.scipy.org/doc/numpy-1.13.0/reference/generated/numpy.nan_to_num.html

Другой вариант — передать маску аргументу where= функции np.log.

Вы можете использовать np.where. Seterr должен отключить предупреждение.

RuntimeWarning: деление на ноль встречается в журнале

В:

 np.seterr(разделить = 'игнорировать')
матрица = np.массив ([[10,0,5], [0,10,12]])
np.where (матрица == 0, 0, np. log (матрица))
 

Выход: массив

([[2.30258509, 0. , 1.60943791],
       [0. , 2.30258509, 2.48490665]])
 

3

Вы можете использовать numpy.log1p , он будет оцениваться как ноль, если запись равна нулю (поскольку журнал 1 равен нулю), а обратная операция — numpy.expm1 .

Дополнительную информацию можно найти в документации:

1. Log1p
2. Эксперимент1

np.log — это ufunc , который принимает параметр , где . Это говорит ему, какие элементы x будут использоваться в расчете. Остальные пропускаются. Это лучше всего использовать с параметром из , как показано ниже:

 В [25]: x = np.array([1.,2,0,3,10,0])
В [26]: res = np.zeros_like(x)
В [27]: idx = x>0
В [28]: np.log(x)
/usr/local/bin/ipython3:1: RuntimeWarning: в журнале встречается деление на ноль
 #!/usr/bin/python3
Вышли[28]:
массив([0.
No related posts.