Логарифмы
ЛОГАРИТМЫ
Обратная экспоненциальная функция— Натуральный логарифм
График
y = e x
ясно показывает, что это функция один к одному, следовательно, обратная
существуют.
Мы называем это обратное естественным
логарифм . и запиши это как
у = ln x
Ниже приведен график
у = е х
и
у = ln х
По определению, они являются отражением друг друга по всему линия у = х.
Обратные свойства журналов
Поскольку логарифмы и экспоненты компенсируют друг друга, мы имеем:
e ln x = x
и
ln e x = x
Пример
е пер 3 = 3 а также ln(e 5 ) = 5
Три свойства журналов
Свойство 1: ln (uv) = ln u + ln v ( Правило произведения к сумме)
Имущество 2: ln (u/v) = ln u — ln v (Коэффициент к правилу разности)
Свойство 3: ln u r = r ln u (Правило силы)
Пример:
Развернуть:
ln (xy 2 /z)
по свойству 2 имеем:
ln (xy 2 ) — ln z
по свойству 1 имеем
пер х + пер у 2 — пер z
По свойству 3 имеем
пер х + 2 пер у — пер z
Упражнение
Попробуйте расширить
Пример
Запишите в виде единичного логарифма:
4ln x — 1/2ln y + ln z
Решение
Сначала мы используем свойство 3, чтобы написать:
ln x 4 — ln y 1/2 + ln z
Теперь используем свойство 2:
х 4
п
+ ln z
Наконец, мы используем свойство 3:
х 4 г
п
+ пер.
Z
у 1/2
Упражнение
Запишите следующее в виде единичного логарифма:
1/3 ln x + 2 ln y — 3 ln z
Пример
Предположим, что
ln 3 = 1,10
и что
л 5 = 1,61
Найти
№ 45
Раствор
С
45 = (5)(3 2 )
У нас есть
ln 45 = ln (5)(3 2 ) = ln 5 + ln 3 2
= 1,61 + 2 ln 3
= 1,61 + 2 (1,10) = 3,81Экспоненциальные уравнения
Ключом к решению уравнений является умение применять обратную
функции.
Когда у нас есть показательное уравнение, мы будем использовать
натуральный логарифм, чтобы отменить экспоненту.
Пример
Найти k, если
34 = е 10k
Раствор
Возьмем натуральный логарифм обеих частей
ln 34 = ln e 10k
Теперь используйте обратное свойство
ln 34 = 10k
Окончательно разделить на 10
34
= k = 0,3526
10
Радиоуглеродный анализ
Все живые существа имеют определенное количество радиоактивного углерода C 14 в их телах. Когда существо умирает, C 14 медленно распадается.
с периодом полураспада около 5600 лет.
Предположим, что скелет найден в
Тахо, который имеет 42% от оригинального C 14 . Когда
человек умирает?
Раствор
Мы можем использовать уравнение экспоненциального распада:
y = Ce кт
Через 5600 лет есть
C/2
C 14 слева. Заменив, мы
получить:
C/2 = Ce k(5600)
Деление на C,
1/2 = e 5600k
Возьмите ln с обеих сторон,
ln(0,5) = 5600 000
так что
пер(0,5)
к =
= -0,000124
5600
Уравнение становится
y = Ce -0,000124t
Чтобы узнать, когда человек умер, подставьте
y =
0,42°С
и решить для t:
0,42C = Ce -0,000124t
Разделить на C,
0,42 = e -0,000124t
Берите в обе стороны,
ln(0,42) = -0,000124t
Разделить на -0,000124
пер(0,42)
т =
= 6995
-0,000124
Человек умер около 7000 лет назад.