Формула д1 алгебра: Дискриминант. Формула дискриминанта.

Конспект урока «Решение квадратных уравнений по формуле»

 «Решение  квадратных уравнений по формуле»

Тема: Решение  квадратных уравнений по формуле

Цель: повторение и закрепление умений и навыков  решения  квадратных уравнений;

формировать  умения сравнивать, выделять главное в изучаемом материале, обобщать, формировать навыки самостоятельной работы, коммуникативные навыки.

Ход урока.

Организационный момент.

Мотивация к учебной деятельности. 

«Уравнение — это золотой ключ, открывающий все математические сезамы»
С. Коваль.  

Как понимаете слово сезам? В переводе с арабского —«тайна». Тайну квадратных уравнений мы продолжаем открывать и  сегодня на уроке.

— Какие цели необходимо поставить перед собой? (повторить и закрепить умения решать квадратные  уравнения)

— Каждый из вас имеет получить оценку за урок по результатам работы на различных этапах. Для этого  у вас на партах лежат карты результативности, в которые вы будете фиксировать свои  успехи.  Для ответа на поставленный вопрос вы поднимаете руку и ни в коем случае не перебиваете друг друга. Желаю всем удачи.

3.Актуализация опорных знаний. Презентация

1.Разминка   ( каждый правильный ответ 2 балл)

Какое название имеет уравнение второй степени?

(уравнение второй степени называется квадратным уравнением)

Сформулируйте определение квадратного уравнения.

(уравнение вида ах²+bx+c=0, где а, b и с – любые действительные числа, причем а≠ 0, х – переменная,   называется квадратным уравнением)

Перечислите виды квадратных уравнений. (полные, неполные, приведенные)

Какое квадратное уравнение называется приведенным? (квадратное уравнение называется приведенным если  а = 1 и имеет вид х² + рх + q = 0).

Назовите формулу для нахождений дискриминанта квадратного уравнения?

 

От чего зависит количество корней квадратного уравнения? (кол-во корней  квадратного уравнения зависит от дискриминанта  D)

Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D больше 0? (при D 0, уравнение имеет два корня)

Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант меньше 0 (при  D )

2.Тест “Виды квадратных уравнений” С помощью сигнальных карточек.

Среди данных уравнений укажите: 

полные квадратные уравнения

неполные квадратные уравнения

приведенные квадратные уравнения

неквадратные уравнения     слайд 6

1)  х⁴ + 5х² +3 = 0

2) 6х² + 9 = 0

3)  х² – 3х = 0

4)   –х² + 2х +4 = 0

5)  3х + 6х² + 7 =0

— Молодцы. С видами квадратных уравнений мы разобрались. Кстати, а вы знаете, когда появились первые квадратные уравнения?

4.Историческая справка

         Первые упоминания о способах решения уравнений, которые мы сейчас называем квадратными,  относятся во второму тысячелетию до н.э.

Это эпоха расцвета  Вавилона  и  Древнего Египта. 

   Квадратные уравнения впервые встречаются в работе индийского математика и астронома Ариабхатты.

   Другой индийский ученый Брахмагупта (VII в) изложил общее правило решения квадратных уравнений, которое практически совпадает с современным.

В 1202 году итальянский ученый Леонардо Фибоначчи изложил формулы квадратного уравнения. И лишь  в 17 веке, благодаря Ньютону, Декарту и другим ученым, эти формулы приняли современный вид.  

— Ребята, а с каким еще понятием мы постоянно сталкиваемся при решении квадратных уравнений? (С дискриминантом)

— А вот понятие Д придумал английский ученый Сильвестр, он называл себя даже “математическим Адамом” за множество придуманных терминов.  

А зачем он нам нужен?(Он определяет число корней квадратного уравнения)

— Итак, давайте еще раз проговорим алгоритм решения полного квадратного уравнения.

АЛГОРИТМ   решения квадратных уравнений

Выделить в уравнении коэффициенты: a,b,c

Вычислить дискриминант по формуле _________   и определить количество корней:

Если D

 Если D=0, то уравнение имеет один  действительный корень и  вычислить его можно  по формуле.

Если D0, то уравнение имеет два  действительных корня и  вычислить корни можно  по формуле.

Первый шаг в алгоритме решения квадратных уравнений – это правильное нахождение коэффициентов уравнения.

Решение задач.

Работа класса по карточкам.

                                     Вариант 1

Фамилия_______________________________

Заполните таблицу.

Уравнение	Коэффициенты
	а	в	с
9х2-х-8=0
	-5	2	3
	7	-8	1
5х2-19=0

                                    

                                    Вариант 2

Фамилия_______________________________________

Заполните таблицу.

Уравнение	Коэффициенты
	а	в	С
	2	-3	-5
	-1	4	5
-х2+ 2х-7=0
х2-16=0

 Взаимопроверка.   

Физминутка.

       7.Закрепление пройденного материала.

— Ну что ж, приступим к практической части нашего урока.

Решение уравнений у доски и в тетради. 

Выбирают уравнение учащиеся  сами по уровню сложности. 

       5х² + х — 6 = 0                                                               4х – 5 + x² = 0

Д=1 + 120 = 121                                                   Д=16 + 20 = 36

Х₁ =(-1+11):10 = 1                                               Х₁ =(-4+6):12= 1/6

Х₂ =(-1-11):10 = -1,2                                            Х₂ =(-4-6):12= -5/6

 

         х²– 5х + 6 = 0,                                                       х²– 2х – 15 = 0,

D = 25 – 24= 1,                                                      D = 4 + 60 = 64,

Х₁ =(5+1):2= 3                                                       x₁ = (2+8):2=5,

Х₂ =(5- 1):2= 2                                                       x₂ = (2-8):2=-3.

        3х² – 3х + 4 = 0,

D = 9 – 48 = –39, корней нет;

8. Самостоятельная работа.

— Хорошо. Вместе мы поработали. Теперь посмотрим, как вы умеете работать самостоятельно. Вам предлагается трехуровневая работа.

Если вы еще не уверены в своих силах и желаете закрепить решение уравнение, то выбираете уровень А (3 балла).

Если считаете, что материал усвоен хорошо – В (6 баллов).

Ну, а если желаете испробовать свои силы на более сложных заданиях – уровень С  (10 баллов) для вас.

В процессе решения я проверяю ваши работы и проставляю заработанные баллы.

Уровень А.

№1 Продолжите вычисление дискриминанта D квадратного уравнения   ax² + bx + c = 0 по формуле D = b² — 4ac. ( 2 балла)

5х² — 7х + 2 = 0

 D = b² — 4ac = (-7)² – 4· 5 · 2 = …;  (9) 

№2.  Закончите решение уравнения 3х² — 5х – 2 = 0. ( 2 балла)

D = b² — 4ac = (-5)²— 4· 3·(-2) = 49;

   х₁ = …      2                             х₂=…-1/3

Уровень В.

 Решите уравнение:

а) 6х² – 4х + 32 = 0; ( 4 балла)  Д=16-768 = -752 – решений нет

 б) х² + 5х — 6 = 0. ( 4 балла)  Д= 25 +24 = 49  х = 1 и  -6

Уровень С. Решите уравнение:  (3х — 1)(х + 3) = х + 5х²  ( 10 баллов)

 -2х² + 7х-3=0      Д=  49-24= 25    х =1/2  и 3

Для тех, кому  трудно дается математика, предлагается карточка-информатор.

 

9. Обобщение.

Какие новые знания вы добыли?

 Чему научились?  Цель нашего урока достигнута?

 Вы узнали универсальную формулу решения квадратных уравнений. В  ее универсальности и заключалась тайна.

10.Домашнее задание. ( Слайды 39 -41)

 Выучить п.7, решить №. №№136 (2,4), 137(6,8),134(2,4)

Конспект урока по математике в 8 классе «Формула корней квадратного уравнения»

Урок алгебры по теме

«Формула корней квадратного уравнения»

На доске: Посредством уравнений, теорем
Я уйму всяких разрешил проблем.

Цели урока:

• развивающие: развитие логического мышления, памяти, внимания, общеучебных умений, умения обобщать, познавательный интерес к предмету, формирование и развитие образованной, творческой, компетентной и конкурентно способной личности;

• воспитательные: воспитание трудолюбия, самостоятельности, ответственности, умения объективно оценивать результаты своей работы, взаимопомощи, взаимоуважения и математической культуры.

Знать: Основные формулы для вычисления дискриминанта и корней квадратного уравнения.

Уметь: Применять формулы для вычисления дискриминанта и корней квадратного уравнения.

Оборудование: Электронная презентация (слайды), индивидуальные карты результативности, индивидуальные карточки учащимся с тестом, сигнальные карточки.

Ход урока

Приветствие учеников.

Тем, чем мы с вами сегодня на уроке будем заниматься, вы узнаете, если выполните следующее задание: решить анаграммы (в словах изменён порядок букв). Какие слова зашифрованы?

Слайд 1.

• фэкоцинетиф (коэффициент)

• ярамяп (прямая)

• ерокнь (корень)

• ниваренуе (уравнение)

• таиимдкисрнн (дискриминант)

Слайд 2.Проверка

Сегодня на уроке мы продолжим работать по теме квадратные уравнения.

И каждый из вас имеет возможность получить оценку за урок по результатам работы на различных его этапах. Для этого у вас на партах лежит карта результативности где вы будете фиксировать свои успехи в баллах.

Приступим к работе. И первым этапом проверим домашнее задание.( 1 балл за каждое правильно решенное уравнение)

№ 534

А)Д=1, х= х=

Е) д= 529, Х= Х=

Ж)д= 196, х= х=

№ 535

А) Д=81, х= х=

(Заполняем карту результативности!)

Если кто-то допустил ошибки отметьте эти задания и дома поработаете над их коррекцией.

А сейчас запишите тему урока: Слайд 3.

“Формула корней квадратного уравнения”.

Уравнения с давних времен волновали умы человечества. По этому поводу у английского поэта средних веков Чосера есть прекрасные строки, предлагаю сделать их эпиграфом нашего урока:

Посредством уравнений, теорем
Я уйму всяких разрешил проблем.

Квадратные уравнения тоже не исключение. Они очень важны и для математики, и для других наук. На ближайших уроках математики вам предстоит решать текстовые задачи, находить корни по т. Виета, в 9 классе вам предстоит решать биквадратные уравнения, квадратичные неравенства и вот тут-то необходимо уметь быстро и умело справляться с решением квадратных уравнений а самое главное показать свои умения решать квадратные уравнения на ОГЭ.

Проверяем теоретический материал.

1. Какие уравнения называются квадратными? (Слайд 4)

Назовите виды квадратных уравнений Слайд 5.

ТЕПЕРЬ ДАВАЙТЕ ПРОВЕРИМ С ПОМОЩЬЮ ТЕСТА, НАСКОЛЬКО ХОРОШО ВЫ УМЕЕТЕ ОПРЕДЕЛЯТЬ ВИДЫ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ. ДАНЫ УРАВНЕНИЯ — НАПРОТИВ КАЖДОЙ КОЛОНКИ ВЫ СТАВИТЕ ПЛЮС, ЕСЛИ ОНО ПРИНАДЛЕЖИТ К ДАННОМУ ВИДУ.

Тест “Виды квадратных уравнений”

Ф.И.	полное	неполное	приве- денное	неприве- денное	биквад- ратное	Общий балл
1. х4 + 5х2 +3 = 0
2. 6х2 + 9 = 0
3. х2 – 3х = 0
4. –х2 + 2х +4 = 0
5. 3х + 6х2 + 7 =0

Проверка Слайд 7.

Критерий оценивания: слайд 8

Нет ошибок – 5 б.

1 – 2 ош. – 4б.

3 — 4 ош. — 3б.

5 — 6 ош. – 2б.

Более 6 ош. – 0 б.

Ребята выполняют работу, а затем меняются листочками и по ключу проверяют ответы, оценивая работу товарища.

(каждый заполняет карту результативности!)

Молодцы. С видами квадратных уравнений мы разобрались. Кстати, а вы знаете, когда появились первые квадратные уравнения? Очень давно.

Их решали в Вавилоне около 2000 лет до нашей эры, в 1202 году итальянский ученый Леонард Фибоначчи изложил формулы квадратного уравнения. И лишь в 17 веке, благодаря Ньютону, Декарту и другим ученым эти формулы приняли современный вид.

А с каким еще понятием мы постоянно сталкиваемся при решении квадратных уравнений?

• С дискриминантом . А вот понятие Д придумал английский ученый Сильвестр, он называл себя даже “математическим Адамом” за множество придуманных терминов.

• А зачем он нам нужен?

Давайте вспомним по какой формуле вычисляется дискрименант Слайд 9.

И как количество корней зависит от Д?

учащиеся перечисляют случаи).

Тренировочные упражнения.

Слайд 10

Определить сколько корней имеет квадратное уравнение?

Работаем самостоятельно.

1. 3x² – 7x + 4 = 0

2. 4х²-4х+1=0

3. х²-х+3=0

4. Слайд 11.

Самоконтроль! За каждый правильный ответ 1 балл

1. 3x² – 7x + 4 = 0

а = 3, в = -7, с = 4

Д= (-7)² -4*3*4=49-48=1- больше 0 (2 корня)

2. 4х²-4х+1=0

а = 4, в = -4, с = 1

Д= (-4)² -4*4*1=16-16= 0 (1 корень)

3. х²-х+3=0

а = 1, в = -1, с=3 . Д= (-1)² -4*1*3=1-12= -11- меньше 0 (нет корней).

Итак, для чего вычисляется дискриминант?

(Заполняем карту результативности!)

Физминутка

Вспомним формулы корней квадратного уравнения.

Слайд12:

Слайд 13.

Решим уравнения из сборника для подготовки к огэ

1вариант: Решите уравнение х²-х-6=0 и укажите больший корень в ответе

2Вариант: Решите уравнение х²+3х-4=0 и укажите меньший корень в ответе

Слайд 14 ( проверка)

(поменяйтесь тетрадями и проверьте работу своего одноклассника)

1вариант: х= 3, 2 вариант х= -4

(Заполняем карту результативности!)

• ХОРОШО. ВМЕСТЕ МЫ ПОРАБОТАЛИ. ТЕПЕРЬ ПОСМОТРИМ, КАК ВЫ УМЕЕТЕ РАБОТАТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО. Вам предлагается трехуровневая работа. Если вы еще не уверены в своих силах и желаете закрепить решение уравнения, то выбираете уровень А (1 балл за 3 задания). Если считаете, что материал усвоен хорошо – В (2 балла за два задания). Ну, а если желаете испробовать свои силы на более сложных заданиях – уровень С (3 балла за два задания). В процессе решения я проверяю ваши работы и проставляю заработанные баллы.

Вариант 1.

Уровень А  (оценка 3)

№1. Для каждого уравнения вида ax² + bx + c = 0 укажите значения a, b, c.

а) 3х² + 6х – 6 = 0, б) х² — 4х + 4 = 0 а) a=3, b=6, c= -6, б) a = 1, b= -4, c= 4.

№2. Продолжите вычисление дискриминанта D квадратного уравнения   ax² + bx + c = 0 по формуле D = b² — 4ac.

5х² — 7х + 2 = 0, D = b² — 4ac = (-7)² – 4· 5 · 2 = …;

№3. Закончите решение уравнения 3х² — 5х – 2 = 0.

D = b² — 4ac = (-5)² — 4· 3·(-2) = 49;       х₁ = …       х₂=…

Уровень В (оценка 4)    

Решите уравнение: а) 6х² – 4х + 32 = 0; б) х² + 5х — 6 = 0.

 Уровень С (оценка 5)   

Решите уравнение: а) -5х² – 4х + 28 = 0; б) 2х²–8х–2=0.

доп. задание. При каком значении а уравнение х² — 2ах + 3 = 0 имеет один корень?

 

Вариант 2

Уровень А (оценка 3)

№1. Для каждого уравнения вида ax² + bx + c = 0 укажите значения a, b, c.

а) 4х² — 8х + 6 = 0, б) х² + 2х — 4 = 0

№2. Продолжите вычисление дискриминанта D квадратного уравнения   ax² + bx + c = 0 по формуле D = b² — 4ac.

5х² + 8х — 4 = 0, D = b² — 4ac = 8² – 4· 5 · (- 4) = …;

№3. Закончите решение уравнения х² — 6х + 5 = 0.

D = b² — 4ac = (-6 )² — 4· 1·5 = 16;     х₁ = …     х₂=…

 Уровень В (оценка 4)    

Решите уравнение: а) 3х² – 2х + 16 = 0; б) 3х² — 5х + 2 = 0.

 Уровень С (оценка 5)   

 Решите уравнение: а) 5х² + 4х — 28 = 0; б) х² – 6х + 7 = 0

Слайд 15-16 проверка

(Заполняем карту результативности!)

Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных , иррациональных уравнений и неравенств.

Мы изучили формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения.

Итак, мы проделали большую работу. Повторили всю теорию, касающуюся квадратных уравнений. Рассмотрели различные их виды как вместе, так и вы сами. Вы старательно зарабатывали баллы, настало время подвести итог.

Подсчитайте сумму баллов заработанных в течение урока.

Слайд 17.

Критерии оценивания:

17-15 баллов – “5”.

14-12 баллов – “4”.

11-7 баллов – “ 3”.

Менее 6 баллов- «2»

Вариант 1. №1.   Для каждого уравнения вида ax² + bx + c = 0 укажите значения   a, b, c. а) 3х² + 6х – 6 = 0,  б) х² — 4х + 4 = 0,   в) х² — х + 1 = 0. №2.  Продолжите вычисление дискриминанта D квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 поформуле D = b² — 4ac. а) 5х² — 7х + 2 = 0,  D = b² — 4ac D= (-7²) – 4· 5 · 2 = 49 – 40 = …; б) х² — х – 2 = 0,  D = b² — 4ac D = (-1) ² — 4 · 1· (-2) = …; №3.  Закончите решение уравнения  3х² — 5х – 2 = 0.            D = b² — 4ac D = (-5) ²  — 4· 3·(-2) = 49.            х = … №4.  Решите уравнение. а) (х — 5)(х  + 3) = 0; б) х² + 5х + 6 = 0 №5.    Приведите уравнение к квадратному и решите его: а) ; б) (x+4)(2x-1)=x(3x+11) №6.   Решите уравнение x2+2 №7.   При каком значении а уравнение х² — 2ах + 3 = 0 имеет один корень?

Вариант 2. №1.   Для каждого уравнения вида ax² + bx + c = 0 укажите значения  a, b, c. а) 4х² — 8х + 6 = 0,  б) х² + 2х — 4 = 0,  в) х² — х + 2 = 0. №2.  Продолжите вычисление дискриминанта D квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 по формуле D = b² — 4ac. а) 5х² + 8х — 4 = 0,  D = b² — 4ac D = 8² – 4· 5 · (- 4) = 64 – 80 = …; б) х² — 6х + 5 = 0,  D = b² — 4ac D = (-6) ² — 4 · 1· 5 = …; 3№.  Закончите решение уравнения  х² — 6х + 5 = 0.            D = b² — 4ac D = (-6 ) ²  — 4· 1·5 = 16.            х = … №4.  Решите уравнение. а) (х + 4)(х  — 6) = 0; б) 4х² — 5х + 1 = 0 №5.   Приведите уравнение к квадратному и решите его: а) ; б) (3x-1)(x+3)+1=x(1+6x) №6.   Решите уравнение x2+4 №7.    При каком значении а уравнение х² + 3ах + а = 0 имеет один корень.

геометрия — Решите уравнение для x в d1+d2 =d1*d2

спросил 3 года, 7 месяцев назад

Изменено 3 года, 7 месяцев назад

Просмотрено 520 раз

$\begingroup$

Я пытаюсь решить одно уравнение, которое я буду использовать в одной программе.

У меня есть две фиксированные точки a и b в двумерном пространстве, а также точка c, в которой я знаю только координату x.

Мне нужно найти координату y для точки c. Это уравнение может иметь больше решений. В этом уравнении должно быть верно, что

s2*d1 + s1+d2 =d1*d2

где: d1 = квадрат расстояния между точками a и c d1 = квадрат расстояния между точками b и c s1 = переменная, которая должна содержаться в уравнении s2 = переменная, которая должна содержаться в уравнении

Вот ссылка для Desmos: https://www. 2\справа)$$

$\endgroup$

3

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Решение задач с формулой расстояния, скорости и времени — Криста Кинг Математика

Формула, которая связывает расстояние, скорость и время

В этом уроке показано, как найти расстояние, скорость и время, зная два из трех этих значений.

Расстояние, скорость и время связаны уравнением

???\text{Расстояние}=\text{Скорость} \cdot \text{Время}???

???D=RT???

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Прочитайте больше.

Давайте поговорим о единицах измерения каждого из этих значений.

Расстояние имеет единицы измерения в дюймах, футах, милях или сантиметрах, метрах, километрах и т. д.

Время имеет единицы в секундах, минутах, часах и т. д. миль/час или километров/час.

Перед использованием формулы ???D=RT??? вам нужно убедиться, что ваши единицы измерения расстояния и времени совпадают с вашими ставками. Если это не так, вам нужно изменить их, чтобы вы работали с теми же единицами измерения.

Как решать задачи на расстояние, скорость и время

Пройти курс

Хотите узнать больше об Алгебре 2? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂

Учить больше

Нахождение средней скорости по заданному расстоянию и времени

Пример

Хизер пробежала ???56??? км в ???5??? часы. Какова была средняя скорость Хизер в км/ч?

Воспользуемся формулой расстояния.

???\text{Расстояние}=\text{Скорость} \cdot \text{Время}???

???D=RT???

Давайте запишем, что мы знаем.

???D=56??? км

???T=5??? hr

Если мы подставим их в формулу расстояния, мы получим

???D=RT???

???56\текст{км} = R\cdot 5\текст{ч}???

Теперь определите скорость.

???\frac{56\ \text{km}}{5\ \text{hr}} = \frac{R \cdot 5\ \text{hr}}{5\ \text{hr}}? ??

???R=11,2\ \frac{\text{км}}{\text{ч}}???

Прежде чем использовать формулу D=RT, необходимо убедиться, что единицы измерения расстояния и времени совпадают с единицами измерения скорости.

Проблемы с расстоянием, скоростью и временем с двумя людьми, уезжающими в разное время

Пример

Сьюзен и Бенджамину было ???60??? миль друг от друга по прямой тропе. Сьюзен пошла к Бенджамину со скоростью ???5??? миль в час в 7:30 утра. Бенджамин уехал через три часа, и они встретились на тропе в 15:30. Насколько быстр Бенджамин?

Нам дали информацию о расстоянии, скорости и времени, поэтому мы будем использовать формулу

???\text{Расстояние}=\text{Скорость} \cdot \text{Время}???

???D=RT???

где ???D??? пройденное расстояние, ???R??? это скорость, и ???T??? это время. Мы можем использовать индексы для создания уникальных уравнений для Сьюзен и Бенджамина.