Найдите неопределенный интеграл онлайн: Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл. Методы интегрирования — презентация онлайн

Похожие презентации:

Неопределенный интеграл. Основные свойства. Методы интегрирования. Первообразная функция. (Лекция 7)

Неопределенный интеграл. Методы интегрирования. Лекция 2

Первообразная функция и неопределенный интеграл. Методы интегрирования

Методы интегрирования

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл и его свойства

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл, его свойства и вычисление. Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразная. Неопределенный интеграл

Неопределённый интеграл, его свойства . Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной в неопределенном интеграле

1. Неопределенный интеграл. Методы интегрирования.

2. Определение: Функция F(х) называется первообразной функции f(х) на промежутке Х, если

Определение:
x X
F ( x) f ( x)
Теорема: Если функция f(х) непрерывна при x X ,то для f(х)
существует первообразная F(х) на Х.
Замечание 1: Условие непрерывности не является необходимым для
существования первообразной. Пример разрывной функции, имеющей
первообразную:
Пусть
х 0,
0,
f ( x)
1
1
2 х sin x cos x , х 0.
х 0,
0,
F ( х) 2
1
х
sin
, х 0.
x
Найдите первообразную функции
f ( x) x 1 2 x 1 на R.
Решение. Данная функция может быть записана в виде:
2 x 2 3 x 1, если x 1,
f x
2 x 2 3 x 1, если x 1.
3
2
F1 ( x) x 3 x 2 x C1 , если x 1;
2
3
2 3 3 2
x x x C2 , если x 1.
F2 ( x)
2
3
Найдем соотношение между С1 и С2 , при котором F1 (1) F2 (1) :
1
С1 С2 .
3
1
2 3 3 2
3 x 2 x x 3 C , если x 1,
F ( x)
2 x3 3 x 2 x C,
если x 1.
3
2

4. Основные свойства неопределенного интеграла.

1.
f ( x)dx f ( x).
2. f x dx f ( x) C.
3. kf ( x) dx k f ( x) dx.
4. f1 x f 2 ( x) dx f1 ( x) dx f 2 ( x) dx.
5. f kx b dx
1
F kx b C.
k
6. f x d g x f x g x g x d f x .
Табличный.
Сведение к табличному преобразованием
подынтегрального выражения в сумму или
разность.
Интегрирование с помощью замены
переменной (подстановкой).
Интегрирование по частям.

7. Нахождение интеграла методом преобразования подынтегральной функции в сумму или разность.

1
1
1
1. sin 3x cos x sin 4 x sin 2 x dx cos 4 x cos 2 x C.
2
8
4
dx
cos 2 5 x sin 2 5 x dx
1
1
2. 2
2
dx
2
2
2
2
sin 5 x cos 5 x
sin 5 x cos 5 x
sin 5 x cos 5 x
1
1
ctg 5 x tg 5 x C.
5
5
x 4 3x 2 1
1
1 3
2
3.
dx x 2 2 dx x 2 x arctg x C.
2
x 1
x 1
3

8. Интегрирование методом замены переменной.

1
2
3
2
1
1 t
1 2
1. x 3 x 1 dx t dt C 3 x 1 3 x 2 1 C.
6
6 3
9
2
1
2
2
Пусть 3x 1 t , тогда 6 x dx dt , т. е. x dx dt .
6
sin 2 x dx
1 7
1 t 6
1
2.
t dt
C
C.
7
6
cos 2 x
2
2 6
12 cos 2 x
1
Пусть cos 2 x t , тогда dt 2 sin 2 x dx, т. е. sin 2 x dx dt .
2

9. Интегрирование выражений, содержащих радикалы, методом подстановки.

t 2 1
1 4 2
1 5 1 3
1. x 2 x 1 dx
t t dt t t dt t t C
2
2
10
6
1
1
2
2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 C.
10
6
Пусть
t 2 1
2 x 1 t , тогда x
, dx t dt .
2
2
x dx
2. 3
2 x
2 t 3t dt 3 4t 4t
t
3 2
2
4
t 7 dt
12 5 3 8
6t
t t C
5
8
12
3
2
3
2 x 2 x 2 x 2 3 2 x 2 C.
5
8
2
63 2 x
2
Пусть
3
2 x t , тогда x 2 t 3 ,
т. е. dx 3t 2 dt
.

11. Интегрирование по частям.

1. x cos x dx x d sin x x sin x sin x dx x sin x cos x C.
1 2
1 2
3. x sin 2 x dx x d cos 2 x x cos 2 x cos 2 x dx 2
2
2
1 2
1 2
1
x cos 2 x x cos 2 x dx x cos 2 x x d sin 2 x
2
2
2
1 2
1
x cos 2 x x sin 2 x sin 2 x dx
2
2
1 2
1
1
x cos 2 x x sin 2 x cos 2 x C.
2
2
4
2

12. Избранные задачи интегрального исчисления (найдите неопределенный интеграл, используя указанный способ)

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

English     Русский Правила

помогите, пожалуйста, найдите неопределенный интеграл методом интег…

Лучший ответ по мнению автора

11. 12.16 Лучший ответ по мнению автора

Михаил Александров Читать ответы

Владимир Читать ответы

Елена Катионова Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука

Похожие вопросы

Решено

Помогите пожалуйста решить задачу 4-го класса. Если около каждого дома посадить по 9 саженцев, то не зватит 100 саженцев, а если по 5 саженцев, то 20 саженцев останется. Сколько домов? Сколько

В треугольнике ABC известно, что AC=6, BC=8, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружность. На пишите пожалуйста решение

король разделил свой прямоугольный сад на несколько квадратных участков разного размера в саду есть колодец 1 на 1 метр нужно записать длину и

Медиана равностороннего треугольника равна 13√3.Найдите его сторону. Решение плиз

Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел от 41 до 64 включительно

Пользуйтесь нашим приложением

Indefinite Integral — изучите и поймите его онлайн

Вы замечали, как члены одной семьи похожи друг на друга? То же верно и для семейств функций! Функции одной формы очень похожи друг на друга, как члены одной семьи. Неопределенные интегралы здесь ничем не отличаются. Они представляют собой семейство первообразных функции, поэтому они очень похожи друг на друга.

В этой статье вы узнаете, что такое неопределенный интеграл, его определение, формулу и свойства. Вы также увидите примеры вычисления неопределенных интегралов.

Определение неопределенного интеграла

Как вы знаете из статьи о первообразных, процесс нахождения первообразной функции называется интегрированием . Помните, что если вам дана функция \( f(x) \), то первообразной \( f(x) \) является любая функция \( F(x) \), которая удовлетворяет условию:

\[ F'(х) = f(х). \]

Итак, при чем тут неопределенный интеграл?

Ну, это используется для обозначения всего семейства первообразных функции, тогда как первообразная — лишь одна из бесконечных возможностей.

Имея это в виду, вы определяете неопределенный интеграл как: f(x) \) называется неопределенным интегралом . Обозначение для этого неопределенного интеграла:

\[ \int f(x) ~\mathrm{d}x = F(x) + C, \]

, где \(C\) — любая константа.

Обратите внимание:

• \( \int \) называется интегральным символом переменная интегрирования ,

• \( \mathrm{d}x \) называется дифференциалом C\) называется константой интегрирования (или константой интегрирования).

Обратите внимание, что термины «неопределенный интеграл» и «первообразная» иногда используются взаимозаменяемо, а в некоторых текстах первообразная также называется «примитивной функцией».

Учитывая терминологию, представленную вам в этом определении, действие по нахождению первообразных функции, \( f \), обычно упоминается как:

1. интегрирование \( \mathbf{f} \) o r
2. нахождение интеграла от \( \mathbf{f} \).

Для функции \( f(x) \) и ее первообразной \( F(x) \) функции вида \( F(x) + C \), где \( C \ ) — любая константа, часто называют семейством первообразных \( \mathbf{f(x)} \). {2}+C \), где \(C \) — любая константа (при условии, что это действительное число).

Формула неопределенного интеграла

Как и в случае с первообразными вообще, неопределенные интегралы не имеют единственной формулы для их решения. Существует множество правил и свойств, которые вы научитесь использовать для решения неопределенных интегралов — они основаны на уже изученных вами правилах дифференцирования. Причина этого обсуждается в статье об основной теореме исчисления.

При этом суть нахождения неопределенного интеграла функции состоит в обратном выполнении уже известных вам правил дифференцирования.

Свойства неопределенного интеграла

Поскольку неопределенный интеграл — это просто семейство первообразных, их свойства одинаковы. Но, повторяю, неопределенный интеграл линейный; т. е. вы можете интегрировать «почленно» для сумм, разностей и постоянных множителей. Эти свойства линейности резюмируются приведенными ниже правилами.

Свойство суммы/разности :

\[ \int (f(x) \pm g(x)) ~\mathrm{d}x = \int f(x) ~\mathrm{d}x \pm \int г(х) ~\mathrm{d}х \]

Постоянное кратное свойство :

\[ \int kf(x) ~\mathrm{d}x = k \int f(x) ~\mathrm{d}x \]

Доказательства свойств Неопределенный интеграл

1. В общем, если \(F\) является первообразной \(f\) и \(G\) является первообразной \(g\), то\[ \frac{d}{ dx} (F(x) \pm G(x)) = F'(x) \pm G'(x) = f(x) \pm g(x). \]Это означает, что \( F(x) \pm G(x) \) является первообразной \( f(x) \pm g(x) \), так что \[ \int (f(x) \pm g(x)) ~\mathrm{d}x = F(x) \pm G(x) + C. \]
2. Теперь попробуйте найти первообразную \(kf(x)\), где \(k\) — любая константа. Поскольку вы знаете, что \[ \frac{d}{dx} (kf(x)) = k \frac{d}{dx}F(x) = kf'(x) \]для любой константы \( k \) , можно заключить, что \[ \int kf(x) ~\mathrm{d}x = kF(x) + C. \]

Правила нахождения неопределенных интегралов

По большей части правила нахождения неопределенного интеграла интеграл функции являются обратными (или обратными) правилам нахождения производных.

Ниже приведен список правил для общих неопределенных интегралов.

1. T Постоянное правило Если вы рассматриваете функцию \( F(x) = 3 \) и записываете ее производную как \( f(x) \), это означает, что \( f(x) = \frac{dF}{dx} \). Вы уже знаете, что можете найти производную этой функции, применяя константное правило для производных: \( \frac{d}{dx}(k) = 0 \). Теперь предположим, что вы хотите обратить этот процесс вспять, и спросите себя: какая функция (функции) могла бы иметь производную \(f(x) = 0 \)? Очевидно, \( F(x) = 3 \) — один ответ. Вы говорите, что \(F(x) = 3\) является первообразной \(f(x) = 0\).

   • Однако существуют и другие функции, производная которых равна \( f(x) = 0 \), включая, помимо прочего, \( F(x) = 5 \), \( F(x) = -4 \ ) и \( F(x) = 200 \). Это потому, что когда вы берете производную, константа исчезает.

   • Следовательно, если вам дана первообразная \(f(x)\), все остальные можно найти, добавив другую константу. Другими словами, если \(F(x)\) является первообразной \(f(x)\), то \(F(x) + C\) также является первообразной \(f(x)\) для любой константы \( C \). Эта группа или семейство первообразных представлена ​​неопределенным интегралом. 9{x}}{\ln a} + C, ~\ a \neq 1\end{align} \]

   • Правило синусов

     \[ \begin{align}\text{Производное правило: } &\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x) \\\text{Неопределенное интегральное правило: } &\int \cos(x) ~\mathrm{d}x = \sin (x) + C\end{align} \]

   • Правило косинуса

     \[ \begin{align}\text{Производное правило: } &\frac{d}{dx}(\cos( x)) = -\sin(x) \\\text{Неопределенное интегральное правило: } &\int \sin(x) ~\mathrm{d}x = -\cos(x) + C\end{align} \ ] 9{2}(x) ~\mathrm{d}x = \tan(x) + C\end{align} \]

   • Правило косеканса

     \[ \begin{align}\text{Производная Правило: } &\frac{d}{dx}(\csc(x)) = -\csc(x)\cot(x) \\\text{Неопределенное интегральное правило: } &\int \csc(x)\ cot(x) ~\mathrm{d}x = -\csc(x) + C\end{align} \]

   • Секущее правило

     \[ \begin{align}\text{Производное правило : } &\frac{d}{dx}(\sec(x)) = \sec(x)\tan(x) \\\text{Неопределенное интегральное правило: } &\int \sec(x)\tan( х) ~\mathrm{d}x = \sec(x) + C\end{align} \] 9{rd} \) правило из списка выше:

     \[ \int \frac{1}{x} ~\mathrm{d}x = \ln|x| + C \Rightarrow \int \frac{\mathrm{d}x}{x} = \ln|x| + C \]

     Неопределенные интегралы: ошибки, которых следует избегать

     Вы заметили, что в приведенном выше списке нет правил произведения, частного или цепных правил для интегралов?

     Что это значит?

     Это означает, что, как и в случае с производными, правила, применимые к сложению и вычитанию, не применяются в той же мере к умножению и делению. Другими словами, так же, как и с производными:

     • Интеграл произведения (или частного) двух функций не равен произведению (или частному) интеграла функций .\[ \begin{align}\int f(x) \cdot g (x) ~\mathrm{d}x &\neq \int f(x) ~\mathrm{d}x \cdot \int g(x) ~\mathrm{d}x \\\int \frac{f( x)}{g(x)} ~\mathrm{d}x &\neq \frac{\int f(x) ~\mathrm{d}x}{\int g(x) ~\mathrm{d}x }\end{align} \]

     Вместо:

     • правила произведения и частного для производных приводят к интегрированию по частям, и

     • цепное правило для производных приводит к интегрированию путем замены.

     Хотя интегрирование по частям выводится специально из правила произведения для производных, оно применяется как к произведению, так и к частному интегралов. Это связано с тем, что для любых двух функций \(f\) и \(g\) можно записать частное двух функций в виде произведения:

     \[ \frac{f}{g} = f \cdot \ дробь{1}{г}. \]

     Другими словами, вы можете думать о частном правиле для деривативов как о замаскированном правиле произведения; то же верно и для интегрирования по частям. 9{2}} ~\mathrm{d}x \]

     и используйте правило произведения для выполнения интегрирования по частям.

     Вычисление неопределенного интеграла

     Когда дело доходит до вычисления неопределенного интеграла, точные шаги будут зависеть от самого интеграла. Однако есть несколько очень простых шагов, которые вам нужно будет запомнить для вычисления всех неопределенных интегралов.

     Основные шаги для вычисления неопределенного интеграла

     1. Определите, какие свойства и правила применяются.

     2. Если вам нужно использовать более одного свойства или правила, определите порядок их использования.

     3. Используйте выбранные вами правила.

     4. Добавьте константу интегрирования.

     5. Проверьте свой результат, доказав, что \( F'(x) = f(x) \).

     Неопределенные интегралы Примеры

     В следующих примерах оцените каждый из неопределенных интегралов. Этот первый пример относительно прост.

     Оценка 9{2} + 2x + 5 \right) ~\mathrm{d}x \]

     Решение :

     1. Определите, какие свойства и правила применяются.

     2. Если вам нужно использовать более одного свойства или правила, определите порядок их использования.

        1. Применение правила суммы/разности для интегралов.

        2. Применение правила постоянного кратного для интегралов.

        3. Применение правила степени для интегралов.

     9{2}}{x} + \frac{4\sqrt[3]{x}}{x} \right) ~\mathrm{d}x. \]

     3. Теперь вы можете вычислить интеграл почленно, используя правило суммы/разности и правило степени.

2. Если вам нужно использовать более одного свойства или правила, определите порядок их использования.

   • Применение правила суммы/разности.

   • Применение правила мощности.

3. Используйте выбранные вами правила.

   9{2}} ~\checkmark\end{align} \]

Этот пример показывает, что упрощение тригонометрических функций в подынтегральном выражении может значительно упростить задачу.

Вычислить

\[ \int \tan(x) \cos(x) ~\mathrm{d}x \]

Решение :

1. Определите, какие свойства и правила применяются.

2. Если вам нужно использовать более одного свойства или правила, определите порядок их использования.

3. Используйте выбранные вами правила.

4. Добавьте константу интегрирования.

   \[ \int \sin(x) ~\mathrm{d}x = -\cos(x) + C \]

5. Проверьте свой результат, доказав, что \( F'(x) = f(x ) \).\[ \begin{align}f(x) &= \tan(x) \cos(x) = \frac{\sin(x)}{\cancel{\cos(x)}} \cancel {\ cos (x)} = \ sin (x) \\ F (x) & = — \ cos (x) + C \\~ \\ F ‘(x) & = — (- \ sin (x)) \\&= \sin(x) ~\checkmark\end{align} \]

Неопределенный интеграл – основные выводы

• Если \( F(x) \) является первообразной функции \( f( x) \), то семейство первообразных \( f(x) \) называется неопределенный интеграл . Это записывается как: \[ \int f(x) ~\mathrm{d}x = F(x) + C, \]где \(C\) — любая константа.
• Вы можете интегрировать «почленно» для сумм, разностей и постоянных множителей. Эти свойства линейности резюмируются следующим образом:
  • Свойство суммы/разности: \[ \int (f(x) \pm g(x)) ~\mathrm{d}x = \int f(x) ~\mathrm{d} x \pm \int g(x) ~\mathrm{d}x \]
  • Постоянное кратное свойство:\[ \int kf(x) ~\mathrm{d}x = k \int f(x) ~\mathrm {г}х \]

• В большинстве случаев правила нахождения неопределенного интеграла функции обратны правилам нахождения производных.

• Интеграл произведения (или частного) двух функций не равен произведению (или частному) интеграла функций.\[ \begin{align}\int f(x) \cdot g(x ) ~\mathrm{d}x &\neq \int f(x) ~\mathrm{d}x \cdot \int g(x) ~\mathrm{d}x \\\int \frac{f(x) }{g (x)} ~ \ mathrm {d} x &\ neq \ frac {\ int f (x) ~ \ mathrm {d} x} {\ int g (x) ~ \ mathrm {d} x} \ конец {выравнивание} \]
• Основные шаги для вычисления неопределенного интеграла:

  1. Определите, какие свойства и правила применяются.

  2. Если вам нужно использовать более одного свойства или правила, определите порядок их использования.

  3. Используйте выбранные вами правила.

  4. Добавьте константу интегрирования.

  5. Проверьте свой результат, доказав, что \( F'(x) = f(x) \).

найти неопределенный интеграл. — Гугл такой 9{2x)}

Indefinite Integral — YouTube

www.youtube.com › смотреть

07.03.2018 · Ключевые моменты. Просмотреть все · найти первообразную · найти первообразную · найти …
Дауэр: 10:47
Прислан: 07.03.2018

Интегральный калькулятор • С шагами!

www.integral-calculator.com

Решайте определенные и неопределенные интегралы (первообразные) с помощью этого бесплатного онлайн-калькулятора. Пошаговое решение и графики прилагаются!

Неопределенные интегралы

www.sfu.ca › math-coursenotes › sec_IndefInt

Процесс нахождения неопределенного интеграла также называется интегрированием или интегрированием f(x). ж ( х ) . · Приведенное выше определение гласит, что если функция F F является …

Онлайн-калькулятор интегралов — Wolfram|Alpha

www.wolframalpha.com › калькуляторы › вычисление интегралов…

Бесплатный онлайн-калькулятор интегралов позволяет вам решать определенные и неопределенные задачи интеграции. Ответы, графики, альтернативные формы.

Исчисление I — Неопределенные интегралы — Математические заметки Паулса онлайн

tutorial.math.lamar.edu › классы › calci › indefinitei… е (х) е ( х ) . Если нам нужно уточнить информацию о …

Простейшие и неопределенные интегралы (видео) — Khan Academy

www.khanacademy.org › math › ab-integration-new

16.08.2016 · Это то, что называется «неопределенный интеграл». … производные используются для нахождения минимума или …
Dauer: 3:43
Прислан: 16.08.2016

Калькулятор неопределённых интегралов

calculate-integral.

No related posts.