Матрицы det a: Онлайн калькулятор. Определитель матрицы. Детерминант матрицы

Определитель матрицы | Детерминант матрицы — Студопедия

Определение. Определителем квадратной матрицы А= называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы  по формуле: det A = ,     где                         М1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов. Предыдущая формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу: det  A =                                      Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула: detA = ,     i = 1,2,…,n.                                      Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители.  Определитель единичной матрицы равен 1. Для указанной матрицы А число М1к называется дополнительным минором  элемента матрицы a1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах. Определение.Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы aij  равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца. Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение: det A = det AT;                                             Свойство 2.                   det ( A +/- B) = det A +/- det B. Свойство 3.                    det (AB) = detA*detB Свойство 4.  Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине. Свойство 5. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число. Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения. Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю.             Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.) Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю. Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно соотношение: d = d1 +/- d2  , e = e1 +/- e2 , f = f1 +/- f2 , то верно:             Пример. Вычислить определитель матрицы А = = -5 + 18 + 6 = 19.             Пример:. Даны матрицы А = , В = .  Найти det (AB). 1-й способ: det A = 4 – 6 = -2;      det B = 15 – 2 = 13;            det (AB) = det A *det B = -26. 2- й способ:  AB = ,       det (AB) = 7*18 — 8*19 = 126 – – 152  = -26.

Читайте также: Решение методом Гаусса | Система уравнений методом Гаусса Матричный метод решения систем линейных уравнений Высшая алгебра математика Теорема о базисном миноре Определитель матрицы | Детерминант матрицы Вернуться в оглавление: Высшая математика



Определитель (детерминант) – многочлен от элементов квадратной матрицы.

(обозначается ∆, det a, |a|, d)

При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.

Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.

Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.

Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).

Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.

Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.

3. (Практика) 2х2, 3х3, 4х4

4. Обратная матрица A^-1= 1/|A|*A^Т˳

A˳ = Матрица миноров * на матрицу знаков

Матрица миноров – посредством нахождения каждого определителя.

Для проверки A* A^-1 = E

5. В том случае, если определитель матрицы равен нулю – обратной матрицы не существует.

6. (практика) Ранг матрицы — максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Если ранг матрицы равен r, то любые m:n > r строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы.

Если A — квадратная матрица, определитель которой = 0 , то строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.

Пусть ранг матрицы = r, тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно r.

Найти можно по «Методу окаймляющих миноров» или с помощью «элементарных преобразований».

СЛАУ

7. Система линейных алгебраических уравнений — это система уравнений вида, где

X1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. A11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными.

Система является…

однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

квадратной, если m=n

совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и

несовместной, если у неё нет ни одного решения.

определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой.

Решение системы — совокупность чисел c₁, c₂, …, c_n, таких что подстановка каждого в систему обращает все её уравнения в тождества.

Совместная система может иметь одно или более решений.

8. СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы.

Система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных. (это и есть теорема Кронекера-Капелли)

9. Решать можно школьным методом (выражение одной переменной через другую и подстановка в выражение), сложением и вычитанием строк, матричным методом (см. вопрос 10), с помощью теоремы Крамера (см. вопрос 11) или Гаусса (см. вопрос 12).

10. (практика)Матричный метод – решение с помощью обратной матрицы (A^-1) Подходит только для невырожденных (det≠0).

AX = B, значит Х=В/А=В* A^-1 (как найти A^-1 смотри 4-й вопрос)

11. (практика) Метод Крамера (det≠0)

1. Записываем коэффициенты при Х в виде матрицы.

2. Рассчитываем det матрицы.

3. Заменяем 1-ю (потом 2-ю и 3-ю строку) на столбец свободных членов,

рассчитываем их det-ты.

4. Находим иксы по формуле:

12.(практика) Метод Гаусса

1. Записываем уравнения в расширенную матрицу

2. Элементарные преобразования (перестановка строк (столбцов), складывание вычитание строк (столбцов))

3. Главная цель – привести к ступенчатому виду (под диагональю 0-ли)

4. Подстановка в нижнее уравнение Х и решение снизу-вверх.

13. Система называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0) (рисунок к 10-му вопросу). Имеет ненулевое решение, когда ранг её матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при rang A˂ n.

14. (практика) Метод: 1. Записать в виде матрицы, отдельно Х, отдельно коэффициенты, отдельно свободные члены (0-ли) 2. Привести к ступенчатому виду (элементарные преобразования).

3. Найти ранг системы и кол-во решений(n—rang). N – кол-во переменных.

4. Переписать в виде уравнений и выразить из них любую переменную.

5. Подставить 1-цу в переменную, найти остальные. Записать в табличку.

6. Ответ записать в виде вектора.

ВЕКТОРЫ

15. N-мерным вектором называется последовательность чисел. Эти числа называются координатами вектора. Число координат вектора n называется размерностью вектора.

Вектор записывается в виде строки или столбца:

Существуют: нулевой вектор (все цифры = 0), единичные векторы специального вида (одно из чисел единица). Векторы можно: умножать на число, складывать, перемножать, находить модуль вектора. При сложении, умножении – можно менять местами, выносить за скобки.

Сложение:

Перемножение:

Умножение на число: λA=(λ*a₁, λ*a₂,…, λ*a_n)

Модуль вектора: . (То есть записать так вектор и перемножить его по свойству, получится число)

16. Арифметическое n— мерное векторное пространство — это множество всех арифметических n-мерных векторов, а также их суммы и произведения на числа. Обозначается «V».

Аксиомы:

1)сумма любых двух элементов из V и произведение скаляра и произвольного элемента из V являются некоторыми элементами из V. (выводится из определения векторного пространства (см. вверх)).

2)сложение любых трёх элементов из V подчиняется сочетательному закону (или как ещё говорят — векторное сложение ассоциативно): .

3)сложение любых двух элементов из V подчиняется переместительному закону (векторное сложение коммутативно):

4)существует такой элемент из V (нулевой вектор), что для любого верно

5)для любого элемента из V существует такой элемент из V, сумма которого с исходным элементом равна

6) (обратить внимание – вектор ТОЛЬКО СО СТРЕЛКОЙ, остальные – числа)

7)

8)

9)

17. Длина = модулю вектора (см. 15 вопрос, в конце). Скалярное произведение (см. 15 вопрос). Ортогональность(перпендикулярность): Если выполняется – перпендикулярны.

18. Система векторов A₁, A₂,…,A_n называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел λ₁, λ₂,. ..,λ_n, при котором линейная комбинация векторов λ₁*A₁+λ₂*A₂+…+λ_n*A_n равна нулевому вектору. Условие: все λ≠0. Если λ=0, то система линейно независима. Эквивалентные системы – системы, которые можно выразить друг через друга. Их ранги равны. Эквивалентные преобразования – изменение нумерации вектора, удаление нулевого вектора, удаление линейной комбинации векторов, умножение на число, прибавление к одному вектору линейную комбинацию других векторов системы.

Определитель квадратной матрицы

Здесь мы рассмотрим несколько важных фактов, касающихся определяющих факторов. Самодостаточное изложение, включающее доказательства, см. в этом тексте Карла де Бура.

Определение

Определитель квадрата, матрицы , обозначенной , определяется алгебраической формулой коэффициентов . Следующая формула для определителя, известная как формула разложения Лапласа , позволяет рекурсивно вычислить определитель:

где — матрица, полученная удалением -й строки и первого столбца. (Первый столбец здесь особой роли не играет: определитель остается тем же, если мы используем любой другой столбец.)

Определитель — это уникальная функция записей таких, что

1. .

2. является линейной функцией любого столбца (когда остальные фиксированы).

3. меняет знак при перестановке двух столбцов.

Существуют и другие выражения определителя, в том числе формула Лейбница (доказана здесь):

где обозначает множество перестановок целых чисел . Здесь обозначает знак перестановки , который является количеством попарных обменов, необходимых для преобразования в .

Важный результат

Важным результатом является то, что квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Мы используем этот ключевой результат при введении собственных значений симметричных матриц.

Геометрия

Определитель матрицы со столбцами – это объем параллелепипеда, определяемый векторами . (Источник: википедия). Следовательно, определитель является мерой масштаба, которая количественно определяет, как линейная карта, связанная с , , изменяет объемы.

В общем случае абсолютное значение определителя матрицы равно объему параллелепипеда

Это согласуется с тем фактом, что когда необратим, его столбцы определяют параллелепипед нулевого объема.

Определитель и обратный

Определитель можно использовать для вычисления обратной квадратной матрицы полного ранга (то есть обратимой): обратная имеет элементы, заданные

, где – матрица, полученная удалением ее -й строки и -го столбца. Например, определитель матрицы

равно

Это действительно объем площади параллепипеда, определенного столбцами , . Обратное дается

Некоторые свойства

Определитель треугольных матриц

Если матрица квадратная, треугольная, то ее определитель есть просто произведение ее диагональных коэффициентов. Это следует из приведенной выше формулы расширения Лапласа.

Определитель транспонирования

Определитель квадратной матрицы и определитель транспонированной матрицы равны.

Определитель произведения матриц

Для двух обратимых квадратных матриц имеем

В частности:

Отсюда также следует, что для ортогональной матрицы , то есть матрицы с , имеем

Определитель блочных матриц

В качестве обобщения приведенного выше результата мы имеем для трех совместимых блоков:

Более общая формула:

Матрица | Определение, типы и факты

Ключевые люди:

Артур Кэли Нильс Фабиан Хельге фон Кох

Похожие темы:

магический квадрат определитель квадратная матрица элемент нулевая матрица

Просмотреть весь связанный контент →

Резюме

Прочтите краткий обзор этой темы

матрица , набор чисел, расположенных в строках и столбцах так, чтобы образовать прямоугольный массив. Числа называются элементами или элементами матрицы. Матрицы имеют широкое применение в технике, физике, экономике и статистике, а также в различных разделах математики. Матрицы также имеют важные приложения в компьютерной графике, где они использовались для представления поворотов и других преобразований изображений.

Исторически сложилось так, что первой была распознана не матрица, а определенное число, связанное с квадратным массивом чисел, называемое определителем. Лишь постепенно возникло представление о матрице как об алгебраической сущности. Термин матрица был введен английским математиком XIX века Джеймсом Сильвестром, но именно его друг, математик Артур Кэли, разработал алгебраический аспект матриц в двух статьях в 1850-х годах. Кейли впервые применил их к изучению систем линейных уравнений, где они до сих пор очень полезны. Они важны еще и потому, что, как признал Кейли, определенные наборы матриц образуют алгебраические системы, в которых справедливы многие обычные законы арифметики (например, ассоциативный и распределительный законы), но в которых другие законы (например, коммутативный закон) справедливы. недействительно.

Если имеется 90 131 m 90 132 строк и 90 131 n 90 132 столбцов, матрица называется «90 131 m 90 132 на 90 131 n 90 132», записанная как «90 131 m 90 132 × 90 131 n 90 132». Например,

— это матрица 2 × 3. Матрица с n строк и n столбцов называется квадратной матрицей порядка n . Обычное число можно рассматривать как матрицу 1 × 1; таким образом, 3 можно рассматривать как матрицу [3]. Матрица только с одной строкой и n столбцами называется вектором-строкой, а матрица только с одним столбцом и n строк называется вектор-столбцом.

В общепринятых обозначениях заглавная буква обозначает матрицу, а соответствующая строчная буква с двойным нижним индексом описывает элемент матрицы. Таким образом, a _ij является элементом i -й строки и j -го столбца матрицы A . Если A представляет собой матрицу 2 × 3, показанную выше, то a ₁₁ = 1, a ₁₂ = 3, a ₁₃ = 8, a ₂₁ = 2, a ₂₂ = −4, а a ₂₃ = 5. При определенных условиях матрицы могут быть сложены как отдельные объекты и матрицы. породив важные математические системы, известные как матричные алгебры.

Матрицы встречаются естественным образом в системах одновременных уравнений. В следующей системе для неизвестных x и y массив чисел представляет собой матрицу, элементами которой являются коэффициенты неизвестных. Решение уравнений полностью зависит от этих чисел и от их конкретного расположения. Если бы 3 и 4 поменять местами, решение было бы другим.

Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подписаться

Две матрицы A и B равны друг другу, если они имеют одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов и если a _ij = b 63 63 для каждого i и каждого j . Если A и B две матрицы m × n , то их сумма равна S = A + B is the m × n matrix whose elements s _ij = a _ij + b _ij . То есть каждый элемент S равен сумме элементов в соответствующих позициях A и B .

Матрицу A можно умножить на обычное число c , которое называется скаляром. Продукт обозначен цифрой cA или Ac и представляет собой матрицу, элементами которой являются ca _ij .

Умножение матрицы A на матрицу B для получения матрицы C определяется только тогда, когда количество столбцов первой матрицы A равно количеству строк второй матрицы B . Определить элемент c _ij , который находится в i -м ряду и j -й столбец произведения, первый элемент в i -й строке A умножается на первый элемент в j -й столбец B , второй элемент в строке на второй элемент в столбце и так далее, пока последний элемент в строке не будет умножен на последний элемент столбца; сумма всех этих произведений дает элемент c _ij . В символах для случая, когда А имеет м столбца и B имеет m строк, Матрица C имеет столько же строк, сколько A и столько же столбцов, сколько B .

В отличие от умножения обычных чисел a и b , в котором ab всегда равно ba , умножение матриц A и B не является коммутативным. Однако он является ассоциативным и дистрибутивным по сравнению с сложением. То есть, когда операции возможны, всегда выполняются следующие уравнения: A ( BC ) = ( AB ) C , A ( B + C ) = AB + AC , and ( B + C ) А = ВА + СА . Если матрицу 2 × 2 A , строками которой являются (2, 3) и (4, 5), умножить саму на себя, то произведение, обычно записываемое как A ² , имеет строки (16, 21) и ( 28, 37).

Матрица O , все элементы которой равны 0, называется нулевой или нулевой матрицей. Квадратная матрица Число с единицами на главной диагонали (от верхнего левого угла к нижнему правому) и нулями в остальных местах называется единичной или единичной матрицей. Его обозначают I или I _n , чтобы показать, что его порядок равен n . Если B — любая квадратная матрица, а I и O — единичная и нулевая матрицы одного порядка, всегда верно, что B + O = O + B = B и БИ = БИ = Б . Следовательно, O и I ведут себя как 0 и 1 в обычной арифметике. (На самом деле обычная арифметика — это частный случай матричной арифметики, в которой все матрицы имеют размер 1 × 1.)

Квадратная матрица A , в которой элементы a _ij отличны от нуля только тогда, когда i = j называется диагональной матрицей. Диагональные матрицы обладают тем особым свойством, что их умножение коммутативно; то есть для двух диагональных матриц А и Б , АВ = ВА . След квадратной матрицы представляет собой сумму элементов на главной диагонали.

С каждой квадратной матрицей A связано число, известное как определитель A , обозначаемый det A . Например, для матрицы 2 × 2 det A = ad − bc . Квадратная матрица B называется невырожденной, если det B ≠ 0. Если B невырожденна, то существует матрица, обратная B , обозначенный B ^-1 , такой, что BB ^-1 = B ^-1 B =

1 I 90. Уравнение AX = B , в котором A и B — известные матрицы, а X — неизвестная матрица, решается однозначно, если A — невырожденная матрица, тогда A 2 −1 существует, и обе части уравнения можно умножить на него слева: А ^-1 ( АХ ) = А ^-1 В . Теперь A ⁻¹ ( AX ) = ( A ⁻¹ A ) X = IX = X 9; следовательно, решение X = A ⁻¹ B . Система m линейных уравнений с n неизвестными всегда может быть выражена в виде матричного уравнения AX = B , в котором A — m × n матрица коэффициентов неизвестных, X — n × 1 матрица неизвестных, B — n × 1 матрица, содержащая числа на правая часть уравнения.

Проблема большого значения во многих областях науки заключается в следующем: по квадратной матрице A порядка n, найти n × 1 матрицу X, , называемую n -мерный вектор, такой что AX = cX . Здесь c — это число, называемое собственным значением, а X — собственным вектором. Существование собственного вектора X с собственным значением c означает, что некоторое преобразование пространства, связанное с матрицей A , растягивает пространство в направлении вектора X на коэффициент c .

No related posts.