| Определение Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0. Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса: Не имеют корней; В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант. Определение Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно: Если D Если D = 0, есть ровно один корень; Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете: Задача Сколько корней имеют квадратные уравнения: x2 − 8x + 12 = 0; Решение Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант: Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение: Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение: Дискриминант равен нулю — корень будет один. 1) 2 корня; 2) нет корней; 3) один корень. Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много. Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам: Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D Задача Решить квадратные уравнения: x2 − 2x − 3 = 0; Решение Первое уравнение: D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их: Второе уравнение: D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их: Наконец, третье уравнение: D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую: 1) x1 = 3; x2 = -1; 2) x1 = −5; x2 = 3; 3) x = −6. Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок. Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например: x2 + 9x = 0; Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Определение Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0. Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax2 + c = 0. Немного преобразуем его: Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c/a) ≥ 0. Вывод: Если в неполном квадратном уравнении вида ax2 + c = 0 выполнено неравенство (−c/a) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше; Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. Теперь разберемся с уравнениями вида ax2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители: Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений: Задача Решить квадратные уравнения: x2 − 7x = 0; Решение x2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7. 5×2 + 30 = 0 ⇒ 5×2 = −30 ⇒ x2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу. 4×2 − 9 = 0 ⇒ 4×2 = 9 ⇒ x2 = 9/4 ⇒ x1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5. 1) x1 = 0; x2 = 7; 2) корней нет; 3) x1 = 1,5; x2 = 1,5. |
Итак, введем новое понятие:
На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c/a) ≥ 0. Достаточно выразить величину x2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.
Квадратное уравнение — презентация онлайн
.
Составил: учитель математики МКОУ «Синелипяговская СОШ»
Воронежская область
Дедова Татьяна Викторовна
2012 год
Проект разработан с использованием ИКТ и элементами модульной педагогической
технологии. Он может быть проведен с учащимися 8-9 классов. Проект охватывает
изучение тем: «Квадратное уравнение и его корни», « Формула корней квадратного
уравнения» .
Основная цель — создать такую систему, которая бы обеспечивала бы
образовательные потребности каждого ученика в соответствии с его склонностями,
интересами и возможностями.
Данный проект формирует понятия квадратного уравнения, умение решать
неполные квадратные уравнения, умение применять формулу корней квадратного
уравнения. Знакомит учащихся с методом выделения полного квадрата, с формулой
корней приведенного квадратного уравнения, формула корней квадратного
уравнения со вторым четным коэффициентом.
, а также рассмотрены некоторыенестандартные приемы решения квадратных уравнений.
При проведении проекта с опорой на формирующее оценивание учитель помогает
ученикам в развитии их навыков решению квадратных уравнений разными
способами, организует самостоятельные исследования по учебной теме.
План оценивания в ходе проекта направлен на реализацию деятельного подхода в
обучении, в центре внимания учебные потребности ребенка, развитие навыков
самоуправления обучением, самооценивание, взаимное оценивание.
1.Аннотация проекта.
2. Цели.
3. Ожидаемые результаты.
4. Вопросы, направляющие проект.
4.1 Основополагающий вопрос;
4.2 Проблемные вопросы;
4.3 Учебные вопросы.
5. Теоретический материал.
6. Дидактический материал.
7. Критерии оценивания.
8. Литература.
Изучив этот проект, учащиеся должны:
Знать, что такое квадратное уравнение, неполное
квадратное уравнение, приведенное квадратное уравнение;
терему Виета и обратную ей.
Уметь решать квадратные уравнения выделением квадрата
двучлена, решать квадратные уравнения по формуле, решать
неполные квадратные уравнения, решать квадратные
уравнения с помощью теоремы, обратной теореме Виета,
использовать теорему Виета для нахождения коэффициентов
и свободного члена квадратного уравнения.
Ожидаемые результаты обучения:
После завершения проекта учащиеся смогут:
Решать квадратные уравнения различными способами
Основополагающий вопрос:
Решение квадратных уравнений.
Проблемные вопросы: Какими способами можно решать
квадратные уравнения?
Учебные вопросы:
1.Что такое квадратное уравнение?
2.Какие существуют виды квадратных уравнений?
3.Что называется дискриминантом квадратного
уравнения?
4.От чего зависит количество корней квадратного
уравнения?
5. Каковы формулы для нахождения корней квадратного
уравнения?
6.Как формулируется теорема Виета?
Определение квадратного уравнения, его виды.
Квадратным уравнением называется уравнение вида
ax2 + bx + c = 0,
где х- переменная, а,b и с-некоторые числа,
причем, а ≠ 0.
Если в квадратном уравнении ах2 + bx + c = 0 хотя бы один
из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение
называют неполным квадратным уравнением. Неполные
квадратные уравнения бывают трёх видов: 1) ах2 + с = 0, где с ≠ 0;
2) ах2 + bх = 0, где b ≠ 0;
3) ах2 = 0.
Приведённым называют квадратное уравнение, в котором
старший коэффициент равен единице. Такое уравнение
может быть получено делением всего выражения на
старший коэффициент a :
х2 +px + q = 0
Различные способы решения квадратных уравнений.
Решим уравнение х2 + 10х – 24 = 0.
Разложим левую часть уравнения на множители:
х2 + 10х – 24 = х2 + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = (х + 12)(х – 2).
Следовательно, уравнение можно переписать так:
(х + 12)(х – 2) = 0.
Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его
множителей равен нулю.
Поэтому левая часть уравненияобращается в нуль при х = 2, а также при х = — 12. это означает, что
числа 2 и – 12 являются корнями уравнения х2 + 10х – 24 = 0.
2) Метод выделения полного квадрата
Решим уравнение х2 + 6х – 7 = 0
Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение
х2 + 6х в следующем виде:
х2 + 6х = х2 + 2· х ·3.
В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х, а второе
– удвоенное произведение х на 3. поэтому чтобы получить полный
квадрат, нужно прибавить 32, так как
х2 + 2· х ·3 + 32 = (х + 3)2 .
Преобразуем теперь левую часть уравнения
х2 + 6х – 7 = 0,
прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:
х2 + 6х – 7 = х2 + 2· х ·3 + 32 – 32 – 7 = (х + 3)2 – 9 – 7 = (х + 3)2 – 16.
Таким образом, данное уравнение можно записать так:
(х + 3)2 –16 = 0, т.е. (х + 3)2 = 16.
Следовательно, х = 3 = 4, х1 = 1, или х +3 = — 4 , х2 = – 7.
Решение неполных квадратных уравнений.
1. Если ах2 = 0.
Уравнения такого вида решаются по алгоритму:1) найти х2;
2) найти х.
Например, 5х2 = 0 . Разделив обе части уравнения на 5 получается:
х2 = 0, откуда х = 0.
2. Если ах2 + с = 0, с≠ 0 Уравнения данного вида решаются по алгоритму:
1) перенести слагаемые в правую часть;
2) найти все числа, квадраты которых равны числу с.
Например, х2 — 5 = 0, х2 = 5. Следовательно, надо найти все числа, квадраты которых равны
5
ичислу 5. Таких чисел только два
5
Таким образом, уравнение х2 — 5 = 0 имеет два корня: x1 =
5
,
x2 = —
5
и других корней не имеет.
3. Если ах2 + bх = 0, b ≠ 0. Уравнения такого вида решаются по алгоритму:
1) вынести общий множитель за скобки;
2) найти x1, x2.
Например, х2 — 3х = 0. Перепишем уравнение х2 – 3х = 0 в виде
х ( х – 3 ) = 0. Это уравнение имеет, очевидно, корни x1 = 0, x2 = 3. Других корней оно не имеет,
ибо если в него подставить вместо х любое число, отличное от нуля и 3, то в левой части уравнения х
( х – 3 ) = 0 получится число, не равное нулю.
Вывод:
1) если уравнение имеет вид ах2 = 0, то оно имеет один корень х = 0;
2) если уравнение имеет вид ах2 + bх = 0, то используется метод
разложения на множители: х (ах +b) = 0; значит, либо х = 0, либо ах + b
= 0. В итоге получается два корня: x1 = 0; x2 = — ;
3) если уравнение имеет вид ах2 + с = 0, то его преобразуют к виду
c
2
2
ах = — с и далее х = — a В случае, когда — ac < 0,уравнение х2 = — ac
не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение
ах2 +с=0).
В случае, когда — c > 0, т.е.
a
—
c
a
=m,
где m>0, уравнение х2 = m имеет два корня
x1
=
m
2
=-
m
Таким образом, неполное квадратное уравнение
может иметь два корня, один корень, ни одного корня.
Решение полных квадратных уравнений
ах2 + bx + c = 0, где a,b,c – заданные числа, а ≠ 0, х – неизвестное.
Рассмотриваются следующие случаи решения полных квадратных уравнений: D < 0, D = 0, D > 0.
1. Если D < 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.
Например, 2х2 + 4х + 7 = 0.
Решение: здесь а = 2, b = 4, с = 7.
D = b2 – 4ас = 42 – 4*2*7 = 16 – 56 = — 40.
Так как D < 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.
2. Если D = 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 имеет один корень, который
b
находится по формуле
2a
Например, 4х – 20х + 25 = 0. Решение: а = 4, b = — 20, с = 25.
D = b2 – 4ас = (-20) 2 – 4*4*25 = 400 – 400 = 0.
Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле b
2a
20
2,5.
2*4
3. Если D > 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 имеет два корня, которые находятся по
формулам:
b D
b D
1
; 2
(1)
2a
2a
Например, 3х2 +8х – 11 = 0. Решение: а = 3, b = 8, с = -11. D = b2 – 4ас = 82 – 4*3*(-11) = 64 + 132 = 196.
Так как D > 0, то данное квадратное уравнение имеет два корня.
Эти корни находятся по формулам:1
b D 8 196
b D 8 196
11
1; 2
2a
2*3
2a
2*3
3
Вывод:
Если D < 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.
Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень,
b
который находится по формуле
.
2a
Если D > 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 имеет два
корня
b D
b D
1
2a
;
2
2a
.
Решение приведенных квадратных уравнений
Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения
равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а
произведение корней равно свободному члену.
Иначе говоря, если x1 и x2 — корни уравнения х2 +px + q = 0, то
x1 + x2 = — p,
x1 x2 = q.
Теорема, обратная теореме Виета. Если для чисел x1, x2, p, q
справедливы формулы то x1 и x2 — корни уравнения х2 +px + q = 0 .
а) Если свободный член q
приведенного квадратного уравнения положителен (q >0), то уравнение имеет два одинаковых
по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p.
Если p>0, то оба корня отрицательные, если p<0, то оба корня положительны.
б) Если свободный член q
приведенного квадратного уравнения отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по
знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p<0, или отрицателен,
если p>0.
Метод переброски.
Рассмотрим полное квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0; (1)
Для его решения мы вначале используем формулу
дискриминанта:D = b2 – 4ac и если D > 0, то с помощью формул
корней полного квадратного уравнения находим x1 и x2:
1.2
b b2 4ac
2a
Теперь рассмотрим другое полное приведенное квадратное
уравнение
y2 + by + ac = 0. (2)
Первый коэффициент у этого уравнения равен 1, а второй
коэффициент равен b и совпадает со вторым коэффициентом
уравнения (1). Свободный член уравнения (2) равен ac и
получен как произведение первого коэффициента и свободного
члена уравнения (1) (то есть можно сказать, что a
«перебросилось» к c).
Найдем дискриминант и корни квадратного уравнения (2): D =
b2 – 4ac, т.о. он полностью совпадает с дискриминантом
уравнения (1). Корни уравнения (2): y1,2 = (-b ± √D) / 2.
Если теперь корни x1,2 сравнить с корнями y1,2, то легко видеть, что
корни уравнения (1) можно получить из корней уравнения (2)
делением на a.
Теперь рассмотрим примеры, в которых очень удобно пользоваться
приведенным выше методом «переброски».
Пример 1.
Решить уравнение 6×2 – 7x – 3 = 0.
Решение.
Выполним «переброску» и решим новое уравнение с помощью
теоремы Виета:
y2 – 7y – 3 · 6 = 0;
y2 – 7y – 18 = 0.
По теореме Виета y1 = 9; y2 = -2.
Теперь вернемся к переменной x. Для этого разделим полученные
результаты y1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на
6. Получим:
x1 = 9/6; x2 = -2/6.
После сокращения будем иметь x1 = 1,5; x2 = -1/3.
Ответ: -1/3; 1,5.
Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0.
А. Пусть дано квадратное уравнение
1.Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю),
то х1 = 1, х2 = ас
2. Если а — b + с = 0, или b = а + с, то х1 = – 1, х2 = –
с
а
Решим уравнение 345х2 – 137х – 208 = 0.
Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х1 = 1, х2 =
Ответ: 1; –
208
345
Решим уравнение 132х2 + 247х + 115 = 0
Решение. Т. к. а-b+с = 0 (132 – 247 +115=0), то
115
х1= — 1, х2= -132
Ответ: — 1; — 115
132
208
345
Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то D = k2 – ac и
формулу корней
х1,2 =
b b2 4ac
2a
можно записать в виде х1,2
k k 2 ac
=
a
Решим уравнение 3х2 – 14х + 16 = 0.
Решение. Имеем: а = 3, b = – 14, c = 16, k = – 7;
D = k2 – ac = (– 7)2 – 3 · 16 = 49 – 48 = 1, D>0, два различных корня;
х = k D 7 1 7 1
8
a
3
; х1 2, х2 .
3
3
8
Ответ: 2; 3
Графическое решение квадратного уравнения
Если в уравнении
x2 + px + q = 0
перенести второй и третий члены в правую часть, то получим
x2 = – px – q .
Построим графики зависимостей у = х2 и у = – px – q .
График первой зависимости – парабола, проходящая через начало
координат.
График второй зависимости – прямая.
Возможны следующие случаи: прямая и парабола могут пересекаться в
двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями
квадратного уравнения;
— прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка),т.е.
уравнение имеет одно решение;
— прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение
не имеет корней.
Решим графически уравнение х2 – 3х – 4 = 0.
Решение. Запишем уравнение в виде
х2 = 3х + 4
Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4.
Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0;4) и N
(3;13).
Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и B с
абсциссами х1 = – 1 и х2 = 4.
В
А
Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.
Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на
с.
83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. – М., Просвещение, 1990).Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не
решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.
Криволинейная шкала номограммы построена по формулам:
а
ОВ = 1 z
z2
.
, АВ =
1 z
Полагая ОС = р, ЕD = q, ОЕ = а ( все в см), из подобия треугольников САН и СDF получим пропорцию
p q
a
p AB OB
откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z2 + pz + q = 0,
причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.
1. Для уравнения
z2 – 9z + 8 = 0.
Номограмма дает корни
z1 = 8, 0 и z2 = 1, 0 (рис. 12).
2. Решим с помощью
номограммы уравнение
2z2 – 9 z + 2 = 0.
Разделим коэффициенты этого
уравнения на 2,получим уравнение
z2 – 4, 5 + 1 = 0.
Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5.
Геометрический способ решения квадратных уравнений.
В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения
решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из
«Алгебры» ал-Хорезми.
Примеры
Решим уравнение х2 + 10х = 39.
В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».
Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники
так, что другая сторона каждого из них равна 2 1 , следовательно, площадь каждого равна 2 1 х
2
2
Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата АВСD, достраивая в
углах четыре равных квадрата, сторона каждого из них 2 1 , а площадь 6 1 .
2
D
x
1
.
4
2 1х
2
1
.
64
21 х
6
A
C
2
1
.
4
6
1
2
2 х
x2
1
2 х
2
х
1
6 .
4
B
4
Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму
площадей: первоначального квадрата х2, четырех
прямоугольников
(4 ∙ 2 1
= 10х )
2
х
и четырех пристроенных квадратов
(6 1 4 25 ), т.
е.4
S = х2 + 10х = 25. Заменяя х2 + 10х числом 39,
получим что S = 39+ 25 = 64, откуда следует, что
сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ = 8. Для
искомой стороны х первоначального квадрата
получим
х=8
— 2 12
–21 =3
2
. А вот, например, как древние греки решали уравнение
у2 + 6у – 16 = 0.
Решение представлено на рис., где
у2 + 6у = 16, или у2 + 6у + 9 = 16 + 9.
Решение .Выражения у2 + 6у – 16 +9 – 9 = 0 – одно и то же
уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у1 = 2,
у2 = – 8.
2
у
у
у2
3у
3
3
3у
9
1.
Решите квадратное уравнение, разлагая его
левую часть на множители:
2
а) х – х = 0;
е) х2 – 4х + 4 = 0;
б) х2 + 2х = 0;
ж) х2 + 6х + 9 = 0;
в) 3 х2 – 3х = 0;
з) х2 + 4х +3 = 0;
г) х2 – 81 = 0;
и) х2 + 2х – 3 = 0.
1
= 0;
д) 4 х2 –
4. Решите уравнения, используя метод «переброски»:
1)2х2 – 9х +9 = 0
5) 3х2 + х – 4 = 0
2) 10х2 – 11х + 3 = 0
6) 5х2 – 11х + 6 = 0
3) 3х2 +11х +6 = 0
7) 2х2 + х – 10 = 0
4) 4х2 +12х + 5 = 0
8) 6х2 +5х – 6 = 0
144
2.
Решите уравнения по формуле:а) 2х2 – 5х + 2= 0
г) 4х2 – 12х +9 =
0
б) 6х2 + 5х + 1=0
д) 10х2 – 6х + 0,9
=0
в) 3х2 – 7х – 1 = 0
е) 2х2 – 3х + 2 =
0
3. Не решая квадратного уравнения, определите
знаки его корня:
2
1) х – 2х – 15 = 0
7) х2 – 2х + 1 = 0
2) х2 + 2х – 8 = 0
8) х2 + 4х + 4 = 0
3) х2 + 10х + 9 = 0
9) х2 – 6х + 9 = 0
4) х2 – 12х + 35 = 0
10) 4х2 + 7х – 2 = 0
5)3 х2 +1 4х + 16 = 0
11) 5х2 – 9х – 2 = 0
6) х2 – 5х + 6 = 0
12) х2 – 11х + 15 = 0
5. Решите уравнения, используя свойства коэффициентов:
1) 5х2 – 7х + 2 = 0
5) 839х2 – 448х – 391 = 0
2) 3х2 + 5х – 8 = 0
6) 939х2 + 978х +39 = 0
3) 11х2 + 25х – 36 = 0
7) 313х2 + 326х + 13 = 0
4) 11х2 + 27х +16 = 0
8) 2006х2 – 2007х + 1 = 0
6. Решите уравнения по формуле четного
коэффициента:
1) 4х2 – 36х + 77 = 0
3) 4х2 + 20х + 25 = 0
2) 15х2 – 22х – 37 = 0
4) 9х2 – 12х + 4 = 0
7. Решите приведенные квадратные уравнения по
формуле:
1) х2 – 8х – 9 = 0
3) х2 + 18х + 81 = 0
2) х2 + 6х – 40 = 0
4) х2 — 56х + 64 = 0
8.
Решите графически уравнения:1) х2 – х – 6 = 0;
4) х2 – 2х – 3 = 0;
2) х2 – 4х + 4 = 0;
5) х2 + 2х – 3 = 0;
3) х2 + 4х +6 = 0;
6) 4х2 – 4х – 1 = 0.
9. Решите с помощью номограммы уравнения:
1) z2 – 7z + 6 = 0;
4) z2 – z – 6 = 0 ;
2) z2 + 5z + 4 = 0;
5) z2 – 11z + 18 = 0;
3) z2 – 4z + 4 = 0;
6) z2 – 2z + 3 = 0.
Критерии оценивания
Формы оценивания:
промежуточное (формирующее) оценивание:
— самооценка, взаимооценка участников проекта своей
деятельности для выявления потребности в необходимой или
дополнительной информации; процесса в понимании
теоретического материала.
Способы оценивания :
тесты, проверочные работы, самостоятельные работы,
подготовленные учителем и соответствующие учебной
программе и стандарту (Раздаточный материал, дидактический
материал).
Итоговое оценивание:
— оценка содержания итогового материала, его соответствие
стандарту и учебной программе;
— оценка навыков совместной деятельности (групповой) и
индивидуальной;
— оценка навыков мышления (достигнута цель).
1.Ю.Н Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворов. Под ред. С.А.
Теляковского. Алгебра: Учебник для 8 класса- изд.- М:Просвещение,2010.
2.Жохов В.И., Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дидиктические материалы
по алгебре для 8 класса.- 15изд.- М.: Просвещение, 2010.
3. Энциклопедический словарь юного математика.А.П.СавинМ:Педагогика,19854. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для среденй
школы. – М., Просвещение, 1990
5 http://www.uchportal.ru/load/27-1-0-29503
http://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%E2%E0%E4%F0%E0%F2%ED%EE%E5_%F3%F0
%E0%E2%ED%E5%ED%E8%E5
http://www.egesdam.ru/page221.html
6.Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учебник для
общеобразовательных учреждений / Г. В. Дорофеев и др. – М.: Дрофа, 2004
7. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы:
Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988
8. Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1982
Номогра́мма (греч.
νομοσ — закон) — графическоепредставление функции от нескольких переменных,
позволяющее с помощью простых геометрических
операций (например, прикладывания линейки)
исследовать функциональные зависимости без
вычислений. Например, решать квадратное уравнение
без применения формул
2+4*х+3=0;х`), калькулятор возвращает результат -20.
Вычисление дискриминанта полинома позволяет определить число корней квадратного уравнения:
- Когда вычисление дискриминанта дает отрицательное число, уравнение не имеет корня
- , когда дискриминант равен нулю, уравнение имеет корень, двойной корень
- , когда вычисление дискриминанта является положительным числом, уравнение имеет два разных корня. 92+x+1;x`), который возвращает -3.
Расчет онлайн с дискриминантом (расчет дискриминанта онлайн)
См. также
Список связанных калькуляторов:
- Степень многочлена : степень.
Функция степени вычисляет в режиме онлайн степень многочлена. - Расчет дискриминанта онлайн: дискриминант. Калькулятор, который позволяет вычислить дискриминант квадратного уравнения онлайн.
- Калькулятор частного и остатка: евклидово_деление. Калькулятор позволяет найти в режиме онлайн частное и остаток при евклидовом делении двух многочленов или двух целых чисел.
- Калькулятор теоремы Пифагора: пифагорейский. Калькулятор использует теорему Пифагора, чтобы проверить прямоугольность треугольника или найти длину одной стороны прямоугольного треугольника.
- Калькулятор решения для x: уравнение_решателя. Решатель уравнений позволяет решать уравнения с неизвестным с шагами расчета: линейное уравнение, квадратное уравнение, логарифмическое уравнение, дифференциальное уравнение.
- Оценка многочлена: оценка. Функция оценки позволяет рассчитать оценку полинома онлайн.
Прочие ресурсы
- Упражнение по уравнениям
- Бесплатные математические игры с уравнениями
- Научитесь решать уравнения
Что такое квадратичная формула? Для чего его используют?
Квадратное уравнение
Генриетта Б.
спросил 14.03.13Что такое квадратичная формула? Для чего используется
? Приведите полезный пример,Подписаться І 3
Подробнее
Отчет
2 ответа от опытных наставников
Лучший Новейшие Самый старыйАвтор: ЛучшиеНовыеСамыеСтарые
Стивен Х. ответил 14.03.13
Репетитор
4,8 (549)
Репетитор по математике, физике и технике … доступен онлайн 92-4AC))/2A
Голосовать за 1 Понизить
Подробнее
Отчет
Курт Т. ответил 14.
03.13Репетитор
4,8 (155)
Репетиторство по математике и подготовка к экзаменам
Об этом репетиторе ›
92 — 4ac)———————————————
2a
30 +/- SQRT (900–800 )
——————————
4
30 +/- 10
—— ——-
4
Решения 10 и 5. Это точки , в которых парабола пересекает ось x. (Координаты (10,0) и (5,0)).
Квадратное уравнение может иметь два, один или не иметь действительных корней. Он имеет два действительных корня (как в приведенном выше примере), если дискриминант (часть формулы под радикалом) положителен, один действительный корень, если дискриминант равен нулю (парабола касается оси x, но не пересекает ее). ) и нет действительных корней, если дискриминант отрицателен (парабола не касается оси x).
- Степень многочлена : степень.
Функция степени вычисляет в режиме онлайн степень многочлена.
03.13