Формула координаты середины отрезка через координаты его концов: Середина отрезка. Координаты середины отрезка

Простейшие задачи в координатах 11 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Введение

 

Мы уже ввели понятие системы координат в пространстве, а также задали основные связанные с ней термины. Рассмотрим простейшие, базовые задачи в координатах, на которых в дальнейшем будет строиться решение большинства задач.

 

 

Задача. Нахождение координат середины отрезка

 

 

Дано: ; ,  – се­ре­ди­на . Найти: .

 

Ре­ше­ние: Обо­зна­чим в про­стран­стве точки  и  – се­ре­ди­ну от­рез­ка . (См. Рис. 1.)

Рис. 1. Ввели систему координат

Век­тор  яв­ля­ет­ся по­ло­ви­ной суммы век­то­ров и , по­то­му что  – это по­ло­ви­на диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма, по­стро­ен­но­го на век­то­рах  и . (См. Рис. 2.)

Рис. 2. Использование правила параллелограмма

Так как  и , и  (по правилу параллелограмма),

то значит:

Осталось заметить, что координаты точки  совпадают с координатами вектора , так как  – начало координат. То есть .

Таким образом, координаты середины отрезка есть полусуммы соответствующих координат его концов.

Можно было действовать и иначе: . Координаты вектора  мы знаем, значит, можем найти координаты вектора , а отсюда, зная координаты начала этого вектора  находим координаты конца – .

Ответ: .

 

Задача (координаты точки на отрезке)

 

 

Пусть даны две точки: ; , точка  делит отрезок  в отношении  от вершины . Найти: . (См. Рис. 3.)

 

Рис. 3. Иллюстрация к условию задачи

Решение

Если , то мы получаем тот самый случай, который мы уже разобрали, то есть деление в отношении  или середину отрезка.

Как мы будем находить координаты точки ? Заметим, что векторы  и  сонаправлены. Значит, они отличаются в константу раз, причем эту константу мы знаем. Ведь на весь отрезок  приходится  частей, а на отрезок  –  частей.

Значит, вектор .

Так как , то .

Но тогда координаты точки  находятся как сумма соответствующих координат вектора  и точки . Найдем абсциссу, остальное – аналогично.

.

Значит,  имеет координаты:

 

Разберем пример: , . Найти координаты точки , если . (См. Рис. 4.)

Рис. 4. Иллюстрация к примеру

Решение: по нашим формулам: С.

Ответ: .

 

Задача. Длина вектора

 

 

Пусть дан век­тор . Тогда: .

 

Доказательство

Чтобы вывести эту формулу, рассмотрим прямоугольный параллелепипед с измерениями ,  и . (См. Рис. 5.)

Рис. 5. Иллюстрация к доказательству

Тогда вектор , так как их координаты попарно равны. (См. Рис. 6.)

Рис. 6.

Значит, , где  – диагональ параллелепипеда. Но диагональ прямоугольного параллелепипеда равна корню из суммы квадратов его измерений (по свойству): , что и требовалось доказать.

Коротко напомним: достаточно рассмотреть теоремы Пифагора для треугольника в основании параллелепипеда (таким образом найдем диагональ основания ) и затем для треугольника . (См. Рис. 7.)

 

Рис. 7. Как найти диагональ параллелепипеда

Следствие. Как вы помните, координаты вектора – это разность координат его конца и начала. То есть если ; , то . Тогда получим, что .

 

Задачи на использования выведенных формул

 

 

Задача 1. Найти длину медианы  треугольника , где , , .

 

Решение. Найдем координаты точки  – середины отрезка . По формуле нахождения координат середины отрезка  получаем, что .

По формуле нахождения длины вектора  получаем, что .

Ответ: .

Задача 2. Определите вид треугольника  и найдите его периметр, если , , .

Решение. По формуле , найдем длины ,  и :

 

Значит, треугольник равнобедренный, т. к. .

.

Тогда периметр .

Ответ: треугольник равнобедренный; .

 

Заключение

 

 

На этом уроке были разобраны три классические задачи координатного метода в стереометрии: мы научились находить координаты середины отрезка по координатам его концов: , длину вектора и, как следствие, длину любого отрезка: .

 

 

Список литературы

1. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.
2. А.В. Погорелов. Геометрия 11 класс. – М.: Просвещение, 2002.
3. Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И. Геометрия. 11 класс. Рабочая тетрадь. 8-е изд. – М.: Просвещение, 2013. – 78 с.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Yaklass.ru (Источник).
2. Cleverstudents.ru (Источник).
3. Cleverstudents.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Найти координаты точки  если известны координаты точки , середины отрезка  и точки .
2. Вычислить длину вектора , если даны точки  и .
3. Вычислить длину вектора , если ; ; .

 

Как находить координаты середины отрезка. Координаты середины отрезка. Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов

Начальные геометрические сведения

Понятие отрезка, как и понятие точки, прямой, луча и угла, относится к начальным геометрическим сведениям. С перечисленных понятий начинается изучение геометрии.

Под «начальными сведениями» обычно понимают нечто элементарное и простое. В понимании, возможно, это так и есть. Тем не менее, такие простые понятия часто встречаются и оказываются необходимыми не только в нашей повседневной жизни, но и в производстве, строительстве и прочих сферах нашей жизнедеятельности.

Начнём с определений.

Определение 1

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками (концами).

Если концы отрезка являются точками $A$ и $B$, то образованный отрезок записывают как $AB$ или $BA$. Такому отрезку принадлежат точки $A$ и $B$, а также все точки прямой, лежащие между этими точками.

Определение 2

Середина отрезка — точка отрезка, которая делит его пополам на два равных отрезка.

Если это точка $C$, то $AC=CB$.

Измерение отрезка происходит сравнением с определённым отрезком, принятым за единицу измерения. Чаще всего используют сантиметр. Если в заданном отрезке сантиметр укладывается ровно четыре раза, то это означает, что длина данного отрезка равна $4$ см.

Введём простое наблюдение. Если точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин этих отрезков.

Формула нахождения координаты середины отрезка

Формула нахождения координаты середины отрезка относится к курсу аналитической геометрии на плоскости.

Дадим определение координатам.

Определение 3

Координаты — это определённые (или упорядоченные) числа, которые показывают положение точки на плоскости, на поверхности или в пространстве.

В нашем случае, координаты отмечаются на плоскости, определённой координатными осями.

Рисунок 3. Координатная плоскость. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Опишем рисунок. На плоскости выбрана точка, называемая началом координат. Её обозначают буквой $O$. Через начало координат проведены две прямые (координатные оси), пересекающиеся под прямым углом, причём одна из них строго горизонтальная, а другая — вертикальная. Такое положение считается обычным. Горизонтальная прямая называется осью абсцисс и обозначается $OX$, вертикальная — осью ординат $OY$.

Таким образом, оси определяют плоскость $XOY$.

Координаты точек в такой системе определяются двумя числами.

Существуют разные формулы (уравнения), определяющие те или иные координаты. Обычно в курсе аналитической геометрии изучают разные формулы прямых, углов, длины отрезка и прочие.

Перейдём сразу к формуле координаты середины отрезка.

Определение 4

Если координаты точки $E(x,y)$ — это середина отрезка $M_1M_2$, то:

Рисунок 4. Формула нахождения координаты середины отрезка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Практическая часть

Примеры из школьного курса геометрии достаточно просты. Рассмотрим несколько основных.

Для лучшего понимания, рассмотрим для начала элементарный наглядный пример.

Пример 1

Имеем рисунок:

На рисунке отрезки $AC, CD, DE, EB$ равны.

1. Серединой каких отрезков является точка $D$?
2. Какая точка является серединой отрезка $DB$?

1. точка $D$ является серединой отрезков $AB$ и $CE$;
2. точка $E$.

Рассмотрим другой простой пример, в котором нужно вычислить длину.

Пример 2

Точка $B$ — середина отрезка $AC$. $AB = 9$ см. Какая длина $AC$?

Так как т. $B$ делит $AC$ пополам, то $AB = BC= 9$ см. Значит, $AC = 9+9=18$ см.

Ответ: 18 см.

Прочие подобные примеры обычно идентичны и ориентированы на умение сопоставлять значения длин и их представление с алгебраическими действиями. Нередко в задачах встречаются случаи, когда сантиметр не укладывается ровное количество раз в отрезок. Тогда единицу измерения делят на равные части. В нашем случае сантиметр делится на 10 миллиметров. Отдельно измеряют остаток, сравнивая с миллиметром. Приведём пример, демонстрирующий такой случай.

Очень часто в задаче C2 требуется работать с точками, которые делят отрезок пополам. Координаты таких точек легко считаются, если известны координаты концов отрезка.

Итак, пусть отрезок задан своими концами — точками A = (x a ; y a ; z a) и B = (x b ; y b ; z b).

Тогда координаты середины отрезка — обозначим ее точкой H — можно найти по формуле:

Другими словами, координаты середины отрезка — это среднее арифметическое координат его концов.

· Задача . Единичный куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA 1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Точка K — середина ребра A 1 B 1 . Найдите координаты этой точки.

Решение . Поскольку точка K — середина отрезка A 1 B 1 , ее координаты равных среднему арифметическому координат концов. Запишем координаты концов: A 1 = (0; 0; 1) и B 1 = (1; 0; 1). Теперь найдем координаты точки K:

Ответ : K = (0,5; 0; 1)

· Задача . Единичный куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA 1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Найдите координаты точки L, в которой пересекаются диагонали квадрата A 1 B 1 C 1 D 1 .

Решение . Из курса планиметрии известно, что точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от всех его вершин. В частности, A 1 L = C 1 L, т.е. точка L — это середина отрезка A 1 C 1 . Но A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), поэтому имеем:

Ответ : L = (0,5; 0,5; 1)

Простейшие задачи аналитической геометрии.
Действия с векторами в координатах

Задания, которые будут рассмотрены, крайне желательно научиться решать на полном автомате, а формулы запомнить наизусть , даже специально не запоминать, сами запомнятся =) Это весьма важно, поскольку на простейших элементарных примерах базируются другие задачи аналитической геометрии, и будет досадно тратить дополнительное время на поедание пешек. Не нужно застёгивать верхние пуговицы на рубашке, многие вещи знакомы вам со школы.

Изложение материала пойдет параллельным курсом – и для плоскости, и для пространства. По той причине, что все формулы… сами увидите.

Как найти координаты середины отрезка
Для начала разберемся, что такое середина отрезка.
Серединой отрезка считают точку, которая принадлежит данному отрезку и отстоит на одинаковое расстояние от его концов.

Координаты такой точки несложно найти, если известны координаты концов этого отрезка. В таком случае координаты середины отрезка будут равны половине суммы соответствующих координат концов отрезка.
Координаты середины отрезка часто находят, решая задачи на медиану, среднюю линию и т.п.
Рассмотрим вычисление координат середины отрезка для двух случаев: когда отрезок задан на плоскости и задан в пространстве.
Пусть отрезок на плоскости задан двумя точками с координатами и . Тогда координаты середины отрезка РН рассчитываются по формуле:

Пусть отрезок задан в пространстве двумя точками с координатами и . Тогда координаты середины отрезка РН рассчитываются по формуле:

Пример.
Найти координаты точки К — середины МО, если М (—1; 6) и О (8; 5).

Решение.
Поскольку точки имеют две координаты, значит, отрезок задан на плоскости. Используем соответствующие формулы:

Следовательно, середина МО будет иметь координаты К (3,5; 5,5).

Ответ. К (3,5; 5,5).

Не составляет никакого труда. Для их расчета существует простое выражение, которое легко запомнить. Например, если координаты концов какого-либо отрезка соответственно равняются (х1; у1) и (х2; у2) соответственно, то координаты его середины рассчитываются как среднее арифметическое этих координат, то есть:

Вот и вся сложность.
Рассмотрим расчет координат центра одного из отрезков на конкретном примере, как Вы и просили.

Задача.
Найти координаты некоей точки М, если она является серединой (центром) отрезка КР, концов которого имеют такие координаты: (—3; 7) и (13; 21) соответственно.

Решение.
Используем рассмотренную выше формулу:

Ответ . М (5; 14).

С помощью данной формулы можно также найти не только координаты середины какого-либо отрезка, но и его концов. Рассмотрим пример.

Задача.
Даны координаты двух точек (7; 19) и (8; 27). Найти координаты одного из концов отрезка, если предыдущие две точки являются его концом и серединой.

Решение.
Обозначим концы отрезка К и Р, а его середину S. Перепишем формулу с учетом новых названий:

Подставим известные координаты и вычислим отдельные координаты:

В статье ниже будут освещены вопросы нахождения координат середины отрезка при наличии в качестве исходных данных координат его крайних точек. Но, прежде чем приступить к изучению вопроса, введем ряд определений.

Определение 1

Отрезок – прямая линия, соединяющая две произвольные точки, называемые концами отрезка. В качестве примера пусть это будут точки A и B и соответственно отрезок A B .

Если отрезок A B продолжить в обе стороны от точек A и B , мы получим прямую A B . Тогда отрезок A B – часть полученной прямой, ограниченный точками A и B . Отрезок A B объединяет точки A и B , являющиеся его концами, а также множество точек, лежащих между. Если, к примеру, взять любую произвольную точку K , лежащую между точками A и B , можно сказать, что точка K лежит на отрезке A B .

Определение 2

Длина отрезка – расстояние между концами отрезка при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка A B обозначим следующим образом: A B .

Определение 3

Середина отрезка – точка, лежащая на отрезке и равноудаленная от его концов. Если середину отрезка A B обозначить точкой C , то верным будет равенство: A C = C B

Исходные данные: координатная прямая O x и несовпадающие точки на ней: A и B . Этим точкам соответствуют действительные числа x A и x B . Точка C – середина отрезка A B: необходимо определить координату x C .

Поскольку точка C является серединой отрезка А В, верным будет являться равенство: | А С | = | С В | . Расстояние между точками определяется модулем разницы их координат, т.е.

| А С | = | С В | ⇔ x C — x A = x B — x C

Тогда возможно два равенства: x C — x A = x B — x C и x C — x A = — (x B — x C)

Из первого равенства выведем формулу для координаты точки C: x C = x A + x B 2 (полусумма координат концов отрезка).

Из второго равенста получим: x A = x B , что невозможно, т.к. в исходных данных — несовпадающие точки. Таким образом, формула для определения координат середины отрезка A B с концами A (x A) и B (x B):

Полученная формула будет основой для определения координат середины отрезка на плоскости или в пространстве.

Исходные данные: прямоугольная система координат на плоскости О x y , две произвольные несовпадающие точки с заданными координатами A x A , y A и B x B , y B . Точка C – середина отрезка A B . Необходимо определить координаты x C и y C для точки C .

Возьмем для анализа случай, когда точки A и B не совпадают и не лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. A x , A y ; B x , B y и C x , C y — проекции точек A , B и C на оси координат (прямые О х и О y).

Согласно построению прямые A A x , B B x , C C x параллельны; прямые также параллельны между собой. Совокупно с этим по теореме Фалеса из равенства А С = С В следуют равенства: А x С x = С x В x и А y С y = С y В y , и они в свою очередь свидетельствуют о том, что точка С x – середина отрезка А x В x , а С y – середина отрезка А y В y . И тогда, опираясь на полученную ранее формулу, получим:

x C = x A + x B 2 и y C = y A + y B 2

Этими же формулами можно воспользоваться в случае, когда точки A и B лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. Проводить детальный анализ этого случая не будем, рассмотрим его лишь графически:

Резюмируя все выше сказанное, координаты середины отрезка A B на плоскости с координатами концов A (x A , y A) и B (x B , y B) определяются как :

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Исходные данные: система координат О x y z и две произвольные точки с заданными координатами A (x A , y A , z A) и B (x B , y B , z B) . Необходимо определить координаты точки C , являющейся серединой отрезка A B .

A x , A y , A z ; B x , B y , B z и C x , C y , C z — проекции всех заданных точек на оси системы координат.

Согласно теореме Фалеса верны равенства: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Следовательно, точки C x , C y , C z являются серединами отрезков A x B x , A y B y , A z B z соответственно. Тогда, для определения координат середины отрезка в пространстве верны формулы:

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Полученные формулы применимы также в случаях, когда точки A и B лежат на одной из координатных прямых; на прямой, перпендикулярной одной из осей; в одной координатной плоскости или плоскости, перпендикулярной одной из координатных плоскостей.

Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов

Формулу для нахождения координат середины отрезка также можно вывести согласно алгебраическому толкованию векторов.

Исходные данные: прямоугольная декартова система координат O x y , точки с заданными координатами A (x A , y A) и B (x B , x B) . Точка C – середина отрезка A B .

Согласно геометрическому определению действий над векторами верным будет равенство: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Точка C в данном случае – точка пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на основе векторов O A → и O B → , т. е. точка середины диагоналей.Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y B) . Выполним некоторые операции над векторами в координатах и получим:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Следовательно, точка C имеет координаты:

x A + x B 2 , y A + y B 2

По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:

C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2)

Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка

Среди задач, предполагающих использование полученных выше формул, встречаются, как и те, в которых напрямую стоит вопрос рассчитать координаты середины отрезка, так и такие, что предполагают приведение заданных условий к этому вопросу: зачастую используется термин «медиана», ставится целью нахождение координат одного из концов отрезка, а также распространены задачи на симметрию, решение которых в общем также не должно вызывать затруднений после изучения настоящей темы. Рассмотрим характерные примеры.

Пример 1

Исходные данные: на плоскости – точки с заданными координатами А (- 7 , 3) и В (2 , 4) . Необходимо найти координаты середины отрезка А В.

Решение

Обозначим середину отрезка A B точкой C . Координаты ее буду определяться как полусумма координат концов отрезка, т.е. точек A и B .

x C = x A + x B 2 = — 7 + 2 2 = — 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Ответ : координаты середины отрезка А В — 5 2 , 7 2 .

Пример 2

Исходные данные: известны координаты треугольника А В С: А (- 1 , 0) , В (3 , 2) , С (9 , — 8) . Необходимо найти длину медианы А М.

Решение

1. По условию задачи A M – медиана, а значит M является точкой середины отрезка B C . В первую очередь найдем координаты середины отрезка B C , т.е. точки M:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = — 3

1. Поскольку теперь нам известны координаты обоих концов медианы (точки A и М), можем воспользоваться формулой для определения расстояния между точками и посчитать длину медианы А М:

A M = (6 — (- 1)) 2 + (- 3 — 0) 2 = 58

Ответ: 58

Пример 3

Исходные данные: в прямоугольной системе координат трехмерного пространства задан параллелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . Заданы координаты точки C 1 (1 , 1 , 0) , а также определена точка M , являющаяся серединой диагонали B D 1 и имеющая координаты M (4 , 2 , — 4) . Необходимо рассчитать координаты точки А.

Решение

Диагонали параллелепипеда имеют пересечение в одной точке, которая при этом является серединой всех диагоналей. Исходя из этого утверждения, можно иметь в виду, что известная по условиям задачи точка М является серединой отрезка А С 1 . Опираясь на формулу для нахождения координат середины отрезка в пространстве, найдем координаты точки А: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 · x M — x C 1 = 2 · 4 — 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 · y M — y C 1 = 2 · 2 — 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 · z M — z C 1 = 2 · (- 4) — 0 = — 8

Ответ: координаты точки А (7 , 3 , — 8) .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Что такое конечная точка в математике? Определение, формула, примеры, факты

Введение в конечную точку в математике

Конечная точка в математике — это точка, которая отмечает конец отрезка или луча. Это относится к любой из двух точек, которые ограничивают сегмент линии с обеих сторон. Конечная точка важна, потому что она сообщает вам, где останавливается сегмент линии. Он не может выйти за пределы этой точки!

Конечная точка в математике: определение

Конечная точка может быть определена как точка на графике или фигуре, где заканчивается фигура. Это может быть один конец луча, две крайние точки отрезка, точка, соединяющая стороны многоугольника (вершины), или общая точка двух лучей, образующих угол.

Прежде чем мы сможем понять, что такое конечная точка в математике , давайте сначала освежим некоторые связанные математические понятия.

Что такое линейный сегмент?

Отрезок — это участок линии, соединяющий две точки. Линия безгранична и простирается бесконечно в обоих направлениях. Однако отрезок линии ограничен с обоих концов двумя точками.

Что такое луч?

В отличие от отрезка, луч ограничен на одном конце точкой, а другой конец простирается бесконечно. Итак, что является конечной точкой луча? Взгляните на луч PQ. Здесь P — конечная точка.

Что такое конечная точка в геометрии?

Конечная точка определяется как точка, в которой заканчивается сегмент линии или луч. Как правило, конечная точка является самой дальней или конечной точкой.

Примеры:

В отрезке прямой конечные точки — это точки, в которых отрезок заканчивается. Отрезок линии имеет две конечные точки.

 Луч имеет одну конечную точку.

В угле общая точка двух лучей (вершина) является конечной точкой.

Многоугольник формируется из трех или более отрезков. Каждая сторона пересекает две другие стороны в конечной точке. В многоугольниках точки, соединяющие стороны, являются конечными точками.

Определение длины отрезка с помощью конечных точек

E ndpoints в математике помогают нам измерить длину отрезка. Рассмотрим отрезок АВ.

Мы можем использовать координаты конечных точек A и B, чтобы определить длину AB.

Разделение сегмента пополам с использованием конечных точек

Разделение сегмента пополам означает разрезание линии по центру, чтобы разделить ее на две равные части.

Когда вы делите отрезок пополам, вы разделяете его в «середине». Два новых сегмента линии, которые вы получили, теперь имеют новую конечную точку с одной стороны (сторона, обращенная к исходной средней точке).

Мы можем найти координаты средней точки, используя координаты конечных точек следующим образом:

Как найти конечную точку отрезка?

Если мы знаем одну конечную точку и середину отрезка, мы можем найти другую конечную точку отрезка. Чтобы найти отсутствующую конечную точку, используя координаты средней точки и другой конечной точки, мы находим расстояние от известной конечной точки до средней точки. Затем мы измеряем такое же расстояние от средней точки в другом направлении, чтобы найти другую конечную точку.

Формула для поиска конечной точки: Формула конечной точки

Давайте изучим формулу для поиска отсутствующей конечной точки.

Пусть M (x _m , y _m ) — середина отрезка, соединяющего две конечные точки A (x ₁ , y ₁ ) и B (x ₂ , y 290605 ) .

Мы можем использовать формулу средней точки, чтобы найти любую из конечных точек. Учитывая координаты M (средняя точка) и A (конечная точка), координаты B можно рассчитать по следующей формуле: 

$x_{m} = \frac{x_{1}+ x_{2}}{2}$ 

$y_{m} = \frac{y_{1}+ y_{2}}{2}$

Здесь, корректируя условия на левой и правой сторонах, получаем

 $x_{1} = 2x_{m} – x_{2}$

 $x_{2} = 2x_{m} – x_{1}$

 $y_{1} = 2y_{m} – y_{2}$

 $y_{2} = 2y_{m} – y_{1}$ 

Как мы даем имена объектам, используя конечные точки?

Конечные точки помогают нам называть объекты в геометрии, такие как сегменты линий, углы, многоугольники и т. д.

Сегмент линии называется двумя его конечными точками. На отрезке ниже точки A и B являются его двумя конечными точками. Отрезок линии назван в честь его конечных точек, поэтому мы назовем его AB или BA. Мы записываем его символически как $\overline{AB} \text{или} \overline{BA}$.

Луч имеет одну конечную точку. Он называется с конечной точкой, являющейся первой буквой.

На приведенном ниже луче точка A является конечной точкой луча. Итак, луч называется $AB$.

Угол состоит из двух лучей, пересекающихся в одной точке. Угол может быть назван на основе общей конечной точки.

В нижнем углу лучи BA и BC. Они имеют общую конечную точку, которой является B. Угол может быть назван по его общей конечной точке как $\angle \text{B}$. Его также можно назвать на основе двух лучей как $\angle \text{ABC}$.

Многоугольник состоит из трех или более отрезков, которые соединяются в конечных точках, называемых вершинами.

Например, в многоугольнике с четырьмя сторонами стороны AB, BC, CD и AD. Мы можем назвать многоугольник, перечислив конечные точки как ABCD.

Заключение

Конечная точка   важна в математике, потому что она ограничивает линию и сообщает нам, где начинается и заканчивается сегмент линии. Это помогает нам найти длину сегмента линии и назвать различные типы линий и объектов, таких как сегменты линий, лучи, углы и многоугольники. Помните, чтобы найти конечную точку, вам нужна средняя точка и другая конечная точка!

Решаемые примеры

1. Сколько концов у луча? Определите конечные точки данного луча.

Решение:

У луча есть один конец, а на другом конце он продолжается бесконечно.

На данном изображении есть луч PQ, концом которого является точка P. 

2. Как называется отрезок с концами B и C?

Решение:

Отрезок с концами B и C называется BC или CB.

3. Как называется луч с концом А и точкой С?

Решение:

Имя луча с конечной точкой A и заданной точкой C называется AC, потому что его имя начинается с конечной точки.

4. Как называется угол, у которого D является точкой пересечения лучей DE и DF?

Решение:

Угол называется $\angle \text{EDF}$, потому что он назван в честь своих концов (E, D и F) с общей точкой (D) посередине.

5. Как называется многоугольник со сторонами AB, BC, CD и DA?

Решение:

Поскольку стороны равны AB, BC, CD и DA, вершины равны A, B, C и D. Таким образом, многоугольник называется ABCD, потому что он назван в честь своих концов. или вершины.

Практические задачи

1

Сколько концов на отрезке?

1

2

3

Правильный ответ: 2
Отрезок имеет два конца по обе стороны.

2

Как называется угол с общей точкой E между двумя прямыми?

$\angle \text{E}$

$\angle \text{EFG}$

$\angle \text{CDE}$

$\angle \text{OE}$

Правильный ответ: $\angle \text{E}$
Угол называется по общей точке, которой является E.

3

Как называется луч с концом F и G в качестве любой заданной точки на луче?

Ray GF

Ray G

Ray F

Ray FG

Правильный ответ: Ray FG
Имя луча начинается с конечной точки F. Итак, имя луча — Ray FG.

4

Как называется угол, составленный из лучей АВ и АС?

$\angle \text{A}$

$\angle \text{B}$

$\angle \text{C}$

$\angle \text{C}BA$

Правильный ответ: : $\angle \text{A}$
Общие концы лучей AB и AC $=$ A
Итак, имя образованного угла $ \angle \текст{А}$.

5

Как называется многоугольник со сторонами AB, BC и CA?

ABC

A

B

C

Правильный ответ: ABC
Многоугольник назван в честь конечных точек его сторон, которыми являются A, B и C.

Часто задаваемые вопросы Что такое

93 9 общий конец угла называется?

Общая конечная точка угла называется вершиной.

Как определить середину отрезка в математике с помощью конечных точек?

Середина — это точка, лежащая точно на равном расстоянии между двумя конечными точками отрезка прямой.

Сможете ли вы найти обе конечные точки отрезка по средней точке?

Нет, если у вас нет ни одной конечной точки, то возможно бесконечное количество координат конечной точки. Вам нужны координаты по крайней мере одной конечной точки и средней точки.

Как найти середину отрезка?

Середину отрезка можно найти, измерив расстояние между двумя конечными точками и разделив длину на 2. Расстояние от любого конца является серединой отрезка.

Есть ли у линии конечные точки?

Нет, у линии нет концов.

• Геометрия
• Параллелограмм
• Координатная плоскость
• Ось X и Y на графике

Математическая задача: Середина 4 — вопрос № 7243, статистика, среднее

Если середина отрезка равна (6,3), а другой конец (8,-4), какова координата другого конца ?

Правильный ответ:

x =  4
y =  10

Пошаговое объяснение:

6=(x+8)/2  x=4 x=14​=4 x=4

3=(y+(−4))/2  y=10 y=110​=10  y=10

Нашли ошибку или неточность? Не стесняйтесь

написать нам

. Спасибо!

Советы по использованию связанных онлайн-калькуляторов

Нужна помощь в вычислении среднего арифметического?
Ищете статистический калькулятор?
У вас есть линейное уравнение или система уравнений и вы ищете ее решение? Или у вас есть квадратное уравнение?

You need to know the following knowledge to solve this word math problem:

• statistics
• mean
• geometry
• analytic geometry
• line segment
• algebra
• equation

Уровень задачи:

• практика для 13-летних
• практика для 14-летних
• средняя школа

 

Рекомендуем посмотреть это обучающее видео по этой математической задаче: video1

• Координаты середины
  Если середина отрезка (6,3), а другой конец (8,4), какова координата другой конец?
• Середина 6
  Для длины отрезка дана: FM=8a+1, FG=42. Точка M является серединой FG. Найдите неизвестное а.
• Набор координат
  Рассмотрим следующие упорядоченные пары, представляющие отношение. {(–4, –7), (0, 6), (5, –3), (5, 2)} Какой вывод можно сделать об области определения и диапазоне этого отношения?
• Середина отрезка
  Точка А имеет координаты [4; -11], а середина отрезка AB – точка [17; -7]. Каковы координаты точки В?
• Прямая
  Можем ли мы построить отрезок, если знаем: конечную точку и одну точку внутри прямой
• Середина 5
  FM=3x-4, MG=5x-26, FG=? Точка M является серединой FG. Используйте предоставленную информацию, чтобы найти отсутствующую меру или значение.
• Четвертый квадрант
  Какая точка находится в четвертом квадранте? Координатная плоскость. А(-8, 6) В(-8, -6) С(8, -6) Г(8, 6)
• MG=7x-15,
  Длина линий MG = 7x-15 и FG = 33 Точка M является серединой FG. Найдите неизвестное х.
• Точки на отрезке
  Точки P и Q принадлежат отрезку AB. Если AB=a, AP = 2PQ = 2QB, найти расстояние: между точкой A и серединой отрезка QB.
• Хорда
  Точка на окружности является конечной точкой диаметра и конечной точкой длины хорды радиуса. Какой угол между хордой и диаметром?
• Прямоугольный треугольник из осей
  Концы отрезка лежат на осях координат и образуют треугольник площадью 36 квадратных единиц. Отрезок проходит через точку ( 5,2). Чему равен наклон отрезка?
• Середина
  Середина (2, 5) и (8, y) равна (5, -1). Найдите уравнение линии в форме пересечения наклона.
• Середина между сопряженными
  Найдите середину между двумя корнями: 2+3,464i и 2 — 3,464i
• Хорда
  Задана окружность k(r=6 см) и точки A и B такие, что |AB | = 8 см лежат на k. Вычислите расстояние от центра окружности S до середины C отрезка AB.
• Трапеция MO-5-Z8
  ABCD представляет собой трапецию, в которой лаймовый сегмент CE разделен на треугольник и параллелограмм. Точка F — середина СЕ, прямая DF проходит через центр отрезка ВЕ, а площадь треугольника СДЕ равна 3 см².

  No related posts.