Производная как смысл жизни или что такое дифференциал(d) / Хабр
Пролог:
Эта одна из статей серии «Производная как смысл жизни», сначала я хотел сделать одну огромную статью про почти все темы по дифференцированию, но я передумал и сделаю несколько статей, возможно так даже будет легче для людей которые пытаются найти конкретную для себя тему.
Начало
Для начала лучше ознакомиться со статьей о самой прозводной(скоро будет). Ну если вы ознакомились, или уже были ознакомлены то идем дальше.
Как мы уже знаем формула записи производной выглядит так:
-напоминаю, что Δx — приращение аргумента, Δy — приращение функции.
Мы должны понимать, что если мы уберем предел, то к f'(x) прибавиться коофициент, я ее называю «неточность».
Так же вполне логично, что при Δx->0, β->0, так как чем меньше мы делаем разницу между x и x₀, тем меньше значение «неточности»(в статье о производной об этом подробнее рассказано).
Теперь выразим из этого равенства приращение функции(Δy):
И на этом следует пока остановиться и рассмотреть график.
Смотрим дифференциалу в лицо
Расмотрим такой график:
Как мы знаем производная в точке равняется значению тангенса угла в этой точке, то есть f'(x)=tg(α). Так что давайте обозначим производную, ну и приращения которыми она ограничена.
Как мы видим приращение функции(Δy) как бы разделено на две части: BC и CD.
И ведь по-сути нам ведь интересна именно та часть, которая показывает на сколько изменился у относительно касательной — то есть BC, а CD — это лишь та «погрешность» которая нам не особо интересна, поэтому введем понятие дифференциала:
Дифференциал(d) — это линейная часть приращения функции.
Дифференциал функции(dy) — это главная линейная часть приращения функции.
Зная это введем обозначение на графике:
Вернемся к равенству
BD = Δy и мы знаем, что BD = BC + CD, а значит Δy = BC + CD, где BC мы назвали главной линейной частью приращения функции(dy), следовательно Δy = dy + βΔx.
Из формулы мы понимаем, что dy=f'(x)Δx.
Хорошо, мы определили чему равен дифференциал функции, а что же тогда является дифференциалом независимой пременной функции(аргумента).
Графически мы видим, что Δx никак не разделена касательной, то есть Δx это полное приращение функции, а значит dx = Δx.
Так же мы можем найти по формуле: dx = (x)’Δx = 1*Δx = Δx
И зная, что dy = f'(x)dx, мы можем выразить производную: f'(x)=dy/dx.
Немного пределов
Добавим с левой части и с правой предел
Тогда:
В самом начале мы сказали, что если β->0, то Δx->0 и наборот, а значит:
Зная, что f'(x)Δx = dy, мы делаем вывод, что:
Тогда так же мы можем сказать, что дифференциал функции — это приращения функции у которой приращение аргумента стремиться к нулю, ну и это следуется из того же графика.
В свою очередь dx по прежнему Δx
Производная и дифференциал
Дифференциальное исчисление – это раздел математики, который исследует свойства функций, которые заданы на интервалах (сплошных множествах), с помощью определения предела функций.
Свойство непрерывности свидетельствует о том, что точке х0 при малом отклонении аргумента Δx от х0 функция отклоняется мало. В связи с этим, непрерывную функцию в окрестности точки х0, приближенно можно заменить константой, значением в х0. В таком случае, при Δx?0 к нулю стремится абсолютная ошибка приближения. Однако данная аппроксимация не отражает изменения функции при переходе переменной х в точке 0 – убывая или возрастая, медленно или быстро. Для того, чтобы это выяснить и введены производная и дифференциал, которые и дают более точную аппроксимацию функции в окрестности х0 линейной функцией, а не константой. Производная и дифференциал отражает величину и тенденцию изменения в точке х
Производная и дифференциал на наглядном примере выглядит так. Возьмем функцию y = f ( x), которая имеет действительные значения и задана на оси R. Внутреннюю точку x0 ε I фиксируем и берем еще любую точку xεI .
Приращением независимой переменной в точке х0 является разность Δx = x — x0. Предел разностного отношения, при котором х стремится к х0 называется производной функции f (x) в точке х0.
Функция, для которой возможно разложение, называется дифференцируемой в точке х0. Дифференциалом функции f в точке х0 называется слагаемое f’ (х0)(х-х0). Таким образом, наличие в точке производной эквивалентно и дифференцируемости в этой же точке.
Дифференциал также имеет и специальное обозначение:
df(x0)=dy(x0)= f’ (х0)(х-х0)
Создано дифференциальное исчисление одновременно, а также независимо друг от друга Готфиридом Вильгельмом Лейбницем и Исааком Ньютоном.
| Приращение функции y = f(x), соответствующее приращению Δx аргумента x | |||||||||||||||||||||||||||||
| Δy = f(x + Δx) — f(x) | |||||||||||||||||||||||||||||
Определение производной | |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
| Геометрически y’ = f'(x) — угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x | |||||||||||||||||||||||||||||
Правила дифференцирования | |||||||||||||||||||||||||||||
| c’ = 0 (cu)’ = cu’ (u + v)’ = u’ + v’ (uv)’ = u’v + uv’ | |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
где y = f(z) и z = φ(x), т. е y = f(φ(x)). | |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
Производные элементарных функций | |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
| (sinx)’ = cosx | |||||||||||||||||||||||||||||
| (cosx)’ = — sinx | |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
| (secx)’ = secx * tgx | |||||||||||||||||||||||||||||
| (cosecx)’ = -cosecx * ctgx | |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
Свойства дифференциала | |||||||||||||||||||||||||||||
| d(af(x)) = a * df(x) | |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
| df(x) = f'(x)dx | |||||||||||||||||||||||||||||
| da = 0 (a = const) | |||||||||||||||||||||||||||||
| d(ax + b) = Δ(ax + b) = a Δx | |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
Дифференциал второго порядка функции y = f(x), | |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
Производные высших порядков некоторых функций | |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
| если правый предел существует | |||||||||||||||||||||||||||||
Формула Тэйлора с остаточным членом в форме Лагранжа | |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
Формула Маклорена | |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
| где ξ — такое число, что 0 | |||||||||||||||||||||||||||||
..(m — n + 1)x
..
..В чем разница между дифференциалом и производной?
Сначала вы должны изучить понятие функции, чтобы понять разницу между дифференциалом и производной функции.
Одной из фундаментальных идей математики является понятие функции, которое описывает связь между набором входов и набором потенциальных выходов, где каждый вход соединяется с одним выходом. Независимая переменная — это одна переменная, а зависимая — другая.
В математике переменные — это любые физически изменяющиеся объекты.
Разница между дифференциалом и производной заключается в том, что если есть изменение скорости одной переменной для другой переменной, мы называем это производной.
С другой стороны, дифференциальное уравнение представляет собой соответствующее уравнение, которое математически выражает отношения между переменными.
Давайте изучим основные определения и разницу между дифференциалом и производной:
Содержание
Что такое производная?
Скорость, с которой функция изменяется в определенный момент времени, называется производной.
Например, наклон линии, определяющий скорость ее изменения, постоянен вдоль всей линии. Производная сообщает нам, каков наклон параболы в конкретной точке, потому что наклон параболы колеблется.
Другой способ изобразить производную — использовать наклон линии, касательной к кривой в определенной точке. Получение производной — это процесс дифференцирования. Дифференциальные уравнения и производные часто используются вместе.
Нахождение производных осуществляется посредством процесса дифференцирования. Они используются для обозначения наклона касательной линии. Производные количественно определяют крутизну наклона функции за определенный интервал времени.
Производная интеграла
Результатом дифференцирования результата интеграла является производная интеграла. Поскольку дифференцирование интеграла должно давать саму исходную функцию, интегрирование — это процесс нахождения «анти» производной.
Когда нижний предел интеграла является константой, а его верхний предел — просто переменной, его производная — это сама функция. Другими словами, где «a» — константа, d/dx ∫ a x f(t) dt = f(x).
Подробнее: В чем разница между похожими и непохожими дробями?
Что такое дифференциал?
Источник: Cuemath Дифференциальные уравнения — это ветвь исчисления, отображающая малейшие изменения некоторых переменных величин.
Производные и их функции являются частью дифференциальных уравнений.
Основные разделы исчисления включают дифференциальную и интегральную ветви. Окружающая среда, в которой мы живем, полна постоянно меняющихся, взаимосвязанных величин.
Символ дифференциала, бесконечно малой величины, часто равен dy/dx.
Поскольку производная отражает наклон функции на бесконечно малом интервале, сравнимом с одной точкой, ее часто рассматривают как частное дифференциалов, таких как dy/dx, dy/dx.
Разница между дифференциалом и производной
Основное различие между дифференциалом и производной приведено ниже:
Основное различие между дифференциалом и производной заключается в том, что производная относится к скорости изменения функции, относится к фактическому изменению функции.
Другой способ определить производные — рассмотреть отношение функции и переменных дифференциалов.
Другое различие между дифференциалом и производной состоит в том, что дифференциал представляет собой изменение переменной (дх) .
Напротив, производная — это изменение функции (dy/dx) (dy/dx) (dx) .
Производная представляет собой отношение дифференциалов, поскольку функция представляет отношение между двумя переменными. Дифференциалы показывают фактическое изменение значения с помощью линейной карты, тогда как производные представляют то же изменение с помощью карты наклона.
Дифференциал Против. Производная
С точки зрения взаимосвязей термины дифференциал и производная тесно связаны друг с другом. Переменные — это изменяющиеся объекты в математике, и скорость, с которой одна переменная изменяется по отношению к другой, известна как производная.
Дифференциальные уравнения описывают отношения между этими переменными и их производными. Нахождение производной — это процесс дифференцирования.
Сравнение между дифференциалом и производной заключается в том, что дифференциал функции представляет собой фактическое изменение функции, тогда как производная представляет собой скорость, с которой выходное значение изменяется по отношению к входному значению.
Представление дифференциала Vs. Производная
Дифференциалы могут быть представлены как dx, dy и т. д., где dx представляет небольшое изменение x, dy представляет небольшое изменение y. Дифференциал dy может быть выражен следующим образом при сопоставлении изменений связанных величин, где y является функцией x:
Наклон функции в любой заданной точке является ее производной и может быть представлен как d/dx.
Например, мы можем записать производную sin(x) как:
d/dx sin(x) = sin(x)' = cos(x)
Связь между производной и дифференциалом
Дифференциация — это метод вычисления производной или скорости, с которой выход y функции изменяется в зависимости от изменяющейся переменной x.
Проще говоря, производная — это скорость изменения у относительно х.
Это соотношение представляет y = f(x) , что означает, что y является функцией x.
Функция, значение которой определяет наклон функции f(x) там, где она задана и f(x) дифференцируема, называется производной от f(x).
Он говорит о наклоне графика в определенном месте.
В чем разница между дифференциалом и производной?
Выделение основных различий между дифференциалом и производной в следующей таблице:
| Производная | Дифференциальная |
|---|---|
| Скорость изменения переменных в дифференциальном уравнении представлена производной. | Дифференциалы показывают наименьшие вариации величин переменных. |
| Вычисляется наклон графика в конкретной точке. | Вычисляется для нахождения линейной разности. |
| Простые производные просто показывают, насколько быстро зависимая переменная изменяется по отношению к независимой переменной. | Производные — это инструмент, используемый при решении дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения также имеют производные. |
| Известно, как функционально соотносятся различные переменные. | Между переменными нет известных функциональных взаимосвязей. |
| Существует много производных степеней и различных репрезентативных формул. Наиболее часто используемая формула для производной: d/dx | Для выражения дифференциальных уравнений можно использовать многочисленные формулы. Одна из наиболее часто используемых формул: dy/dx = f. (x) |
Заключение
Дифференциал и производная различаются функциями, которые они выполняют, и значениями, которые каждая из них представляет. Разница между дифференциалом и производной заключается в том, что дифференциалы описывают незначительные изменения в различных количествах, например, площадь тела.
Позволяет вычислить отношения зависимых и независимых переменных уравнения.
Узнайте больше: В чем разница между площадью и периметром?
Первая производная — Дифференциальное исчисление — WeTheStudy
Автор Edgar Исчисление, дифференциальное исчисление, математика
Новое в математике
В любом предмете исчисления мы знакомимся с первой производной функции, f; однако знаем ли мы о том, что это значит?
Существует множество интерпретаций первой производной. Несмотря на это, он многое говорит об изучаемой функции.
Первая производная
Начнем с определения первой производной. Это мера крутизны графика функции f. Другими словами, он показывает наклон f в любой заданной точке (см. рисунок).
Существует несколько обозначений, представляющих первую производную. Вот некоторые из наиболее распространенных представлений:
- Обозначения Лейбница, dy/dx
- Обозначения Лагранжа, f'(x) или y’
Функция увеличения или уменьшения
Первая производная может сказать нам, увеличивается или уменьшается данная функция. Прежде чем продолжить, давайте исследуем, что является возрастающей и убывающей функциями.
Рассмотрим функцию f на некотором интервале и два значения x 1 и x 2 в таком смысле, что x 2 > x 1 .
- Если f(x 1 ) > f(x 2 ), то график движется вниз или уменьшается.
- Если f(x 1 ) < f(x 2 ), то график движется вверх или увеличивается.
- Если f(x 1 ) = f(x 2 ), то график постоянный.
Если мы проведем касательные и исследуем наклоны трех движений, мы заметим следующее:
- Наклон касательных для убывающих функций отрицательный.
- Наклон касательных для возрастающих функций положительный.
- Наклон равен нулю для постоянных функций.
Поскольку первая производная и наклон означают одно и то же, мы можем прийти к следующей интерпретации:
- Если dy/dx отрицательно на определенном интервале, то функция убывает.
- Если dy/dx положительно на определенном интервале, то функция возрастает.
