Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° нахоТдСния сСрСдины ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°: НайдитС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ сСрСдины ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° AB Ссли A(6;5) B (3;6)

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°: Π‘ΠΏΡ€Π°Π². ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°: Π‘ΠΏΡ€Π°Π². ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹
Β Β 

ГусСв Π’. А., ΠœΠΎΡ€Π΄ΠΊΠΎΠ²ΠΈΡ‡ А. Π“. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°: Π‘ΠΏΡ€Π°Π². ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹: Кн. для учащихся.β€” М.: ΠŸΡ€ΠΎΡΠ²Π΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅, 1988.β€” 416 с.

Π’ ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π΅ Π΄Π°Π½ΠΎ ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ основных Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… курсов Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π» Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. Книга ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² систСматизации ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅.



ОглавлСниС

Π‘Π›ΠžΠ’Πž К УЧАЩИМБЯ
ГЛАВА I. Π§Π˜Π‘Π›Π
Β§ 1. ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа
2. АрифмСтичСскиС дСйствия Π½Π°Π΄ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами.
3. Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ с остатком.
4. ΠŸΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠΈ дСлимости.
5. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа Π½Π° простыС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.
6. Наибольший ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.
7. НаимСньшСС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.

8. Π£ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠΊΠ² Π² Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅.
Β§ 2. Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа
10. РавСнство Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ. ОсновноС свойство Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ. Π‘ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ.
11. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ.
12. АрифмСтичСскиС дСйствия Π½Π°Π΄ ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ дробями.
13. ДСсятичныС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ.
14. АрифмСтичСскиС дСйствия Π½Π°Π΄ дСсятичными дробями.
15. ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚Ρ‹.
16. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΡƒΡŽ Π΄Π΅ΡΡΡ‚ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ.
17. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ бСсконСчной дСсятичной пСриодичСской Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π² ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ.
18. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Π°Ρ прямая.
19. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.
Β§ 3. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа
21. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа. Числовая прямая.
22 ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… числовых мноТСств.
23. Π‘Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.
25. ЧисловыС ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ.
26. ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа.
27. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ прямой.
28. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° дСйствий Π½Π°Π΄ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами.
29. Бвойства арифмСтичСских дСйствий Π½Π°Π΄ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами.

30. ΠŸΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΈ.
31. ЦСлая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ числа. Дробная Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ числа.
32. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ с Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ.
33. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ с Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ с ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ.
34. Π‘Ρ‚Π°Π½Π΄Π°Ρ€Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Π²ΠΈΠ΄ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа.
35. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ арифмСтичСского корня.
36. ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа.
37. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ с Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ.
38. Бвойства стСпСнСй с Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ показатСлями.
39. ΠŸΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ значСния чисСл. ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Π°Ρ ΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ.
40. ДСсятичныС приблиТСния Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΏΠΎ нСдостатку ΠΈ ΠΏΠΎ ΠΈΠ·Π±Ρ‹Ρ‚ΠΊΡƒ.
41. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ извлСчСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈΠ· Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа.
42. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΎ стСпСни с ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ.
43. Бвойства стСпСнСй с Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ показатСлями.
Β§ 4. ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа
45. АрифмСтичСскиС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ комплСксными числами.
46. АлгСбраичСская Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° комплСксного числа.
47. ΠžΡ‚Ρ‹ΡΠΊΠ°Π½ΠΈΠ΅ комплСксных ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
ГЛАВА II. ΠΠ›Π“Π•Π‘Π ΠΠ˜Π§Π•Π‘ΠšΠ˜Π• Π’Π«Π ΠΠ–Π•ΠΠ˜Π―
49. 3.
112. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = f(x-m)+n
113. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
114. Бпособы построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
115. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = f(kx).
116. Π‘ΠΆΠ°Ρ‚ΠΈΠ΅ ΠΈ растяТСниС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.
117. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ гармоничСского колСбания
ГЛАВА IV. ВРАНБЦЕНДЕНВНЫЕ Π’Π«Π ΠΠ–Π•ΠΠ˜Π―
Β§ 12. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, содСрТащих ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°
119. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΏΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ основанию.
120. Бвойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ².
121. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ основанию Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°.
122. Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅.
123. ДСсятичный Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π₯арактСристика ΠΈ мантисса дСсятичного Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°.
Β§ 13. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΈΡ… использованиС для прСобразования тригономСтричСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ
125. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ слоТСния ΠΈ вычитания Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ².
126. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ привСдСния.
127. Π‘ΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ тригономСтричСскими функциями ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°.
128. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°.
129. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ пониТСния стСпСни.
130. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ суммы тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.
131. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ произвСдСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² сумму.
132. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ выраТСния a cos t + b sin t ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ A sin (t + a).
133. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, содСрТащих ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
ГЛАВА V. Π£Π ΠΠ’ΠΠ•ΠΠ˜Π― И Π‘Π˜Π‘Π’Π•ΠœΠ« Π£Π ΠΠ’ΠΠ•ΠΠ˜Π™
Β§ 14. УравнСния с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ
135. Π Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
136. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния.
137. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния.
138. НСполныС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния.
139. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Π°.
140. БистСмы ΠΈ совокупности ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
141. УравнСния, содСрТащиС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ модуля.
142. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ слСдствия уравнСния. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ.
143. УравнСния с ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅.
144. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния уравнСния.
145. Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния.
146. РСшСниС уравнСния p(x) = 0 ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ разлоТСния Π΅Π³ΠΎ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.
147. РСшСниС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ввСдСния Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.
148. Π‘ΠΈΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния.
149. РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ составлСния ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
150. Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния.
151. ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния.
152. ЛогарифмичСскиС уравнСния.
153. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ-логарифмичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
154. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ тригономСтричСскиС уравнСния.
155. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
156. Π£Π½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ подстановка (для тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ).
157. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ввСдСния Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° (для тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ).
158. ГрафичСскоС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
159. УравнСния с ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ.
Β§ 15. УравнСния с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ
161. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ уравнСния с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.
162. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.
Β§ 16. БистСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
164. РСшСниС систСм Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ подстановки.
165. РСшСниС систСм Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ слоТСния.
167. ГрафичСскоС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ систСм Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.
168. ИсслСдованиС систСмы Π΄Π²ΡƒΡ… Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.
169. РСшСниС систСм Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ умноТСния ΠΈ дСлСния.
170. БистСмы ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ логарифмичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
171. БистСмы тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.
172. БистСмы Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с трСмя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.
173. РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ составлСния систСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
Π“Π»Π°Π²Π° VI. НЕРАВЕНБВВА
Β§ 17. РСшСниС нСравСнств с ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ
175. ГрафичСскоС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ нСравСнств с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.
176. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ нСравСнства с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.
177. БистСмы нСравСнств с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.
178. Π‘ΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ нСравСнств с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.
179. Π”Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ-Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ нСравСнства.
180. НСравСнства Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни.
181. ГрафичСскоС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ нСравСнств Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни.
182. НСравСнства с модулями.
183. РСшСниС Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… нСравСнств ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΎΠ².
184. ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ нСравСнства.
185. ЛогарифмичСскиС нСравСнства.
186. Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ нСравСнства.
187. РСшСниС тригономСтричСских нСравСнств.
188. НСравСнства ΠΈ систСмы нСравСнств с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.
Β§ 18. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ нСравСнств
190. БинтСтичСский ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° нСравСнств.
191. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ нСравСнств ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ.
192. ИспользованиС нСравСнств ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
ГЛАВА VII. Π­Π›Π•ΠœΠ•ΠΠ’Π« ΠœΠΠ’Π•ΠœΠΠ’Π˜Π§Π•Π‘ΠšΠžΠ“Πž ΠΠΠΠ›Π˜Π—Π
Β§ 19. ЧисловыС ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ
194. Бпособы задания ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ.
195. ВозрастаниС ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ.
196. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ арифмСтичСской прогрСссии.
197. Бвойства арифмСтичСской прогрСссии
198. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ гСомСтричСской прогрСссии.
199. Бвойства гСомСтричСской прогрСссии.
200. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ.
201. ВычислСниС ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉ.
202. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° бСсконСчной гСомСтричСской прогрСссии ΠΏΡ€ΠΈ |q| Β§ 20. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
204. ВычислСниС ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ…->ΠΎΠΎ.
205. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. НСпрСрывныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
206. Π’Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ асимптота.
207. ВычислСниС ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.
Β§ 21. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΈ Π΅Π΅ примСнСния
209. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.
210. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ диффСрСнцирования. Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ….
211. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ суммы, произвСдСния, частного.
212. БлоТная функция ΠΈ Π΅Π΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅.
213. ЀизичСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.
214. Вторая производная ΠΈ Π΅Π΅ физичСский смысл.
215. ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
216. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊ исслСдованию Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π° ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.
217. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊ исслСдованию Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π° экстрСмум.
218. ΠžΡ‚Ρ‹ΡΠΊΠ°Π½ΠΈΠ΅ наибольшСго ΠΈ наимСньшСго Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅.
219. ΠžΡ‚Ρ‹ΡΠΊΠ°Π½ΠΈΠ΅ наибольшСго ΠΈΠ»ΠΈ наимСньшСго значСния Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π½Π΅Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅.
220. Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° отысканиС Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½.
221. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ для Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° тоТдСств.
222. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ для Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° нСравСнств.
223. ΠžΠ±Ρ‰Π°Ρ схСма построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
Β§ 22. ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½Π°Ρ ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»
225. Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ….
226.
ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° вычислСния ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ….
227. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π».
228. Бвязь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΉ (Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°β€”Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ†Π°).
229. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° вычислСния ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΎΠ².
230. ИспользованиС ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π° для вычислСния ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ плоских Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€.
Π“Π•ΠžΠœΠ•Π’Π Π˜Π―. ГЛАВА I. Π“Π•ΠžΠœΠ•Π’Π Π˜Π§Π•Π‘ΠšΠ˜Π• Π€Π˜Π“Π£Π Π« НА ΠŸΠ›ΠžΠ‘ΠšΠžΠ‘Π’Π˜
2. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ°. ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ.
3. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ. Аксиомы. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹.
Β§ 2. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ свойства ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… гСомСтричСских Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€
5. Π›ΡƒΡ‡.
6. ΠžΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. ΠšΡ€ΡƒΠ³.
7. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ.
8. Π£Π³ΠΎΠ». Градусная ΠΌΠ΅Ρ€Π° ΡƒΠ³Π»Π°.
9. Π‘ΠΌΠ΅ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹.
10. Π¦Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ вписанныС ΡƒΠ³Π»Ρ‹.
11. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прямыС.
12. ΠŸΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ прямых.
13. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½Ρ‹Π΅ прямыС.
14. ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ окруТности.
15. Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ.
16. РавСнство Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ².
17. Π Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ.
18. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.
19. ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°.
20. ΠžΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, вписанныС Π² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΈ описанныС ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.
Β§ 3. ГСомСтричСскиС построСния Π½Π° плоскости
22. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° построСниС.
23. ГСомСтричСскоС мСсто Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° плоскости.
Β§ 4. Π§Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ
25. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ.
26. ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ. Π ΠΎΠΌΠ±. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚.
27. ВрапСция.
Β§ 5. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ
29. Π’Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ.
30. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ.
31. Π”Π»ΠΈΠ½Π° окруТности.
Β§ 6. РСшСниС Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²
33. Π‘ΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сторонами ΠΈ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅.
34. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° синусов.
35. РСшСниС Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ².
Β§ 7. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ плоских Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€
37. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ².
38. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€.
39. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°.
ГЛАВА II. ΠŸΡ€ΡΠΌΡ‹Π΅ ΠΈ плоскости Π² пространствС
Β§ 9. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ прямых ΠΈ плоскостСй
42. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ прямой ΠΈ плоскости.
43. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ плоскости.
Β§ 10. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ прямых ΠΈ плоскостСй
45. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€ ΠΈ наклонная ΠΊ плоскости.
46. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ плоскостСй.
ГЛАВА III. ВЕЛА Π’ ΠŸΠ ΠžΠ‘Π’Π ΠΠΠ‘Π’Π’Π•
Β§ 11. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠΈ
48. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠΈ.
49. ΠŸΡ€ΠΈΠ·ΠΌΠ°. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄. ΠšΡƒΠ±.
50. ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π°.
51. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠΈ.
Β§ 12. Π’Π΅Π»Π° вращСния
53. ΠšΠΎΠ½ΡƒΡ.
54. Π¨Π°Ρ€.
Β§ 13. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ пространствСнных Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ Π½Π° плоскости
56. ΠžΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅.
57. ГСомСтричСскоС мСсто Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π² пространствС.
Β§ 14. ΠžΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΡ‹ Ρ‚Π΅Π»
59. ОбъСм ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°, ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ ΠΈ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
60. ОбъСм Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° ΠΈ конуса.
61. ΠžΠ±Ρ‰Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° объСмов Ρ‚Π΅Π» вращСния.
Β§ 15. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ повСрхностСй Ρ‚Π΅Π»
63. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ повСрхности.
64. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ повСрхностСй Ρ‚Π΅Π» вращСния.
ГЛАВА IV. Π”Π•ΠšΠΠ Π’ΠžΠ’Π« ΠšΠžΠžΠ Π”Π˜ΠΠΠ’Π«
Β§ 16. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π½Π° плоскости ΠΈ Π² пространствС
66. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ сСрСдины ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°.
Β§ 17. УравнСния Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ Π½Π° плоскости
68. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… окруТностСй.
69. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой.
70. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой ΠΈ окруТности.
Β§ 18. УравнСния Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ Π² пространствС
72. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ сфСры.
73. Π’Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС сфСры ΠΈ плоскости.
74. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… сфСр.
ГЛАВА V. Π Π•ΠžΠ‘Π ΠΠ—ΠžΠ’ΠΠΠ˜Π― Π€Π˜Π“Π£Π 
76. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ двиТСния.
Β§ 20. ПодобиС Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€
78. ΠŸΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹.
ГЛАВА VI. Π’Π•ΠšΠ’ΠžΠ Π«
80. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.
81. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.
Β§ 22. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ
83. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число. ΠšΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹.
84. БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².
ΠŸΠ Π˜Π›ΠžΠ–Π•ΠΠ˜Π―
Π“Π•ΠžΠœΠ•Π’Π Π˜Π―

НахоТдСниС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ сСрСдины ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°. НахоТдСниС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, дСлящСй ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ.

  1. ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, Π²ΠΈΠ΄Ρ‹, дСйствия Π½Π°Π΄ Π½ΠΈΠΌΠΈ.

  1. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†, свойства, элСмСнтарныС прСобразования ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†.

  1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ВычислСниС опрСдСлитСля 2-Π³ΠΎ порядка. ВычислСниС опрСдСлитСля 3-Π³ΠΎ порядка. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π‘Π°Ρ€Ρ€ΡŽΡΠ°.

  1. Бвойства ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ Π½Π΅ связанныС с понятиСм алгСбраичСского дополнСния.

  1. ΠœΠΈΠ½ΠΎΡ€ ΠΈ алгСбраичСскоС Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ опрСдСлитСля ΠΏΠΎ строкС.

6)Π’Ρ‹Ρ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π½Π΅Π²Ρ‹Ρ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°( свойства, вычислСниС).

7)Π Π°Π½Π³ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ВычислСниС Ρ€Π°Π½Π³Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.

8) БЛАУ, совмСстная систСма, опрСдСлСнная систСма, понятиС Β«Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ систСму», ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΈ частноС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ БЛАУ. ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° записи БЛАУ. РСшСниС БЛАУ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ (ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄)Β Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ систСм Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… алгСбраичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ основной ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ состоит Π² поискС ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΊ основной ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅, ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ Π΅Π΅ Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ свободных Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ².

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ систСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ вычислСния опрСдСлитСля ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ (Для вычислСния ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΊ основной ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ систСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ). Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΈΠΌΠ΅Π»Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈ достаточно, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π±Ρ‹Π» ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ ΠΎΡ‚ нуля, Ρ‚ΠΎΠ΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π΅Π²Ρ‹Ρ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ.

9) БЛАУ с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π½Π΅Π²Ρ‹Ρ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠšΡ€Π°ΠΌΠ΅Ρ€Π°.

НСвыроТдСнная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° (систСма) — квадратная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Β (систСма),ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉΒ D=detА Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Β β€”Β ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ число строк Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ числу столбцов.

10) ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Гаусса для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ БЛАУ.

11) Π‘ΠΎΠ²ΠΌΠ΅ΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ БЛАУ. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠšΡ€ΠΎΠ½Π΅ΠΊΠ΅Ρ€Π°-КапСлли. ΠšΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ опрСдСлСнности БЛАУ.

12) ΠžΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ систСма Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

13) ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. (Π΄Π»ΠΈΠ½Π°, Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ,Π½ΡƒΠ»ΡŒ- Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€). Π Π°Π²Π½Ρ‹Π΅, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅, ΠΎΡ€Ρ‚-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€)

14) ΠšΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΠΎΡ€Ρ‹ (сонаправлСнныС, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅) ΠŸΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ коллинСарности, ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

ΠŸΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΒ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈΒ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ΡΡΒ ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚

  1. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². (ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°). Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число.

  1. Базис Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ пространства. РазлоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΠΎ ΠΎΡ€Ρ‚Π°ΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… осСй. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

НазываСтся такая систСма Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²,которая:

  1. Π—Π°Π΄Π°Π½Π° Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ порядкС

  2. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π½Π΅ зависима

  3. Π›ΡŽΠ±ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ пространства являСтся Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ систСмы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

Числа стоящиС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ базисными Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ базисС.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Базисом вСкторного пространства   называСтся любая упорядочСнная Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠΊΠ° Π½Π΅ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°Ρ€Π½Ρ‹Ρ…Β Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²Β (Ρ‚.Π΅. Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости) пространства  .

Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β 

Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β                        рис.2.

– базис  .

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅. Базис вСкторного пространства нС ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°: в пространствС  Β ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ, в пространствС  Β Π΄Π²Π°Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Β Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅, Ссли хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ, впространствС  Β Ρ‚Ρ€ΠΈΒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Β Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅, Ρ‚.Π΅ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости, Ссли хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ·Β Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Β Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²Β Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ.

  1. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈ ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°,Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°. ДСйствия Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ,Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ своими ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ (слоТСниС, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° число, равСнство, ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ).

  1. ΠΠ°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ косинусы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². РавСнство ΠΈΡ… ΡΠ²ΡΠ·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅.

  1. БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ Π΅Π³ΠΎ свойства. Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ скалярного произвСдСния Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹.

  1. Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ. ΠŸΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ пСрпСндикулярности Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

  1. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ Π΅Π³ΠΎ свойство. Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹. ГСомСтричСскиС прилоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния.

  1. БмСшанноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ Π΅Π³ΠΎ свойство. Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ смСшанного произвСдСния Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹. ГСомСтричСскиС прилоТСния смСшанного произвСдСния.

  1. ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Π° систСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ. ΠŸΠΎΠ»ΡΡ€Π½Π°Ρ систСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ полярных ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚.

  1. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ Π“ΠœΠ’ плоскости, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

ГСомСтричСскоС мСсто Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊΒ — это мноТСство всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ условиям.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Π‘Ρ€Π΅Π΄ΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΉ пСрпСндикуляр любого ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Π΅ΡΡ‚ΡŒ гСомСтричСскоС мСсто Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ (Ρ‚.Π΅. мноТСство всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ), Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡƒΠ΄Π°Π»Ρ‘Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠ² этого ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ PO AB ΠΈ AO = OB:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. ΠžΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ — это гСомСтричСскоС мСсто Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ (Ρ‚.Π΅. мноТСство всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ), Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡƒΠ΄Π°Π»Ρ‘Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ Π΅Ρ‘ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° (ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· этих Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ — А).

ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ сСрСдины ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Π² пространствС

Π•ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A1(x1;y1;z1) ΠΈ A2(x2;y2;z2). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° сСрСдиной ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° A1A2 Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π‘ с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ x, y, z, Π³Π΄Π΅Β 

26) ΠšΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой (Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄). ΠŸΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ прямой. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄).

ΠšΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой в пространствС:

Π³Π΄Π΅Β  Β β€”Β ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹Β Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ фиксированной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈΒ M0, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΉ Π½Π° прямой;Β  Β β€”Β ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, коллинСарного этой прямой.

ΠŸΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой в пространствС:

27)

ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой ΠΈ Π΅Π³ΠΎ частныС случаи. Условия ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΈ пСрпСндикулярности прямых Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅. ΠΠ°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΈ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ прямой. НахоТдСниС ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΈΠ· ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ уравнСния прямой.

Для случая, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° прямыС Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ уравнСниями Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ (6), Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ ΠΈ достаточноС условиС ΠΈΡ… ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ коэффициСнты ΠΏΡ€ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°Ρ… Π² ΠΈΡ… уравнСниях ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹, Ρ‚. Π΅.

Β Β Β Β Β (9)

Если уравнСния прямых Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ (6), Ρ‚ΠΎ условиС ΠΈΡ… пСрпСндикулярности (Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ ΠΈ достаточноС) Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ равСнства

A1A2Β +Β B1B2Β = 0.Β Β Β Β Β 

Β Π›ΡŽΠ±ΠΎΠΉ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой, называСтся Π΅Π΅Β Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ.

 Найти ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой с Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΒ  (1, -1) ΠΈ проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ А(1, 2).

Β 

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ искомой прямой Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅: Ax + By + C = 0. Π’ соотвСтствии с ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, коэффициСнты Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒ условиям:

Β 

1 * A + (-1) * B = 0, Ρ‚.Π΅. А = Π’.

28) Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой Π² ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°Ρ… (Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄) Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ коэфицСнтом. ГСомСтричСский смысл ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ коэффицСнта прямой.

29) Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ с Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ коэффициСнтом. Условия ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΈ пСрпСндикулярности прямых, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ коэффициСнтом.

Если прямыС Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ уравнСниями (4) с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ коэффициСнтом, Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ ΠΈ достаточноС условиС ΠΈΡ… ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ состоит Π² равСнствС ΠΈΡ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… коэффициСнтов:

k1Β =Β k2

Π’ случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° прямыС Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ уравнСниями (4) с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ коэффициСнтом, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ ΠΈ достаточноС условиС ΠΈΡ… пСрпСндикулярности Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ коэффициСнты ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΡƒ, Ρ‚. Π΅.

30) Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой Π² полярной систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ с Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ.

31) ΠΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ уравнСния прямой ΠΊ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ. РасстояниС ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π΄ΠΎ прямой. РасстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ прямыми.

РасстояниСм ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ прямыми называСтся Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ пСрпСндикуляра ΠΊ этим ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ прямым Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½Π°Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ

32) ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ каноничСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ эллипса. Бвойства эллипса.

Бвойства:

1. Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния эллипса с осями,Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ.

(большая ось- Ρ„ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΈ малая ось)

2. ΠΈΠ· каноничСского уравнСния слСдуСт Ρ‡Ρ‚ΠΎ

Эллипс Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° со сторонами 2a ΠΈ 2b.

3.Π’.ΠΊ. ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ эллипса содСрТит Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎ, Ссли Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ (x;y) ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π». Π­, Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄. 2

  1. ДирСктрисы эллипса.

Π­Ρ‚ΠΎ прямыС ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ пСрпСндикулярны Ρ„ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси ΠΈ находятся Π½Π° расстоянии a/E ΠΎΡ‚ Π΅Π΅ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° x= +/- a/E

R1+R2=2a

R1,R2- Ρ„ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ радиусы

Для Ρ„ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… радиусов ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ мСсто Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹

  1. ОсновноС свойство.

ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ расстояния ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ эллипса Π΄ΠΎ фокуса ΠΊ Ρ€Π°ΡΡΡ‚ΠΎΡΠ½ΠΈΡŽ Π΄ΠΎ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ дирСктрисы Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° постоянная равная СксцСнтриситСту.

33) ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ каноничСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹. Бвойства Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹. Асимптоты Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹.

Бвойства :

Π“ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π° Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π²Π½Π΅ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° со сторонами 2a ΠΈ 2b.

4. ЭксцСнтриситСт Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹.

E=c/a E>1

B^2=c^2-a^2

Π§Π΅ΠΌ мСньшС E Ρ‚Π΅ΠΌ мСньшС ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅ полуосСй,Ρ‚Π΅ΠΌ большС вытягиваСтся ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Π²Π΅Ρ‚Π²ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊ осям,сТаты.

5.

ДирСктрисы

  1. ОсновноС свойство.

34) ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ каноничСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹. Бвойства ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹.

35) ОсновноС свойство ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка.

36) ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния ΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ значСния. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

37) ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ свойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. (Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ/ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ). ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ функция. БлоТная функция.

  1. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ элСмСнтарныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ.

  1. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ окрСстности Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (ΠΏΠΎ Коши). ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ….

ΠžΠΊΡ€Π΅ΜΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈΒ β€” мноТСство, содСрТащСС Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, ΠΈ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΠ΅ (Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ смыслС) ΠΊ Π½Π΅ΠΉ.Β 

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒΒ Ξ΅ > 0Β ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ фиксированноС число.

ΠžΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈΒ x0Β Π½Π° числовой прямой (ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° говорят Ρ-ΠΎΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ) называСтся мноТСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚Β x0Β Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ Π½Π°Β Ξ΅, Ρ‚.Π΅.Β OΞ΅(x0) = {x: |Β xΒ βˆ’Β x0Β | < Ξ΅}.

Π‘Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΈΠ½Π° сСгмСнта Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ

Для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ A ΠΈ B срСднСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° M, располоТСнная посСрСдинС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ A ΠΈ B.

(Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π·Π°Π³Ρ€ΡƒΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π² блиТайшСС врСмя)

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° M Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π° ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ A ΠΈ B.

Π‘Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΈΠ½Π° Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π° Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² сСгмСнтС Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ. Линия ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΡƒΡ‡ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ сСрСдины, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ линия Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Π° ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ бСсконСчно ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… направлСниях, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ Ρƒ Π»ΡƒΡ‡Π° Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†.

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ сСрСдина ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°?

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ сСгмСнт?

ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ β€” это Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰Π°Ρ Π΄Π²Π΅ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Ρ‡Π°ΠΉΡˆΠ΅Π΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ.

ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ прямой с двумя ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ XY записываСтся ΠΊΠ°ΠΊ \[\overline{XY}\].

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ сСрСдину сСгмСнта Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ?

Π‘Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΈΠ½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° β€” это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅, которая Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ Π½Π° Π΄Π²Π° конгруэнтных ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°.

Π‘Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΈΠ½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° β€” это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, которая находится Π½Π° Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ расстоянии ΠΈΠ»ΠΈ посСрСдинС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ.

(Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π·Π°Π³Ρ€ΡƒΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π² блиТайшСС врСмя)

Π‘Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΈΠ½Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ (a 1 , b 1 ) ΠΈ (a 2 , b 2 ) Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° сСрСдины ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ эти Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄: \frac{b_{1} + b_{2}}{2})\]

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ 9ΠΈ 5 Π½Π° числовой прямой, сСрСдина прямой Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ:

\[\frac{9 + 5}{2} = \frac{14}{2} = 7\]

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ научимся Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ сСрСдину ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, соСдинСнного ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ (-3, 3) ΠΈ (5, 3).

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ (-3, 3) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ, поэтому a 1 = -3 ΠΈ b 1 = 3. Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ (5, 3) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ, поэтому a 2 = 5 ΠΈ b 2 = 3. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ срСднСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π½ΠΈΠΆΠ΅, ΠΈ упроститС, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ сСрСдину ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° прямой.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ срСднСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

\[(\frac{a_{1} + a_{2}}{2}, \frac{b_{1} + b_{2}}{2}) = (\frac{-3 + 5}{2}, \frac{3 + 3}{2}) = (\frac{2}{2}, \frac{6}{2} = (1, 3)\ ]

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ срСднСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅

Π£Ρ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ срСднСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ гласит, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ сСрСдины Π΄Π²ΡƒΡ… сторон Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅Π½ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ сторонС Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅. Рассмотрим β–³ABC, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½ΠΈΠΆΠ΅ .ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ D ΠΈ E Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ сСрСдинами AB ΠΈ AC. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ соСдинитС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ D ΠΈ E.

(Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ скоро Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π·Π°Π³Ρ€ΡƒΠΆΠ΅Π½ΠΎ)

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ срСднСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая DE ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° Π’Π‘ ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ Π’Π‘.

Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ сСрСдину ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°?

Π‘Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΈΠ½Ρƒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ этих Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ². Π­Ρ‚ΠΎ:

  1. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ подсчСта.

  2. ИспользованиС срСднСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° прямой.

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ подсчСта

Если ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ прямой ΠΈΠ»ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ сСрСдину ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Π½Π° 2 ΠΈ посчитав это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ любой ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ.

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ срСднСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ

Π‘Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΈΠ½Ρƒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ось ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ срСднСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

Π‘Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΈΠ½Ρ‹ (x,y) ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ² с ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ A (x 1 , y 1 ) ΠΈ B(x 2 , y 2 ) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ срСднСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

\[(x, y) = (a, b) = (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2} )\]

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

НайдитС сСрСдину ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° AB, Π³Π΄Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ A ΠΈ B Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ (-3, 3) (1, 4) соотвСтствСнно.

РСшСниС:

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ срСднСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ

\[(\frac{-3 + 1}{2}, \frac{-3 + 4}{2}) = (\frac{-2} {2}, \frac{1}{2}) = (-1, \frac{1}{2})\]

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, сСрСдина ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° AB Ρ€Π°Π²Π½Π° (-1, Β½).

Π‘Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΈΠ½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ

1. Π£ΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ окруТности ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (2, 3) ΠΈ (-6, 5). ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° окруТности, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

РСшСниС:

Π¦Π΅Π½Ρ‚Ρ€ окруТности Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Π½Π° Π΄Π²Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ части. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ сСрСдинами окруТности.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ (2, 3) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ, поэтому a 1 = 2 ΠΈΒ  b 1 = 3. Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ (-6, 5) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ, поэтому a 2 = -6 ΠΈ b 2 = 5. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ срСднСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π½ΠΈΠΆΠ΅, ΠΈ упроститС, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ сСрСдину ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° прямой.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ срСднСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

\[(\frac{a_{1} + a_{2}}{2}, \frac{b_{1} + b_{2}}{2}) = (\frac{2 + (-6)}{2}, \frac{-3 + 3}{2}) = (\frac{-4}{2}, \frac{2}{2}) = ( -2, 1)\]

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° окруТности Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ (-2, 1).

2. Если (3, -2) β€” сСрСдина прямой, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (1, x) ΠΈ (5, 7). НайдитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ….

РСшСниС:

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ (1, h) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ, поэтому a 1 = 1 ΠΈ b 1 = h. Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ (5, 7) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ, поэтому a 2 = 5 ΠΈ b 2 = 7. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ срСднСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π½ΠΈΠΆΠ΅, ΠΈ упроститС, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ сСрСдину ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ срСднСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

\[(\frac{a_{1} + a_{2}}{2}, \frac{b_{1} + b_{2}}{2}) = (3, -2)\]

\[(\frac{1 + 5}{2}, \frac{h + 7}{2}) = (3, -2)\]

\[\frac {7 + h}{2} = -2 = 7 + h = -4\]

\[h= -11\]

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ h Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ -11.

РасстояниС ΠΈ сСрСдины: ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

Π’Ρ‹ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ Π·Π°Π΄ΡƒΠΌΡ‹Π²Π°Π»ΠΈΡΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ссли ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ строго Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ? Или ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ сСрСдину ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° любом расстоянии? Π’ этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ объяснСно понятиС сСрСдины ΠΈ расстояния Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

РасстояниС ΠΈ сСрСдины: ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ β€” это Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰Π°Ρ Π΄Π²Π΅ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ всСго лишь ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ бСсконСчно Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Ρ‹.

Π‘Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΈΠ½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, являСтся срСднСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΉ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅.

ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ AB с сСрСдиной C — StudySmarter Originals

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ AB соСдиняСт Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A ΠΈ B. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° C Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² срСднСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ прямой, поэтому ΠΎΠ½Π° являСтся сСрСдиной прямой.

РасстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ β€” это Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ вмСстС.

ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ AB β€” StudySmarter Originals

РасстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ A ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ B Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ β€” это Π΄Π»ΠΈΠ½Π° синСй Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, которая прСдставляСт собой ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

РасстояниС ΠΈ срСдниС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости

На ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚, насколько Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΊ ΠΈ насколько Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости располоТСна линия, соотвСтствСнно. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ .

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (2, 1) ΠΈ (4, 3) — StudySmarter Originals

На рисункС Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈ . ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ рисункС:

ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (2, 1) ΠΈ (4, 3) — StudySmarter Originals

БрСдняя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° этом ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ являСтся сСрСдиной, Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Π° сСгмСнта Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ описываСт расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ. Как ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π° Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΈ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ? Π‘ΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ Π½Π°ΠΌ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² этих дСталях. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ посмотрим Π½Π° Π½ΠΈΡ….

РасстояниС ΠΈ сСрСдины: Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°

Π’ этом Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ‹ рассмотрим Π΄Π²Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹:

  • Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для сСрСдины ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°
  • Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для сСрСдины прямой сСгмСнт

ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ срСдняя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° находится Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° x находится посСрСдинС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ x Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Π° Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° y находится посСрСдинС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ y Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ссли ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ x ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ y для ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ посСрСдинС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ?

Для ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ , сСрСдина: .

На рисункС Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости со срСднСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ . ΠžΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠΌΡΡ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ Π½Π° Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ находится сСрСдина.

Π‘Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΈΠ½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (2, 1) ΠΈ (4, 3) — StudySmarter Originals

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° срСднСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, привСдСнная Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, позволяСт Π½Π°ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ срСднСС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ x Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈ срСднСС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ y Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ срСднСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ для ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ x Π½Π°ΡˆΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° значСния ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ x. (), Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π΄Π²Π° (). Π­Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρƒ x срСднСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, 3. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ добавляСм Π΄Π²Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ y () ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π½Π° Π΄Π²Π° (), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ срСднСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ y Π½Π°ΡˆΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ являСтся ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΠΉ y срСднСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ

Когда ΠΌΡ‹ вычисляСм расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ, ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ. Как ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ эту Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ?

РасстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ опрСдСляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅: .

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ссли ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ x ΠΈ y ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ эту Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ. Π’Π°ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ интСрСсно, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° взялась эта Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ рассматриваСт ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ Ссли Π±Ρ‹ ΠΎΠ½ Π±Ρ‹Π» Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ примСняСтся Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°, заданная . Π“ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° a ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ сторон b ΠΈ c ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Π½Π° рисункС Π½ΠΈΠΆΠ΅.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости — StudySmarter Originals

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ x ΠΈ y Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, вычитая мСньшиС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΎΡ‚ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… Π² этом случаС. На ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ x ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ . Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° стороны нашСго Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° 2! Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ y Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ , Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ стороны Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° 2,9. 0003

А Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°? Когда ΠΌΡ‹ примСняСм Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹ созданного Π½Π°ΠΌΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, которая Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠΌ прямой ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ:

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ поняли происхоТдСниС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Π΅Π΅. Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅-ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅.

НахоТдСниС срСдних Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈ расстояний с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ расстояниС ΠΈ срСдниС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости.

НайдитС сСрСдину ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ

РСшСниС:

Если Π½Π°ΠΌ извСстны ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ сСрСдины для опрСдСлСния сСрСдины ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΈΡ…. . Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° срСднСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ задаСтся ΠΊΠ°ΠΊ , поэтому ΠΌΡ‹ подставляСм наши извСстныС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ.

Для ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ x срСднСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ =. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ слоТили значСния ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ x ΠΈ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° Π΄Π²Π°.

Для ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ y срСднСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠ»ΠΈ значСния ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ y ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ. ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа β€” это Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΈ любоС число Π½Π°Π΄ самим собой ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ x ΠΈ y срСднСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π² Ρ‚ΠΈΠΏΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ (x, y).

НайдитС Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ

РСшСниС:

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ расстояния, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° расстояния задаСтся Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ . ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ наши ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ расстояниС. НСваТно, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ порядкС ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΈΠ· Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π° (какая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° считаСтся 1 ΠΈΠ»ΠΈ 2). Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ остаСмся ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ x ΠΈΠ· Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ x ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ y ΠΈΠ· Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ y. Π­Ρ‚ΠΎ связано с Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ значСния Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, ΠΎΠ½ избавляСтся ΠΎΡ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΈ Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ получаСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² любом случаС.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ подставили ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ x ΠΈ y ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ расстояния, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ. Вопрос задавался ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΌ расстоянии, поэтому ΠΌΡ‹ оставляСм наш Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ срСднСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ расстояния

Π‘Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ расстояния ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ мноТСство матСматичСских ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Π’ этом Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ нСсколько ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ рассмотрСнныС Π½Π°ΠΌΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹.

ИспользованиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сСрСдины для нахоТдСния сСрСдинного пСрпСндикуляра

Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ срСднСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ сСрСдинный пСрпСндикуляр ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ. БиссСктриса β€” это прямая, которая пСрСсСкаСтся с ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠΌ Π² Π΅Π³ΠΎ сСрСдинС ΠΏΠΎΠ΄ прямым ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ, разрСзая Π΅Π³ΠΎ Π½Π° Π΄Π²Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρ‹.

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ биссСктрису, найдя сСрСдину ΠΈ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ подставляСм эти значСния Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ сСрСдины ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°.

ИспользованиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ расстояния для опрСдСлСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ ΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ²

ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ расстояния для нахоТдСния Π΄Π»ΠΈΠ½ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ², Ссли Π·Π½Π°Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ начинаСтся ΠΈ заканчиваСтся. НапримСр, Ссли Π±Ρ‹ Ρƒ нас Π±Ρ‹Π»Π° лСстница, которая ΡƒΠΏΠΈΡ€Π°Π»Π°ΡΡŒ Π² стСну, ΠΈ лСстница касалась стСны ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ расстояния для опрСдСлСния Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ лСстницы.

ΠœΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости, Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΡŽΡ‚ вмСстС, образуя ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ. НапримСр, Ссли Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ 3 Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ расстояния, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ равносторонний Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ равносторонниС Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ 3 Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ сторон.

ЛСстница упираСтся Π² стСну Π² плоскости xy, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ ось x прСдставляСт собой ΠΏΠΎΠ», Π° ось y прСдставляСт собой стСну. Он касаСтся ΠΏΠΎΠ»Π° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΈ касаСтся стСны Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. НайдитС Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ лСстницы с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ 2 Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² послС запятой.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *