Формула площадь параллелограмма через высоту: Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции — урок. Геометрия, 8 класс.

alexxlab / / Разное

Содержание

Площадь основания параллелограмма формула. Площадь параллелограмма

Как в евклидовой геометрии точка и прямая — главные элементы теории плоскостей, так и параллелограмм является одной из ключевых фигур выпуклых четырехугольников. Из него, как нитки из клубка, втекают понятия «прямоугольника», «квадрата», «ромба» и других геометрических величин.

Вконтакте

Определение параллелограмма

Выпуклый четырехугольник, состоящий из отрезков, каждая пара из которых параллельна, известен в геометрии как параллелограмм.

Как выглядит классический параллелограмм изображает четырехугольник ABCD. Стороны называются основаниями (AB, BC, CD и AD), перпендикуляр, проведенный из любой вершины на противоположную этой вершине сторону, — высотой (BE и BF), линии AC и BD — диагоналями.

Внимание! Квадрат, ромб и прямоугольник — это частные случаи параллелограмма.

Стороны и углы: особенности соотношения

Ключевые свойства, по большому счету, предопределены самим обозначением , их доказывает теорема. Эти характеристики следующие:

  1. Стороны, которые являются противоположными, — попарно одинаковые.
  2. Углы, расположенные противоположно друг другу — попарно равны.

Доказательство: рассмотрим ∆ABC и ∆ADC, которые получаются вследствие разделения четырехугольника ABCD прямой AC. ∠BCA=∠CAD и ∠BAC=∠ACD, поскольку AC для них общая (вертикальные углы для BC||AD и AB||CD, соответственно). Из этого следует: ∆ABC = ∆ADC (второй признак равенства треугольников).

Отрезки AB и BC в ∆ABC попарно соответствуют линиям CD и AD в ∆ADC, что означает их тождество: AB = CD, BC = AD. Таким образом, ∠B соответствует ∠D и они равны. Так как ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, которые так же попарно одинаковые, то ∠A = ∠C. Свойство доказано.

Характеристики диагоналей фигуры

Основной признак этих линий параллелограмма: точка пересечения разделяет их пополам.

Доказательство: пусть т. Е — это точка пересечения диагоналей AC и BD фигуры ABCD. Они образуют два соизмеримых треугольника — ∆ABE и ∆CDE.

AB=CD, так как они противоположные. Согласно прямых и секущей, ∠ABE = ∠CDE и ∠BAE = ∠DCE.

По второму признаку равенства ∆ABE = ∆CDE. Это означает, что элементы ∆ABE и ∆CDE: AE = CE, BE = DE и при этом они соразмерные части AC и BD. Свойство доказано.

Особенности смежных углов

У смежных сторон сумма углов равна 180° , поскольку они лежат по одну сторону параллельных линий и секущей. Для четырехугольника ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Свойства биссектрисы:

  1. , опущенные на одну сторону, являются перпендикулярными;
  2. противолежащие вершины имеют параллельные биссектрисы;
  3. треугольник, полученный проведением биссектрисы, будет равнобедренным.

Определение характерных черт параллелограмма по теореме

Признаки этой фигуры вытекают из ее основной теоремы, которая гласит следующее: четырехугольник считается параллелограммом в том случае, если его диагонали пересекаются, а эта точка разделяет их на равные отрезки.

Доказательство: пусть в т. Е прямые AC и BD четырехугольника ABCD пересекаются. Так как ∠AED = ∠BEC, а AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (по первому признаку равенства треугольников). То есть ∠EAD = ∠ECB. Они также являются внутренними перекрестными углами секущей AC для прямых AD и BC. Таким образом, по определению параллельности — AD || BC. Аналогичное свойство линий BC и CD выводится также. Теорема доказана.

Вычисление площади фигуры

Площадь этой фигуры находится несколькими методами, одним из самых простых: умножения высоты и основания, к которому она проведена.

Доказательство: проведем перпендикуляры BE и CF из вершин B и C. ∆ABE и ∆DCF — равные, поскольку AB = CD и BE = CF. ABCD — равновеликий с прямоугольником EBCF, так как они состоят и соразмерных фигур: S ABE и S EBCD , а также S DCF и S EBCD . Из этого следует, что площадь этой геометрической фигуры находится так же как и прямоугольника:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Для определения общей формулы площади параллелограмма обозначим высоту как hb , а сторону — b .

Соответственно:

Другие способы нахождения площади

Вычисления площади через стороны параллелограмма и угол , который они образуют, — второй известный метод.

,

Sпр-ма — площадь;

a и b — его стороны

α — угол между отрезками a и b.

Этот способ практически основывается на первом, но в случае, если неизвестна. всегда отрезает прямоугольный треугольник, параметры которого находятся тригонометрическими тождествами, то есть . Преобразуя соотношение, получаем . В уравнении первого способа заменяем высоту этим произведением и получаем доказательство справедливости этой формулы.

Через диагонали параллелограмма и угол, который они создают при пересечении, также можно найти площадь.

Доказательство: AC и BD пересекаясь, образуют четыре треугольника: ABE, BEC, CDE и AED. Их сумма равна площади этого четырехугольника.

Площадь каждого из этих ∆ можно найти за выражением , где a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Поскольку , то в расчетах используется единое значение синуса.

То есть . Поскольку AE+CE=AC= d 1 и BE+DE=BD= d 2 , формула площади сводится до:

.

Применение в векторной алгебре

Особенности составляющих частей этого четырехугольника нашли применение в векторной алгебре, а именно: сложении двух векторов. Правило параллелограмма утверждает, что если заданные векторы и не коллинеарны, то их сумма будет равна диагонали этой фигуры, основания которой соответствуют этим векторам.

Доказательство: из произвольно выбранного начала — т. о. — строим векторы и . Далее строим параллелограмм ОАСВ, где отрезки OA и OB — стороны. Таким образом, ОС лежит на векторе или сумме .

Формулы для вычисления параметров параллелограмма

Тождества приведены при следующих условиях:

  1. a и b, α — стороны и угол между ними;
  2. d 1 и d 2 , γ — диагонали и в точке их пересечения;
  3. h a и h b — высоты, опущенные на стороны a и b;
Параметр Формула
Нахождение сторон
по диагоналям и косинусу угла между ними

по диагоналям и стороне

через высоту и противоположную вершину
Нахождение длины диагоналей
по сторонам и величине вершины между ними

Точнее по планиметрии и тригонометрии, иногда требуется найти высоту параллелограмма, исходя из заданных значений сторон, углов, диагоналей и т. п.

Чтобы найти высоту параллелограмма, зная его площадь и длину основания, необходимо воспользоваться правилом площади параллелограмма. Площадь параллелограмма, как известно, равняется произведению высоты на длину основания:

S — площадь параллелограмма,

а — длина основания параллелограмма,

h — длина опущенной на сторону а высоты, (или на ее продолжение).

Отсюда получаем, что высота параллелограмма будет площади, разделенной на длину основания:

Например,

дано: площадь параллелограмма равняется 50 кв.см., основание — 10 см.;

найти: высоту параллелограмма.

h=50/10=5 (см).

Так как высота параллелограмма, часть основания и прилежащая к основанию сторона образуют прямоугольный , то для высоты параллелограмма можно использовать некоторые соотношения сторон и углов прямоугольных .

Если известны прилежащая к высоте h (DE) сторона параллелограмма d (AD) и противоположный высоте угол A (BAD), то расчета высоты параллелограмма нужно умножить длину прилежащей стороны на синус противоположного угла:

например, если d=10 см, а угол А=30 градусов, то

H=10*sin(30º)=10*1/2=5 (см).

2)=3 (см).

Видео по теме

Источники:

  • что такое высота параллелограмма

Высотой многоугольника называют перпендикулярный одной из сторон фигуры отрезок прямой, который соединяет ее с вершиной противолежащего угла. Таких отрезков в плоской выпуклой фигуре существует несколько, и длины их не одинаковы, если хоть одна из сторон многоугольника имеет отличную от других величину. Поэтому в задачах из курса геометрии иногда требуется определить длину большей высоты, например, треугольника или параллелограмма.

Инструкция

Если кроме длины самой короткой из сторон треугольника (a) в условиях приведена (S) фигуры, большей из высот (Hₐ) будет достаточно проста. Удвойте площадь и разделите полученное значение на длину короткой — это и будет искомая высота: Hₐ = 2*S/a.

Не зная площади, но имея длины треугольника (a, b и c), тоже можно найти самую длинную из его высот, однако математических операций будет значительно больше. Начните с вычисления вспомогательной величины — полупериметра (р).

Для этого сложите длины всех сторон и разделите результат

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля — до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Формулы площади треугольника

  1. Формула площади треугольника по стороне и высоте
    Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
  2. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
  3. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
    Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
    4. где S — площадь треугольника,
    — длины сторон треугольника,
    — высота треугольника,
    — угол между сторонами и,
    — радиус вписанной окружности,
    R — радиус описанной окружности,

Формулы площади квадрата

  1. Формула площади квадрата по длине стороны
    Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
  2. Формула площади квадрата по длине диагонали
    Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.
    S =1 2
    2
    3. где S — Площадь квадрата,
    — длина стороны квадрата,
    — длина диагонали квадрата.

Формула площади прямоугольника

    Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон

    где S — Площадь прямоугольника,
    — длины сторон прямоугольника.

Формулы площади параллелограмма

  1. Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
    Площадь параллелограмма
  2. Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
    Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.

    a · b · sin α

    3. где S — Площадь параллелограмма,
    — длины сторон параллелограмма,
    — длина высоты параллелограмма,
    — угол между сторонами параллелограмма.

Формулы площади ромба

  1. Формула площади ромба по длине стороны и высоте
    Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.
  2. Формула площади ромба по длине стороны и углу
    Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.
  3. Формула площади ромба по длинам его диагоналей
    Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.
    4. где S — Площадь ромба,
    — длина стороны ромба,
    — длина высоты ромба,
    — угол между сторонами ромба,
    1 , 2 — длины диагоналей.

Формулы площади трапеции

  1. Формула Герона для трапеции

    Где S — Площадь трапеции,
    — длины основ трапеции,
    — длины боковых сторон трапеции,

Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел параллелограмм). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ или sqrt(), при чем в скобках указано подкоренное выражение.

Теоретический материал

Пояснения к формулам нахождения площади параллелограмма:

  1. Площадь параллелограмма равна произведению длины одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону
  2. Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними
  3. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними

Задачи на нахождение площади параллелограмма

Задача .
В параллелограмме меньшая высота и меньшая сторона равны 9 см и корню из 82 соответственно.Большая диагональ 15 см.Найти площадь параллелограмма.

Решение .
Обозначим меньшую высоту параллелограмма ABCD, опущенную из точки B на большее основание AD как BK.
Найдем значение катета прямоугольного треугольника ABK, образованного меньшей высотой, меньшей стороной и частью большего основания. По теореме Пифагора:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 — 81
AK = 1

Продлим верхнее основание параллелограмма BC и опустим на него высоту AN из его нижнего основания. AN = BK как стороны прямоугольника ANBK. У получившегося прямоугольного треугольника ANC найдем катет NC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 — 81
NC 2 = √144
NC = 12

Теперь найдем большее основание BC параллелограмма ABCD.
BC = NC — NB
Учтем, что NB = AK как стороны прямоугольника, тогда
BC = 12 — 1 = 11

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту к этому основанию.
S = ah
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99

Ответ : 99 см 2 .

Задача

В параллелограмме АВСД на диагональ АС опущен перпендикуляр ВО. Найдите площадь параллелограмма, если АО=8, ОС=6 и ВО=4.

Решение .
Опустим на диагональ АС дополнительно еще один перпендикуляр DK.
Соответственно, треугольники AOB иDKC, COB и AKD попарно равны. Одна из сторон является противолежащей стороной параллелограмма, один из углов — прямой, так как является перпендикуляром к диагонали, а один из оставшихся углов является внутренним накрест лежащим для параллельных сторон параллелограмма и секущей диагонали.

Таким образом, площадь параллелограмма равна площади указанных треугольников. То есть
Sпаралл = 2S AOB +2S BOC

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Откуда
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 см 2
Ответ : 56 см 2 .

Площадь параллелограмма через основание и высоту.

Как найти площадь параллелограмма? Определение характерных черт параллелограмма по теореме

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, в котором противоположные стороны равны и параллельны.

Онлайн-калькулятор

Параллелограмм обладает некоторыми полезными свойствами, которые упрощают решение задач, связанных с этой фигурой. Например, одно из свойств заключается в том, что противоположные углы параллелограмма равны.

Рассмотрим несколько способов и формул с последующим решением простых примеров.

Формула площади параллелограмма по основанию и высоте

Данный способ нахождения площади является, наверно, одним из основных и простых, так как он практически идентичен формуле по нахождению площади треугольника за небольшим исключением. Для начала разберем обобщенный случай без использования чисел.

Пусть дан произвольный параллелограмм с основанием a a a , боковой стороной b b b и высотой h h h , проведенной к нашему основанию. Тогда формула для площади этого параллелограмма:

S = a ⋅ h S=a\cdot h S = a ⋅ h

A a a — основание;
h h h — высота.

Разберем одну легкую задачу, чтобы потренироваться в решении типовых задач.

Пример

Найти площадь параллелограмма, в котором известно основание, равное 10 (см.) и высота, равная 5 (см.).

Решение

A = 10 a=10 a = 1 0
h = 5 h=5 h = 5

Подставляем в нашу формулу. Получаем:
S = 10 ⋅ 5 = 50 S=10\cdot 5=50 S = 1 0 ⋅ 5 = 5 0 (см. кв.)

Ответ: 50 (см. кв)

Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними

В этом случае искомая величина находится так:

S = a ⋅ b ⋅ sin ⁡ (α) S=a\cdot b\cdot\sin(\alpha) S = a ⋅ b ⋅ sin (α )

A , b a, b a , b — стороны параллелограмма;
α \alpha α — угол между сторонами a a a и b b b .

Теперь решим другой пример и воспользуемся вышеописанной формулой.

Пример

Найти площадь параллелограмма если известна сторона a a a , являющаяся основанием и с длиной 20 (см. {\circ})=12.5 S = 2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ sin (3 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (см. кв.)

Прежде чем узнать, как найти площадь параллелограмма, нам необходимо вспомнить, что такое параллелограмм и что называется его высотой. Параллелограмм – четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны (лежат на параллельных прямых). Перпендикуляр, проведенный из произвольной точки противоположной стороны к прямой, содержащей эту сторону называется высотой параллелограмма.

Квадрат, прямоугольник и ромб – это частные случаи параллелограмма.

Площадь параллелограмма обозначается как (S).

Формулы нахождения площади параллелограмма

S=a*h , где а – это основание, h – это высота, которая проведена к основанию.

S=a*b*sinα , где a и b – это основания, а α — угол между основаниями а и b.

S =p*r , где р – это полупериметр, r – это радиус окружности, которая вписана в параллелограмм.

Площадь параллелограмма, который образован векторами a и b равна модулю произведения заданных векторов, а именно:

Рассмотрим пример №1: Дан параллелограмм, сторона которого равна 7 см, а высота 3 см. Как найти площадь параллелограмма, формула для решения нам необходима.

Таким образом, S= 7×3. S=21. Ответ: 21 см 2 .

Рассмотрим пример №2: Даны основания 6 и 7 см, а также дан угол между основаниями 60 градусов. Как найти площадь параллелограмма? Формула, используемая для решения:

Таким образом, сначала найдем синус угла. Синус 60 = 0,5, соответственно S = 6*7*0,5=21 Ответ: 21 см 2 .

Надеюсь, что эти примеры Вам помогут при решении задач. И помните, главное – это знание формул и внимательность

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны.

В этой фигуре противоположные стороны и углы равны между собой. Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся ей пополам. Формулы площади параллелограмма позволяют найти значение через стороны, высоту и диагонали. Параллелограмм также может быть представлен в частных случаях. Ими считаются прямоугольник, квадрат и ромб.
Для начала рассмотрим пример расчета площади параллелограмма по высоте и стороне, к которой она опущена.

Этот случай считается классическим и не требует дополнительного разбирательства. Лучше рассмотрим формулу вычисления площади через две стороны и угол между ними. Этот же способ применяется в расчете . Если даны стороны и угол между ними, то площадь рассчитывается так:

Допустим, дан параллелограмм со сторонами a = 4 см, b = 6 см. Угол между ними α = 30°. Найдем площадь:

Площадь параллелограмма через диагонали


Формула площади параллелограмма через диагонали позволяет быстро найти значение.
Для вычислений понадобится величина угла, расположенного между диагоналями.

Рассмотрим пример расчета площади параллелограмма через диагонали. Пусть дан параллелограмм с диагоналями D = 7 см, d = 5 см. Угол, лежащий между ними α =30°. Подставим данные в формулу:

Пример расчета площади параллелограмма через диагональ дал нам прекрасный результат – 8,75.

Зная формулу площади параллелограмма через диагональ можно решать множество интересных задач. Давайте рассмотрим одну из них.

Задача: Дан параллелограмм с площадью 92 кв. см. Точка F расположена на середине его стороны ВС . Давайте найдем площадь трапеции ADFB , которая будет лежать в нашем параллелограмме. Для начала нарисуем все, что получили по условиям.
Приступаем к решению:

По нашим условиям ah =92, а соответственно, площадь нашей трапеции будет равняться

Что такое параллелограмм? Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

1. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле:

\[ \LARGE S = a \cdot h_{a}\]

где:
a – сторона параллелограмма,
h a – высота, проведенная к этой стороне.

2. Если известны длины двух смежных сторон параллелограмма и угол между ними, то площадь параллелограмма вычисляется по формуле:

\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. Если заданы диагонали параллелограмма и известен угол между ними, то площадь параллелограмма вычисляется по формуле:

\[ \LARGE S = \frac{1}{2} \cdot d_{1} \cdot d_{2} \cdot sin(\alpha) \]

Свойства параллелограмма

В параллелограмме противоположные стороны равны: \(AB = CD \) , \(BC = AD \)

В параллелограмме противоположные углы равны: \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \)

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам \(AO = OC \) , \(BO = OD \)

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. {2} \)

В параллелограмме угол между высотами равен его острому углу: \(\angle K B H =\angle A \) .

Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, взаимно перпендикулярны.

Биссектрисы двух противоположных углов параллелограмма параллельны.

Признаки параллелограмма

Четырехугольник будет параллелограммом, если:

\(AB = CD \) и \(AB || CD \)

\(AB = CD \) и \(BC = AD \)

\(AO = OC \) и \(BO = OD \)

\(\angle A = \angle C \) и \(\angle B = \angle D \)

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Параллелограмм – геометрическая фигура, часто встречающаяся в задачах курса геометрии (раздел планиметрия). Ключевыми признаками данного четырехугольника являются равенство противолежащих углов и наличие двух пар параллельных противоположных сторон. Частные случаи параллелограмма – ромб, прямоугольник, квадрат.

Расчет площади данного вида многоугольника может быть произведен несколькими способами. Рассмотрим каждый из них.

Найти площадь параллелограмма, если известны сторона и высота

Для вычисления площади параллелограмма можно воспользоваться значениями его стороны, а также длины высоты, опущенной на нее. При этом полученные данные будут достоверны как для случая известной стороны – основания фигуры, так и если в вашем распоряжении боковая сторона фигуры. В таком случае искомая величина будет получена по формуле:

S = a * h (a) = b * h(b),

  • S – площадь, которую следовало определить,
  • a, b – известная (или полученная путем вычислений) сторона,
  • h – высота, опущенная на нее.

Пример: значение основания параллелограмма – 7 см, длина перпендикуляра, опущенного на него из противолежащей вершины, – 3 см.

Решение:S = a * h (a) = 7 * 3 = 21.

Найти площадь параллелограмма, если известны 2 стороны и угол между ними

Рассмотрим случай, когда вы знаете величины двух сторон фигуры, а также градусной меры угла, который они между собой образуют. Предоставленными данными также можно воспользоваться для нахождения площади параллелограмма. В этом случае выражение-формула будет иметь следующий вид:

S = a * c * sinα = a * c * sinβ,

  • a – боковая сторона,
  • с – известное (или полученное путем вычислений) основание,
  • α, β – углы между сторонами a и c.

Пример: основание параллелограмма – 10 см, его боковая сторона на 4 см меньше. Тупой угол фигуры составляет 135°.

Решение: определяем значение второй стороны: 10 – 4 = 6 см.

S = a * c * sinα = 10 * 6 * sin135° = 60 * sin(90° + 45°) = 60 * cos45° = 60 * √2 /2 = 30√2.

Найти площадь параллелограмма, если известны диагонали и угол между ними

Наличие известных значений диагоналей данного многоугольника, а также угла, который они образуют в результате своего пересечения, позволяет определить величину площади фигуры.

S = (d1*d2)/2*sinγ,
S = (d1*d2)/2*sinφ,

S – площадь, которую следует определить,
d1, d2 – известные (или полученные путем вычислений) диагонали,
γ, φ – углы между диагоналями d1 и d2.

Как найти площадь высоту параллелограмма. Параллелограмм и его свойства

Площадь параллелограмма. В очень многих задачах по геометрии связанных с вычислением площадей, в том числе и заданиях на ЕГЭ, используются формулы площади параллелограмма и треугольника. Их существует несколько, здесь мы их с вами рассмотрим.

Перечислять эти формулы было бы слишком просто, этого добра и так хватает в справочниках и на различных сайтах. Мне хотелось бы донести суть — чтобы вы их не зубрили, а понимали и легко могли вспомнить в любой момент. После изучения материала статьи вы поймёте, что формулы эти учить совсем не нужно. Объективно говоря, они так часто встречаются при решениях, что откладываются в памяти надолго.

1. Итак, давайте рассмотрим параллелограмм. Определение гласит:


Почему так? Всё просто! Чтобы показать наглядно в чём смысл формулы, выполним некоторые дополнительные построения, а именно построим высоты:

Площадь треугольника (2) равна площади треугольника (1) — второй признак равенства прямоугольных треугольников «по катету и гипотенузе». Теперь мысленно «отрежем» второй и перенесём его наложив на первый — получим прямоугольник, площадь которого будет равна площади исходного параллелограмма:


Площадь прямоугольника, как известно, равна произведению его соседних сторон. Как видно по эскизу, одна сторона полученного прямоугольника равна стороне параллелограмма, а другая его высоте параллелограмма. Поэтому и получаем формулу площади параллелограмма S = a∙h a

2. Продолжим, ещё одна формула его площади. Имеем:

Площадь параллелограмма формула

Обозначим стороны как a и b, угол между ними γ «гамма», высота h a. Рассмотрим прямоугольный треугольник:


Параллелограмм – это четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны.

В этой фигуре противоположные стороны и углы равны между собой. Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся ей пополам. Формулы площади параллелограмма позволяют найти значение через стороны, высоту и диагонали. Параллелограмм также может быть представлен в частных случаях. Ими считаются прямоугольник, квадрат и ромб.
Для начала рассмотрим пример расчета площади параллелограмма по высоте и стороне, к которой она опущена.

Этот случай считается классическим и не требует дополнительного разбирательства. Лучше рассмотрим формулу вычисления площади через две стороны и угол между ними. Этот же способ применяется в расчете . Если даны стороны и угол между ними, то площадь рассчитывается так:

Допустим, дан параллелограмм со сторонами a = 4 см, b = 6 см. Угол между ними α = 30°. Найдем площадь:

Площадь параллелограмма через диагонали


Формула площади параллелограмма через диагонали позволяет быстро найти значение.
Для вычислений понадобится величина угла, расположенного между диагоналями.

Рассмотрим пример расчета площади параллелограмма через диагонали. Пусть дан параллелограмм с диагоналями D = 7 см, d = 5 см. Угол, лежащий между ними α =30°. Подставим данные в формулу:

Пример расчета площади параллелограмма через диагональ дал нам прекрасный результат – 8,75.

Зная формулу площади параллелограмма через диагональ можно решать множество интересных задач. Давайте рассмотрим одну из них.

Задача: Дан параллелограмм с площадью 92 кв. см. Точка F расположена на середине его стороны ВС . Давайте найдем площадь трапеции ADFB , которая будет лежать в нашем параллелограмме. Для начала нарисуем все, что получили по условиям.
Приступаем к решению:

По нашим условиям ah =92, а соответственно, площадь нашей трапеции будет равняться

При решении задач по данной теме кроме основных свойств параллелограмма и соответственных формул можно запомнить и применять следующее:

  1. Биссектриса внутреннего угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник
  2. Биссектрисы внутренних углов прилежащие к одной из сторон параллелограмма взаимно перпендикулярные
  3. Биссектрисы, выходящие из противоположных внутренних углов параллелограмма, параллельные между собой либо лежат на одной прямой
  4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон
  5. Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними

Рассмотрим задачи, при решении которых используются данные свойства.

Задача 1.

Биссектриса угла С параллелограмма АВСD пересекает сторону АD в точке М и продолжение стороны АВ за точку А в точке Е. Найдите периметр параллелограмма, если АЕ = 4, DМ = 3.

Решение.

1. Треугольник СМD равнобедренный. (Свойство 1). Следовательно, СD = МD = 3 см.

2. Треугольник ЕАМ равнобедренный.
Следовательно, АЕ = АМ = 4 см.

3. АD = АМ + МD = 7 см.

4. Периметр АВСD = 20 см.

Ответ. 20 см.

Задача 2.

В выпуклом четырёхугольнике АВСD проведены диагонали. Известно, что площади треугольников АВD, АСD, ВСD равны. Докажите, что данный четырёхугольник является параллелограммом.

Решение.

1. Пусть ВЕ – высота треугольника АВD, СF – высота треугольника АCD. Так как по условию задачи площади треугольников равны и у них общее основание АD, то высоты этих треугольников равны. ВЕ = СF.

2. ВЕ, СF перпендикулярны АD. Точки В и С расположены по одну сторону относительно прямой АD. ВЕ = СF. Следовательно, прямая ВС || AD. (*)

3. Пусть АL – высота треугольника АСD, BK – высота треугольника BCD. Так как по условию задачи площади треугольников равны и у них общее основание СD, то высоты этих треугольников равны. АL = BK.

4. АL и BK перпендикулярны СD. Точки В и А расположены по одну сторону относительно прямой СD. АL = BK. Следовательно, прямая АВ || СD (**)

5. Из условий (*), (**) вытекает – АВСD параллелограмм.

Ответ. Доказано. АВСD – параллелограмм.

Задача 3.

На сторонах ВС и СD параллелограмма АВСD отмечены точки М и Н соответственно так, что отрезки ВМ и НD пересекаются в точке О;

Решение.

1. В треугольнике DОМ

2. В прямоугольном треугольнике DНС
(

Тогда (Так как в прямоугольном треугольнике катет, который лежит против угла в 30 о, равен половине гипотенузы).

Но СD = АВ. Тогда АВ: НD = 2: 1.

3.

4.

Ответ: АВ: НD = 2: 1,

Задача 4.

Одна из диагоналей параллелограмма длиною 4√6, составляет с основанием угол 60 о, а вторая диагональ составляет с тем же основанием угол 45 о. Найти вторую диагональ.

Решение.

1. АО = 2√6.

2. К треугольнику АОD применим теорему синусов.

АО/sin D = OD/sin А.

2√6/sin 45 о = OD/sin 60 о.

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Ответ: 12.

Задача 5.

У параллелограмма со сторонами 5√2 и 7√2 меньший угол между диагоналями равен меньшему углу параллелограмма. Найдите сумму длин диагоналей.

Решение.

Пусть d 1 , d 2 – диагонали параллелограмма, а угол между диагоналями и меньший угол параллелограмма равен ф.

1. Посчитаем двумя разными
способами его площадь.

S ABCD = AB · AD · sin A = 5√2 · 7√2 · sin ф,

S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin ф.

Получим равенство 5√2 · 7√2 · sin ф = 1/2d 1 d 2 sin ф или

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Используя соотношение между сторонами и диагоналями параллелограмма запишем равенство

(АВ 2 + АD 2) · 2 = АС 2 + ВD 2 .

((5√2) 2 + (7√2) 2) · 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Составим систему:

{d 1 2 + d 2 2 = 296,
{d 1 + d 2 = 140.

Умножим второе уравнение системы на 2 и сложим с первым.

Получим (d 1 + d 2) 2 = 576. Отсюда Id 1 + d 2 I = 24.

Так как d 1 , d 2 – длины диагоналей параллелограмма, то d 1 + d 2 = 24.

Ответ: 24.

Задача 6.

Стороны параллелограмма 4 и 6. Острый угол между диагоналями равен 45 о. Найдите площадь параллелограмма.

Решение.

1. Из треугольника АОВ, используя теорему косинусов, запишем соотношение между стороной параллелограмма и диагоналями.

АВ 2 = АО 2 + ВО 2 2 · АО · ВО · cos АОВ.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1 /2) · (d 2 /2)cos 45 о;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1 /2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. Аналогично запишем соотношение для треугольника АОD.

Учтем, что

Получим уравнение d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Имеем систему
{d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
{d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Вычитая из второго уравнения первое, получим 2d 1 · d 2 √2 = 80 или

d 1 · d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin α = 1/2 · 20√2 · √2/2 = 10.

Примечание: В этой и в предыдущей задаче нет надобности, решать полностью систему, предвидя то, что в данной задаче для вычисления площади нам нужно произведение диагоналей.

Ответ: 10.

Задача 7.

Площадь параллелограмма равна 96, а его стороны равны 8 и 15. Найдите квадрат меньшей диагонали.

Решение.

1. S ABCD = AВ · АD · sin ВAD. Сделаем подстановку в формулу.

Получим 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Отсюда sin ВAD = 4 / 5 .

2. Найдём cos ВАD. sin 2 ВAD + cos 2 ВАD = 1.

(4 / 5) 2 + cos 2 ВАD = 1. cos 2 ВАD = 9 / 25 .

По условию задачи мы находим длину меньшей диагонали. Диагональ ВD будет меньшей, если угол ВАD острый. Тогда cos ВАD = 3 / 5.

3. Из треугольника АВD по теореме косинусов найдём квадрат диагонали ВD.

ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВАD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 · 8 · 15 · 3 / 5 = 145.

Ответ: 145.

Остались вопросы? Не знаете, как решить геометрическую задачу?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Параллелограмм представляет собой четырехугольную фигуру, у которой противолежащие стороны попарно параллельны и попарно равны. Равны у него также и противоположные углы, а точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам, являясь при этом центром симметрии фигуры. Частными случаями параллелограмма являются такие геометрические фигуры как квадрат, прямоугольник и ромб. Площадь параллелограмма может быть найдена различными способами, в зависимости от того, какими исходными данными сопровождается постановка задачи.


Ключевой характеристикой параллелограмма, очень часто используемой при нахождении его площади, является высота. Высотой параллелограмма принято называть перпендикуляр, опущенный из произвольной точки противоположной стороны к отрезку прямой, образующей данную сторону.
  1. В самом простом случае площадь параллелограмма определяется как произведение его основания на высоту.

    S = DC ∙ h

    где S — площадь параллелограмма;
    a — основание;
    h — высота, проведенная к данному основанию.

    Данную формулу очень легко понять и запомнить, если взглянуть на следующий рисунок.

    Как видно из данного изображения, если слева от параллелограмма отрезать воображаемый треугольник и присоединить его справа, то в результате мы получим прямоугольник. А как известно, площадь прямоугольника находится перемножением его длины на высоту. Только в случае параллелограмма длина будет являться основанием, а высота прямоугольника — высотой параллелограмма, опущенной на данную сторону.

  2. Площадь параллелограмма может быть также найдена в результате перемножения длин двух смежных оснований и синуса угла между ними:

    S = AD∙AB∙sinα

    где AD, AB — смежные основания, образующие точку пересечения и угол а между собой;
    α — угол между основаниями AD и AB.

  3. Также площадь параллелограмма можно найти разделив пополам произведение длин диагоналей параллелограмма на синус угла между ними.

    S = ½∙AC∙BD∙sinβ

    где AC, BD — диагонали параллелограмма;
    β — угол между диагоналями.

  4. Существует также формула для нахождения площади параллелограмма через радиус вписанной в него окружности. Она записывается следующий образом:

Параллелограммом называют четырехугольник у которого противоположные стороны параллельны между собой. 2) .

Основные признаки параллелограммов:

1. Четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны является параллелограммом.
2. Четырехугольник с равными противоположными сторонами является параллелограммом.
3. Четырехугольник с равными и параллельными противоположными сторонами является параллелограммом.
4. Если диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам то это параллелограмм.
5. Четырехугольник у которого противоположные углы попарно равны является параллелограммом

Биссектрисы параллелограмма

Биссектрисы противоположных углов в параллелограмме могут быть параллельными или совпадать.

Биссектрисы соседних углов (прилегающие к одной стороне) пересекаются под прямым углом (перпендикулярные).

Высота параллелограмма

Высота параллелограмма — это отрезок который проведен с угла перпендикулярно к основанию. Из этого следует что из каждого угла можно провести две высоты.

Формула площади параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту проведенную к ней. Формула площади следующая

Вторая формула не менее популярная при вычислениях и определяется так: площадь параллелограмма равна произведению соседних сторон на синус угла между ними

На основе приведенных формул Вы будете знать как вычислить площадь параллелограмма.

Периметр параллелограмма

Формула для вычисления периметру параллелограмма имеет вид

то есть периметр равен удвоенному значению суммы сторон. Задачи на параллелограмм будут рассмотрены в соседних материалах, а пока изучайте формулы. Большинство задач по вычислению сторон, диагоналей параллелограмма достаточно просты и сводятся к знанию теоремы синусов и теоремы Пифагора.

Площадь параллелограмма — формулы, диаграммы и примеры

Как следует из названия, параллелограмм — это тип плоской фигуры с двумя парами противоположных сторон, которые параллельны и равны. Однако «параллелограмм» немного отличается от прямоугольника или квадрата. В результате способы нахождения площади параллелограмма также различны. Здесь мы точно разберемся с площадью параллелограмма и с тем, как ее найти.

Что такое площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма – это полное пространство, ограниченное его границей в данном двумерном пространстве.

Формулы

С основанием и высотой

Ниже приведена формула для расчета площади параллелограмма, когда известны основание и высота: × h преобразуйте параллелограмм с основанием (b) и высотой (h) в прямоугольник, как показано на рисунке ниже.

Формула вычисления площади параллелограмма

После преобразования параллелограмма в прямоугольник

  • Основание параллелограмма равно длине прямоугольника.
  • Высота параллелограмма равна ширине прямоугольника.

Отсюда выводится формула площади параллелограмма (A) = b × h, где b = основание параллелограмма, h = высота параллелограмма.

Разберем приведенную выше формулу на примере.

Рассмотрим параллелограмм ABCD. Используя квадратную сетку, найдем его площадь, посчитав квадраты .

Формула площади параллелограмма в квадратных единицах

Из приведенного выше рисунка:

Общее количество полных квадратов = 24

Общее количество половинных квадратов = 8

Площадь = 24 + (1/2) × 8 = 24 + 4 = 28 единичных квадратов

Также на рисунке видно, что AP ⊥ BC. Подсчитав квадраты, мы получим:

Сторона, ВС = 7 единиц

Соответствующая высота, АР = 4 единицы

Сторона × высота = 7 × 4 = 28 единиц квадратов

Итак, подсчитав квадраты, мы убедились, что A = б × ч

Таким образом, площадь данного параллелограмма равна основанию, умноженному на высоту, используя высоту и основание.

Мы научились вычислять площадь параллелограмма, зная его основание и высоту.

Давайте решим несколько примеров.

Найдите площадь параллелограмма, основание которого 8 см, а высота 11 см.

Решение:

Как мы знаем,
Площадь (A) = b × h, здесь b = 8 см и h = 11 см
= 8 x 11 см2
= 88 см2

Найдите площадь параллелограмма с основанием 12 см и высотой 9 см.

Решение:

Как мы знаем,
Площадь (A) = b × h, здесь b = 12 см и h = 9 см (поскольку отношение означает высоту)
= 12 x 9 см2
= 108 см2

Теперь мы обсудим, как вычислить площадь параллелограмма, когда дана другая информация.

Без высоты

Когда мы не знаем высоту параллелограмма, мы используем тригонометрию, чтобы найти его площадь.

Мы вычислим площадь параллелограмма (A), используя его смежные стороны и угол между сторонами.

Площадь параллелограмма без высоты

Вывод

∵ Мы не знаем высоту параллелограмма, мы берем воображаемую высоту, которая находится прямо напротив угла x.

Из концепции тригонометрии мы знаем, что в треугольнике ⊥

Отношение высоты к гипотенузе = sin(угол, противоположный высоте)

∴ Высота (h) = a sin x, здесь a = гипотенуза, b = основание , x = угол между a и b.

Отсюда получаем A = ab sin(x)

Решим несколько примеров.

Найдите площадь параллелограмма, смежные стороны которого равны 3 см и 4 см соответственно. Угол между двумя соседними сторонами равен 60°.

Решение:

Как известно,
A = ab sin(x), здесь a = 3 см, b = 4 см, x = 60°
= 3 × 4 sin(60)
= 12 ×
= 10,392 см 2

Какова площадь параллелограмма, смежные стороны которого равны 6 см и 8 см соответственно? Угол между двумя соседними сторонами равен 90°.

Решение:

Как известно,
A = ab sin(x), здесь a = 6 см, b = 8 см, x = 90°
= 6 × 8 sin(90)
= 48 × 1 (∵ sin(90) = 1)
= 48 см 2

Примечание: Если угол между сторонами параллелограмма равен 90 градусов, то это прямоугольник.

Использование диагоналей

Здесь мы узнаем, как вычислить площадь параллелограмма, если известны две диагонали и угол их пересечения.

Площадь параллелограмма с использованием диагоналей

Примечание: x + y = 180, поскольку диагонали являются прямыми

∴ y = 180 – x

Кроме того, sin(x) = sin(180 -x)

Таким образом, приведенная выше формула оправдана

Пусть Решим пример:

Найдите площадь параллелограмма с диагоналями 18 см и 14 см. Диагонали пересекаются под углом 42°.

Решение:

Как мы знаем,
(A) = ½ × d 1 × d 2 sin(x), здесь d 1 = 18, d 2 = 14, x = 42°
= ½ × 18 × 14 sin(42°)
= 84,31 см 2

В векторной форме

Площадь параллелограмм в векторной форме. Формулы приведены ниже:

1) Использование боковых векторов
Площадь параллелограмма в векторе Использование боковых векторов

Решим пример.


Задача: Нахождение площади параллелограмма при БОКОВЫХ ВЕКТОРАХ известны

Найдите площадь параллелограмма, стороны которого представлены a = i + 2j + 3k и b = 4i + 5j + 6k.

Решение:

Как мы знаем,
A = |a × b|, здесь a = i + 2j + 3k, b = 4i + 5j + 6k
Теперь a × b = i(2 × 6 – 3 × 5) — j (1 × 6 — 3 × 4) + k (1 × 5 — 2 × 4) = i (12 — 15) — j (6 — 12) + k (5 — 8) = {- 3i + 6j – 3k}
|a × b| = √{(-3) 2 + 6 2 + (-3) 2 }
= √54
= 3√6
≈ 7,35 квадратных единиц

2) Используя диагональные векторы
Площадь параллелограмма в векторе, используя диагональные векторы

Вывод

Как мы знаем,

Площадь параллелограмма равна (A) |a × b|, здесь a и b — векторы, представляющие соседние стороны, а d 1 и d 2 — векторы, представляющие две диагонали

a + b = d 1 …. (1)

б + (-а) = д 2

или, b – a = d 2 …. (2)

сейчас, d 1 × d 2 = (a + b) × (b – a)

= a × (b – a) + b × (b – a)

= a × b – a × a + b × b – b × a

Так как a × a = 0 и b × b = 0

⇒ a × b – 0 + 0 – b × a

Так как a × b =  – (b × a),

d 1 × d 2 = a × b – ( -(a × b))

= 2(a × b)

∴ Площадь параллелограмма (A) в терминах диагонали, когда диагонали в векторных формах,

= 1/2 |d 1 × d 2 |

Давайте решим пример.

Обнаружение площади параллелограммы, когда Диагональные векторы известны

Найти площадь параллелограммы, диагоналы, D 1 = 2- 2- 2- 2, и 2-й. = 2i – j + 2k.

Решение:

Как мы знаем,
A = 1/2 |(d 1 × d 2 )|, здесь d 1 = 2i – 3j + 4k, d 2 = 2i – j + 2k
Теперь, d 1 × d 2 = i((-3) × 2 – (- 1) × 4) – j(2 × 2 – 2 × 4) + k(2 × (-1) -2 × (-3))
= i(- 6 + 4) – j(4 – 8) + k(-2 + 6)
= -2i + 4j +4k
Теперь величина |d 1 × d 2 | = √ {(-2) 2 + 4 2 + 4 2 }
= √36
= 6
∴ A = 1/2 |d 1 × d 2 2 |
= 1/2 × 6 = 3 квадратных единицы

Площадь параллелограмма – объяснение и примеры

Как следует из названия, параллелограмм представляет собой четырехугольник, образованный двумя парами параллельных прямых . Он отличается от прямоугольника мерой углов при углах. У параллелограмма противоположные стороны равны по длине и противоположные углы равны по размеру, а у прямоугольника все углы равны 90 градусов.

В этой статье вы узнаете, как вычислить площадь параллелограмма, используя формулу площади параллелограмма.

Чтобы узнать, чем его площадь отличается от площади других четырехугольников и многоугольников, посетите предыдущие статьи.

Как найти площадь параллелограмма?

Площадь параллелограмма – это пространство, ограниченное двумя парами параллельных прямых. Прямоугольник и параллелограмм имеют схожие свойства, поэтому площадь параллелограмма равна площади прямоугольника.

Площадь параллелограмма Формула

Рассмотрим параллелограмм ABCD , показанный ниже. Площадь параллелограмма – это пространство, ограниченное сторонами AD, DC, CB, и АВ.

Площадь состояний формулы параллелограмма;

Площадь параллелограмма = основание x высота

A = (b * h) кв. единицы

Где b = основание параллелограмма и,

h = высота или высота параллелограмма.

Высота или высота – это перпендикулярная линия (обычно пунктирная) от вершины параллелограмма к любому из оснований.

Пример 1

Вычислите площадь параллелограмма, основание которого равно 10 сантиметрам, а высота 8 сантиметрам.

Решение

A = (b * h) кв. единицы.

A = (10 * 8)

A = 80 см 2

А = (b * h) кв. единицы.

= (24 * 13) квадратных дюймов.

= 312 квадратных дюймов.

Пример 3

Если основание параллелограмма в 4 раза больше его высоты, а площадь равна 676 см², найдите основание и высоту параллелограмма.

Решение

Пусть высота параллелограмма = x

и основание = 4x

Но площадь параллелограмма = b * h

676 см² = (4x * x) кв.

676 = 4x 2

Разделим обе части на 4, чтобы получить

169 = x 2

. .

Основание = 4 * 13 = 52 см

Высота = 13 см.

Следовательно, основание и высота параллелограмма равны 52 см и 13 см соответственно.

Помимо формулы площади параллелограмма, существуют и другие формулы для вычисления площади параллелограмма.

Давайте посмотрим.

Как найти площадь параллелограмма без высоты?

Если высота параллелограмма нам неизвестна, мы можем использовать понятие тригонометрии, чтобы найти его площадь.

Площадь = абсинус (α) = абсинус (β)

Где a и b — длины параллельных сторон, а β или α — угол между сторонами параллелограмма.

Пример 4

Найдите площадь параллелограмма, если две его параллельные стороны равны 80 см и 40 см, а угол между ними равен 56 градусов.

Решение

Пусть a = 80 см и b = 40 см.

Угол между a и b = 56 градусов.

Площадь = абсинус (α)

Замена.

A = 80 × 40 синусов (56)

A = 3200 синусов 56

A = 2652,9 кв.см.

Пример 5

Вычислите углы между двумя сторонами параллелограмма, если его стороны равны 5 м и 9 м, а площадь параллелограмма равна 42,8 м 2 .

Решение

Площадь параллелограмма = абсинус (α)

42,8 м 2 = 9 * 5 синус (α)

42,8 = 4,5 синус 3 9000 на обе стороны

003

0.95111= sin (α)

α = sine -1 0.95111

α = 72°

But β + α = 180°

β = 180° – 72°

= 108°

Therefore , углы между двумя параллельными сторонами параллелограмма равны; 108° и 72°.

Пример 6

Вычислите высоту параллелограмма, параллельные стороны которого равны 30 см и 40 см, а угол между этими двумя сторонами равен 36 градусам. Примите основание параллелограмма равным 40 см.

Решение

Площадь = ab синус (α) = bh

30 * 40 синус (36) = 40 * h

1200 синус (36) = 40 * h.

Обе стороны делим на 40.

h = (1200/40) синус 36

= 30 синус 36

h = 17,63 см

Итак, высота параллелограмма 17,63 см.

Как найти площадь параллелограмма по диагоналям?

Предположим, что d 1 и d 2 — диагонали параллелограмма 9.0378 ABCD, , тогда площадь параллелограмма определяется как

Где β или α — угол пересечения диагоналей d 1 и d 2 .

Пример 7

Вычислите площадь параллелограмма, диагонали которого равны 18 см и 15 см, а угол пересечения диагоналей равен 43°.

Раствор

Пусть d 1 = 18 см и d 2 = 15 см.

β = 43°.

A = ½ × d 1  × d 2  sine (β)

= ½ × 18 × 15 sine (43°)

= 135sine 43°

= 92. 07 cm 2

Therefore, площадь параллелограмма 92,07 см 2 .

Площадь параллелограмма: как рассчитать, типы

  • Автор Джоти Саксена
  • Последнее изменение 25 августа 2022 г.
  • Автор Джоти Саксена
  • Последнее изменение 25 августа 2022 г.

Площадь параллелограмма: Для учащихся очень важно знать основные формулы площади и периметра. Площадью параллелограмма   называется пространство, занимаемое параллелограммом в двумерной плоскости. Любая четырехсторонняя фигура будет иметь две пары противоположных «параллельных» сторон. Параллелограмм   — это своего рода четырехугольник. Параллелограмм образуется, когда четырехугольник имеет две параллельные противолежащие стороны.

Предположим, вы построили картонную коробку, скажем, для одежды, но забыли положить на нее дно. Две нижние противоположные стороны коробки имеют размер \(10\) дюймов, а два других — \(15\) дюймов. Если вы повернете коробку так, чтобы одна из ее (10-дюймовых) сторон лежала плоско на столе, коробка естественным образом изменит свою форму (потому что у нее не было дна, которое удерживало бы четыре стороны в жестком состоянии). Затем дно коробки превращается в параллелограмм. Если вы толкаете или тянете коробку, каждая форма, которую она принимает, представляет собой параллелограмм.

Напомним, что площадь параллелограмма — это площадь, покрытая параллелограммом в \(2D\) плоской области. Параллелограмм – это особый тип четырехугольника. Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны. Теперь, если вам интересно, что такое четырехугольник, мы перейдем к этой части чуть позже.

Калькулятор площади параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
\(A = b \×h\)

Разве приведенная выше формула не предназначена для нахождения площади прямоугольника? Они оба одинаковы? Кажется запутанным, верно?

Давайте разберемся с помощью схемы, приведенной ниже.

Мы превратили параллелограмм в прямоугольник с тем же основанием и высотой. Теперь, так как основания и высоты параллелограмма и прямоугольника одинаковы:

Площадь параллелограмма \(= \) Площадь прямоугольника\(AEFD\)
\(= EF \times AE = BC \times AE\)
\(=\mathrm{base}\times\mathrm{height} \)

Чтобы вычислить площадь параллелограмма, умножьте основание перпендикуляра на его высоту. Мы видим, что основание и высота параллелограмма перпендикулярны друг другу, но боковая сторона не перпендикулярна основанию.

Это единственный способ найти площадь параллелограмма?

Площадь любого параллелограмма также можно вычислить, используя длины его диагоналей.

Площадь параллелограмма с использованием диагоналей

Мы знаем, что у параллелограмма две диагонали пересекаются. Предположим, что диагонали пересекаются друг с другом под углом. В этом случае площадь параллелограмма равна:

Площадь параллелограмма с диагоналями \(\ ” {p ”}\) и \(\ ” {q ”}\)\(= \frac12 \times p \times q\sin (x)\)

Узнать о длине окружности здесь

Мы закончили с площадью параллелограмма?

Нет, есть другая формула для вычисления площади параллелограмма, когда высота не задана.

Площадь параллелограмма без высоты

В случае, если высота параллелограмма не известна, то мы можем воспользоваться тригонометрическим понятием, чтобы найти его площадь.

Площадь параллелограмма \(= ab\sin \theta ,\), где \(a\) и \(b\) — длины параллельных сторон, а θ — угол между сторонами параллелограмма.

Есть еще один способ найти площадь параллелограмма или, точнее, площади неправильных четырехугольников.

  1. Определите все стороны неправильной формы. Убедитесь, что все стороны должны быть в одном блоке.
  2. Используйте соответствующий измерительный инструмент и начертите площадь на листе бумаги, используя полученные измерения.
  3. Разделите рисунок на различные фигуры, такие как квадраты, прямоугольники и т. д.
  4. Вычислите площадь каждой фигуры, используя соответствующие формулы. 9\circ }\))
    4. Если один из углов прямой, то и все остальные углы тоже прямые.
    5. Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.
    6. Каждая диагональ делит его на два равных треугольника.

    Типы четырехугольников

    Замкнутая плоская фигура с \(4\) прямыми сторонами называется четырехугольником. На приведенной выше диаграмме показаны некоторые четырехугольники, встречающиеся в нашей повседневной жизни. В этом разделе мы узнаем о свойствах некоторых специальных четырехугольников. Например, прямоугольники, квадраты, ромбы и трапеции.

    Также проверим, являются ли эти четырехугольники параллелограммами или нет, с помощью их свойств.

    Напомним их определения.

    (А)
    Ромб

    Ромб – это параллелограмм с четырьмя равными сторонами.

    Попробуйте вспомнить свойств параллелограмма и связать их со свойствами ромба, указанными ниже:
    1 Все стороны ромба равны. Следовательно, противоположные стороны равны.
    2 Противоположные стороны ромба параллельны. 9\circ }.\)
    Итак, всякая трапеция не может быть параллелограммом.

    Теперь, если мы прочитаем первое свойство трапеции, а именно, у трапеции одна пара противоположных сторон параллельна. И, таким образом, это выделяет трапецию из очереди того, что она не является параллелограммом, потому что параллелограмм имеет две пары параллельных сторон.

    Итак, всякая трапеция не может быть параллелограммом.

    (С) Воздушный змей

    Воздушный змей — это четырехугольник, \(4\) сторон которого можно сгруппировать в \(2\) пары равных сторон, смежных друг с другом. 9о}.\)
    3 Воздушный змей симметричен относительно своей главной диагонали.

    А вот и поворот.

    Прочитайте определение воздушного змея еще раз. Воздушный змей имеет \(2\) пар равных сторон, примыкающих друг к другу. Напротив, параллелограмм также имеет \(2\) пары равных сторон, но вместо того, чтобы быть смежными, они противоположны друг другу.

    Итак, четырехугольник воздушного змея не может быть параллелограммом.

    Диаграмма параллелограмма

    Единица площади параллелограмма

    Площадь параллелограмма — это количество места, которое он занимает или заключает в себе на плоскости. Площадь обычно измеряется в квадратных единицах, таких как квадратные метры, квадратные футы, квадратные дюймы и т. д.

    В этой статье обсуждалось, что параллелограмм представляет собой особый тип четырехугольника с двумя парами параллельных сторон. Противоположные углы имеют одинаковую меру, а противоположные стороны имеют одинаковую длину, а поскольку параллелограмм является фигурой ({2-D}), он имеет площадь и периметр. Также в этой статье приведены различные способы нахождения площади параллелограмма и различные формулы в зависимости от заданных данных. В следующем разделе мы также предоставили решенные примеры и часто задаваемые вопросы по области параллелограмма, которые помогут вам лучше понять концепцию. 92} = 49\)
    \(\Стрелка вправо x = 7\)
    Следовательно, \(3x = 3 \times 7 = 21\)
    Следовательно, основание параллелограмма равно \(21\,{\text{см} }\) и высота \(7\,{\text{см}}\)

    Пример 5: Смежные стороны параллелограмма равны \(5\,{\text{m}}\) и \(4\,{\text{m}}\). сторон равно \(2\, {\text{m}}\), найдите расстояние между меньшими сторонами.
    Решение: Пусть \(ABCD\) — параллелограмм со стороной \({\text{DC=5}}\,{\text{m}}\) и соответствующей высотой \(AE = 2\, {\ текст {м}} \)

    Прилежащая сторона \(AD = 4м\) и соответствующая высота \({CF}{.}\)
    Мы знаем, что площадь параллелограмма \(= Основание \высота\)
    У нас есть две высоты и две соответствующие базы.
    Итак, приравнивая их, получаем
    \({AD} \times {CF} = {DC} \times {AE}\)
    \(4 \times CF = 5 \times 2\)
    \(CF = \left ( {\frac{{5 \times 2}}{4}} \right) = 2,5{\mkern 1mu} \;{\rm{m}}\)
    Следовательно, расстояние между более короткими сторонами равно \(2,5 \, {\текст{м}}\)

      9\circ)}\)
    \(A = 3200 \times \frac{1}{2}\)
    \(A=1600\,{\text{см}}\)

    Резюме

    В этой статье обсуждался параллелограмм, его форма, формула для нахождения площади параллелограмма с решенными примерами. Противоположные углы имеют одинаковую меру, противоположные стороны имеют одинаковую длину, а поскольку параллелограмм является (двумерной) фигурой, он имеет площадь и периметр.
    Также в этой статье приведены различные способы нахождения площади параллелограмма и различные формулы в зависимости от заданных данных. Кроме того, мы обсудили, какие другие четырехугольники обладают теми же свойствами, что и параллелограмм, и подпадают под ту же категорию.

    Часто задаваемые вопросы

    Q.1. Что такое параллелограмм?
    Ответ : Параллелограмм представляет собой четырехстороннюю геометрическую фигуру, состоящую из двух параллельных линий. Противоположные стороны параллелограмма равны по длине, а противолежащие углы равны по размеру.

    Q.2. Диагонали параллелограмма равны?
    Ответ: Да, диагонали параллелограмма равны.

    Q.3. Чему равна площадь формулы параллелограмма?
    Ответ: Параллелограмм – это четырехугольник, образованный двумя парами параллельных прямых одинаковой длины. Площадь параллелограмма – это площадь, занимаемая параллелограммом в \(2 – D\) плоской области.

    Q.4. Что такое периметр параллелограмма?
    Ответ     : Все стороны складываются вместе, чтобы определить периметр параллелограмма. Формула для вычисления периметра любого параллелограмма:
    Периметр = \(2 (a + b)\)

    Q.5. По какой формуле найти площадь параллелограмма?
    Ответ: Существуют различные способы нахождения площади параллелограмма.
    (i)     Первая формула: Через высоту и основание
    Площадь параллелограмма \( = \) основание \( \times \) высота
    (ii) Вторая формула: Через диагонали и угол между ними
    Площадь параллелограмма \( = \;\frac{1}{2} \times \;p\; \times \;q\times\sin\;\left( x \right)\) где, \ (‘p’\) и \(‘q’\) являются диагональными, а \(‘x’\) является мерой угла, образованного при пересечении диагоналей пополам.

    No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *