Решение матрицы методом обратной матрицы онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Матричный метод. Метод обратной матрицы.

Реферат на тему Решение слау методом обратной матрицы»

Готовые работы / Рефераты / Высшая математика / Решение слау методом обратной матрицы

---

Метод обратной матрицы используется при решении систем линейных алгебраических уравнений, если число неизвестных равно числу уравнений.
Пусть задана система  линейных уравнений с  неизвестными:
Эту систему можно записать в виде матричного уравнения ,
где  – матрица системы,
 – столбец неизвестных,
 – столбец свободных коэффициентов.
Из полученного матричного уравнения необходимо выразить . Для этого умножим обе части матричного уравнения слева на , получим:
Так как , то  или .
Далее находится обратная матрица  и умножается на столбец свободных членов .
ЗАМЕЧАНИЕ
Обратная матрица к матрице  существует только при условии, что . Поэтому при решении системы линейных уравнений методом обратной матрицы в первую очередь вычисляется .

Если , то система имеет единственное решение, которое можно найти методом обратной матрицы, если же , то методом обратной матрицы решить эту систему нельзя.
Пример решения методом обратной матрицы
ПРИМЕР 1
Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы
Данная система уравнений может быть записана матричным уравнением
где , , .
Выразив из этого уравнения , получим
Найдем определитель матрицы :
Так как , то система имеет единственное решение, которое можно найти методом обратной матрицы.
Найдем обратную матрицу  с помощью союзной матрицы. Вычислим алгебраические дополнения  к соответствующим элементам матрицы :
Запишем союзную матрицу , составленную из алгебраических дополнений элементов матрицы :
Далее запишем обратную матрицу согласно формуле . Будем иметь:
Умножая обратную матрицу  на столбец свободных членов , получим искомое решение исходной системы:
Пример 2.  Решить систему методом обратной матрицы
Решение. Вычислим главный определитель системы
Следовательно, матрица  невырожденная и обратная к ней матрица существует.  
Найдём алгебраические дополнения всех элементов главной матрицы :  
Запишем алгебраические дополнения в матрицу
Воспользуемся формулами для нахождения решения системы
. Отсюда, x=2, y=0, z=1.
Пример 3. Решить матричным методом систему линейных уравнений:
Решение. Составляем следующие матрицы.
Проверим, не является ли матрица коэффициентов при неизвестных вырожденной:
Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, можем применять матричный метод.
Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:
Находим матрицу неизвестных:
Итак, получили решение:
Таким образом, в работе разобран один из методов решения СЛАУ, а именно, метод обратной матрицы. Метод обратной матрицы (Матричный метод) решения систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы состоит в поиске матрицы, обратной к основной матрице, и умножению ее на матрицу свободных членов.
Использованная литература:
Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010. (Серия «Золотой фонд российских учебников»).
Малугин В. А., Рощина Я. А. Линейная алгебра для экономистов: учебник, практикум и сборник задач для академического бакалавриата — М.: Издательство Юрайт, 2015. (Серия : Бакалавр. Академический курс).
Соловейчик И.Л., Лисичкин В.Т. Математика в задачах с решениями: учебное пособие — СПб.: Лань, 2014.

---

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

1 000 +

Новых работ ежедневно

Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован

107124
рейтинг

2643
работ сдано

1206
отзывов

99791
рейтинг

5212
работ сдано

2341
отзывов

72331
рейтинг

1839
работ сдано

1159
отзывов

62710
рейтинг

1046
работ сдано

598
отзывов

Тип работыВыберите тип работыКонтрольнаяРешение задачКурсоваяРефератОнлайн-помощьТест дистанционноЛабораторнаяЧертежЭссеОтветы на билетыПеревод с ин. языкаДокладСтатьяБизнес-планПодбор литературыШпаргалкаПоиск информацииРецензияДругое

Дмитрий

мгту га

Очень оперативно! Меньше чем за сутки. Цена достойная и выполнен заказ досрочно! Советую!!…

Дмитрий

Томский политехнический университет

С небольшими замечаниями, но зачтено.В доработке не нуждается. Спасибо.

КАМИЛА

МФПУ

МАКСИМ, ЭТО ПРОСТО СУПЕР СУПЕР СУПЕР ЧТО ВЫ МНЕ ОТПРАВИЛИ, ВСЕ ТО ЧТО КАК НАДО БЫЛО.ВАМ ЗА…

Очень оперативно! Меньше чем за сутки. Цена достойная и выполнен заказ досрочно! Советую!!! Спасибо, Елена

---

Дмитрий

мгту га

С небольшими замечаниями, но зачтено.В доработке не нуждается. Спасибо.

---

Дмитрий

Томский политехнический университет

МАКСИМ, ЭТО ПРОСТО СУПЕР СУПЕР СУПЕР ЧТО ВЫ МНЕ ОТПРАВИЛИ, ВСЕ ТО ЧТО КАК НАДО БЫЛО.ВАМ ЗА ЭТУ РАБОТУ 5+ И ДАЖЕ БОЛЬШЕ, ВООБЩЕ Я В ШОКЕ, У МЕНЯ СЛОВ НЕТ ОДНИ ЭМОЦИИ, И Я РАДА И УВЕРЕННА ЧТО СДАМ ЭКЗАМЕН НА 5 (+)!!!!

---

КАМИЛА

МФПУ

Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями.

Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн

только что

только что

только что

1 минуту назад

1 минуту назад

1 минуту назад

2 минуты назад

2 минуты назад

2 минуты назад

3 минуты назад

4 минуты назад

4 минуты назад

4 минуты назад

5 минут назад

5 минут назад

5 минут назад

6 минут назад

7 минут назад

Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

Обратная матрица. Матричный метод решения СЛАУ.

Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: Археология Биология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Техника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ? Влияние общества на человека Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 12Следующая ⇒ Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E: Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам. Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем. Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем): Тогда её можно переписать в матричной форме: , где — основная матрица системы, и — столбцы свободных членов и решений системы соответственно: Умножим это матричное уравнение слева на — матрицу, обратную к матрице : Так как , получаем . Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A: . Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор , действительно обратное правило: система имеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только если . Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма. решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом определяется по формуле . Другими словами, решение СЛАУ находится с помощью обратной матрицы . Мы знаем, что квадратная матрица А порядка n на n имеет обратную матрицу только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Следовательно, СИСТЕМУ n ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С n НЕИЗВЕСТНЫМИ МОЖНО РЕШАТЬ МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ОСНОВНОЙ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ОТЛИЧЕН ОТ НУЛЯ С помощью обратной матрицы найдите решение системы линейных уравнений . Решение.В матричной форме исходная система запишется как , где . Вычислим определитель основной матрицы и убедимся, что он отличен от нуля. В противном случае мы не сможем решить систему матричным методом. Имеем , следовательно, для матрицы А может быть найдена обратная матрица . Таким образом, если мы отыщем обратную матрицу, то искомое решение СЛАУ определим как . Итак, задача свелась к построению обратной матрицы . Найдем ее. Мы знаем, что для матрицы обратная матрица может быть найдена как , где — алгебраические дополнения элементов . В нашем случае Тогда Выполним проверку полученного решения , подставив его в матричную форму исходной системы уравнений . Это равенство должно обратиться в тождество, в противном случае где-то была допущена ошибка. Следовательно, решение найдено верно. Ответ: или в другой записи . ⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒ Читайте также:  Формы дистанционного обучения Передача мяча двумя руками снизу Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте 

Последнее изменение этой страницы: 2017-02-21; просмотров: 706; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь — 161.97.168.212 (0.005 с.)

Рефераты на тему: Написать реферат на тему «решение слау методом обратной матрицы.»

Готовые работы / Рефераты / Высшая математика / Решение слау методом обратной матрицы

---

Метод обратной матрицы используется при решении систем линейных алгебраических уравнений, если число неизвестных равно числу уравнений.
Пусть задана система  линейных уравнений с  неизвестными:
Эту систему можно записать в виде матричного уравнения ,
где  – матрица системы,
 – столбец неизвестных,
 – столбец свободных коэффициентов.
Из полученного матричного уравнения необходимо выразить . Для этого умножим обе части матричного уравнения слева на , получим:
Так как , то  или .
Далее находится обратная матрица  и умножается на столбец свободных членов .
ЗАМЕЧАНИЕ
Обратная матрица к матрице  существует только при условии, что . Поэтому при решении системы линейных уравнений методом обратной матрицы в первую очередь вычисляется . Если , то система имеет единственное решение, которое можно найти методом обратной матрицы, если же , то методом обратной матрицы решить эту систему нельзя.
Пример решения методом обратной матрицы
ПРИМЕР 1
Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы
Данная система уравнений может быть записана матричным уравнением
где , , .
Выразив из этого уравнения , получим
Найдем определитель матрицы :
Так как , то система имеет единственное решение, которое можно найти методом обратной матрицы.
Найдем обратную матрицу  с помощью союзной матрицы. Вычислим алгебраические дополнения  к соответствующим элементам матрицы :
Запишем союзную матрицу , составленную из алгебраических дополнений элементов матрицы :
Далее запишем обратную матрицу согласно формуле . Будем иметь:
Умножая обратную матрицу  на столбец свободных членов , получим искомое решение исходной системы:
Пример 2.   Решить систему методом обратной матрицы
Решение. Вычислим главный определитель системы
Следовательно, матрица  невырожденная и обратная к ней матрица существует.  
Найдём алгебраические дополнения всех элементов главной матрицы :  
Запишем алгебраические дополнения в матрицу
Воспользуемся формулами для нахождения решения системы
. Отсюда, x=2, y=0, z=1.
Пример 3. Решить матричным методом систему линейных уравнений:
Решение. Составляем следующие матрицы.
Проверим, не является ли матрица коэффициентов при неизвестных вырожденной:
Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, можем применять матричный метод.
Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:
Находим матрицу неизвестных:
Итак, получили решение:
Таким образом, в работе разобран один из методов решения СЛАУ, а именно, метод обратной матрицы. Метод обратной матрицы (Матричный метод) решения систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы состоит в поиске матрицы, обратной к основной матрице, и умножению ее на матрицу свободных членов.
Использованная литература:
Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010. (Серия «Золотой фонд российских учебников»).
Малугин В. А., Рощина Я. А. Линейная алгебра для экономистов: учебник, практикум и сборник задач для академического бакалавриата — М.: Издательство Юрайт, 2015. (Серия : Бакалавр. Академический курс).
Соловейчик И.Л., Лисичкин В.Т. Математика в задачах с решениями: учебное пособие — СПб.: Лань, 2014.

---

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

1 000 +

Новых работ ежедневно

Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован

107124
рейтинг

2643
работ сдано

1202
отзывов

99651
рейтинг

5212
работ сдано

2331
отзывов

72331
рейтинг

1839
работ сдано

1152
отзывов

62710
рейтинг

1046
работ сдано

594
отзывов

Тип работыВыберите тип работыКонтрольнаяРешение задачКурсоваяРефератОнлайн-помощьТест дистанционноЛабораторнаяЧертежЭссеОтветы на билетыПеревод с ин. языкаДокладСтатьяБизнес-планПодбор литературыШпаргалкаПоиск информацииРецензияДругое

КАМИЛА

МФПУ

МАКСИМ, ЭТО ПРОСТО СУПЕР СУПЕР СУПЕР ЧТО ВЫ МНЕ ОТПРАВИЛИ, ВСЕ ТО ЧТО КАК НАДО БЫЛО.ВАМ ЗА…

Дмитрий

Томский политехнический университет

Супер. Работа выполнена абсолютно без замечаний и на отлично. Спасибо!!!

Дмитрий

Томский политехнический университет

Ну очень оперативно. Контрольную выполнили быстро, но это никак не отразилось на оценке. С…

МАКСИМ, ЭТО ПРОСТО СУПЕР СУПЕР СУПЕР ЧТО ВЫ МНЕ ОТПРАВИЛИ, ВСЕ ТО ЧТО КАК НАДО БЫЛО.ВАМ ЗА ЭТУ РАБОТУ 5+ И ДАЖЕ БОЛЬШЕ, ВООБЩЕ Я В ШОКЕ, У МЕНЯ СЛОВ НЕТ ОДНИ ЭМОЦИИ, И Я РАДА И УВЕРЕННА ЧТО СДАМ ЭКЗАМЕН НА 5 (+)!!!!

---

КАМИЛА

МФПУ

Супер. Работа выполнена абсолютно без замечаний и на отлично. Спасибо!!!

---

Дмитрий

Томский политехнический университет

Ну очень оперативно. Контрольную выполнили быстро, но это никак не отразилось на оценке. Спасибо вам большое, выручаете уже не в первый раз. Очень отзывчивый и ответственный исполнитель. Всем советую. С наступающим!

---

Дмитрий

Томский политехнический университет

Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн

41 минуту назад

42 минуты назад

43 минуты назад

43 минуты назад

44 минуты назад

44 минуты назад

44 минуты назад

44 минуты назад

44 минуты назад

45 минут назад

45 минут назад

46 минут назад

47 минут назад

47 минут назад

49 минут назад

49 минут назад

50 минут назад

50 минут назад

Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

7.8: Решающие системы с инверсиями

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

15093

• OpenStax
• OpenStax

Цели обучения

• Найдите обратную матрицу.
• Решите систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Нэнси планирует инвестировать \($10 500\) в две разные облигации, чтобы распределить свой риск. Первая облигация имеет годовой доход \(10%\), а вторая облигация имеет годовой доход \(6%\). Чтобы получить \(8,5%\) доход от двух облигаций, сколько Нэнси должна инвестировать в каждую облигацию? Каков наилучший метод решения этой проблемы? Есть несколько способов решить эту проблему. Как мы видели в предыдущих разделах, системы уравнений и матриц полезны при решении реальных проблем, связанных с финансами. После изучения этого раздела у нас будут инструменты для решения проблемы связи с использованием обратной матрицы. 9{−1}\) равно единичной матрице . Единичная матрица представляет собой квадратную матрицу, содержащую единицы по главной диагонали и нули во всех остальных местах. Мы идентифицируем матрицы идентичности \(I_n\), где \(n\) представляет размерность матрицы. Уравнения \ref{eq1} и \ref{eq2} представляют собой единичные матрицы для матрицы \(2×2\) и матрицы \(3×3\) соответственно:

\[I_2=\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix} \label{eq1}\]

\[I_3=\begin{bmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{bmatrix} \label{eq2}\] 9{−1}\) уникален. Мы рассмотрим два метода нахождения обратной матрицы \(2 × 2\) и третий метод, который можно использовать как с матрицами \(2 × 2\), так и с матрицами \(3 × 3\).

Определения: ИДЕНТИЧНАЯ МАТРИЦА И МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ОБРАТНАЯ

Единичная матрица , \(I_n\), представляет собой квадратную матрицу, содержащую единицы по главной диагонали и нули во всех остальных местах.

\[I_2=\begin{bmatrix}1&0 \nonumber \\ 0&1\end{bmatrix}\]

как для единичной матрицы \(2 × 2\)

\[I_3=\begin{bmatrix}1&0&0 \nonumber \\ 0&1&0 \nonumber \\ 0&0&1\end{bmatrix}\]

как для единичной матрицы \(3 × 3\)

Если \(A\ ) является матрицей \(n × n\), а \(B\) является матрицей \(n × n\), такой что \(AB=BA=I_n\), тогда \(B=A−1\), мультипликативная обратная матрица \(A\).

Пример \(\PageIndex{1}\): демонстрация того, что матрица идентичности действует как 1

Для заданной матрицы \(A\) покажите, что \(AI=IA=A\).

\[A=\begin{bmatrix}3&4 \nonumber \\ −2&5\end{bmatrix}\]

Решение

Используйте умножение матриц, чтобы показать, что произведение \(A\) и единичной матрицы равно произведению единичной матрицы и \(A\).

\[\begin{align*} AI&=\begin{bmatrix}3&4 \nonumber \\ −2&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0 \nonumber \\ 0&1\end{bmatrix} \nonumber \\[ 4pt] &=\begin{bmatrix}3⋅1+4⋅0&3⋅0+4⋅1 \nonumber \\ −2⋅1+5⋅0&−2⋅0+5⋅1\end{bmatrix} \nonumber \ \[4pt] &= \begin{bmatrix}3&4 \nonumber \\ −2&5\end{bmatrix} \end{align*}\]

\[\begin{align*} AI&=\begin{bmatrix}1&0 \nonumber \\ 0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&4 \nonumber \\ −2&5\end{bmatrix} \nonumber \\[ 4pt] &=\begin{bmatrix}1⋅3+0⋅(−2)&1⋅4+0⋅5 \nonumber \\ 0⋅3+1⋅(−2)&0⋅4+1⋅5\end{ bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}3&4 \nonumber \\ −2&5\end{bmatrix} \end{align*}\]

Как: Даны две матрицы, показать, что одна из них мультипликативное обратное к другому

• Даны матрица \(A\) порядка \(n × n\) и матрица \(B\) порядка \(n × n\) умножить \(AB\). 9{−1}\).

Пример \(\PageIndex{2}\): демонстрация того, что матрица \(A\) является мультипликативно обратной матрицей \(B\)

Показать, что данные матрицы являются мультипликативно обратными друг другу.

\[A=\begin{bmatrix}1&5 \nonumber \\ −2&−9\end{bmatrix}\]

и

\[B=\begin{bmatrix}−9&−5 \nonumber \\ 2&1 \end{bmatrix}\]

Решение

Умножьте \(AB\) и \(BA\). Если оба произведения равны единице, то две матрицы являются обратными друг другу.

\[\begin{align*} AB &= \begin{bmatrix}1&5 \nonumber \\ −2&−9\end{bmatrix}·\begin{bmatrix}−9&−5 \nonumber \\ 2&1\end{ bmatrix} \nonumber \\[4pt] &=\begin{bmatrix}1(−9)+5(2)&1(−5)+5(1) \nonumber \\ −2(−9)−9(2 )&−2(−5)−9(1)\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &=\begin{bmatrix}1&0 \nonumber \\ 0&1\end{bmatrix} \end{align*}\ ]

и

\[\begin{align*} BA &= \begin{bmatrix}−9&−5 \nonumber \\ 2&1\end{bmatrix}·\begin{bmatrix}1&5 \nonumber \\ −2&− 9\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}−9(1)−5(−2)&−9(5)−5(−9) \nonumber \\ 2(1) +1(−2)&2(−5)+1(−9)\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}1&0 \nonumber \\0&1\end{bmatrix} \end{ align*}\]

\(A\) и \(B\) обратны друг другу.

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Покажите, что следующие две матрицы являются обратными друг другу.

\[A=\begin{bmatrix}1&4 \nonumber \\[4pt] −1&−3\end{bmatrix}\]

и

\[B=\begin{bmatrix}−3&−4 \nonumber \\[4pt] 1&1\end{bmatrix}\]

Ответ

\(\begin{align*} AB&=\begin{bmatrix}1&4 \nonumber \\[4pt] −1&−3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}−3&−4 \nonumber \\[4pt] 1&1 \end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}1(−3)+4(1)&1(−4)+4(1) \nonumber \\[4pt] −1(− 3)+−3(1)&−1(−4)+−3(1)\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}1&0 \nonumber \\[4pt] 0&1\ конец{bmatrix} \конец{выравнивание*}\)

\(\begin{align*} BA&=\begin{bmatrix}−3&−4 \nonumber \\[4pt] 1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&4 \nonumber \\[4pt] −1&−3 \end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}−3(1)+−4(−1)&−3(4)+−4(−3) \nonumber \\[4pt ] 1(1)+1(-1)&1(4)+1(-3)\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}1&0 \nonumber \\[4pt] 0&1\ конец {bmatrix} \ конец {выравнивание *} \)

Нахождение мультипликативного обратного с помощью умножения матриц

Теперь мы можем определить, являются ли две матрицы обратными, но как нам найти обратную данную матрицу? Поскольку мы знаем, что произведение матрицы и ее обратной является единичной матрицей, мы можем найти обратную матрицу, составив уравнение, используя матричное умножение .

Пример \(\PageIndex{3}\): нахождение обратной мультипликативной матрицы с помощью умножения матриц

Используйте умножение матриц, чтобы найти обратную заданную матрицу.

\[A=\begin{bmatrix}1&−2 \nonumber \\[4pt] 2&−3\end{bmatrix}\]

Решение

Для этого метода мы умножаем \(A\) на матрицу, содержащую неизвестные константы, и приравниваем ее к единице.

\(\begin{bmatrix}1&−2 \nonumber \\[4pt] 2&−3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b \nonumber \\[4pt] c&d\end{bmatrix}=\begin{ bmatrix}1&0 \nonumber \\[4pt] 0&1\end{bmatrix}\)

Найдите произведение двух матриц слева от знака равенства.

\[\begin{bmatrix}1&−2 \nonumber \\[4pt] 2&−3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b \nonumber \\[4pt] c&d\end{bmatrix}=\begin{ bmatrix}1a−2c&1b−2d \nonumber \\[4pt] 2a−3c&2b−3d\end{bmatrix}\]

Затем составьте систему уравнений с записью в строке 1, столбце 1 новой матрицы, равной первой записи тождества, \(1\). Установите запись в строке 2, столбце 1 новой матрицы, равной соответствующей записи идентификатора, которая равна \(0\).

\(1a-2c=1\space R_1\)

\(2a-3c=0\space R_2\)

Используя операции со строками, умножьте и сложите следующим образом: \((-2)R_1+R_2\ стрелка вправо R_2\). Сложите уравнения и найдите \(c\).

\[ \begin{align*} 1a−2c &=1 \nonumber \\[4pt] 0+1c &=−2 \nonumber \\[4pt] c=−2 \nonumber \end{align*} \ не число\]

Обратная замена для решения \(a\).

\[ \begin{align*} a−2(−2)&=1 \nonumber \\[4pt] a+4&=1 \nonumber \\[4pt] a&=−3 \nonumber\end{align* } \nonumber\]

Напишите другую систему уравнений, устанавливающую элемент в строке 1, столбце 2 новой матрицы, равный соответствующему элементу тождества, \(0\). Установите запись в строке 2, столбце 2, равной соответствующей записи идентификатора.

\(1b−2d=0\пробел R_1\)

\(2b−3d=1\пробел R_2\)

9{−1}\).

Например, при заданном

\(A=\begin{bmatrix}2&1 \nonumber \\[4pt] 5&3\end{bmatrix}\)

дополнить \(A\) идентификатором

\(\left [ \begin{array}{cc|cc} 2&1&1&0 \\ 5&3&0&1\end{array} \right]\)

Выполнение операций над строками с целью превратить A в тождество.

1. Поменяйте местами ряд 1 и ряд 2.

   \(\left[ \begin{array}{cc|cc} 5&3&0&1 \nonumber \\[4pt] 2&1&1&0\end{array} \right]\)

2. Умножить строку 2 на -2 и прибавить к строке 1.

   \(\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&1&-2&1 \nonumber \\[4pt] 2&1&1&0\end{массив} \right]\)

3. Умножить строку 1 на -2 и прибавить к строке 2.

   \(\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&1&-2&1 \nonumber \\[4pt] 0&-1&5&-2\end{массив} \right]\)

4. Добавить строку 2 к строке 1.

   \(\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&0&3&-1 \nonumber \\[4pt] 0&-1&5&-2\end{array} \right]\) 9{−1}=\begin{bmatrix}3&−1 \nonumber \\[4pt] −5&2\end{bmatrix}\)

   Нахождение мультипликативной обратной матрицы \(2×2\) с помощью формулы

   Когда нам нужно найти мультипликативное обратное матрицы \(2 × 2\), мы можем использовать специальную формулу вместо использования матричного умножения или увеличения на единицу.

   Если \(A\) является матрицей \(2×2\), например,

   \(A=\begin{bmatrix}a&b \nonumber \\[4pt] c&d\end{bmatrix}\)

   мультипликативная обратная \(A\) задается формулой 9{−1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b \nonumber \\[4pt] -c&a\end{bmatrix}\)

   , где \(ad-bc≠0\ ). Если \(ad−bc=0\), то \(A\) не имеет обратного.

   Пример \(\PageIndex{4}\): Использование формулы для нахождения мультипликативной обратной матрицы \(A\)

   Использование формулы для нахождения мультипликативной обратной матрицы

   \[A=\begin{bmatrix} 1&−2 \nonumber \\[4pt] 2&−3\end{bmatrix}\]

   Решение

   Мы можем проверить, что наша формула работает, используя один из других методов для вычисления обратной. Дополним \(A\) тождеством.

   \(\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&-2&1&0 \nonumber \\[4pt] 2&-3&0&1\end{array}\right]\)

   Выполнить рядовые операции с целью поворота \(A\) в тождество.

   1. Умножьте строку 1 на \(−2\) и добавьте к строке 2.

      \(\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&-2&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&1&-2&1\end{массив} \right]\)

   2. Умножить строку 1 на \(2\) и прибавить к строке 1.

      \(\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&0&-3&2 \nonumber \\[4pt] 0&1&-2&1\end{array} \right]\) 9{−1}=\begin{bmatrix}\dfrac{3}{5}&\dfrac{1}{5} \nonumber \\[4pt] −\dfrac{2}{5}&\dfrac{1}{ 5}\конец{bmatrix}\)

      Пример \(\PageIndex{5}\): поиск обратной матрицы, если она существует

      Найдите обратную матрицу, если она существует, данной матрицы.

      \(A=\begin{bmatrix}3&6 \nonumber \\[4pt] 1&2\end{bmatrix}\)

      Решение

      Воспользуемся методом пополнения тождеством.

      \(\left[ \begin{array}{cc|cc} 3&6&1&0 \nonumber \\[4pt] 1&3&0&1\end{массив} \right]\)

      1. Поменяйте местами ряд 1 и ряд 2.

         \(\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&3&0&1 \nonumber \\[4pt] 3&6&1&0\end{массив} \right]\)

      2. Умножьте строку 1 на -3 и добавьте ее к строке 2.

         \(\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&2&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&0&-3&1\end{массив} \right]\)

      3. Больше мы ничего сделать не можем. Нули в строке 2 означают, что эта матрица не имеет обратной.

      Нахождение мультипликативной обратной матрицы \(3×3\)

      К сожалению, у нас нет формулы, похожей на формулу для матрицы \(2×2\), чтобы найти обратную матрицу \(3×3\). Вместо этого мы дополним исходную матрицу единичной матрицей и используем операции со строками, чтобы получить обратную.

      Дана матрица \(3 × 3\)

      \[A=\begin{bmatrix}2&3&1 \nonumber \\[4pt] 3&3&1 \nonumber \\[4pt] 2&4&1\end{bmatrix}\]

      augment \(A\) с единичной матрицей

      \[\begin{array}{c|c}A&I\end{array}=\left[ \begin{array}{ccc|ccc}2&3&1&1&0&0 \nonumber \\[4pt ] 3&3&1&0&1&0 \nonumber \\[4pt] 2&4&1&0&0&1\end{массив} \right]\]

      Для начала запишем расширенную матрицу с единицей справа и \(A\) слева. Выполнив элементарные операций над строками так, чтобы слева оказалась единичная матрица , мы получим обратную матрицу справа. Мы найдем обратную этой матрице в следующем примере.

      Как: Для заданной матрицы \(3 × 3\) найти обратную

      1. Записать исходную матрицу, дополненную единичной матрицей справа. 9{−1}А=I\).

      Пример \(\PageIndex{6}\): нахождение обратной матрицы \(3 × 3\)

      По заданной матрице \(3 × 3\) \(A\) найти обратную.

      \(A=\begin{bmatrix}2&3&1 \nonumber \\[4pt] 3&3&1 \nonumber \\[4pt] 2&4&1\end{bmatrix}\)

      Решение

      Дополнить \(A\) с помощью единичная матрица, а затем начать операции со строками, пока единичная матрица не заменит \(A\). Матрица справа будет обратной \(A\).

      \(\left[ \begin{array}{ccc|ccc}2&3&1&1&0&0 \nonumber \\[4pt] 3&3&1&0&1&0 \nonumber \\[4pt] 2&4&1&0&0&1 \end{array} \right] \xrightarrow{Interchange\space R_2\ пробел и\пробел R_1} \left[ \begin{array}{ccc|ccc}3&3&1&0&1&0 \nonumber \\[4pt] 2&3&1&1&0&0 \nonumber \\[4pt] 2&4&1&0&0&1 \end{array} \right]\)

      \( −R_2+R_1=R_1\стрелка вправо\влево[ \begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-1&1&0 \nonumber \\[4pt] 2&3&1&1&0&0 \nonumber \\[4pt] 2&4&1&0&0&1\end{array} \right]\)

      \(−R_2+R_3=R_3\стрелка вправо \влево[ \begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-1&1&0 \nonumber \\[4pt] 2&3&1&1&0&0 \nonumber \\[4pt] 0&1&0&-1&0&1\end{array } \right]\)

      \(R_2\leftrightarrow R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-1&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&1&0&-1&0&1 \nonumber \\[4pt] 2&3&1&1&0&0 \end{array} \right]\)

      \(−2R_1+R_3=R_3\стрелка вправо \left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-1&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&1&0&-1&0&1 \nonumber \\[4pt] 0&3&1&3&-2&0\end{массив} \right]\) 9{−1} & =\begin{bmatrix}2&3&1 \nonumber \\[4pt] 3&3&1 \nonumber \\[4pt] 2&4&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}−1&1&0 \nonumber \\[4pt] −1&0&1 \ нечисло \\[4pt] 6&−2&−3\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}2(−1)+3(−1)+1(6)&2(1) +3(0)+1(-2)&2(0)+3(1)+1(-3) \не число \\[4pt] 3(-1)+3(-1)+1(6)& 3(1)+3(0)+1(−2)& 3(0)+3(1)+1(−3) \ не число \\[4pt] 2(−1)+4(−1)+ 1(6)& 2(1)+4(0)+1(-2)& 2(0)+4(1)+1(-3)\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}1&0&0&0&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&0&1\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] A^{−1}A &= \begin{bmatrix}−1&1&0 \nonumber \\[4pt] − 1&0&1 \без номера \\[4pt] 6&−2&−3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}&2&31 \без номера \\[4pt] 3&3&1 \без номера \\[4pt] 2&4&1\end{bmatrix} \без номера \\[ 4pt] &= \begin{bmatrix}−1(2)+1(3)+0(2)& −1(3)+1(3)+0(4)& −1(1)+1(1 )+0(1) \не число \\[4pt] −1(2)+0(3)+1(2)& −1(3)+0(3)+1(4)& −1(1) +0(1)+1(1) \не число \\[4pt] 6(2)+−2(3)+−3(2)& 6(3)+−2(3)+−3(4) & 6(1)+−2(1)+−3(1)\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}1&0&0 \nonumber \\[4pt] 0&1&0 \non число \\[4pt] 0&0&1\end{bmatrix} \end{align*}\] 9{−1}=\begin{bmatrix}1&1&2 \nonumber \\[4pt] 2&4&−3 \nonumber \\[4pt] 3&6&−5\end{bmatrix}\)

      Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы

      Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы требует определения двух новых матриц: \(X\) — матрица, представляющая переменные системы , а \(B\) — матрица, представляющая константы. Используя матричное умножение , мы можем определить систему уравнений с тем же количеством уравнений в качестве переменных, что и

      \(AX=B\)

      Чтобы решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы, пусть \(A\) будет матрицей коэффициентов, пусть \(X\) будет переменной матрицей, и пусть \(B \) — постоянная матрица. Таким образом, мы хотим решить систему \(AX=B\). Например, посмотрите на следующую систему уравнений.

      \(a_1x+b_1y=c_1\)

      \(a_2x+b_2y=c_2\)

      Из этой системы матрица коэффициентов равна

      \(A=\begin{bmatrix}a_1&b_1 \nonumber \\[4pt ] a_2&b_2\end{bmatrix}\)

      Переменная матрица

      \(X=\begin{bmatrix}x \nonumber \\[4pt] y\end{bmatrix}\)

      А постоянная матрица

      \(B=\begin{bmatrix }c_1 \nonumber \\[4pt] c_2\end{bmatrix}\)

      Тогда \(AX=B\) выглядит как

      \(\begin{bmatrix}a_1&b_1 \nonumber \\[4pt] a_2&b_2\end{ bmatrix}\begin{bmatrix}x \nonumber \\[4pt] y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_1 \nonumber \\[4pt] c_2\end{bmatrix}\)

      Вспомните обсуждение ранее в этот раздел посвящен умножению действительного числа на его обратное, \((2^{−1}) 2=\left(\dfrac{1}{2}\right) 2=1\). Чтобы решить одно линейное уравнение \(ax=b\) относительно \(x\), мы должны просто умножить обе части уравнения на мультипликативную обратную (обратную) величину \(a\). Таким образом, 9{-1}\right)b \end{align*}\]

      Единственная разница между решением линейного уравнения и системы уравнений, записанной в матричной форме, состоит в том, что найти обратную матрицу сложнее, а матрицу умножение — более длительный процесс. Однако цель та же — изолировать переменную.

      Мы подробно изучим эту идею, но полезно начать с системы \(2 × 2\), а затем перейти к системе \(3 × 3\).

      РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ 9{-1}\right)B \end{align*}\]

      Q&A: Если матрица коэффициентов не имеет обратной, означает ли это, что система не имеет решения?

      Нет, если матрица коэффициентов необратима, то система может быть несовместной и не иметь решения или быть зависимой и иметь бесконечно много решений.

      Пример \(\PageIndex{7}\): Решение системы \(2 × 2\) с помощью обратной матрицы

      Решите данную систему уравнений с помощью обратной матрицы.

      \[\begin{align*} 3x+8y&= 5\\ 4x+11y&= 7 \end{align*}\]

      Решение

      Запишите систему в терминах матрицы коэффициентов, переменной матрицы и постоянная матрица.

      \(A=\begin{bmatrix}3&8 \nonumber \\[4pt] 4&11\end{bmatrix}\), \(X=\begin{bmatrix}x \nonumber \\[4pt] y\end{bmatrix }\), \(B=\begin{bmatrix}5 \nonumber \\[4pt] 7\end{bmatrix}\)

      Затем

      \(\begin{bmatrix}3&8 \nonumber \\[4pt] 4&11 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \nonumber \\[4pt] y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5 \nonumber \\[4pt] 7\end{bmatrix}\) 9{−1}\right)B \\[4pt] \begin{bmatrix}11&−8 \nonumber \\[4pt] −4&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&8 \nonumber \\[4pt] 4&11\ end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \nonumber \\[4pt] y\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}11&−8 \nonumber \\[4pt] −4&3\end{bmatrix}\begin{ bmatrix}5 \nonumber \\[4pt] 7\end{bmatrix} \\[4pt] \begin{bmatrix}1&0 \nonumber \\[4pt] 0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \nonumber \\ [4pt] y\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}11(5)+(−8)7 \nonumber \\[4pt] −4(5)+3(7)\end{bmatrix} \\ [4pt] \begin{bmatrix}x \nonumber \\[4pt] y\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}−1 \nonumber \\[4pt] 1\end{bmatrix} \end{align*} \] 9{−1}\) находился слева от \(A\) с левой стороны и слева от \(B\) с правой стороны. Поскольку умножение матриц не является коммутативным, порядок имеет значение.

      Пример \(\PageIndex{8}\): Решение системы 3 × 3 с помощью обратной матрицы

      Решите следующую систему с помощью обратной матрицы.

      \[\begin{align*} 5x+15y+56z&= 35\\ -4x-11y-41z&= -26\\ -x-3y-11z&= -7 \end{align*}\]

      Решение

      Напишите уравнение \(AX=B\).

      \(\begin{bmatrix}5&15&56 \nonumber \\[4pt] −4&−11&−41 \nonumber \\[4pt] −1&−3&−11\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \nonumber \ \[4pt] y \без номера \\[4pt] z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}35 \без номера \\[4pt] −26 \ без номера \\[4pt] −7\end{bmatrix}\)

      Во-первых, мы найдем обратное \(A\) путем увеличения тождества.

      \(\left[ \begin{array}{ccc|ccc}5&15&56&1&0&0 \nonumber \\[4pt] −4&−11&−41&0&1&0 \nonumber \\[4pt] −1&−3&−11&0&0&1\end{array} \ справа]\)

      Умножить строку 1 на \(\dfrac{1}{5}\).

      \(\left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&3&\dfrac{56}{5}&\dfrac{1}{5}&0&0 \nonumber \\[4pt] −4&−11&−41&0&1&0 \ nonumber \\[4pt] −1&−3&−11&0&0&1\end{array} \right]\)

      Умножить строку 1 на \(4\) и прибавить к строке 2.

      \(\left[ \begin{array }{ccc|ccc}1&3&\dfrac{56}{5}&\dfrac{1}{5}&0&0 \nonumber \\[4pt] 0&1&\dfrac{19}{5}&\dfrac{4}{5} &1&0 \nonumber \\[4pt] −1&−3&−11&0&0&1\end{массив} \right]\)

      Добавить строку 1 к строке 3.

      \(\left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&3&\dfrac{56}{5}&\dfrac{1}{5}&0&0 \nonumber \\[ 4pt] 0&1&\dfrac{19}{5}&\dfrac{4}{5}&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&0&\dfrac{1}{5}&\dfrac{1}{5}&0&1\end{ array} \right]\)

      Умножить строку 2 на \(−3\) и прибавить к строке 1.

      \(\left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&0&-\dfrac{1}{ 5}&-\dfrac{11}{5}&-3&0 \nonumber \\[4pt] 0&1&\dfrac{19}{5}&\dfrac{4}{5}&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&0&\ dfrac{1}{5}&\dfrac{1}{5}&0&1\end{массив} \right]\)

      Умножить строку 3 на \(5\).

      \(\left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&0&-\dfrac{1}{5}&-\dfrac{11}{5}&-3&0 \nonumber \\[4pt] 0&1&\dfrac {19}{5}&\dfrac{4}{5}&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&0&1&1&0&5\end{массив} \right]\)

      Умножить строку 3 на \(\dfrac{1}{5} \) и добавить в строку 1.

      \(\left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-2&-3&1 \nonumber \\[4pt] 0&1&\dfrac{19}{5}&\dfrac{ 4}{5}&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&0&1&1&0&5\end{массив} \right]\) 9{−1}B\):

      \(\begin{bmatrix}−2&−3&1 \nonumber \\[4pt] −3&1&−19 \nonumber \\[4pt] 1&0&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5&15&56 \без номера \\[4pt] −4&−11&−41 \без номера \\[4pt] −1&−3&−11\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \без номера \\[4pt] y \без номера \\ [4pt] z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}−2&−3&1 \nonumber \\[4pt] −3&1&−19 \nonumber \\[4pt] 1&0&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}35 \ нечисло \\[4pt] −26 \нечисло \\[4pt] −7\end{bmatrix}\) 9{−1}B=\begin{bmatrix}−70+78−7 \без номера \\[4pt] −105−26+133 \ без номера \\[4pt] 35+0−35\end{bmatrix}=\begin {bmatrix}1 \nonumber \\[4pt] 2 \nonumber \\[4pt] 0\end{bmatrix}\)

      Решение: \((1,2,0)\).

      Упражнение \(\PageIndex{4}\)

      Решите систему, используя обратную матрицу коэффициентов.

      \[\begin{align*} 2x-17y+11z&= 0\\ -x+11y-7z&= 8\\ 3y-2z&= -2 \end{align*}\]

      Ответ

      \(X=\begin{bmatrix}4 \nonumber \\[4pt] 38 \nonumber \\[4pt] 58\end{bmatrix}\)

      Как: Имея систему уравнений, решить с помощью обратных матриц с помощью калькулятора

      1. Сохраните матрицу коэффициентов и матрицу констант как матричные переменные \([ A ]\) и \([ B ]\).
      2. Введите умножение в калькулятор, вызывая каждую переменную матрицы по мере необходимости.
      3. Если матрица коэффициентов обратима, калькулятор представит матрицу решения; если матрица коэффициентов необратима, калькулятор выдаст сообщение об ошибке.

      Пример \(\PageIndex{9}\): Использование калькулятора для решения системы уравнений с обратными матрицами

      Решение системы уравнений с обратными матрицами с помощью калькулятора

      \[\begin{align*} 2x+ 3y+z&= 32\\ 3x+3y+z&= -27\\ 2x+4y+z&= -2 \end{align*}\]

      Решение

      На странице матрицы калькулятора введите матрица коэффициентов в качестве матричной переменной \([ A ]\), и введите матрицу констант в качестве матричной переменной \([ B ]\). 9{−1}×[B]\)

      Вычислите выражение.

      \(\begin{bmatrix}−59 \nonumber \\[4pt] −34 \nonumber \\[4pt] 252\end{bmatrix}\)

      Media

      Доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики с решения систем с обратными.

      • Матрица идентичности
      • Определение обратных матриц
      • Использование матричного уравнения для решения системы уравнений

      Ключевые уравнения

      Единичная матрица для матрицы \(2 × 2\)	\(I_2=\begin{bmatrix}1&0 \nonumber \\[4pt] 0&1\end{bmatrix}\)
      Единичная матрица для матрицы \(3 × 3\)	\(I_3=\begin{bmatrix}1&0&0 \nonumber \\[4pt] 0&1&0 \nonumber \\[4pt] 0&0&1\end{bmatrix}\)
      Мультипликативная обратная матрица \(2 × 2\)	\(A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b \nonumber \\[4pt] -c&a\end{bmatrix}\), где \(ad- бс≠0\) 9{−1}А=I\). См. пример \(\PageIndex{2}\). Используйте умножение матриц и тождество, чтобы найти обратную матрицу \(2×2\). См. пример \(\PageIndex{3}\). Обратный мультипликатив можно найти по формуле. См. пример \(\PageIndex{4}\). Другой метод нахождения обратного числа — добавление к тождеству. См. пример \(\PageIndex{5}\). Мы можем дополнить матрицу \(3×3\) единицей справа и использовать операции со строками, чтобы превратить исходную матрицу в единицу, а матрица справа станет обратной. См. пример \(\PageIndex{6}\). 9{−1}В\). См. Пример \(\PageIndex{7}\) и Пример \(\PageIndex{8}\). Мы также можем использовать калькулятор для решения системы уравнений с обратными матрицами. См. пример \(\PageIndex{9}\). Эта страница под названием 7.8: Solving Systems with Inverses распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована OpenStax с помощью исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу. Наверх Была ли эта статья полезной? Тип изделия Раздел или Страница Автор ОпенСтакс Лицензия СС BY Версия лицензии 4,0 Программа OER или Publisher ОпенСтакс Показать страницу TOC нет Включено да Теги идентификационная матрица обратная матрица Умножение матриц источник@https://openstax. org/details/books/precalculus Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы | Колледж Алгебра | Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы требует определения двух новых матриц: XXX — матрица, представляющая переменные системы, и BBB — матрица, представляющая константы. Используя матричное умножение , мы можем определить систему уравнений с тем же количеством уравнений в качестве переменных, что и AX=BAX=BAX=B Чтобы решить систему линейных уравнений, используя обратную матрицу , пусть AAA будет матрицей коэффициентов , пусть XXX будет переменной матрицей, а BBB 0 0 матрицей констант. Итак, мы хотим решить систему АКС=ВАХ=ВАХ=В . Например, посмотрите на следующую систему уравнений. a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2\begin{array}{c}{a}_{1}x+{b}_{1}y={c}_{1}\\ {a}_{ 2}x+{b}_{2}y={c}_{2}\end{массив}a1​x+b1​y=c1​a2​x+b2​y=c2​​ Из этой системы матрица коэффициентов равна A=[a1b1a2b2]A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{1}& {b}_{1}\\ {a}_{ 2}& {b}_{2}\end{массив}\right]A=[a1​a2​​b1​b2​] Матрица переменных: X=[xy]X=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]X=[xy​] А постоянная матрица равна B=[c1c2]B=\left[\begin{array}{c}{c}_{1}\\ {c}_{2}\end{array}\right]B =[c1​c2​] Тогда AX=BAX=BAX=B выглядит как [a1b1a2b2] [xy]=[c1c2]\left[\begin{array}{cc}{a}_{1}& {b}_{ 1}\\ {a}_{2}& {b}_{2}\end{массив}\right]\text{ }\left[\begin{массив}{c}x\\ y\end{массив }\right]=\left[\begin{array}{c}{c}_{1}\\ {c}_{2}\end{array}\right][a1​a2​​b1​b2​ ​] [xy​]=[c1​c2​] Вспомните обсуждение ранее в этом разделе относительно умножения действительного числа на его обратное, 9{-1}\right)2=\left(\frac{1}{2}\right)2=1(2−1)2=(21​)2=1 . {-1}\right)b\end{массив} ax=b (a1​)ax= (a1​)b(a−1)ax=(a−1)b[(a−1)a]x=(a−1)b 1x=(a−1)b x=(a−1)b Единственная разница между решением линейного уравнения и системой уравнений , записанной в матричной форме, заключается в том, что нахождение обратной матрицы является более сложным, а умножение матриц является более длительным процессом. Однако цель та же — изолировать переменную. Мы подробно рассмотрим эту идею, но полезно начать с системы 2×22\times 22×2 , а затем перейти к системе 3×33×33×3 . . Общее примечание. Решение системы уравнений с использованием обратной матрицы Дана система уравнений, запишите матрицу коэффициентов AAA , матрицу переменных XXX и матрицу констант BBB . {-1}\right)B\end{массив}(A−1)AX=(A−1)B[(A−1)A]X=(A −1)BIX=(A−1)BX=(A−1)B​ Вопросы и ответы Если матрица коэффициентов не имеет обратной, означает ли это, что система не имеет решения? Нет, если матрица коэффициентов необратима, то система может быть несовместной и не иметь решения или быть зависимой и иметь бесконечно много решений. Пример 7. Решение системы 2 × 2 с использованием обратной матрицы Решите данную систему уравнений, используя обратную матрицу. 3x+8y=54x+11y=7\begin{array}{r}\qquad 3x+8y=5\\ \qquad 4x+11y=7\end{array}3x+8y=54x+11y=7​ Решение Запишите систему в терминах матрицы коэффициентов, переменной матрицы и постоянной матрицы. A=[38411],X=[xy],B=[57]A=\left[\begin{массив}{cc}3& 8\\ 4& 11\end{массив}\right],X=\ влево[\begin{массив}{c}x\\ y\end{массив}\right],B=\left[\begin{массив}{c}5\\ 7\end{массив}\right]A= [34​811​],X=[xy​],B=[57​] Затем [38411] [xy]=[57]\left[\begin{array}{cc}3& 8\\ 4& 11\end{array}\right]\text{ }\left[\begin{array} {c}x\\ y\end{массив}\right]=\left[\begin{массив}{c}5\\ 7\end{массив}\right][34​811​] [xy​]= [57​] 9{-1}\right)B\qquad \\ \left[\begin{array}{rr}\qquad 11& \qquad -8\\ \qquad -4& \qquad 3\end{array}\right]\text{ }\left[\begin{array}{cc}3& 8\\ 4& 11\end{array}\right]\text{ }\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array} \right]=\left[\begin{array}{rr}\qquad 11& \qquad -8\\ \qquad -4& \qquad 3\end{array}\right]\text{ }\left[\begin{array }{c}5\\ 7\end{массив}\right]\qquad \\ \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{массив}\right]\text{ }\ left[\begin{array}{c}x\\ y\end{массив}\right]=\left[\begin{array}{r}\qquad 11\left(5\right)+\left(-8 \right)7\\ \qquad -4\left(5\right)+3\left(7\right)\end{массив}\right]\qquad \\ \left[\begin{array}{c}x \\ y\end{массив}\right]=\left[\begin{array}{r}\qquad -1\\ \qquad 1\end{массив}\right]\qquad \end{массив}(A− 1)AX=(A−1)B[11−4​−83​] [34​811​] [xy​]=[11–4​−83​] [57][10​01​] [ xy​]=[11(5)+(−8)7−4(5)+3(7)][xy​]=[−11​]​ 9{-1}A−1 располагался слева от AAA с левой стороны и слева от BBB с правой стороны. Поскольку умножение матриц не является коммутативным, порядок имеет значение. Пример 8. Решение системы 3 × 3 с использованием обратной матрицы Решите следующую систему, используя обратную матрицу. 5x+15y+56z=35−4x−11y−41z=−26−x−3y−11z=−7\begin{array}{r}\qquad 5x+15y+56z=35\\ \qquad -4x — 11y — 41z=-26\\ \qquad -x — 3y — 11z=-7\end{array}5x+15y+56z=35−4x−11y−41z=−26−x−3y−11z=−7 Решение Напишите уравнение AX=BAX=BAX=B . [51556−4−11−41−1−3−11] [xyz]=[35−26−7]\left[\begin{array}{ccc}5& 15& 56\\ -4& -11& -41 \\ -1& -3& -11\end{массив}\right]\text{ }\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{массив}\right]=\left[ \begin{массив}{r}\qquad 35\\ \qquad -26\\ \qquad -7\end{массив}\right]⎣ ⎡​5−4−1​15−11−3​56− 41−11​⎦ ⎤​ ⎣ ⎡​xyz​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​35−26−7​⎦ ⎤​ Во-первых, мы найдем обратное число AAA путем увеличения тождества. [51556−4−11−41−1−3−11∣100010001]\left[\begin{array}{rrr}\qquad 5& \qquad 15& \qquad 56\\ \qquad -4& \qquad -11& \ qquad -41\\ \qquad -1& \qquad -3& \qquad -11\end{массив}|\begin{массив}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{массив}\ правый]⎣ ⎡​5−4−1​15−11−3​56−41−11​∣100​010​001​⎦ ⎤​ Умножьте строку 1 на 15\frac{1}{5}51​ . [13565−4−11−41−1−3−11∣1500010001]\left[\begin{array}{ccc}1& 3& \frac{56}{5}\\ -4& -11& -41\\ -1& -3& -11\end{массив}|\begin{массив}{ccc}\frac{1}{5}& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{массив}\right]⎣ ⎡​1−4−1​3−11−3​556​−41−11​∣51​00​010​001​⎦ ⎤​ Умножьте строку 1 на 4 и прибавьте ко второй строке. гидроразрыв{19{5}\\ -1& -3& -11\end{массив}|\begin{массив}{ccc}\frac{1}{5}& 0& 0\\ \frac{4}{5}& 1& 0 \\ 0& 0& 1\end{массив}\right]⎣ ⎡​10−1​31−3​556​519​−11​∣51​54​0​010​001​⎦ ⎤​ Добавьте строку 1 к строке 3. [13565011950015∣150045101501]\left[\begin{array}{ccc}1& 3& \frac{56}{5}\\ 0& 1& \frac{19}{5}\\ 0& 0& \frac{1}{5}\end{массив}|\begin{array}{ccc}\frac{1}{5}& 0& 0\\ \frac{4}{5}& 1& 0\\ \ frac{1}{5}& 0& 1\end{массив}\right]⎣ ⎡​100​310​556​519​51​​∣51​54​51​​010​001​⎦ ⎤​ Умножьте строку 2 на −3 и прибавьте к строке 1. [10−15011950015∣−115−3045101501]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -\frac{1}{5}\\ 0& 1& \frac{19}{5}\\ 0& 0& \frac{1}{5}\end{массив}|\begin{массив}{ccc}-\frac{11}{5}& -3& 0\\ \ frac{4}{5}& 1& 0\\ \frac{1}{5}& 0& 1\end{массив}\right]⎣ ⎡​100​010​−51​519​51​∣− 511​54​51​−310​001​⎦ ⎤​ Умножьте строку 3 на 5. [10−1501195001∣−115−304510105]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -\frac{1}{5}\\ 0& 1& \frac{19}{5}\\ 0& 0& 1\end{массив}|\begin{массив}{ccc}-\frac{11}{5}& -3& 0\\ \frac{4}{5}& 1& 0\\ 1& 0& 5\end{массив }\right]⎣ ⎡​100​010​−51​519​1​∣−511​54​1​−310​005​⎦ ⎤​ Умножьте строку 3 на 15\frac{1}{5}51​ и добавьте к строке 1. [10001195001∣−2−314510105]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\ \ 0& 1& \ гидроразрыв{19{5}\\ 0& 0& 1\end{массив}|\begin{массив}{ccc}-2& -3& 1\\ \frac{4}{5}& 1& 0\\ 1& 0& 5\end{массив }\right]⎣ ⎡​100​010​0519​1​∣−254​1​−310​105​⎦ ⎤​ Умножьте строку 3 на −195-\frac{19}{5}−519​ и добавьте к строке 2. [100010001∣−2−31−31−19105]\left[\begin{array} {ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}|\begin{array}{ccc}-2&-3&1\\-3&1&-19\\ 1&0&5\end{ массив}\справа]⎣ 9{-1}B:A-1AX=A-1B: [-2-31-31-19105] [51556-4-11-41-1-3-11] [xyz]=[-2-31 −31−19105] [35−26−7]\left[\begin{array}{rrr}\qquad -2& \qquad -3& \qquad 1\\ \qquad -3& \qquad 1& \qquad -19\\ \ qquad 1& \qquad 0& \qquad 5\end{массив}\right]\text{ }\left[\begin{array}{rrr}\qquad 5& \qquad 15& \qquad 56\\ \qquad -4& \qquad -11& \qquad -41\\ \qquad -1& \qquad -3& \qquad -11\end{массив}\right]\text{ }\left[\begin{массив}{c}x\\ y\\ z\end {массив}\right]=\left[\begin{массив}{rrr}\qquad -2& \qquad -3& \qquad 1\\ \qquad -3& \qquad 1& \qquad -19{-1}B=\left[\begin{array}{r}\qquad -70+78 — 7\\ \qquad -105 — 26+133\\ \qquad 35+0 — 35\end{array}\ right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{массив}\right]A−1B=⎣ ⎡​−70+78−7−105−26+13335 +0−35​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​120​⎦ ⎤​ Решение: (1,2,0)\влево(1,2,0\вправо)(1,2,0) . Попробуйте 4 Решите систему, используя обратную матрицу коэффициентов.  2x−17y+11z=0 −x+11y−7z=8 3y−2z=−2\begin{array}{l}\text{ }2x — 17y+11z=0\qquad \\ \text{ } -x+11y — 7z=8\qquad \\ \text{ }3y — 2z=-2\qquad \end{array} 2x−17y+11z=0 −x+11y−7z=8 3y−2z=−2 Решение Как: Имея систему уравнений, решить с помощью калькулятора обратные матрицы. Сохраните матрицу коэффициентов и матрицу констант как матричные переменные [A]\left[A\right][A] и [B]\left[B\right][B] . Введите умножение в калькулятор, вызывая каждую переменную матрицы по мере необходимости. Если матрица коэффициентов обратима, калькулятор представит матрицу решения; если матрица коэффициентов необратима, калькулятор выдаст сообщение об ошибке. Пример 9. Использование калькулятора для решения системы уравнений с обратными матрицами Решить систему уравнений с обратными матрицами с помощью калькулятора 2x+3y+z=323x+3y+z=−272x+4y+z=−2\begin{array}{l}2x+3y+z=32\ qquad \\ 3x+3y+z=-27\qquad \\ 2x+4y+z=-2\qquad \end{массив}2x+3y+z=323x+3y+z=-272x+4y+z=- 2​ Решение На странице матрицы калькулятора введите матрицу коэффициентов в качестве переменной матрицы [A]\left[A\right][A] и введите константную матрицу в качестве матричной переменной [B]\left[B\right][B] . [A]=[231331241], [B]=[32−27−2]\left[A\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 3& 3& 1\\ 2& 4& 1\end{массив}\right],\text{ }\left[B\right]=\left[\begin{массив}{c}32\\ -27\\ -2\end{массив}\ right][A]=⎣ ⎡​232​334​111​⎦ ⎤​, [B]=⎣ ⎡​32−27−2​⎦ ⎤​ На главном экране калькулятора введите умножение, чтобы получить 9.{-1}\times \left[B\right][A]−1×[B] Оцените выражение. [−59−34252]\left[\begin{array}{c}-59\\ -34\\ 252\end{array}\right]⎣ ⎡​−59−34252​⎦ ⎤​ Лицензии и атрибуты Лицензионный контент CC, конкретное авторство Precalculus. Автор : Колледж OpenStax. Предоставлено : OpenStax. Расположен по адресу : https://cnx.org/contents/[email protected]:1/Preface. Лицензия : CC BY: Attribution Вычисление обратной матрицы с помощью Python — линейная алгебра | Миша Св В этой статье мы обсудим шаги и интуицию для вычисления обратной матрицы и покажем примеры с использованием Python. Содержание Введение Обратная матрица с объяснением Обратная матрица определена Когда существует обратная матрица? Обратная матрица 2×2 Обратная матрица большего размера Обратная матрица в Python Заключение Обратная матрица является важным понятием в линейной алгебре. Его часто можно увидеть во многих уравнениях, и самый простой вариант его использования — помочь найти решение системы линейных уравнений путем обращения матрицы. Мы уже знаем, что представляет собой матрица, поэтому теперь мы можем взглянуть на то, что является ее обратной и как ее вычислить. {-1}. 9{-1} , например: Изображение автора или в нашем случае: Изображение автора Но оказывается, что обратная матрица может существовать не всегда! Обратная матрица матрицы A существует тогда и только тогда, когда выполняются два из следующих условий: Матрица A является квадратной матрицей (2×2, 3×3 и т. д.), где количество строк равно количеству столбцов Определитель матрицы A не равен нулю: det(A) 9{-1} ? В случае матрицы 2×2 все довольно просто: Изображение автора В нашем примере: Изображение автора Теперь мы нашли обратную матрицу A ! Как мы можем проверить, что он работает? Напомним: Изображение автора Мы можем использовать умножение матриц, чтобы проверить наш результат: Изображение автора Мы правильно вычислили обратную матрицу 2×2 A ! Мы также можем представить это графически. Давайте представим матрицу A в декартовом пространстве, где столбцы матрицы станут векторами: Автор Следуя этой логике, обратная матрица тоже будет представлена ​​некоторыми векторами, а они таковы, что если умножить матрицу A (вектор {a_1}, вектор {a_2}) на векторы ее обратной матрицы 9{-1} , результирующие векторы: Изображение автора Изображение автора Теперь так просто вычислить обратную величину для большой матрицы, такой как 3×3 или 5×5? Не совсем. По мере увеличения размера матрицы увеличивается и сложность в смысле количества шагов! Есть несколько примеров вычисления обратных матриц большего размера, таких как 3×3 и 5×5, с использованием исключения Гаусса, которые вы можете найти в Интернете. В целом, для матриц большего размера мы предпочитаем иметь доступ к таким технологиям, как Python, которые позволяют нам получать результаты быстро и эффективно. Чтобы вычислить обратную матрицу в Python, мы будем использовать библиотеку numpy. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт