Формула со степенями: Формулы и свойства степеней

y = y ₀ · e ^{+ r t} .

Аналогичным образом любое экспоненциальное затухание можно записать в виде

y = y ₀  ·  e  ^{−  r t} ,

Пример: Опишите функцию y = 50 долл. США ·  e  ^{0,20  t} словами и нарисуйте его график. Предположим, что t измеряется в годах.

Решение: Это функция экспоненциального роста, выраженная в тарифная форма. Его стоимость составляет 50 долларов в момент времени 0, и он растет со скоростью 20% в год. На приведенном ниже эскизе мы показали, что наклон кривой составляет 0,20 раза. высота в трех разных точках кривой.

Решение: Это экспоненциальная функция затухания, выраженная в постоянная форма времени. Его значение в момент времени 0 равно 100, и оно уменьшается до 37% от своего прежнего значения за любые 1,5 секунды. второй интервал. На рисунке мы показали это для двух разных интервалов.

а) разложиться в 9 раз, а
б) разложиться в 100 раз.

а) Мы хотим изменить основание на 9, поэтому формула выглядит так:

b) Мы хотим изменить основание на 100, поэтому формула выглядит следующим образом:

T = 4,19 секунды.

Пример: Рассмотрим функцию y = 1000 · (1/4)   ^t , что показано на графике ниже:

Использование экспоненциальной формы формулы замены основания и некоторой простой алгеброй эту функцию можно переписать в следующих эквивалентных формах:

Решение:

Все формы имеют основание больше 1, поэтому отрицательный показатель указывает экспоненциальный спад (в отличие от роста). Все формы имеют и с начальным значением 1000.

• Форма (а) показывает, что y уменьшается в 4 раза каждый раз, когда t увеличивается на 1 второй.
• Форма (b) показывает, что y уменьшается в 2 раза каждый раз, когда t увеличивается на 0,5 сек.
• Форма (c) показывает, что y распадается с мгновенной скоростью 138,6% в секунду. (Штриховой треугольник на рисунке показывает, что при начальном значении 1000 этот подразумевает начальный наклон −1386.)
• Форма (d) показывает, что y затухает в e раз (или затухает до 1/ e ≈ 37% от прежнего значения) каждый раз t увеличивается на 0,721 сек. Другими словами, y распадается с постоянной времени 0,721 сек.

Пример: Предположим, что мы положили 1500 долларов на банковский счет, на который начисляются проценты. по ставке 8% в год и постоянно начисляется. (Непрерывное начисление — это еще один способ сказать, что растет экспоненциально. ) Пусть y обозначают сумму денег на счете в любой момент времени t . Тогда y можно выразить в виде скорости

(а) Какая сумма будет на счету в конце 15 месяцев?

(б) Через сколько лет будет 4000$ в аккаунте?

(a) Подставляя t = 15 месяцев = 1,25 года в уравнение и оценка дает

т = 12,26 лет.

(a) Через 15 месяцев на счету осталось $1657,75.

(b) На счету осталось 4000 долларов США через 12,26 лет.

Пример: Сделайте набросок функции экспоненциального затухания y = 45 ·  e  ^{−  t  / 20}

(a) Нарисуйте плавную кривую затухания от левого верхнего угла к правому нижнему. Пометьте оси, но пока не ставьте на них никаких номеров.

(b) Нарисуйте скобки (или просто представьте), чтобы указать, где y имеет 100% (или все) своего начального значения. Затем нарисуйте скобки и повысьте, где и имеют 50% и 25% от своего начального значения. Примерно посередине между 25% и 50% лежит 37%. Помните, что e ^-1 составляет около 37%.

(c) Перемещайтесь на 37%, пока не дойдете до кривой, а затем спускайтесь вниз. Это значение на оси t является постоянной времени. Наша функция имеет постоянную времени 20, поэтому поместите ее на оси t .

(d) Проверка точности: прямая линия с начальным наклоном должна попасть в одно и то же место на оси t .

(e) Завершите график, поставив больше делений и значений на обеих осях.

Анализ экспоненциального роста и спада

1. выбрать нужную форму уравнения,
2. заменить в 2 пунктах и
3. решить получившиеся 2 уравнения для 2 неизвестных, одно из которых является начальным значением а другой — скорость роста или затухания или постоянная времени.

i = i ₀  ·  e  ^{−  t  /  τ}

Решение: Мы объясним два метода решения этой проблемы.

Метод 1: Подставьте значения i и t в 2 данных точках в уравнение. Это дает систему из 2 уравнений с 2 ​​неизвестными. Неизвестными являются i ₀ и τ:

ln(3,222) = 2,85 / τ

τ = 2,436

8,7 = i ₀  ·  e  ^{− 1,25 / 2,436}

i ₀ = 14,5

Метод 2: Этот метод использует тот факт, что экспоненциальная функция затухает на данный коэффициент в данное время в любом месте кривой . Таким образом, для целей для нахождения постоянной времени τ мы можем использовать значение 8,7 как i ₀ , а время разница 4,1 — 1,25 = 2,85 сек. как время, за которое функция затухает до значения 2,7. Подстановка этих чисел в уравнение дает

2,7 = 8,7 ·  e  ^{− 2,85 /  τ}

т = 2,436

8,7 = i ₀  ·  e  ^{− 1,25 / 2,436}

i ₀ = 14,5

Экспоненциальный спад к предельному значению

(a)     y = 5 − 5  e  ^{−  t  / 2}
(b)     y = 5 + 3 e  ^{−  t  / 2}
(c)     y = 5 + 3 e  ^{−  t  / 6}
(d)     y = 5 − 7 e  ^{−  t  / 6}

Эти функции могут описывать температуру охлаждения горячих и холодных напитков нагревание до комнатной температуры. (c) и (d) находятся в контейнерах с лучшей изоляцией. поэтому они дольше нагреваются или охлаждаются. Все эти функции имеют вид

у = у _∞ + а е  ^{−  t  /  τ} 7 ,5 Есть 3 параметра: и _∞  , a и τ. Если мы перенесем y _∞ в левую часть и запишем уравнение как

y − y _∞ = a e  ^{−  t  /  τ} ,

то мы видим, что правая сторона знакомая экспоненциальное затухание в форме постоянной времени, и что разница y от y _∞ равно а , когда t = 0, и что эта разница затухает с постоянной времени τ. Когда t = ∞, тогда y = y _∞ . Потому что есть 3 параметра, мы должны получить значение и в 3 раза, чтобы исправить их.

Рассмотрим два примера. В этом первом примере задано предельное значение, поэтому мы нужно еще 2 балла.

---

Пример: Напряжение в определенной электрической цепи экспоненциально спадает в сторону предельное значение v _∞ = 8,2. Даны две точки на кривой. Кривая может быть описана уравнением вида

v = v _∞ + a e  ^{−  t  /  τ} ,

Рассчитайте значения a и τ.

Решение: Как и в предыдущем примере, есть два метода решения этой задачи.

Способ 1: Замена v _∞ = 8,2 и значения v и t в 2 заданных точках уравнения. Это дает систему из двух уравнений с двумя неизвестными , и τ:

В предыдущем примере мы разделили одно уравнение на другое, чтобы исключить одна из переменных. Здесь мы должны сначала переместить 8.2 влево:

Теперь мы можем разделить уравнения. Мы получаем

0,3226 = e  ^-1,8 / τ

Решение дает τ = 1,591, а обратная замена дает на = -13,18.

Метод 2: В этом методе используется тот факт, что разница v из v _∞ экспоненциально затухает, чтобы сначала найти постоянную времени τ. В первой точке эта разница составляет 6,2, а через 1,8 секунды разница уже 2,0. Подставляя эти значения в форму постоянной времени формулы экспоненциального затухания, y = y ₀   e  ^{−  t  /  τ} , дает

2,0 ​​= 6,2 e  ^{− 1,8 /  τ}

Решение для τ дает

т = 1,591

Теперь найдите значение a , подставив τ, v _∞ и значение t и v в любой из заданных точек уравнения v = v _∞ + a e  ^{−  t  /  τ} . Это снова дает = -13,18.

---

Во втором примере нам даны 3 точки, разделенные равными интервалами времени . Если бы промежутки времени были неравны, результирующая система уравнений могла бы только решать компьютером.

Пример: Кривая справа описывается уравнением

v = v _∞ + a e  ^{−  t  /  τ} ,

Рассчитайте значения v _∞ , a и τ с точностью до 3 значимые фигуры.

Решение: Переместите v _∞ в левую сторону, как мы это делали в предыдущий пример. Затем подставьте значения на и на на 3 заданных балла. Это дает следующую систему из 3 нелинейных уравнений с 3 неизвестными v _∞  , a и τ:

Мы можем исключить из , разделив уравнение (3) на (2) и (2) на (1), чтобы получить:

Теперь мы можем исключить τ, приравняв уравнения (4) и (5). (Обратите внимание, что они равны только потому, что 3 точки были разделены равным промежутком времени. интервалы.) Получаем

После перекрестного умножения мы можем получить v _∞ = 116,45 вольт. Подставляя это обратно в уравнение (4) или (5), мы получаем τ = 8,151 с и подставляя это обратно в уравнение (1), (2) или (3) мы получаем и = 152,9 вольта, поэтому окончательное уравнение до 3 знаков. инжир является

v = 116 − 153 e ^{− t  / 8,15} .

---

Если вы нашли эту страницу в веб-поиске, вы не увидите
Оглавление в рамке слева.
Щелкните здесь, чтобы отобразить его.

Экспоненциальный рост и затухание: примеры, формула и уравнение

Фактор становится экспоненциальным, когда он быстро увеличивает или уменьшает с той же скоростью . В алгебре студенты часто путают показательные уравнения с квадратными уравнениями. В квадратном уравнении указана степень, но его основание не определено:

Уравнение является квадратным, потому что основание ‘x’ не определено, а его степень определена как ‘2’.

Однако в экспоненциальных уравнениях основание дано, но степень не определена:

Уравнение экспоненциальное, поскольку основание равно ‘2’, а степень ‘x’ не определена .

Общее алгебраическое уравнение экспоненциальной функции:

Где a не равно 0, b — основание и положительное действительное число, не равное 1, а x — показатель степени.

Обратите внимание, что основание экспоненциального выражения называется множителем .

3″> Экспоненциальный рост и экспоненциальное затухание — это два типа экспоненциальных функций.

Что такое экспоненциальный рост и затухание?

Экспоненциальный рост имеет место, когда количество вещества увеличивается с одинаковой скоростью в равные промежутки времени.

Примеры включают размножение бактерий, популяции людей и т. д. Однако экспоненциальный распад происходит, когда количество вещества уменьшается с одинаковой скоростью через равные промежутки времени.

Выявление экспоненциального роста и экспоненциального затухания?

Экспоненциальный рост и затухание можно отличить друг от друга или отождествить математически.

Когда a является положительным значением, а ‘b’ является основанием больше 1, то это экспоненциальный рост. Например:

обратите внимание, что b = 2, и 2> 1

или

обратите внимание, что b = 3, и 3> 1

Между тем, когда a положительно и ‘b’ меньше 1, тогда экспоненциальный спад. Например:

» dir=»ltr»> обратите внимание, что b = 0,2 и 0,2 <1

или

обратите внимание, что b = 0,3 и 0,3 <1

Обратите внимание, что в случаях, когда a отрицательно, это не является ни экспоненциальным ростом, ни убыванием.

Примеры экспоненциальных уравнений

Вычислите значение выражения, когда x = 2.

Решения:

Подставьте значение x как 2 в

= 25

Оцените, когда x = 4

Решения:

Замените значение x AS 4 в выражении

. Отзыв о том, что экспоненты должны быть преодолены.

= 810

Графики экспоненциального роста и спада

Представление графиков экспоненциального роста и спада показывает, как выглядит рост или спад. В обоих случаях вы выбираете диапазон значений, например, от -4 до 4. Эти значения будут нанесены на ось x; соответствующие значения y будут рассчитываться с использованием экспоненциального уравнения.

Кроме того, не забывайте, что значение b в экспоненциальном уравнении определяет, происходит ли рост или спад. При b > 1 это рост; а при b < 1 это распад. Чтобы помочь вам запомнить, значение b находится в полужирный во всех уравнениях.

Примеры графиков экспоненциального роста и затухания

Пример 1:

График экспоненциального уравнения кейс.

x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3
y
	. Помните, что Когда x = -4 (обратите внимание, что индексы, показатель степени с отрицательным знаком дает обратное выражение) y = 1/81 Повторите этот шаг для значений x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 и 4, и ваш ответ будет 1/27, 1/9, 1/3, 1, 3, 9 , 27 and 81.
x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3
	1/81	1/27	1/9	1/3	1	3	9	27	81

Вы ​​можете видеть, что значения y увеличиваются слева направо таблицы. Это означает, что было прироста . Продолжайте и постройте график ниже:

График экспоненциального роста для b> 1

07″ _msttexthash=»2615119″> Из графика экспоненциального роста можно наблюдать следующее:

График резко возрастает, когда значение x становится положительным.

Отсечение по оси x отсутствует, поскольку кривая не пересекается с осью x, даже если значения y приближаются к оси x.

Кривая пересекает ось y в точке 1. Таким образом, точка пересечения с осью y равна 1 (где значение x равно 0).

Пример 2:

Постройте график экспоненциального уравнения

Решения:

Не забудьте выбрать диапазон значений координат x, например от -4 до 4 в данном случае.

x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
y

So, we need to solve for the value of y. Напомним, что

При x = -4

(обратите внимание, что индексы, показатель степени с отрицательным знаком дает обратное выражение)

y = 81

Повторите этот шаг для значений x = -3 , -2, -1, 0, 1, 2, 3 и 4, и ваш ответ будет 27, 9, 3, 1, 1/3, 1/9, 1/27 и 1/81.

98..1916 убыль . Это означает, что произошло распадов . Постройте график ниже:

График, показывающий экспоненциальное затухание для b <1

Из графика экспоненциального затухания можно понять следующее:

• Как и на графике роста, здесь нет точки пересечения.
• Кривая пересекает ось y в точке 1, когда x равен 0. Точка пересечения с осью y равна 1.

Давайте построим экспоненциальные графики с функцией для экспоненты.

Если вы выполните все шаги, описанные ранее, ваш график должен выглядеть следующим образом:

График экспоненциального роста для a> 1 и b> 1

Давайте посмотрим на комбинацию экспоненциальных уравнений в график ниже:

График, показывающий возрастающий эффект a = 2 на кривой экспоненциального роста

Вы ​​заметите, что оба уравнения следуют одной и той же схеме возрастания без точек пересечения по оси x, но с точками пересечения по оси y = 1 и 2 в соответствующем уравнении. Это легко заметить, если сравнить таблицы этих уравнений; когда x = 0, y = 1 в первом уравнении и y = 2 во втором уравнении. Также отметим, что кривая была увеличена на коэффициент умножения 2 на кривой .

Мы могли бы провести еще одно сравнение между положительным и отрицательным значением a в уравнении.

Другие

что для положительных значений a значения y положительны (y > 0). Однако когда a отрицательный, y дает отрицательный результат (y <0).

Простые применения экспоненциального роста и затухания

Применяя идею экспоненциального роста и затухания, в общую формулу будут внесены небольшие изменения: фактор или фактор распада . это будет:

b = 1 + r для экспоненциального роста

или

b = 1 — r для экспоненциального затухания

1 представляет 100%, а r представляет скорость увеличения в процентах.

Кроме того, x будет изменен на t , что представляет временной интервал . Таким образом, общее уравнение меняется на:

для экспоненциального роста

или

для экспоненциального затухания

, где y — конечная сумма, a — начальное значение, r — скорость увеличения, t — временной интервал.

Обратите внимание , что выражение 1 + r или 1 — r также называется множителем .

Примеры простых приложений экспоненциального роста и спада значение должно увеличиваться на 25% ежегодно.

а. Выведите экспоненциальную функцию, которая выражает стоимость акций Джеймса через t лет

Решения:

а. Чтобы решить, какую формулу применить, нужно знать, есть ли повышение или понижение ставки. В этом случае увеличение составляет 25%.

Итак, применяем

Определим компоненты формулы

y не дано

a равно 200$

r равно 25% = 0,25

t дано как t

Таким образом,

, таким образом, Джеймс «стоимость акций y через t лет» будет в долларах.

б. Поскольку у нас есть уравнение, выражающее экспоненциальную функцию акций Джеймса за t лет, было бы легко найти стоимость его акций через 6 лет.

Таким образом, t = 6

Подставим значение t на 6 в уравнение:

Тем временем Мэри покупает его акции на 6 лет по цене 1000 долларов . Это ясно показывает, что Джеймс заработал $1000-$763 = $237.

Пример 2:

Говорят, что один паразит удваивается в организме человека каждые шесть месяцев. Если текущая популяция инфицированного человека составляет 100, какова будет популяция этого паразита у человека через два года, если его не лечить?

Решения:

Обратите внимание на то, что это увеличение происходит каждые 6 месяцев. Это означает, что в год она увеличивается в два раза.

Также обратите внимание, что скорость увеличения удваивается, что означает увеличение на 100%.

Помните, что 1 из (1 + r) означает 100%.

Так как паразит удваивается, это означает дополнительное целое увеличение, т.е. 100% + 100%.

b = 1 + r = 1 + 1 = 2

Таким образом,

обратите внимание, что мы имеем произведение 2 и 2, потому что увеличение происходит дважды за два года

Итак, за 2 года паразит в особи увеличился бы со 100 до 1600.

Следовательно, при двукратном увеличении b = 1 + r = 2; аналогично, когда увеличение тройное, b = 3 и так далее.

Частота экспоненциального роста и распада

где n — частота увеличения или уменьшения.

См. Пример 2 о паразитах:

а = 100

r = 2 потому что паразит удваивается

n = 2 прирост происходит каждые 6 месяцев, значит происходит два раза в год

t = 2 года

y = 1630 9002

Давайте посмотрим на обратную ситуацию. Представьте, что этот человек принимал антибиотик, который уменьшал популяцию паразитов наполовину каждые 6 месяцев. Какова будет популяция паразита, если этот человек останется на антибиотике в течение 3 лет?

Решения:

a = 100

r = 0,5, так как паразит уменьшается вдвое

n = 2, так как это сокращение происходит дважды в год (каждые 6 мес.) За 3 года популяция паразита сократилась бы со 100 до примерно 2 особей.

Применение в реальной жизни и примеры экспоненциального роста и распада

Понимание экспоненциального роста и распада имеет несколько повседневных применений. Он применялся при расчете прироста стоимости, амортизации, сложных процентов, периода полураспада элементов и т. д.

Экспоненциальный рост сложных процентов

Где A = сумма инвестиций

P = основная сумма

r = процентная ставка

n = количество начислений процентов

t = продолжительность времени в годах

Из приведенной выше формулы легко увидеть, что сложные проценты являются примером экспоненциального роста.

Рассчитайте окончательную сумму инвестиции в размере 30 000 долларов США на 5 лет с процентной ставкой 8%, начисляемой ежеквартально.

. = 30 000 долларов (1,02)

²⁰

A = 30 000 долларов (1,4859)

A = 44 578 долларов с точностью до доллара.

Когда стоимость продукта падает, говорят, что он обесценился. Однако, если стоимость продукта повышается, мы говорим, что он подорожал. Принцип экспоненциального затухания применяется при обесценивании и удорожании. Вы должны использовать формулу:

для амортизация

V = текущая стоимость продукта

r = норма

n = продолжительность времени в годах

или

для оценки ; но A = оцененная сумма

В 2016 году Imisi купила грузовик Toyota Tundra за 34 000 долларов США с годовой нормой амортизации 20%. Сколько будет стоить грузовик Имиси в 2021 году?

Решения:

V = 34 000 долл. США

R = 20% = 0,2

n = 2021 — 2016 = 5 лет

A = 34 000 долл.

A =

долларов

A = 34 000 долларов (0,3277)

A = 11 141 долларов с точностью до доллара.

Рост и спад – основные выводы

• Экспоненциальный рост и спад позволяют найти скорость быстрого увеличения или уменьшения.
• Общая алгебраическая формула для экспоненциального роста и затухания:
• b = 1 + r при экспоненциальном росте, а b = 1 — r при экспоненциальном затухании.
• При экспоненциальном росте b > 1, а a — положительное число. Но при экспоненциальном распаде b <1, а a — положительное число.
• Экспоненциальный рост применяется в реальной жизни для расчета сложных процентов, прироста популяции людей и паразитов.
• Экспоненциальный распад применяется для определения амортизации, периода полураспада элементов, а также продолжительности жизни организмов.

Калькулятор экспоненциального роста.0112

Как найти момент, когда начальная величина достигает заданного значения

Может ли время быть отрицательным?

Альтернативный способ записи уравнения экспоненциального роста

Пример использования формулы экспоненциального убывания

Что, если времени совсем нет?

Как различные темпы экспоненциального роста влияют на рост

Каково реальное применение экспоненциального роста?

Каталожные номера

Часто задаваемые вопросы

Существует значительное количество процессов, для которых можно использовать этот калькулятор экспоненциального роста. Общее эмпирическое правило состоит в том, что формула экспоненциального роста :

x(t) = x 0 * (1 + r/100) t

используется, когда имеется величина с начальным значение, x ₀ , которое изменяется во времени, t, с постоянной скоростью изменения, r. Показательная функция, фигурирующая в приведенной выше формуле, имеет основание, равное 1 + r/100.

Обратите внимание, что скорость экспоненциального роста , r , может быть любым положительным числом, но этот калькулятор также работает как калькулятор экспоненциального затухания , где r также представляет скорость затухания, которая должна быть между 0 и -100 %. Причина этого в том, что у вас не может быть снижения более чем на 100% по отношению к начальному количеству, так как это приведет к отрицательному значению.

Уравнение экспоненциального роста используется при радиоуглеродном датировании, ПЦР (вы можете узнать почему с помощью нашего калькулятора температуры отжига), а также при расчете сложных процентов. Чтобы узнать больше, воспользуйтесь нашим калькулятором сложных процентов. Дополнительные примеры того, где вы можете использовать эту формулу, см. ниже.

Как рассчитать экспоненциальный рост

Рассмотрим следующую задачу: население небольшого города на начало 2019 года составляло 10 000 человек. Было замечено, что население города растет стабильными темпами на 5% в год. Что вы должны сделать, чтобы рассчитать прогнозируемую численность населения человека в 2030 году? Из приведенных данных мы можем сделать вывод, что начальное значение популяции, x ₀ , равно 10 000 . Так же имеем темп роста r = 5% .

Следовательно, мы должны использовать формулу экспоненциального роста:

x(t) = 10 000 * (1 + 0,05) t = 10 000 * 1,05 t .

Здесь t — количество лет, прошедших с 2019 года. В нашем случае для 2030 года мы должны использовать t = 11 , так как это разница в количестве лет между 2030 годом и исходным 2019 годом. Наконец , получаем:

х (11) = 10 000 * 1,05 11 = 17 103 .

Итак, прогнозируемое количество жителей нашего небольшого города в 2030 году составляет около 17 103 человек.

Если вы хотите немного углубиться в эту конкретную формулу, вы можете использовать наш калькулятор экспоненциального роста, чтобы узнать прогнозируемое количество жителей для каждого года , начиная с 2019 года. Результатом этого расчета является следующая таблица, где мы округлить результат до ближайшего целого числа:

год	т	х(т)
2019	0	10 000
2020	1	10 500
2021	2	11 025
2022	3	11 576
2023	4	12 155
2024	5	12 763
2025	6	13 401
2026	7	14 071
2027	8	14 775
2028	9	15 513
2029	10	16 289
2030	11	17 103

Если вы хотите получить еще более полное представление о приросте населения, вы можете представить эти данные графически, с горизонтальной осью, представляющей собой ось времени, и вертикальной осью, представляющей значение численности населения x(t). Данные из таблицы — это все точки, лежащие на непрерывном графике экспоненциальной функции роста :

x(t) = 10 000 * 1,05 t .

Поскольку основание этой экспоненциальной функции равно 1,05 и больше 1, получаемый нами график экспоненциального роста растет. Основное отличие этого графика от графика нормальной экспоненциальной функции состоит в том, что его точка пересечения по оси y равна не 1, а 10 000, что соответствует начальному значению x ₀ :

Пример графика экспоненциального роста — численность населения

Из этого примера мы можем увидеть возможные ограничения модели экспоненциального роста — нереалистично, чтобы скорость роста оставалась постоянной во времени . А именно, трудно ожидать, что ежегодный прирост населения города будет оставаться на уровне 5% в течение десятилетия или более.

В реальных жизненных ситуациях имеют место естественные колебания скорости роста, которые не учитываются в этой модели экспоненциального роста. Более реалистичной моделью роста населения является модель логистического роста , которая имеет пропускную способность , константу, представляющую предел естественного роста населения .

Как найти момент, когда начальное количество достигнет заданного значения

Продолжая наш маленький город, следующий вопрос, который вы можете задать себе, это «когда мы можем ожидать, что население достигнет некоторого важного значения ?» Это полезно, если вы хотите знать, когда скорректировать городское планирование для увеличения населения, поэтому городскому совету необходимо знать, в каком году они могут ожидать, что население города утроится по сравнению с первоначальными 10 000 человек?

Здесь мы знаем, сколько будет x(t), но не знаем значение t, когда это произойдет. Давайте сделаем это шаг за шагом:

1. Подставить x(t) = 30 000 в формулу:
   30 000 = 10 000 * 1,05 t

2. После деления обеих частей уравнения на 10000 получаем:
   1,05 t = 3 .

3. Возьмем логарифм по основанию 1,05 обеих частей этого уравнения:
   t = log 1,05 3 .

4. Используйте калькулятор логарифмов, чтобы окончательно получить:
   t = 22,52 .

Итак, ответ на вопрос совета примерно через 22 года после начального года 2019 года, поэтому в 2041 году:

Пример графика экспоненциального роста — численность населения

Может ли время быть отрицательным?

Вы, возможно, уже заметили проблему экспоненциального роста и затухания, которая естественным образом рассматривает время только как положительную величину, поэтому мы предсказываем будущую величину. Однако это не мешает нам использовать эту формулу с отрицательные значения времени . Это означает, что мы описываем интересующее явление во времени до того, как было сделано первоначальное наблюдение .

В случае роста населения вы можете задать вопрос: каково было население нашего маленького города в 2000 году, если предположить, что темпы роста населения составляли постоянных 5%?

Чтобы решить это, вы должны использовать t = -19, поскольку 2000 год предшествует 2019 году на 19 лет. Таким образом, ответ будет

x(-19) = 10 000 * 1,05 -19 = 3,957

жителей, как вы также можете видеть на этом графике:

уравнение экспоненциального роста

Для некоторых приложений, например, при расчете экспоненциального распада радиоактивного вещества , более продуктивным является альтернативный способ записи формулы экспоненциального роста и распада:

х(т) = х 0 * е к*т .

Коэффициент k играет роль скорости роста, подобно тому, как r играет роль в исходной формуле экспоненциального роста. Сравнивая вышеприведенное уравнение с исходным, можно увидеть, что отношение между r и k выглядит следующим образом:

1 + r/100 = e k , что означает

r = 100 * (e k - 1) и k = ln(1 + r/100) .

Пример использования формулы экспоненциального распада

Радиоактивный распад является хорошо известным примером использования формулы экспоненциального распада. Для данного начального количества радиоактивного вещества можно записать закон, управляющий его распадом с течением времени. Но, может быть, более забавный пример — измерить , сколько кофе остается в вашем теле в 22:00, если вы выпили чашку кофе с x ₀ = 95 мг кофеина в полдень.

Мы будем использовать тот факт, что период полураспада кофеина в организме человека составляет примерно шесть часов . Период полураспада определяется как время, необходимое данному количеству, чтобы уменьшиться до половины его первоначального значения. Итак, в этом примере у нас есть

x (6) = 1/2 * 95 мг = 47,5 мг .

Здесь будет проще использовать альтернативное обозначение формулы экспоненциального роста:

x(t) = 95 * e k*t .

Вот пошаговый расчет:

1. Подставить x(6)= 47,5 и t = 6 в уравнение:
   47,5 = 95 * е 6к .

2. Это выражение после деления обеих частей уравнения на 95 и применения натурального логарифма дает:
   6*k = ln 0,5 .

3. С помощью калькулятора натуральных логарифмов получаем:
   k = -0,1155 .

4. Следовательно, формула экспоненциального распада в нашем примере:
   x(t) = 95 * e -0,1155 * t .

5. Поскольку 22:00 на десять часов позже полудня, мы хотим узнать количество кофеина в 9:00.0272 т = 10 . У нас есть:
   x (10) = 95 * e -0,1155 * 10 = 29,9305 .

Итак, в 22:00 количество кофеина, оставшееся в вашем организме, будет примерно 30 мг .

Что делать, если совсем нет времени?

Время может быть выражено практически в любых подходящих единицах измерения. Для одних задач это будут секунды, для других годы. Вы должны выбрать единицу времени так, чтобы она соответствовала характеру наблюдаемого процесса . Например, если вы хотите понять изменение численности населения города, вам следует выбрать годы. С другой стороны, если вы собираетесь рассчитать количество кофе, оставшегося в вашем теле после того, как вы выпили его чашку, подходящей единицей времени должны быть часы или, может быть, минуты.

Обратите внимание, что t не обязательно рассматривать только как время. В некоторых случаях переменная, которая измеряет скорость изменения, может отличаться от времени . Например, при изучении того, как атмосферное давление изменяется с высотой, переменной, измеряющей это изменение, является расстояние, и вы должны выбрать метры в качестве соответствующих единиц изменения.

Как различные скорости экспоненциального роста влияют на рост

Разница в скорости экспоненциального роста r будет иметь значительное влияние на то, как быстро наблюдаемая величина изменяется от начального значения. Начнем с x ₀ = 100 и, используя калькулятор экспоненциального роста, посмотрим, чему будет равен x(10) для четырех различных значений r:

r	х 0	х (10)
1%	100	110,5
3%	100	134,4
5%	100	162,9
10%	100	259,4

Из этой таблицы мы видим, что все начальные значения одинаковы, равны x ₀ = 100, но конечные значения x(10) существенно различаются. Ваша интуиция может обмануть вас здесь потому что разница между 1% и 3% не выглядит большой, но после десяти периодов это составляет на 21,67% более высокое значение x(10) для 3%-го роста по сравнению с 1%-рост.

Если вы сравните 10-процентный рост с 5-процентным ростом, вы заметите еще большую разницу, 590,23% в пользу 10%-го роста. Вы можете наблюдать этот контраст в следующем графическом представлении четырех функций экспоненциального роста:

Сравнение экспоненциального роста с различными темпами роста

Каково реальное применение экспоненциального роста?

Формула экспоненциального роста и распада используется для моделирования различных явлений реального мира :

• рост популяций бактерий, вирусов, растений, животных и людей
• распад радиоактивного вещества
• концентрация наркотиков в крови
• атмосферное давление воздуха на определенной высоте
• сложные проценты и экономический рост
• радиоуглеродное датирование
• вычислительная мощность компьютеров и т. д.

💡 А знаете ли вы, что…

можно проверить, подчиняется ли набор чисел формуле экспоненциального роста, используя известный закон Бенфорда ?

Каталожные номера

Как растет население: экспоненциальные и логистические уравнения

Две модели роста населения

Население мира не росло экспоненциально по крайней мере полвека

Экспоненциальный рост населения

Влияние кофеина на сон Прием кофеина 90 0, 3 или 6 часов перед сном

Часто задаваемые вопросы

Как рассчитать экспоненциальный рост?

Экспоненциальный рост описывается формулой:

Xₜ = X₀ × (1 + r/100)ᵗ

где Xₜ количество в момент времени t , X₀ это начальное значение,

r это скорость изменения.

В чем разница между экспоненциальным и линейным ростом?

Экспоненциальный рост происходит путем умножения начального значения на некоторый постоянный коэффициент на каждом временном шаге. Линейный рост означает, что мы добавляем одинаковое количество на каждом временном шаге.

Как рассчитать экспоненциальное затухание?

Exponential decay is given by the formula:

Xₜ = X₀ × exp(μt)

where Xₜ is the quantity at time t , X₀ is the initial quantity, and μ — постоянная распада.

Мирослав Еркович, PhD

Исходное значение x₀

Скорость изменения r

%

Истекшее время t

Конечное значение x(t)

Ознакомьтесь с 14 похожими калькуляторами экспонент и логарифмов 🇪

AntilogИзменение основной формулыКонденсированные логарифмы… Еще 11

Экспоненциальный рост и распад: график, формула, примеры

Вы, наверное, знаете, что бактериальная колония растет экспоненциально. Но что это значит? Экспоненциальный рост означает удвоение количества каждую секунду, каждый час или день в зависимости от независимых и зависимых переменных. Например, математическое выражение экспоненциального роста колонии через t часов задается как y(t):

dy / dt = 2y

Это уравнение первого порядка, показывающее экспоненциальный рост любой величины.

Показательная функция — определение

Показательная функция — это функция, в которой показатель степени является переменной, основание положительно и не эквивалентно единице. F (x) =4x, например, является экспоненциальной функцией, поскольку показатель степени является фиксированной константой, а не изменяемой величиной. f (x) = x3 является фундаментальной полиномиальной функцией, а не экспоненциальной функцией. Экспоненциальные функции имеют непрерывные изогнутые графики, которые никогда не достигают горизонтальной асимптоты. Несколько практических явлений управляются логарифмическими или экспоненциальными функциями.

Экспоненциальный рост

Экспоненциальный рост — это математическое преобразование, которое неограниченно растет с использованием экспоненциальной функции. Произошедший сдвиг может быть как положительно, так и отрицательно направлен. Ключевой предпосылкой будет то, что скорость изменений увеличивается. Когда популяции развивающихся микроорганизмов, а также любая расширяющаяся популяция любого вида не связаны ограничениями окружающей среды, такими как доступное пространство и питание, их можно описать как экспоненциальную функцию роста. Еще одним применением экспоненциальной функции роста является рост сбережений со сложными процентами.

Экспоненциальное затухание

Экспоненциальное затухание происходит в математических функциях, когда скорость, с которой происходят изменения, уменьшается и, таким образом, должна достигать ограничения, которое является горизонтальной асимптотой экспоненциальной функции. Асимптота — это положение на оси абсцисс, при котором скорость изменений приближается к нулю. Экспоненциальное затухание можно наблюдать в различных системах. Восстановление радиоактивных частиц по мере их деления и распада на некоторые другие атомы следует экспоненциальной кривой затухания. Горячий предмет начинает охлаждаться до постоянной температуры окружающей среды, или тепло холодного предмета будет демонстрировать экспоненциально спадающую кривую. Экспоненциальное затухание можно использовать для определения разрядов электрического конденсатора через сопротивление.

Формула экспоненциального роста и распада

Формула экспоненциального роста используется для нахождения сложных процентов, нахождения времени удвоения и нахождения прироста населения.

Экспоненциальный рост определяется выражением,

f (x) = a (1 + r) ^x

Где, f (x) = функция экспоненциального роста

a = начальная сумма

r = скорость роста

x = количество временных интервалов 

При экспоненциальном росте количество увеличивается сначала медленно, а затем очень быстро. Скорость изменений увеличивается с течением времени. Следовательно, график экспоненциального роста может быть описан как

Сумма падает постепенно, затем следует быстрое снижение скорости изменения и со временем увеличивается. Формула экспоненциального затухания используется для определения уменьшения роста. Формула экспоненциального распада может принимать одну из трех форм:

f (x) = ab ^x

f (x) = a (1 – r) ^x

P = P ₀ e ^{-k t}

Где,

a (или) P ₀ = начальное количество

b = коэффициент затухания

e = постоянная Эйлера

r = скорость затухания (для экспоненциального затухания)

k = константа пропорциональности

x (или) t = временные интервалы (время может быть в годах, днях, (или) месяцах, что угодно должны быть последовательными на протяжении всей задачи).

При экспоненциальном распаде величина сначала убывает очень быстро, а затем медленнее. Скорость изменений со временем снижается. Скорость распада становится медленнее с течением времени. Следовательно, график экспоненциального затухания обозначается как

Понимание графика экспоненциального роста и спада

График экспоненциального роста и спада нелинейный. В прямолинейном графике скорость изменения постоянна, чего нельзя сказать о функциях экспоненциального роста и затухания. Следовательно, экспоненциальный график роста и спада не является прямой линией.

Обратите внимание на графики, основанные на функциональных значениях a и b.

х	у = f (х)
-2	2 -2 = ¼
-1	2 -1 = ½
0	2 0 = 1
1	2 1 = 2
2	2 2 = 4
3	2 3 = 8

Features of the exponential growth and decay graph

• The domain все действительные числа.
• Диапазон состоит из всех положительных действительных чисел (не нуля).
• График имеет точку пересечения с точкой Y (0,1). Помните, что любое число в нулевой степени равно 1.
• Когда b > 1, график увеличивается. Чем больше основание b, тем быстрее график поднимается слева направо.
• При 0 < b < 1 график уменьшается.
• Имеет асимптоту (линию, к которой график подходит очень, очень близко, но никогда не пересекает и не касается). Для этого графика асимптотой является ось x (y = 0).

Как рассчитать экспоненциальный рост или скорость спада?

Формула экспоненциального роста и убывания:

y = a b ^x

Где a ≠ 0, основание b ≠ 1, а x — любое действительное число

A показать начальное целое число в этой функции, например начальная популяция или начальная доза.

Фактор роста или спада представлен параметром b. Если b больше единицы, функция указывает на экспоненциальный рост. Если функция 0 < b < 1, она изображает экспоненциальное снижение.

Если вам дан процент роста или спада, и говорят, что он вычисляет коэффициент роста/спада, прибавьте или вычтите процент, выраженный в десятичной форме, от 1.

Обычно, если r является десятичным представлением коэффициента роста или затухания, тогда:

b = 1 – r Коэффициент затухания

b = 1 + r Коэффициент роста

Переменная x обозначает, во сколько раз умножается коэффициент роста/затухания.

Экспоненциальные задачи роста и убывания слов

Пример 1: период полураспада углерода-14 составляет 5730 лет. Найдите модель экспоненциального распада углерода-14. Пожалуйста, округлите ответ до ближайшего десятичного знака.

Решение: Используйте формулу экспоненциального распада

P = P ₀ / 2 = половина исходного количества углерода при t = 5, 730,

P ₀ /2 = P ₀ E ^{— K} (5730)

Разделите обе стороны на P ₀

0,5 = E ^{— K} (5730)

. обе стороны,

ln 0,5 = -5730k

Разделите обе стороны на -5730,

k = ln 0,5 / (-5730) ≈ 1,2097

Экспоненциальная модель распада углерода-14 P = P 3 0 e ^{– 1,2097k}  

Пример 2. Эндрю потратил 350 000 долларов на новый диван. Стоимость дивана падает в геометрической прогрессии со скоростью 5% каждый год. Итак, сколько стоит диван через два года? Пожалуйста, округлите ответ до ближайшего десятичного знака.

Решение: Начальная стоимость дивана = 350 000 долларов

Скорость распада r = 5% = 0,05

Время t = 2 года

Используйте формулу экспоненциального распада,

A = 350000 x (1 – 0,05)2

A = 315 875

Стоимость дивана через 2 года = 315 875 долларов

Пример 3: Мария заплатила около 20 000 долларов за модный бумажник. Стоимость кошелька уменьшается экспоненциально (амортизируется) со скоростью 8% в год. Итак, какова стоимость кошелька через 5 лет? Дайте ответ с точностью до десятых.

Решение: Начальное значение P = 20 000 долларов.

Скорость распада r = 8% = 0,08.

Время t = 5 лет.

Используйте формулу экспоненциального распада:

A = P (1 – r) ^t

A = 20000 x (1 – 0,08) ⁵ = 13181,63

Стоимость бумажника через 1,6,1 8,3 года.

Часто задаваемые вопросы об экспоненциальном росте и спаде

Q1. Какова скорость убывания экспоненциальной функции?

Формула экспоненциального затухания: f(x) = ab ^x , где b обозначает коэффициент затухания. В экспоненциальной функции затухания скорость затухания представлена ​​в виде десятичной дроби. Скорость затухания выражается в процентах. Мы преобразуем его в десятичное число, просто уменьшив процент и разделив его на 100. Затем рассчитаем коэффициент затухания b = 1-r. Например, если скорость затухания составляет 25%, скорость затухания экспоненциальной функции равна 0,25, а коэффициент затухания b = 1-0,25 = 0,75.

Q2. Что такое формула экспоненциального распада?

Сумма постепенно уменьшается на заданный процент в регулярные периоды времени. Формула экспоненциального затухания используется для определения этого уменьшения роста.

f(x) = a (1 – r) ^x является общей формой.

Где,

a = начальное значение

r = скорость затухания

x = период времени

Q3. Нужен ли нам калькулятор экспоненциального роста и распада?

Калькулятор экспоненциального роста и затухания полезен, когда нам нужно выполнить быстрые вычисления в обобщенном виде. Однако вы не должны использовать его часто, так как это может повлиять на вашу скорость вычислений для решения задач. Вы должны практиковать экспоненциальный рост и распад слов на ручке и бумаге, чтобы улучшить свое понимание.

Q4. Насколько эффективно практиковаться на листах экспоненциального роста и распада?

Рабочий лист экспоненциального роста и затухания отвечает на три вопроса для каждой задачи экспоненциального роста и затухания: представляет ли эта функция экспоненциальный рост и затухание, каково ваше начальное значение и какова скорость роста или скорость затухания для данной задачи. Если эти ответы известны, то вы можете справиться с любой проблемой экспоненциального роста и распада.

Формула экспоненциальной функции Алгебра, в двух словах, — это изучение математических символов и правил обращения с этими символами в формулах, это общая нить, пронизывающая практически всю математику.

Экспоненциальная функция

Экспоненциальная функция — это математическая функция вида f (x) = a ^x , где «x» — переменная, а «a» — последовательность. чем 0. Трансцендентное большое разнообразие e, примерно такое же, как 2,71828, является наиболее часто используемым базисом экспоненциальной функции.

Например,

• f(x) = 2 ^x
• f(x) = (1/2) ^x
• f(x) = 3e ^{2x 900 = 4 (3) -0,5x}

Формула экспоненциального роста:

Сначала количество растет очень медленно, затем быстро экспоненциально. Со временем скорость изменений ускоряется. С течением времени скорость роста ускоряется. Быстрое расширение описывается как «экспоненциальное увеличение».

Формула экспоненциального роста: . Скорость изменений со временем замедляется. Скорость изменений замедляется с течением времени. Предполагалось, что быстрый рост приведет к «экспоненциальному спаду».

Формула экспоненциального роста выглядит следующим образом:

y = a ( 1- r ) ^x

Экспоненциальный ряд

• Для определения действительной экспоненциальной функции можно использовать следующий степенной ряд.

e ^x = ∑ ^∞ _n=0 x ⁿ /n! = (1/1) + (x/1) + (x ² /2) + (x ³ /6) + …

• Некоторые другие разложения экспоненциальных функций показаны ниже,

е = ∑ ^∞ _n=0 x ⁿ /n! = (1/1) + (1/1) + (1/2) + (1/6) + …

e ^-1 = ∑ ^∞ _n=0 x ⁿ / н! = (1/1) – (1/1) + (1/2) – (1/6) + …

Правила экспоненциальной функции

Ниже приведены некоторые важные экспоненциальные правила:

Для любых действительных чисел x и y, если a>0 и b>0, верно следующее:

• a ^x a ^y = a ^x+y
• A ^x /A ^Y = A ^X-Y
• (A ^x ) ^Y = A ^XY
• A ^{X B /x = x = x} = x ^{= x = x = x = x = x = x = x = x = = x}
• A ^{x B.}
• (A/B) ^x = A ^x /B ^x
• A ⁰ = 1
• A ^-X = 1/A ^x
= 1/A ^x
• = 1/A ^x

= 1/A ^x

79 = 1/A ^x 9