Урок «Применение формул сокращенного умножения в преобразованиях алгебраических дробей»
Журкина Алена Владимировна
8 класс
Тема урока. Применение формул сокращенного умножения в преобразованиях алгебраических дробей.
Цель урока: повторить технику применения формул сокращенного умножения в ходе преобразования дробей.
Задачи урока:
Повторить и закрепить знания по теме «Формулы сокращенного умножения»;
Развивать познавательный интерес к предмету;
Формировать умение преодолевать трудности при выполнении заданий;
Формировать навыки самоконтроля; аналитической деятельности;
Готовить учащихся к региональному экзамену; ГИА.
Оборудование: мультимедийное оборудование (компьютерная презентация
Приложение1
PPT / 3.16 Мб
), раздаточный материал, магниты для доски.
Формулы и методы обучения: фронтальный опрос; групповая работа; самостоятельная работа; игра.
Методы обучения: словесный, наглядный; частично-поисковый; метод учебной работы по применению знаний на практике; метод проверки и оценки знаний, умений и навыков.
Ход урока:
1.Организационный: готовность учащихся к уроку;
Деятельность учителя: создание комфортной рабочей обстановки, мотивация к организованному началу урока.
Деятельность ученика: проверка готовности рабочего места к уроку, настрой на успешную работу.
2.Актуализация опорных знаний.
Проведем математическую разминку.
42 , 72 , 12 , 52 , (-2)2 , 82, (-3)2 (Слайд)
Чему равно произведение чисел 3 и 5 (15), 6 и 4 (24), 7 и 2 (14)
Чему равно удвоенное произведение чисел 4 и 3 (24), 5 и 3 (30), 3 и 2 (12)
В выражении x+6 назовите первое слагаемое, квадрат второго слагаемого (слайд)
В выражении a – 15 назовите первое выражение, второе, удвоенное произведение этих выражений (слайд)
Слайд. Посмотрите на экран. Какие выражения вы там видите? Как называют такие формулы? Тема нашего занятия «формулы сокращенного умножения в преобразованиях алгебраических дробей»
Повторим их:
a2 – b2=(a – b)(a+b) (Слайд.
)
Слайд. Например: 25 – b2, 62 – c2
□2 – x2 = (8+x)(8 – x), □ — ?
□ — © = (3+y)(3-y), □ — ?, © -?
= a2 – 2ab+b2 (слайд)
Например: (y – x)2 (6+p)2 m2+2mn+n2= 1+2p+p2= y2 – 4y + 4=
a2 – 2ab + ∆ = (a ? b), ∆- ? 25+ xy+⌂2 = (⌂+y)2, ⌂ — ?, — ?
3. Работа в группах. А теперь устроим небольшое соревнование – у вас на партах лежат ответы на задания, написанные на доске. Каждая группа должна найти ответ и повесить его к примеру на доске.
x2- y2=
x2+2xy+y2=
1+2x+x2=
1-x2=
p2-49=
(x-2)2=
y2-16=
(x-2)(x+2)=
Одна карточка лишняя 49-р2
4. Работа в тетради. Рассмотрим пример, где применяются формулы сокращенного умножения.
Записали в тетрадь число и пример № 1. – Сократить дробь
Пример 1.
Какую формулу сокращённого умножения вы здесь видите? Как расписать на множители?
Ещё один пример.
Пример №2.
Какую формулу сокращённого умножения вы видите здесь?
=
Примеры рассмотрели, а теперь подобный пример решите в тетради самостоятельно.
(слайд)
Проверим, если правильно поставите + рядом. (слайд)
Сократите дробь.
I вариант. II вариант.
Проверка на слайде. Если верно – поставить +.
5. Это были примеры действия с одной дробью. Рассмотрим примеры, где выполняется умножение или деление дробей.
Пример №3. .
Диалог учителя с учениками.
Какое действие стоит между дробями?
Как умножить дробь на дробь?
Какой общий множитель у числителя первой дроби?
Какая формула сокращенного умножения стоит в знаменателе второй дроби?
Изменим действие на деление.
Пример №4.
Диалог учителя с учениками.
Как разделить дробь на дробь?
Какая формула сокращенного умножения применяется?
Выполнить в тетради ещё пример.
I вариант. II вариант.
Проверка на слайде. Если верно – поставить +.
6. Подведение итогов. Блиц опрос (математический диктант).
Посмотрите на экран.
Мы повторяем формулы сокращённого умножения.
Какие формулы? Проверим? Я называю формулу, а вы запишите её номер. (слайд)
Будьте внимательны, некоторые формулы видны не сразу:
1. a3 + b3 Квадрат суммы двух выражений
2. (a — b)2 Разность квадратов двух выражений
3. a2 — b2 Квадрат разности двух выражений
4. a3 – b3 Произведение разности двух выражений на их сумму
5. (a + b)2 Квадрат первого выражения плюс удвоенная сумма 1 и
2 выражений
6. (a – b)3
7. (a + b)3
Проверьте правильность своих ответов. (5 3 2 3 5)
Если правильно, поставьте «+»
7. Рефлексия. Поднимите руку у кого 3 «+» , 2 «+», 1 «+»
8.Домашнее задание. Сборник для подготовки к экзамену, задание №12 (6 примеров)
Наше занятие окончено. Спасибо всем за работу на уроке.
Опубликовано в группе «УРОК.
{2}} = \frac{x}{x — y}\)
Умножение дробей — ChiliMath
Чтобы умножить дроби, достаточно выполнить 3 предложенных ниже шага. Понятно, что никакая дробь не может иметь знаменатель \color{red}0, потому что это будет неопределенный член.
Даны две дроби с ненулевыми знаменателями:
Шаг 1: Умножьте числители.
- Это будет числитель «новой» дроби.
Шаг 2: Умножьте знаменатели.
- Это будет знаменатель «новой» дроби.
Шаг 3: Упростите полученную дробь, при необходимости уменьшив ее до наименьшего члена.
Прежде чем мы перейдем к некоторым примерам, умножение может обозначаться и другими способами.
- Символ точки как оператор умножения
- Круглая скобка как оператор умножения
Примеры умножения дробей
Пример 1 : Умножение.
Умножить числители дробей.
Аналогичным образом перемножьте знаменатели.
Полученная после умножения дробь уже имеет сокращенную форму, поскольку наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен \color{blue}+1. Это станет нашим окончательным ответом!
Пример 2 : Умножить.
Шаг 1. Умножьте верхние числа.
Шаг 2: Умножьте нижние числа.
Шаг 3: Упростите ответ, сократив его до наименьшего члена.
Разделите верхнюю и нижнюю части на их наибольший общий делитель (GCF), равный 10.
Пример 3 : Умножить.
Вы можете столкнуться с проблемой, когда вам будет предложено умножить три дроби.
Общая идея остается той же, что и при умножении двух дробей, как показано в предыдущих примерах.
Шаг 1: Рассчитайте произведение числителей.
Шаг 2: Вычислите произведение знаменателей.
Шаг 3: Приведите дробь к простейшей форме.
Разделить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель, равный 12.
Пример 4 : Умножить целое число на дробь.
Когда вы умножаете целое число на дробь, думайте о целом числе как о дроби со знаменателем 1. Поскольку
Следовательно, мы можем переписать исходную задачу как {5 \over 1} \times {2 \над {15}}. При этом это должно позволить нам умножать дроби, как обычно.
Наконец, сократите ответ, разделив числитель и знаменатель на 5.
Пример 5 : Умножьте.
Шаг 1: Умножьте числители
Шаг 2: Умножьте знаменатели
Шаг 3: Сократите ответ до наименьшего члена, разделив верхнюю и нижнюю части на наибольший общий делитель, который равен 15.
Пример 6 : Умножить.
Решение:
Пример 7 : Умножить.
Решение:
Перепишите целое число 9 со знаменателем 1. Таким образом, \large{9 = {9 \over 1}}
Вам также может быть интересно:
Сложение и вычитание Дроби с одинаковым знаменателем
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Деление дробей
Упрощение дробей
Равные дроби
Обратная дробь
Умножение дробей | Как, методы, примеры
Краткое резюме
Умножение дробей относительно просто.
Вот шаги:
- умножить числители
- умножить знаменатели
- привести дробь к простейшей форме
Эти три шага проиллюстрированы ниже:
Взгляните на генератор рабочих листов дробей. Он предоставляет неограниченное количество вопросов на умножение дроби, в том числе с целыми числами и со смешанными числами.
Введение
Мы знаем, что дробь – это число в форме $\frac{p}{q}$ , где q ≠ 0. Хотя нам нужно вынимать НОК, когда нам нужно сложить или вычесть две дроби, умножение дробей совершенно другое. Здесь нам не нужно проверять знаменатели дробей и узнавать НОК, чтобы сделать их равными. Вместо этого при умножении дробей мы рассматриваем как числители, так и знаменатели отдельно. Чтобы умножить две дроби, мы можем просто умножить соответствующие числители и знаменатели на каждую, чтобы получить ответ. Но для больших чисел и чисел с общими делителями это может быть не единственный необходимый шаг. Итак, как умножить две дроби? Существует один общий метод умножения дробей.
Но прежде чем понять метод умножения, важно понять, как уменьшить дробь в ее низшей или стандартной форме.
Как следует из названия, говорят, что дробь имеет простейшую форму, если числитель и знаменатель не имеют общего делителя, отличного от 1, или мы говорим, что это взаимно простые числа.
Давайте разберем это на примере:
Предположим, у нас есть дробь $\frac{24}{56}$ и мы хотим привести ее к наименьшей форме.
Прежде всего, выпишем множители как числителя, так и знаменателя. У нас есть
Делители 24 равны 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24
Делители числа 56 равны 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28 и 56. числитель и знаменатель на 8, чтобы числа были взаимно простыми.
Получим
$\frac{24\div 8}{56\div 8}=\frac{3}{7}$
Дробь $\frac{24}{56}$ уменьшена в $\frac{3}{7}$. 3 и 7 являются простыми числами и не имеют между собой общих делителей. Следовательно, мы можем сказать, что простейшая форма дроби $\frac{24}{56}$ – это $\frac{3}{7}$.
Нам не нужно каждый раз сокращать дробь до простейшей.
Могут быть случаи, когда числитель и знаменатель дроби уже находятся в такой форме, что у них нет общих делителей, хотя они могут не быть простыми числами. Например, числа 8 и 81 не являются простыми числами, но у них «нет общего делителя. Поэтому мы помещаем их в дробь, скажем $\frac{8}{21}$, они уже в низшей форме. Рассмотрим другой пример.
Предположим, у нас есть дробь $\frac{15}{34}$ и мы хотим привести ее к наименьшей форме.
Прежде всего, выпишем множители как числителя, так и знаменателя. У нас есть
. Делители числа 15 равны 1, 3, 5 и 15. говорят, что указанная дробь имеет простейшую форму.
Теперь давайте разберемся, каковы общие шаги для умножения дробей.
Для умножения двух или более дробей необходимы следующие шаги:
- Сначала нам нужно умножить все числители.
- Далее нам нужно перемножить все знаменатели
- Наконец, нам нужно упростить дробь, если требуется
Следовательно, мы можем сказать, что
Произведение дробей = $\frac{Product\,of\ ,the\,Numerators}{Произведение\,of\,the\,знаменателей}$
Давайте теперь применим эти шаги в различных условиях.
Что мы получим, если умножим 4 на $\frac{1}{5}$?
Помните, что любое целое число можно представить в виде дроби, где 1 стоит в знаменателе. Следовательно,
Мы можем записать 4 как $\frac{4}{1}$.
Теперь у нас есть две дроби: $\frac{4}{1}$ и $\frac{1}{5}$.
Выполняя шаги, описанные в предыдущем разделе, мы имеем:
$\frac{4}{1}\times \frac{1}{5}=\frac{4\times 1}{1\times 5}=\frac{4}{5}$
В общем,
Дробь x Целое число = $\frac{Числитель\,\,\,Дробь\,\times \,Целое\,Число}{Знаменатель\,\,\,Дробь}$
Пусть мы понимаем это на другом примере.
Алиса хочет купить 12 бананов. Продавец говорит нам, что один банан стоит £$\frac{1}{5}$. Сколько она должна заплатить продавцу?
Решение
Нам известно, что у Алисы 12 бананов.
Стоимость 1 банана £$\frac{1}{5}$.
Следовательно,
Стоимость 12 бананов будет £$\frac{1}{5}\times 12$
Это пример умножения целого числа на дробь.
Итак, у нас есть
Дробь x Целое число = $\frac{Числитель\,из\,\,Дробь\,\раз \,Целое\,Число}{Знаменатель\,из\,\,Дробь} $
Следовательно,
£$\frac{1}{5}\times 12$ = £$\frac{1\times 12}{5}$= £$\frac{12}{5}=$
Следовательно, стоимость 12 бананов £ $\frac{12}{5}$
Мы знаем, что неправильная дробь — это та, у которой числитель больше знаменателя. Итак, как умножить две неправильные дроби? Давайте узнаем.
Предположим, у нас есть две неправильные дроби: $\frac{3}{2}$ и $\frac{5}{4}$.
Мы видим, что обе дроби неправильные, так как в обоих случаях числитель больше знаменателя.
Умножение неправильных дробей выполняется так же, как и для любой другой дроби.
Это означает, что мы применяем тот же метод, где
Произведение дробей = $\frac{Произведение\,из\,\,Числителей}{Произведение\,из\,\,знаменателей}$
Следовательно,
$\frac{3}{2}\times \frac{5}{4}=\frac{3\times5}{2\times4}=\frac{15}{8}$
Получим результат получается неправильная дробь.
Здесь важно отметить, что умножение двух неправильных дробей в большинстве случаев приводит к неправильной дроби, если только они не имеют общих множителей, которые можно исключить.
Мы знаем, что смешанные дроби — это дроби, в которых целое число смешано как дробь. Это расширенная форма неправильной дроби, в которой числитель больше знаменателя. Например, $2\frac{1}{3}$ – это смешанная дробь, которая в неправильной форме равна $\frac{7}{3}$.
Итак, как нам умножить две смешанные дроби?
Умножение смешанных дробей производится так же, как и любых других дробей, но перед этим нужно выполнить одно действие. Действие состоит в том, что мы должны сначала преобразовать смешанную дробь в неправильную дробь. Теперь, когда у нас есть дробь в виде неправильной дроби, мы можем умножить ее, используя ту же технику, что и в предыдущем разделе. Например,
Предположим, мы хотим умножить $2\frac{1}{3}$ на $2\frac{1}{5}$.
Мы видим, что обе фракции перемешаны.
Поэтому сначала преобразуем их в неправильные дроби, получим
$2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$ и
$2\frac{1}{5}=\frac{ 11}{5}$
Теперь у нас есть две неправильные дроби, $\frac{7}{3}$ и $\frac{11}{5}$ , которые можно перемножить по формуле
Произведение дробей = $ \frac{Произведение\,из\,\,числителей}{Произведение\,из\,\,знаменателей}$
Следовательно, мы получаем,
$\frac{7}{3}\times \frac{11}{5}=\frac{7\times11}{3\times5}=\frac{77}{15} $
Мы обычно начинаем изучать дроби с помощью прямоугольников, дроби которых окрашены, чтобы понять дробное значение целого значения. Например, если мы хотим построить график $\frac{3}{4}$, мы сначала нанесем на график количество клеток, эквивалентное числу в знаменателе, которое в нашем случае равно 4. Это представление будет таким:
Далее , заштрихуем количество клеток, эквивалентное числителю дроби, которое в нашем случае равно 3. Получим:
Таким образом, заштрихованная часть представляет дробь $\frac{3}{4}$.
Умножение дробей также может быть представлено аналогичным образом. Давайте разберемся на примере.
Предположим, мы хотим вычислить $\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}$ с помощью графического представления. Для этого будут выполнены следующие шаги.
Шаг 1. Сначала мы делаем прямоугольник, который будем использовать как целое число. Пусть прямоугольник будет представлен следующим образом.
Шаг 2. Чтобы отметить $\frac{4}{5}$ , мы сначала разделим прямоугольник на 5 равных горизонтальных частей. Теперь у нас будет:
Мы видим, что каждая горизонтальная часть теперь является одной из пяти частей, которые также можно записать как $\frac{1}{5}$.
Шаг 3. Затем мы затеняем четыре из этих 5 частей, так как у нас есть числитель 4 в нашей дроби. Мы получим:
Итак, мы построили первую дробь. Затем мы построим нашу вторую дробь в том же прямоугольнике, чтобы получить результат умножения двух дробей.
Шаг 4. Чтобы отметить $\frac{2}{3}$, мы делим тот же прямоугольник на 3 равные части, но на этот раз это будет вертикальное деление.
Мы получим
. Мы видим, что каждая вертикальная часть представляет собой одну из трех частей, разделенных по вертикали, что также можно записать как $\frac{1}{3}$.
Шаг 5. Теперь закрасим 2 три вертикальные части, получим:
Теперь определите часть, которая была заштрихована дважды. Мы видим, что части, которые были закрашены дважды, имеют оба цвета, а части, которые были закрашены один раз, имеют только один цвет.
Подсчитайте количество частей, которые были заштрихованы дважды. Получаем 8 деталей из 15 деталей. Следовательно, мы можем сказать, что
$\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$
Проверим то же самое, используя нашу формулу для умножение двух дробей. Мы знаем, что:
Произведение дробей = $\frac{Product\,of\,the\,Numerators}{Произведение\,of\,the\,знаменателей}$
Следовательно,
$\frac{2 }{3}\times \frac{4}{5}=\frac{2\times4}{3\times5}=\frac{8}{15}$
Таким образом, мы можем видеть, что мы правильно представили приведенное выше умножение в графической форме.
Пример 1
Умножить
- $\frac{2}{9}$ на $\frac{4}{5}$
- 4 x $\frac{1}{4}$
- $\frac {13}{33}$ x 22
Решение
1. Нам нужно умножить $\frac{2}{9}$ на $\frac{4}{5}$
Чтобы умножить две дроби у нас есть формула:
произведение дробей = $\frac{произведение\,из\,\,числителей}{произведение\,из\,\,знаменателей}$
Следовательно,
$\frac{2}{9}\times \frac{4}{5}=\frac{2\times4}{9\times5}=\frac{8}{45}$
Следовательно, $\frac{2}{9}\times \frac{4}{5}=\frac{8}{45}$
2. Нам нужно умножить 4 на $\frac{1 }{4}$
Мы видим, что одно из чисел является целым числом, а другое — дробью. Мы знаем, что умножение целого числа на дробь определяется следующим образом:
Дробь x Целое число = $\frac{Числитель\,of\,the\,Дробь\,\times \,Whole\,Number}{Знаменатель \,из\,\,фракции}$
Следовательно,
$4\times \frac{1}{4}=\frac{4\times1}{4}=1$
Следовательно, $4\times \frac{1}{4}=1 $
3.
Нам нужно умножить $\frac{13}{33}$ на 22
Мы видим, что одно из чисел является целым числом, а другое — дробью. Мы знаем, что умножение целого числа на дробь определяется следующим образом:
Дробь x Целое число = $\frac{Числитель\,of\,the\,Дробь\,\times \,Whole\,Number}{Знаменатель \,из\,\,фракции}$
Следовательно,
$\frac{13}{33}\times 22=\frac{13\times22}{33}$
=$\frac{13\times2}{3}=1\frac{26 {3}$
Следовательно, $\frac{13}{33}\times 22=\frac{26}{3}$
Пример 2
Рональд хочет использовать $\frac{1 {2}$ страницы за написание своей истории. Он использует $\frac{1}{3}$ этой $\frac{1}{2}$ страницы для создания изображений. Какая часть всей страницы была использована для изображений?
Решение : Нам дали, что:
Рональд хочет использовать $\frac{1}{2}$ страницы для написания своей истории
Часть страницы, используемая для создания изображений $\frac{1}{3}$ этого $\frac{ 1}{2}=\frac{1}{3}$ из этого $\frac{1}{2}$
Чтобы узнать, какая часть всей страницы была использована для изображений, нам нужно умножьте $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{2}$.
Мы знаем, что
Произведение дробей = $\frac{Произведение\,of\,the\,Числителей}{Произведение\,of\,\,знаменателей}$
$\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{1\times1}{3\times2}=\frac{1}{6}$
Следовательно, $\frac{1}{6}$ из всей страницы было использовано для изображений Рональда.
Пример 3
Питер читает книгу в $1\frac{3}{4}$ в час каждый день. Он читает всю книгу за 6 дней. Сколько всего часов понадобилось Петру, чтобы прочитать книгу? Решение = 6
Нам нужно узнать, сколько часов всего потребовалось Питеру, чтобы прочитать всю книгу. Чтобы узнать это, нам нужно будет умножить = $1\frac{3}{4}$ на 6
Но мы видим, что одна из дробей является смешанным числом. Поэтому сначала нам придется преобразовать его в неправильную дробь.
Следовательно,
$1\frac{3}{4}=\frac{4\times1+3}{4}=\frac{7}{4}$
Теперь мы можем перемножить две дроби.
Мы знаем, что
Дробь x Целое число = $\frac{Числитель\,\,\,Дроби\,\times \,Whole\,Number}{Знаменатель\,\,\,Дроби}$
Следовательно,
$\frac{7 }{4}\times6=\frac{7\times6}{4}=\frac{21}{2}=10\frac{1}{2}$
Следовательно, количество часов, необходимое Питеру для прочитать всю книгу = $ 10\frac{1}{2}$ часов.
Пример 4
Найдите площадь прямоугольного парка длиной $41\frac{2}{3}$ м и шириной $18\frac{3}{5}$ м.
Решение: Нам дали, что:
Длина прямоугольника = $ 41\frac{2}{3} $ m
Ширина прямоугольника = $18\frac{3}{5}$ m
Нам нужно найти площадь этого прямоугольника.
Мы знаем, что площадь прямоугольника заданной длины и ширины равна произведению его длины на ширину. Следовательно,
Площадь прямоугольника = длина x ширина
Следовательно, чтобы узнать площадь прямоугольника, нам нужно перемножить два дробных значения, данные нам в вопросе.
Теперь мы также знаем, что
Произведение дробей = $\frac{Произведение\,из\,числителей}{Произведение\,из\,\,знаменателей}$
Но прежде чем продолжить с умножением мы должны сначала проверить наши дробные значения. Мы видим, что оба значения представлены в смешанных дробях. Поэтому нам сначала нужно будет преобразовать эти значения в неправильные дроби.
Следовательно, имеем
$41\frac{2}{3}=\frac{41\times3+2}{3}=\frac{125}{3}$
Также
$18\frac{3}{5}\frac{18\times5+3}{5}=\frac{93}{5}$
Теперь, когда у нас есть оба дробных значения как неправильные, мы можем двигаться дальше. с нашим умножением.
Следовательно,
$\frac{125}{3}\times \frac{93}{5}=775$ м 2
Отсюда площадь прямоугольного парка с размерами $41\frac {2}{3}$ млн и $18\frac{3}{5}$ млн составляет 775 м 2 .
Пример 5
В коробке 40 коробок с гвоздями, каждая коробка весит $3\frac{3}{4}$ кг. Каков будет вес коробки гвоздей?
Решение : Нам известно, что
В коробке 40 коробок с гвоздями.
Кроме того, вес коробки с гвоздями = $3\frac{3}{4}$ кг
Теперь нам нужно узнать общий вес коробки, в которой находится 40 коробок с гвоздями.
Чтобы это узнать, нам нужно будет умножить вес одной коробки гвоздей на общее количество коробок.
Но перед этим мы можем видеть, что дробное значение веса одной коробки находится в смешанной дроби. Поэтому сначала преобразуем его в неправильную дробь. Поэтому имеем:
$3\frac{3}{4}=\frac{15}{4}$
Теперь мы знаем, что
Дробь x Целое число = $\frac{Числитель\,из\,\,Дробь\ ,\times \,Whole\,Number}{Знаменатель\,of\,\,Дробь}$
Следовательно,
$\frac{15}{4}\times 40=\frac{15\times 40} {4}=150$ кг
Следовательно, общий вес 40 коробок с гвоздями = 150 кг.
Визуальное умножение дробейТри приведенных ниже примера иллюстрируют умножение дробей.
Распространенная ошибка при умножении дробей на целое числоВ приведенном ниже примере показана ошибка, которую допускают учащиеся, когда при умножении участвует целое число.
Умножение числителя и знаменателя на одно и то же число равносильно умножению дроби на 1. 4/7 x 3/4
