Формула x 2: Формулы сокращенного умножения — Математика

1. (a + b)² = a² + 2ab + b².

2. (a — b)² = a² — 2ab + b².

3. a² — b² = (a + b)(a — b).

4. (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

5. (a — b)³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³.

6. a³ + b³ = (a + b)(a² — ab + b

7. a³ — b³ = (a — b)(a² + ab + b²).

Раздел «Формулы сокращенного умножения» содержит простые, но в то же время фундаментальные задачи, позволяющие в многочлене увидеть большее, чем просто разложение на множители. Научившись решать такие задачи, вы развиваете интуитивные начала, которые пригодятся в будущем при анализе и решении многих задач.

Применение формул сокращенного умножение не должно доставить много трудностей. Достаточно выучить их и закрепить решением ряда примеров. А посидев некоторое время над многочленами в поисках группировок и разложения на множители, вы вскоре легко станете «щелкать» такие задачи.

Представить в виде многочлена (x² — )².

____________________________________

Применяем формулу квадрата разницы и получаем:

(x² — )²

Ответ: x⁴ — 2x² + 5.

Представить в виде многочлена -( — x)(x² — 3)(x + ).

_______________________________________________

Очевидно, что можно решить задачу открыв первые две скобки, далее последующие две. Но, если присмотреться, можно заметить более простой путь к решению задачи. А именно — занеся минус в первые скобки и открыв крайние мы получим квадрат разности, который легко преобразуется в многочлен:

-( — x)(x² — 3)(x + ) = (x — )(x + )(x² — 3) = (x² — 3)(x² — 3) = (x² — 3)² = x⁴ — 6

Ответ: x⁴ — 6x² + 9.

Разложить на множители x³ — 3x² + 4.

________________________________

Глянув на выражение сложно решить, что делать, какую формулу сокращенного умножения здесь применить. Потому для начала нужно сгруппировать выражение так, чтобы применение формулы стало очевидным. Такие решения нетривиальны. Навык, чувство группировки вырабатывается после решения определенного количества подобных задач.

В данной задаче отметим, что отняв и добавив x² у нас появляются возможные варианты для группирования. Далее применяя формулы сокращенного умножения получаем ответ:

x³ — 3x² + 4 = x³ + x² — 4x² + 4 = 

= x²(x + 1) — 4(x — 1)(x + 1) = (x² — 4(x — 1))(x + 1) = (x² — 4x + 4)(x + 1) = (x — 2)²(x + 1).

Ответ: (x — 2)²(x + 1).

Разложить на множители x⁴ — 4x³ + 3x² + 4x — 4.

_________________________________________

Пусть вас не пугает степень многочлена и неясность, что делать. Начинайте группировать выражения и вскоре вы прийдете к ответу:

x⁴ — 4x³ + 3x² + 4x — 4 = x²(x² — 4x + 3) + 4(x — 1) = x²(x² — 

= x²(x[x — 1] — 3[x — 1]) + 4(x — 1) = x²(x — 3)(x — 1) + 4(x — 1) = (x — 1)(x²[x — 3] + 4) =

= (x — 1)(x³ — 3x² + 4).

Так как мы уже решили предыдущую задачу, то знаем, что второй множитель (x³ — 3x² + 4) равен (x — 2)²(x + 1), а потому:

(x — 1)(x³ — 3x² + 4) = (x — 1)(x + 1)(x — 2)². {2}} = \frac{x}{x — y}\)

Объяснение квадратичной формулы | Purplemath

ДискриминантДиск. & Графики

Purplemath

Когда мне следует использовать квадратичную формулу?

Вы можете использовать Квадратную формулу в любое время, когда пытаетесь решить квадратное уравнение, если это уравнение имеет форму «(квадратичное выражение), которое установлено равным нулю».

Часто самый простой способ решить « ax ² + bx + c = 0″ для значения x означает разложить квадратное число на множители, установить каждый множитель равным нулю, а затем решить каждый множитель. Но иногда квадратное выражение слишком запутано, или оно вообще не учитывается, или, черт возьми, может быть, вам просто не хочется факторизовать. Хотя факторинг не всегда будет успешным, квадратичная формула всегда может найти ответы для вас.

Содержание продолжается ниже

MathHelp.com

Практика квадратичной формулы

Квадратичная формула использует « a », « b «, и « c » из « ax ² + bx + c «, где « a «, « b 90 1″ 90 012″ числа, они являются «числовыми коэффициентами» квадратного уравнения, которое вам дали решить

Квадратная формула получается из процесса завершения квадрата и формально формулируется как:

Что такое квадратная формула?

Квадратичная формула — это правило, согласно которому в любом уравнении вида ax ² + bx + c = 0, решение x — значения уравнения задаются следующим образом:

Как использовать квадратичную формулу?

Чтобы использовать квадратную формулу, вы должны:

• Приведите уравнение к форме «(квадратичное) = 0».

• Расположите члены (уравнения) в порядке убывания (сначала квадратный член, затем член x и, наконец, линейный член).

• Вытяните числовые части каждого из этих терминов, а именно « a », « b » и « c » Формулы.

• Подставьте эти числа в формулу.

• Упростите, чтобы получить ответы.

Рекомендации: «2 a » в знаменателе формулы находится под всем вышеперечисленным, а не только под квадратным корнем. И это «2 a «, а не просто «2». Убедитесь, что вы не уронили квадратный корень или «плюс/минус» в середине ваших вычислений, или я могу гарантировать, что вы забудете «Вставьте их обратно» в свой тест, и вы запутаетесь. Помните, что « b ² » означает «квадрат ВСЕХ

b , включая его знак», поэтому не оставляйте . b ² отрицательно, даже если b отрицательно, потому что квадрат отрицательного числа является положительным. 0003

Другими словами, не будьте небрежными и не пытайтесь срезать путь, потому что в конечном итоге это только навредит вам. Поверьте мне в этом!

Какой пример использования квадратичной формулы?

Это квадратичное число происходит с фактором, который я могу использовать, чтобы подтвердить то, что я получаю из квадратичной формулы. Формула должна дать мне такие же ответы.

x ² + 3 x — 4 = ( x + 4)( x — 1) = 0

… так что я уже знаю, что решений x = −4 и x = 1.

Теперь, как бы выглядело мое решение в квадратичной формуле? Используя a = 1, b = 3 и c = −4, мой процесс решения выглядит следующим образом:

Таким образом, как и ожидалось, решение равно x = −4, x = 1.

Для этого конкретного квадратного уравнения факторизация, вероятно, будет более быстрым методом. Но Квадратичная формула — это метод plug-n-chug, который всегда будет работать как , так и . У вас «заморозка мозгов» на тесте, и вы не можете ничего стоящего? Используйте формулу plug-n-chug; он всегда будет заботиться о вас!

---

Как квадратичная формула связана с пересечениями по оси x?

Решения квадратного уравнения, представленные Квадратной формулой, являются точками пересечения x соответствующей параболы, изображенной на графике.

Как? Ну, когда y = 0, вы находитесь на оси x . Точки пересечения x на графике — это места, где парабола пересекает ось x . Вы применяете квадратичную формулу к уравнению x ² + bx + c = y , где y установлено равным нулю.

Глядя на приведенный выше пример, было два решения уравнения

x ² + 3 x − 4 = 0. Это говорит нам о том, что на графике должно быть два x -перехвата. На графике мы получаем следующую кривую:

Как вы можете видеть, точки пересечения x (красные точки выше) соответствуют решениям, пересекая ось x в точке x = −4 и x = 1. Это показывает связь между построением графика и решением: когда вы решаете «(квадратичное) = 0», вы находите x -отрезков графика. Это может быть полезно, если у вас есть графический калькулятор, потому что вы можете использовать квадратичную формулу (при необходимости) для решения квадратного уравнения, а затем использовать свой графический калькулятор, чтобы убедиться, что отображаемые точки пересечения x имеют те же десятичные значения, что и сделать решения, обеспеченные квадратной формулой.

Обратите внимание, однако, что отображение графика калькулятором, вероятно, будет иметь некоторую ошибку округления, связанную с пикселями, поэтому вам нужно проверить, чтобы вычисленные и графические значения были достаточно близки; не ждите точного совпадения.

---

В (2)(−3) = −6 нет множителей, которые в сумме дают −4, поэтому я знаю, что этот квадрат нельзя разложить на множители. Я буду применять квадратную формулу. В этом случае a = 2, b = −4 и c = −3:

Тогда ответ равен 9. 0011 x = -0,58, x = 2,58, округлено до двух знаков после запятой.

Можно ли округлить ответы квадратичной формулы?

В общем, нет, не стоит; обычно требуется, чтобы «решение» или «корни» или «нули» квадратного числа были в «точной» форме ответа. Вы можете использовать округленную форму при построении графика (при необходимости), но «ответ(ы)» из квадратичной формулы следует записывать в (часто запутанной) «точной» форме.