Примеры квадратных уравнений с решением: 8.2.2. Решение полных квадратных уравнений.

Содержание

Решение квадратных уравнений — презентация онлайн

1. Решение квадратных уравнений.

Учитель математики
Аксайского казачьего
кадетского корпуса Хачатурова Т.Ф.

2. Цели урока:

• Развивать математическую речь, мышление и
память;
• Расширить знания по данной теме, рассмотрев
различные способы решения квадратных
уравнений;
• Углубить знания, путём рассмотрения
нестандартных задач.
O «Человеку, изучающему алгебру, часто
полезнее решить одну и ту же задачу
тремя различными способами, чем
решить три-четыре различные задачи.
Решая одну задачу различными методами,
можно путем сравнений выяснить, какой
из них короче и эффективнее. Так
вырабатывается опыт»
У. Сойер

4. Во глубь веков

Представители различных цивилизаций: Древнего Египта,
Древнего Вавилона, Древней Греции, Древней Индии,
Древнего Китая, Средневекового Востока, Европы овладели
приемами решения квадратных уравнений.
Впервые квадратное уравнение сумели решить математики
Древнего Египта.

В одном из математических папирусов
содержится задача:
«Найти стороны поля, имеющего форму прямоугольника, если
его площадь 12, а – длины равны ширине». «Длина поля равна
4», – указано в папирусе.
Прошли тысячелетия, в алгебру вошли отрицательные числа.
Решая уравнение х2 = 16, мы получаем два числа: 4, –4.
Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что
древние ученые владели какими-то общими
приемами решения задач с неизвестными
величинами. Правило решения квадратных
уравнений, изложенное в вавилонских текстах,
совпадает по существу с современным, однако
неизвестно, каким образом вавилоняне «дошли до
этого». Но почти во всех найденных папирусах и
клинописных текстах приводятся только задачи с
решениями. Авторы лишь изредка снабжали свои
числовые выкладки скупыми комментариями типа:
«Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел!».

6. Диофантовы уравнения

Греческий математик Диофант составлял и
решал квадратные уравнения.

В «Арифметике»
Диофанта нет систематического изложения
алгебры, однако в ней содержится
систематизированный ряд задач,
сопровождаемых объяснениями и решаемых при
помощи составления уравнений
разных степеней.

8. В Древней индии

Задачи на составление квадратных уравнений встречаются уже
в астрономическом трактате «Ариа-бхатиам», составленном в
499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой.
Другой индийский ученый Брахмагупта (VII в.) изложил общее
правило решения квадратных уравнений вида ах2 + bх = с.
В Древней Индии были распространены публичные
соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных
индийских книг по поводу таких соревнований говорится
следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так
ученый человек затмит славу другого в народных собраниях,
предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто
облекались в стихотворную форму.

9. Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в.

Бхаскары:Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая на поляне забавлялась.
А двенадцать по лианам… стали прыгать, повисая…
Сколько ж было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?

10. В Древней Азии

Первым руководством по решению задач,
получившим широкую известность, стал труд
багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы альХорезми.
Трактат аль-Хорезми является первой дошедшей до
нас книгой, в которой систематически изложена
классификация квадратных уравнений и даны
формулы их решения. Трактаты аль-Хорезми были в
числе первых сочинений по математике переведены
в Европе с арабского на латынь. До XVI в. алгебру в
Европе называли искусством алгебры и макабалы.
Квадратные уравнения в Европе
XIII-XVII вв.
Общее правило решения квадратных уравнений,
приведенных к единому каноническому виду
х2+вх+с=0 , было сформулировано в Европе лишь
в 1544 г. Штифелем.
.

Формулы решения квадратных
уравнений в Европе были
впервые изложены в 1202 г.
итальянским математиком
Леонардом Фибоначчи.
Вывод формулы решения квадратного
уравнения в общем виде имеется у
Виета, однако Виет признавал только
положительные корни. Лишь в 17 в.
благодаря трудам Декарта,
Ньютона и других ученых способ
решения квадратных уравнений
принимает современный вид

12. Квадратное уравнение

Квадратным уравнением называется уравнение
вида
ax2+bx+c=0,
где a, b, с R (a 0).
Числа a, b, с носят следующие названия:
a — первый коэффициент,
b — второй коэффициент,
с — свободный член.

13. Задание

14. Виды квадратных уравнений

15. Решение неполных квадратных уравнений

16. Примеры решения неполных квадратных уравнений

6×2 =0,
х =0.
Ответ: х=0
2×2 — 9x =0
х(2х – 9) = 0
х =0 или 2х – 9 = 0
2х = 9
х=9:2
х = 4,5
Ответ: х =0, х = 4,5

17.

Примеры решения неполных квадратных уравнений-2×2+32=0,
2
-2x = — 32
х
2
х
х
х
9
1,2
1
2
9
3
3
Ответ: х1 3, х 2 3

18. Решение квадратных уравнений по формуле

2
ax +bx+c=0
Выписать: а =…, в =…, с =…
2
Найдите дискриминант по формуле: Д = в – 4ас
Если:
Д < 0, корней нет
Д = 0, один корень
Д > 0, два корня
Найдите корни по формуле

19. РЕШИТЕ УСТНО:

). x²=0,
). 4x²=0,
). 3x²+12=0,
). 7x²-3x=0,
). -x²+7=0.
ОТВЕТЫ:
1) нет
решений;
3)
x1=-1,x2=10;
6)
x1=0, x2=3/7;
4)
x=0;
7)
x=0.
2)
5)
x1=1,x2=-7;
x1,2=±√7;

20. Пример решения квадратного уравнения по формуле

2×2 – 5x + 2 = 0,
а = 2, в = -5, с = 2
Д = в2 – 4ас
Д = (-5)2 – 4*2*2 =25 – 16= 9
5 9 5 3
2*2
4
5 3 8
х1 4 4 2
5 3 2
х2 4 4 0,5
Ответ : х1 2, х2 0,5
х1,2

21. Решите уравнения

3х2 + х – 4 = 0;
10х2 – 11х + 3 = 0;
5х2 – 11х + 6 = 0;
3х2 + 11х + 6 = 0;
2х2 + х – 10 = 0;
4х2 + 12х + 5 = 0;
6х2 + 5х — 6 = 0.

О теореме Виета
Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и
его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г.
Следующим образом: «Если B+D, умноженное на А-А , равно BD, то А равно В и
равно D».
Чтобы понять Виета, следует помнить, что А, как и всякая гласная буква ,
означало у него неизвестное (наше х), гласные же B,D- кэффициенты при
неизвестном.
На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка
Виета означает:
Если приведенное квадратное уравнение
x2+px+q=0 имеет действительные корни, то
их сумма равна -p, а произведение равно q,
то есть
x1 + x2 = -p ,
x1 x2 = q
(сумма корней приведенного квадратного
уравнения равна второму коэффициенту,
взятому с противоположным знаком, а
произведение корней равно свободному
члену).
О теореме Виета
Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его
корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г.

Следующим
образом: «Если B+D, умноженное на А-А , равно BD, то А равно В и равно D».
Чтобы понять Виета, следует помнить, что А, как и всякая гласная буква , означало у него
неизвестное (наше х), гласные же B,D- кэффициенты при неизвестном.
На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает:
Если приведенное квадратное уравнение
x2+px+q=0 имеет действительные корни, то
их сумма равна -p, а произведение равно q,
то есть
x1 + x2 = -p ,
x1 x2 = q
(сумма корней приведенного квадратного
уравнения равна второму коэффициенту,
взятому с противоположным знаком, а
произведение корней равно свободному
члену).
Решение уравнений с помощью теоремы Виета
2
x
и
х
–
корни
уравнения
x
px q 0
если 1 2
то
x1 x 2 p
x1 x 2 q
( D 0)
Например:
Х2 + 3Х – 10 = 0
Х1·Х2 = – 10, значит корни имеют разные
знаки
Х1 + Х2 = – 3, значит больший по модулю
корень — отрицательный
Подбором находим корни: Х1 = – 5, Х2 = 2

25.

Решите уравненияРЕШИТЕ УРАВНЕНИЯ
х2
– 2х – 15 = 0;
х2 + 2х – 8 = 0;
х2 + 10х + 9 = 0;
х2 – 12х + 35 = 0;
Свойства коэффициентов квадратного уравнения
Если в квадратном уравнении a+b+c=0,
то один из корней равен 1, а
второй по теореме Виета равен
Если в квадратном уравнении a+c=b,
то один из корней равен (-1),
а второй по теореме Виета равен
Пример:
137х2 + 20х – 157 = 0.
a = 137, b = 20, c = -157.
a + b+ c = 137 + 20 – 157 =0.
x1 = 1,
Ответ: 1;
Второй коэффициент — четный
Метод выделения полного квадрата
Решим уравнение:
х2 + 6х — 7 = 0.
х2 + 6х -7 = 0.
(х +3)2 – 16 = 0.
(х +3)2 = 16.
х +3 = 4; х + 3 = -4.
х = 1, х =-7.
Ответ: 1; -7.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,
(a — b)2 = a2 — 2ab + b2.
РЕШИ УРАВНЕНИЯ
с помощью формулы :
1 вариант :
а) -7х + 5х2 + 1 =0
б) (х – 1)(х + 1) = 2 (5х – 10,5)
2 вариант :
а) 2х2 + 5х -7 = 0
б) –х2 = 5х — 14
3 вариант :
а) х2 – 8х + 7 = 0
б) 6х – 9 = х2

30.

Я желаю всем удачи!Я ЖЕЛАЮ ВСЕМ УДАЧИ!
Квадратные уравнения – это фундамент, на
котором покоится величественное здание
алгебры. Квадратные уравнения находят
широкое применение при решении различных
задач.

Решение квадратных уравнений по формуле | План-конспект урока по математике (8 класс):

МОУ Ефимовская основная общеобразовательная школа

Открытый урок алгебры в 8 классе

Тема: «Решение квадратных уравнений по формуле»

Дата:

Учитель: Семина Марина Николаевна

Форма проведения: комбинированный урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Цели и задачи:

Образовательные:

предоставить учащимся возможности познакомиться и изучить алгоритм решения полных квадратных уравнений по формуле, способствовать пониманию и первичному закреплению алгоритма в ходе решения уравнений

Воспитательные:

повышение коммуникативной активности учащихся, формирование умения аргументировать свою точку зрения, разумно оценивать работу своего товарища

Развивающие:

развивать способности учащихся к усвоению новой информации, формировать умение сравнивать, анализировать, кратко и четко выражать свое мнение

Ход урока

Организационный момент
Постановка цели и задач. Мотивация учебной деятельности (Формулирование проблемы)
Актуализация знаний
Первичное усвоение новых знаний
Физкультминутка
Первичная проверка понимания
Первичное закрепление
Информация о домашнем задании и инструктаж о его выполнении
Рефлексия. Подведение итогов урока

Ход урока

І. Организационный момент.

— Здравствуйте, ребята! Садитесь, пожалуйста.

ІІ.Постановка целей и задач. Мотивация учебной деятельности

Сегодня у нас с вами урок изучения нового материала «Решение квадратных уравнений по формуле». Цель урока познакомиться с алгоритмом решения полного квадратного уравнения. Девизом урока будут слова: хочу, могу, умею, делаю.

МОГУ: ребята, на уроке можно ошибаться, сомневаться, консультироваться (задавать вопросы).

УМЕЮ: мы умеем решать неполные квадратные уравнения, полные квадратные уравнения выделением квадрата двучлена.

ХОЧУ: познакомиться с алгоритмом решения полного квадратного уравнения.

ДЕЛАЮ: делаем каждый себе установку «Понять и быть тем первым, который увидит правильный путь решения». Желаю всем удачи!

ІІІ. Актуализация знаний учащихся.

1. Фронтальная работа с классом (в это время 3 учащихся у доски работают по индивидуальным карточкам и целью контроля выполнения домашней работы (задания – аналогичны дом. заданию). Нам с вами ребята, необходимо вспомнить теоретический материал по изученной теме «Квадратные уравнения» (что же мы умеем):

— Что такое уравнение? Что такое корень уравнения? Что значит решить уравнение?

— Какие уравнения мы называем линейными? Какие уравнения мы называем квадратными? Приведите примеры

— Сколько корней может иметь линейное уравнение (квадратное) уравнение? Примеры.

— Какие виды неполных квадратных уравнений вам известны? Приведите примеры.

— Какой общий вид имеет полное квадратное уравнение? Приведите пример.

— Какие квадратные уравнения мы с Вами умеем решать? Приведите примеры

Индивидуальная карточка № 1 Решите уравнения:

2×2 – 72 = 0
x2 – 7x = 0
4x(2x – 8) = 0

Индивидуальная карточка № 2 Решите уравнение:

(2x – 4)(5x – 30) = 0
— 10×2 = 0
3×2 – 18x = 0

Индивидуальная карточка № 3 Решите уравнение:

— 5×2 = 20
4×2 — 64 = 0
(5 – x)(x – 4) = 0

Проверка работы по индивидуальным карточкам. Комментарии учащихся класса (по цепочке) решенных уравнений у доски. Оценка работы учащихся у доски

2.Фронтальная работа. А теперь давайте проверим готовность двигаться дальше в решении квадратных уравнений.

Среди перечисленных уравнений укажите 1 ряд – квадратные уравнения;

2 ряд – линейные уравнения; 3 ряд – неполные квадратные уравнения

5×2 – 12x + 7 = 0

x2 = 1 = 0

— 4x + 16 = 20

5x – 45 = 8x – 13

— 7×2 – 49x = 0

6×3 – 12x + 11 = 0

3x — 8 = 0

(x – 1) (x – 2) = 0

x(x – 4) = 0

5 (2x – 3) = 10

ІV. Первичное усвоения новых знаний

Из предыдущих уроков видно, что при решении квадратных уравнений приходилось выделять полный квадрат двучлена. Чтобы постоянно не выполнять таких преобразований, достаточно один раз выполнить эти преобразования для общего вида квадратного уравнения и получить формулу корней квадратного уравнения.

Вывести формулу корней квадратного уравнения (на доске)

Ввести понятие дискриминанта квадратного уравнения

Рассмотреть различные случаи решения квадратного уравнения в зависимости от значения дискриминанта (D)

Решение квадратных уравнений

ax2 + bx + с = 0, где а ≠ 0

1. Найдем дискриминант (D) уравнения по формуле b2 – 4ac

2. Определим количество корней уравнения в зависимости от значения дискриминанта D

D0, уравнение имеет 2 корня; x1 = , x2 =

D= 0 уравнение имеет 1 корень ; x =

3. Записать ответ

Запись в тетради алгоритма решения квадратного уравнения, формулу корней квадратного уравнения.

V. Физкультминутка (Закрыть глаза, сильно напрягая глазные мышцы, на счет 1 -4, затем раскрыть глаза, расслабив мышцы глаз, посмотреть вдаль на счет 1-6. Повторить 4-5 раз.

Посмотреть на переносицу и задержать взор на счет 1-4. До усталости глаза не доводить. Затем открыть глаза, посмотреть вдаль на счет 1-6. Повторить 4-5 раз.
Не поворачивая головы, посмотреть направо и зафиксировать взгляд на счет 1-4, затем посмотреть вдаль прямо на счет 1-6. Аналогичным образом проводятся упражнения с фиксацией взгляда влево, вверх и вниз. Повторить 3-4 раза.
Перенести взгляд быстро по диагонали: направо вверх — налево вниз, потом прямо вдаль на счет 1 -6; затем налево вверх — направо вниз и посмотреть вдаль на счет 1-6. Повторить 4-5 раз.

VІ. Первичная проверка понимания

Работа с готовыми решениями. Комментарии трех учащихся с места

Привести пример решения квадратноых уравнений

5×2 – 4x – 1 = 0

а = 5, b = — 4, с = -1

D = b2 – 4ac = (-4)2 – 4 ∙ 5 ∙ (-1) = 16 + 20 = 36, D0, уравнение имеет 2 корня

x1 = = = 1

x2 = = = — 0,2

Ответ: — 0,2; 1

Пример 2

4×2 — 12x + 9 = 0

а = 4, b = — 12, с = 9

D = b2 – 4ac = (-12)2 – 4 ∙ 4 ∙ 9 = 144 — 144 = 0, D = 0, уравнение имеет 1 корень

x = = = 1,5

Ответ: 1,5

Пример 3

7×2 + 3x + 5 = 0

а =7, b = 3, с = 5

D = b2 – 4ac = (-3)2 – 4 ∙ 7 ∙ 5 = 9 — 140 = 131, D

Ответ: нет корней

VІІ. Первичное закрепление

Работа на уроке. Решение квадартных уравнений (работа в парах).

На каждую парту 1 вариант. Сверка с образцом на доске (написано перед уроком на открывающихся досках).

Работа у доски по учебнику – по 2 учащихся № 25.1(а), 25. 3(а), 25.5(а), 25.7(а)

VІІІ. Домашнее задание задачник Алгебра – 8, стр. 154, п. 25, № 25.1(в), 25.3(в), 25.5(в), 25.7(в)

ІХ. Итог урокаю Рефлексия. Выставление оценок учащимся

Напишите формулу нахождения дискриминанта квадратного уравнения.

Напишите формулу корней квадратного уравнения
Сколько корней может иметь квадратное уравнение? От чего это зависит?

Рефлексия

На уроке я успел сделать…
В результате я узнал и научился…
Я не понял, у меня не получилось…

Кому на уроке все было понятно встаньте и похлопайте в ладоши, у кого остались вопросы и не все получалось сразу сидя похлопайте в ладоши, у кого не получилось решить последнее уравнение

Самоанализ урока

Урок в 8 классе по теме «Решение квадратных уравнений по формуле» мною был проведен комбинированный урок изучения и первичного закрепления новых знаний по данной теме. В дальнейшем при изучении данной темы в 8 классе, а также сдачи ГИА в 9 классе пригодятся знания , полученные на этом уроке.

Все этапы урока были направлены на достижение целей и задач, поставленных в начале урока. Урок был достаточно динамичным, насыщенным. Начало урока позволило мобилизовать учащихся класса, настроить их на восприятие нового материала. Темп работы учащихся на уроке позволяет проводить урок в достаточно быстром темпе.

Содержание учебного материала полностью соответствует программе и уровню знаний учащихся по предмету. Цели и задачи урока соответствуют плану и конспекту урока и были достигнуты.

Особенно интересно для обучающихся и продуктивно для меня на уроке получилась работа в парах. Учащиеся аргументировано отстаивали свое верное решение. Сами смогли найти ошибки одноклассников. И совместными усилиями получить верный ответ.

Во время урока большая нагрузка легла на плечи учащихся, учитель выступал в качестве координатора, несмотря на то, что это был урок «открытия» нового знания, что наиболее актуально, в связи с предстоящим введением в средней школе ФГОСов.

На уроке я использовал современные образовательные технологии: технология критического мышления – на всех этапах урока, проблемное обучение – на этапе мотивации учащихся была поставлена проблема поиска наиболее рационального способа решения полных квадратных уравнений, технология обучения в сотрудничестве (работа в парах) – взаимопомощь, взаимопроверка, информационно-коммуникативные технологии – использование во время урока презентации(авторская разработка) и, конечно, здоровьесберегающая технология – физкультминутка (гимнастика для глаз).

В целом урок в 8 А классе прошел успешно. Цели и задачи, поставленные в начале урока были достигнуты. Учащиеся ушли с урока с хорошим настроением.

Квадратные уравнения с комплексными решениями

Результаты обучения

Использование квадратной формулы для решения квадратных уравнений с комплексными решениями
Соедините комплексные решения с графиком квадратичной функции, не пересекающей ось x

Мы видели два результата для решений квадратных уравнений; либо было одно или два решения с действительными числами. Мы также узнали, что можно извлечь квадратный корень из отрицательного числа, используя мнимые числа. Это новое знание позволяет нам исследовать еще один возможный результат, когда мы решаем квадратные уравнения. Рассмотрим это уравнение: 92+3x+6=0[/latex]

Используя квадратную формулу для решения этого уравнения, мы сначала идентифицируем a, b и c.

[латекс]a = 2,b = 3,c = 6[/латекс]

Мы можем подставить a, b и c в квадратичную формулу и упростить, чтобы получить следующий результат:

[латекс]x=- \frac{3}{4}+\frac{\sqrt{-39}}{4}, x=-\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{-39}}{4}[/ латекс]

До этого момента мы бы сказали , что [латекс]\sqrt{-39}[/латекс] не определено для действительных чисел, и определили, что это уравнение не имеет решений.

Но теперь, когда мы определили квадратный корень из отрицательного числа, мы также можем определить решение этого уравнения следующим образом.

[латекс] x = — \ frac {3} {4} + i \ frac {\ sqrt {39}} {4}, x = — \ frac {3} {4} -i \ frac {\ sqrt { 39}}{4}[/latex]

В этом разделе мы будем практиковаться в упрощении и написании решений сложных квадратных уравнений. Затем мы представим метод классификации того, будет ли решение(я) квадратного уравнения комплексным, и сколько будет решений.

В нашем первом примере мы рассмотрим процесс решения квадратного уравнения с комплексными решениями. Обратите внимание, что мы будем упрощать комплексные числа, поэтому, если вам нужен обзор того, как преобразовать квадратный корень из отрицательного числа в мнимое число, сейчас самое время. 92+2x+3[/latex]

Показать решение

В следующем видео показан еще один пример использования квадратной формулы для поиска решений квадратного уравнения, имеющего комплексные решения.

Квадратные уравнения могут иметь комплексные решения. Квадратичные функции, графики которых не пересекают ось x, будут иметь комплексные решения для [latex]f(x)=0[/latex].

4.3 Решение квадратных уравнений | Уравнения и неравенства

Квадратное уравнение — это уравнение, в котором показатель степени переменной не превышает \(\text{2}\). Следующее примеры квадратных уравнений: 9{2} + bx + c = 0\) иметь вид \(\left(rx + s\right)\left(ux + v\right) = 0\).

Два решения: \(\left(rx + s\right) = 0\) или \(\left(ux + v\right) = 0\), поэтому \(x= -\dfrac{s}{r}\) или \(x = -\dfrac{v}{u}\) соответственно.

Проверьте ответ, подставив его обратно в исходное уравнение.