Формулы для геометрической прогрессии: Геометрическая прогрессия — урок. Алгебра, 9 класс.

Геометрическая прогрессия. Часть 2

Мы дали определение геометрической прогрессии, вывели основные формулы и решили несколько базовых задач здесь. В этой статье мы рассмотрим более сложные задачи на геометрическую прогрессию.

1. Четыре числа составляют возрастающую геометрическую прогрессию. Сумма крайних членов равна 27, а произведение средних равно 72. Найти четвертый член прогрессии.

Запишем эти числа, выразив их через и :

Запишем условие задачи:

Нам нужно найти

Перепишем второе уравнение системы в таком виде:

.

Тогда получим такую систему:

Выразим  через , и подставим во второе уравнение. Получим:

Решим квадратное уравнение, получим или

Проверим, какое значение нам подходит.

Если , то , то есть и данная прогрессия является убывающей. Но по условию данные числа составляют возрастающую геометрическую прогрессию, следовательно, это значение  нам не подходит, и

Ответ: 24.

 

2. Произведение первого и пятого членов геометрической прогрессии с положительными членами равно 12. Частное от деления второго члена не четвертый равно 3. Сколько членов содержит прогрессия, если сумма ее членов равна

Запишем условие задачи в виде системы уравнений, выразив все данные через и :

Из второго уравнения системы получим, что , отсюда или . Так как по условию наша последовательность с положительными членами, .

Подставим в первое уравнение системы и найдем .

; ; (прогрессия с положительными членами).

Теперь подставим значения и в третье уравнение системы и найдем n.

Умножим обе части равенства на знаменатель дроби левой части.

 

Ответ: 4

 

3. Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна 4. Найдите шестой член прогрессии, если сумма кубов ее членов равна

Выпишем члены геометрической прогрессии:

Выпишем последовательность, члены которой равны кубам членов геометрической прогрессии.

Во второй последовательности первый член равен , знаменатель равен .

Сумма ее членов равна .

Получили систему уравнений:

(1)

Решим систему. Возведем первое уравнение в куб, и разделим на второе. Получим:

Решим квадратное уравнение.

Так как прогрессия убывающая, нас устраивает

Найдем . Подставим значение в первое уравнение системы (1).

;

Найдем .

Ответ: 0,0625

 

4. Каждый член бесконечной убывающей геометрической прогрессии в 5 раз больше суммы всех следующих за ним членов, а второй ее член на 5 единиц больше третьего. Найти сумму членов прогрессии.

Запишем в виде уравнения условие «каждый член бесконечной убывающей геометрической прогрессии в 5 раз больше суммы всех следующих за ним членов.»

Возьмем . Члены прогрессии, которые за ним следуют, образуют убывающую геометрическую прогрессии с тем же знаменателем. Первый член этой прогрессии равен . Сумма это прогрессии равна

Получим уравнение:

или

Разделим обе части на

Теперь запишем систему уравнений:

(2)

Из первого уравнения системы (2) получаем . Подставим во второе уравнение системы и получим

Теперь мы можем найти сумму членов этой прогрессии.

Ответ:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Геометрическая прогрессия. Формулы п-го члена и суммы п первых членов геометрической прогрессии. Характеристическое свойство геометрической прогрессии.

О.Геометрической прогрессией называется последовательность, в которой первый член отличен от нуля, а каждый из последующих равен предыдущему, умноженному на некоторое постоянное для данной последовательности число, отличное от нуля.

О.Это число называетсязнаменателем геометрической прогрессии q геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия задаётся своим первым членом и знаменателем. Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого её члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно q, т.е. при любом натуральномnверно равенство.

Формула

n-го члена геометрической прогрессии.

Любой член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле ,где- член прогрессии с номеромn,— первый член иq– её знаменатель.

Возьмём произвольное натуральное n.Из определения геометрической прогрессии следует.

Эта цепочка состоит из nравенств, поэтому для любого конечногоnона может быть выписана. Следовательно, любой член геометрической прогрессии можно вычислить, зная его номер, первый член прогрессии и её знаменатель.

Характеристическое свойство геометрической прогрессии с положительными членами.

Если последовательность положительных чисел является геометрической прогрессией, то все её члены, начиная со

второго, являются средним геометрическим предшествующего и последующего членов.

Доказательство.

Из определения геометрической прогрессии следует, что .

Выразив из этого равенства , получим.

Так как все члены прогрессии положительны, то последнее равенство равносильно следующему .

Теорема. (формула суммы n первых членов геометрической прогрессии).

Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна ,при.

Доказательство.

Сумма nпервых членов геометрической прогрессии равна

.

Домножим обе части этого равенства на знаменатель геометрической прогрессии .

Следовательно, . Вычтем полученное равенство из. Получим:.

Отсюда следует, что . Приэто равенство равносильно доказываемому. Теорема доказана.

Следствие. ,при.

Доказательство.

Выразим по формулеn-го члена геометрической прогрессии и подставим в формулу (1).

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если её знаменательq по абсолютной величине меньше единицы.

О.Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессииназывается число, к которому неограниченно приближается сумма

nпервых членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии при неограниченном увеличенииn.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна .

Приложение

Тригонометрическая окружность

Сборник формул

ТРИГОНОМЕТРИЯ Основные тригонометрические тождества Знаки тригонометрических функций по четвертям Тригонометрические функции отрицательного аргумента Выражение одной функции через другую Обратные функции отрицательного аргумента Решение простейших тригонометрических уравнений Функция алгебраической суммы двух аргументов Преобразование Преобразование суммы функций в произведение произведения функций в сумму Функции двойного аргумента Функции половинного аргумента Функции тройного аргумента

АЛГЕБРА Корни квадратных уравнений Теорема Виета Разложение квадратного трехчлена на множители Степени и корни Логарифмы Степень двучлена Извлечение квадратного корня из квадрата. Определение модуля числа.

Заметки о геометрической прогрессии — формулы ГП

Геометрическая прогрессия (ГП) — это прогрессия, в которой каждый член имеет постоянное отношение к предыдущему члену. Это уникальный вид эволюции. Мы должны умножать на установленный член, известный как обыкновенное отношение, каждый раз, когда мы хотим найти следующий член в геометрической прогрессии. Каждый раз, когда нам нужно получить предыдущий член в прогрессии, мы должны делить слово на один и тот же знаменатель. Пример: GP с обыкновенным отношением 2 равно 2, 4, 8, 16, 32 и т. д. Возможны конечные или бесконечные геометрические прогрессии. Его обыкновенное отношение может быть как положительным, так и отрицательным.

Возможны конечные или бесконечные геометрические прогрессии. Его обыкновенное отношение может быть как положительным, так и отрицательным.

Геометрическая прогрессия

«Геометрическая прогрессия — это прогрессия, в которой каждый член имеет заданное отношение, известное как обыкновенное отношение». Другое его название — GP.

GP обычно записывается как a, ar, ar²,…, где a _n — первый член, а r — знаменатель прогрессии. Для обыкновенного отношения возможны как отрицательные, так и положительные числа. Нам просто нужен начальный член и постоянное отношение, чтобы найти члены геометрического ряда.

Формулы для GP

Чтобы найти n-й член прогрессии, используйте формулу геометрической прогрессии. Нам нужен первый член и знаменатель, чтобы найти n-й член. Если вы не знаете, что такое обыкновенное отношение, вы можете понять его, умножив любой член на его предыдущий член. Формула для n-го члена геометрической прогрессии:

a _n =ar ^n-1

Где,

Первый член равен a

Обычное отношение равно r

n — номер искомой фразы.

Сумма геометрической прогрессии

Чтобы найти сумму всех членов геометрической прогрессии, используйте формулу суммы геометрической прогрессии. Поскольку геометрическая прогрессия делится на два типа, конечную и бесконечную геометрическую прогрессию, сумма их членов вычисляется по разным формулам.

Конечный геометрический ряд

Если геометрическая прогрессия имеет конечное число членов, сумма геометрического ряда определяется по формуле:

S _n =a(1-rn) / (1-r) Для r≠1

Где,

Первый член равен n

Бесконечный геометрический ряд

Формула суммы бесконечного геометрического ряда используется, когда количество членов в геометрической прогрессии неограниченно. В зависимости от значения r в бесконечных рядах возникают два экземпляра.

если |r| < 1, то

S∞ =a / (1-r)

если |r| > 1 тогда,

Ряд не сходится и не имеет суммы в этой ситуации.

Заключение

В этой статье мы приходим к выводу, что ненулевой числовой ряд, в котором каждый член, следующий за первым, находится путем умножения предыдущего на фиксированную ненулевую величину, известную как обыкновенное отношение. Мы узнаем об этом, потому что сталкиваемся с геометрическими последовательностями в реальной жизни и нуждаемся в формуле, которая поможет нам найти определенное число в этой последовательности. Наша геометрическая последовательность определяется как набор целых чисел, каждое из которых представляет собой предыдущее число, умноженное на константу.

Геометрическая прогрессия (ГП): Формула, N-й член, Сумма, Примеры

Геометрическая прогрессия представляет собой последовательность чисел, которая следует определенному образцу. Геометрическая прогрессия обозначается аббревиатурой ГП. В этом разделе мы узнаем о геометрической прогрессии.

Содержание

Что такое геометрическая прогрессия (ГП)

Геометрическая прогрессия — это особый тип последовательности ненулевых чисел, где каждый член (кроме первого члена) определяется путем умножения предыдущего члена на фиксированная ненулевая постоянная величина. Фиксированная постоянная величина называется обыкновенным отношением ГП.

Например, $1, 2 , 4, 8, \cdots$ — это геометрическая прогрессия, так как каждый член отличен от нуля, а знаменатель равен $2$ при $\frac{2}{1}$ $=\frac{ 4}{2}$ $=\cdots$ $=2.$

 

Термины и обозначения

В геометрической прогрессии следующие обозначения обычно используются для обозначения важных терминов GP.

$a$: первое слагаемое

$r$: общее слагаемое

$n$: количество слагаемых

$a_n$: n-ое слагаемое

93 \cdots$

 

Примеры геометрической прогрессии

(i) $1, 5, 25, 125, \cdots$ является геометрической прогрессией, так как каждый член отличен от нуля, а знаменатель $r=5 $. Эта ГП имеет первый член $5.$

(ii) $1, -3, 9, -27, \cdots$ является примером ГП с отрицательным знаменателем $r=-3.$ Каждый член не- равен нулю, а первый член ГП равен $1.$

(iii) Аналогично, $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \cdots$ — это геометрическая прогрессия со знаменателем $r=\frac{1}{2}$. Пропорциональное отношение GP — это дробь с первым членом $\frac{1}{2}.$

Примечание: Из приведенных выше примеров видно, что знаменатель геометрической прогрессии может быть как положительным, так и отрицательным или дробным. Но он никогда не может быть равен нулю.

Читайте также:

Арифметическая прогрессия (AP) : здесь обсуждаются определение, формула, сумма, N-й член и общая разница с решенными примерами.

Surds : Мы обсудим определение Surds с их порядками, свойствами, типами и несколькими решенными примерами.

Индексы : Щелкните здесь для определения и законов индексов с некоторыми решенными примерами.

Логарифм : Определение логарифма с его правилами и формулами обсуждаются здесь с несколькими решенными примерами.

 

Геометрический ряд

Пусть $a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots$ — геометрическая прогрессия.