тригонометрические, синуса, косинуса, тангенса, примеры
Основные понятия по теме
ОпределениеФормулы двойного аргумента являются представлением тригонометрической функции удвоенного аргумента и имеют вид выражения тригонометрических функций простого, или одинарного, аргумента.
С помощью формул двойного аргумента можно связать sin 2x, cos 2x, tg 2x и sin x, cos x, tg x между собой. Данные закономерности полезны при решении задач на уроках тригонометрии в десятом классе и при выполнении самостоятельных работ. С их помощью можно значительно упростить тригонометрические выражения в любом задании.
Формулы синуса, косинуса, тангенса двойного аргумента
Данные формулы разработаны на основе уравнений суммы и разности двух аргументов тригонометрических функций.
Формула 1Формула синуса двойного угла имеет вид:
sin2α=2sinαcosα
Формула 2Формула косинуса двойного угла записана таким образом:
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
Формула 3Тангенс двойного угла можно вычислить, исходя из формулы:
tg2α=2tgα1-tg2α
Формула 4Формула для определения котангенса двойного угла следующая:
ctg2α=ctg2α-12ctgα
Тригонометрические формулы двойного аргумента
В качестве объяснения вывода формул представим, что имеется некая окружность с углами \alpha и \beta:
Источник: shkolkovo.
net
Предположим, что у данных углов существуют соответствующие точки А и В. Координаты рассматриваемых точек будут равны:
A(cosα;sinα)
B(cosβ;sinβ)
Проанализируем полученный треугольник AOB:
∠AOB=α-β.
Вспомним теорему для косинусов углов. Тогда получим, что:
AB2=AO2+BO2-2AO·BO·cos(α-β)=1+1-2cos(α-β)
Заметим, что в данном выражении радиусом окружности является:
AO=BO=R
Насколько точки удалены друг от друга в пределах рассматриваемой плоскости, можно вычислить таким образом:
AB2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=cos2α-2cosαcosβ+cos2β++sin2α-2sinαsinβ+sin2β= =\big(cos2α+sin2α\big)+\big(cos2β+sin2β\big)-2\big(cosαcosβ+sinαsinβ\big)= =1+1-2\big(cosαcosβ+sinαsinβ\big)
Если сопоставить между собой уравнения, которые записаны выше, получим, что:
1+1-2\big(cosαcosβ+sinαsinβ\big)=1+1-2cos(α-β)
Другие формулы суммы и разности углов можно вывести, используя записанную формулу, а также свойства четности и нечетности косинуса и синуса, формулы приведения, которые имеют вид:
sinx=cos(90°-x)
cosx=sin(90°-x)
Выполним вычисления:
cos(α+β)=cos(α-(-β))=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ
sin(α+β)=cos(90°-(α+β))=cos((90°-α)-β)=+cos(90°-α)cosβ+sin(90°-α)sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sin(α+(-β))=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα
tg (α±β)=sin(α±β)cos(α±β)=sinαcosβ±sinβcosαcosαcosβ∓sinαsinβ
Здесь следует поделить числитель и знаменатель дроби на выражение:
cosαcosβ≠0(приcosα=0⇒tg (α±β)=∓ctg β
С учетом, что:
cosβ=0⇒tg (α±β)=±ctg α)
Получим:
tg α±tg β1∓tg α·tg β
В результате полученное уравнение является справедливым равенством при условии:
cosαcosβ≠0
Вывести формулу котангенса суммы и разности двух углов можно аналогичным методом, но с помощью деления на выражение:
sinαsinβ≠0
Записанные формулы помогут при выведении формул двойного угла:
sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+sinαcosα=2sinαcosα
cos2α=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos2α-sin2α
Вспомним ключевое тождество из тригонометрии:
sin2α+cos2α=1
Тогда можно вывести еще пару формул для косинуса двойного угла:
cos2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1
cos2α=cos2α-sin2α=(1-sin2α)-sin2α=1-2sin2α
Вычислим тангенс двойного угла:
tg 2α=sin2αcos2α=2sinαcosαcos2α-sin2α
Здесь целесообразно поделить числитель и знаменатель дроби на выражение:
cos2α≠0(приcosα=0⇒tg 2α=0)
В результате:
tg 2α=2tg α1-tg2 α
Заметим, что записанное уравнение является справедливым равенством, если выполняются следующие условия:
cosα≠0
cos2α≠0
Рассмотрим формулу котангенса для двойного угла:
ctg 2α=cos2α-sin2α2sinαcosα=ctg2 α-12ctg α
Условием является:
sinα≠0,sin2α≠0.
Примеры заданий с решениями
Задача 1Необходимо вычислить синус двойного угла sin2α при условии, что:
sinα-cosα=p
Решение
Здесь целесообразно возвести во вторую степень обе части выражения. Тогда получим:
sinα-cosα2=p2
Вспомним формулу упрощенного умножения «квадрат разности». Выполним соответствующие преобразования:
sin2α-2sinαcosα+cos2α=p2
В этом случае пригодится основное тригонометрическое тождество, которое имеет вид:
sin2α+cos2α=1
Применим эту формулу к нашим вычислениям и получим в результате:
1-2sinαcosα=p2, 2sinαcosα=1-p2
Далее потребуется использовать формулу синуса двойного угла:
sin2α=2sinαcosα
Тогда получим, что:
sin2α=1-p2
Ответ sin2α=1-p2
Задача 2Дано выражение, которое требуется записать в виде произведения:
3+4cos4α+cos8α
Решение
В этом случае поможет формула синуса двойного угла. С ее помощью выполним преобразования:
cos8α=2cos24α-1
Полученное выражение можно подставить в начальное выражение.