Формулы матан: Формулы и уравнения математического анализа

Содержание

Математический анализ. Семинары. Часть 1

Семинарские занятия по курсу «Математический анализ. Часть 1» проводятся для студентов первого курса физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова в 1 семестре.

В первой части курса рассматриваются следующие вопросы:

Пределы.
Непрерывность.
Асимптотические формулы.
Производные.
Дифференциалы.

Понятия математического анализа используются затем во всех последующих математических дисциплинах, а также в курсах общей и теоретической физики. Поэтому активное изучение учащимися курса анализа позволяет заложить фундамент для успешного восприятия более сложных понятий и в математике, и в различных разделах современной теоретической физики.

При рассмотрении многих вопросов особое внимание уделяется приложениям математических понятий и утверждений в физике.

Список всех тем лекций

Семинар 1. Пределы.
Определение предела по Коши и Гейне Lim(sin x) = 0, x->0, используя определение Lim(x*sin(1/x)), x->0 Случай, когда предела не существует, sin(1/x) Бесконечно малая и бесконечно большая функции Свойства пределов функций Первый замечательный предел Lim( (tg x)/x), x->0 — (1+3x+3x^2)]/(x^4+x^3), x-> 0 Lim (x^2-4)/(x^3-2x^2+x-2), x-> 2 — 2), x-> 4 — 3)/(2+x^1/3), x-> -8 — 4)/((x-2)*(x+1)), x- > +inf Предел при бесконечно большом аргументе

Семинар 2. 2x)

Сергей Ястребов • Матан без формул • Книжный клуб на «Элементах» • Рецензии

Приехала комиссия в сумасшедший дом. Видят, что в одной палате шумно: больные буйствуют, кричат, дерутся.
— Что у вас тут творится?
— Тут сумасшедшие математики сидят.
— Наведите порядок.
Санитар вбегает в палату и кричит:
— А ну успокоиться! Сейчас всех продифференцирую!
У больных паника, они прячутся кто куда — все, кроме одного, который ведет себя как ни в чем не бывало.
— А ты почему не боишься? — удивленно спрашивает его санитар.
— А мне пофиг, я e в степени x.

Старый анекдот

Знаменитый философ Освальд Шпенглер считал исчисление бесконечно малых — другими словами, математический анализ — одним из высших достижений западноевропейской (фаустовской) культуры, наряду с готическими соборами, пейзажами Тинторетто и фугами Баха. Бесчисленные студенты нематематических факультетов, с разной степенью успешности сдающие матанализ на своих первых-вторых курсах, редко вспоминают при этом Шпенглера.

А зря. Он мог бы вдохновить.
Впрочем, тут есть и куда более практические аспекты. Математический анализ — не только интегральная (какое характерное слово!) часть нашей культуры, но и важнейшая область математики. Недаром в современном быту вообще любую высшую математику часто называют для краткости «матаном». Для физика или инженера матанализ — базовое знание, без которого в этих профессиях нельзя сделать ни шагу. Химику, биологу, экономисту разбираться в матанализе тоже необходимо: мало ли где пригодится. В конце концов, в последние полвека основы матанализа включены в нашей стране в школьную программу, хотя само по себе это, конечно, мало о чем свидетельствует.

Книга Бена Орлина «Время переменных» целиком посвящена математическому анализу. Ее можно рассматривать как продолжение книги того же автора «Математика с дурацкими рисунками», в которой тема математического анализа была обойдена (без сомнения, намеренно). Книга написана в привычном Орлину легком стиле: почти все утверждения сопровождаются шутками, выкладки предельно наглядны, разбираться в формулах нет необходимости. При этом он умудряется ввести читателя достаточно глубоко в суть дела. Это уже отличная сумма достижений. На их перечислении рецензию можно было бы и закончить. Но все же поговорим о книге чуть подробнее.
Прежде всего: книга Орлина — не учебник. Заменой учебника, пусть сколь угодно облегченной, она служить не может. И это — не недостаток, а достоинство. Учебников матанализа, в том числе очень хороших, существует сколько угодно, на разные вкусы. Орлин, однако, хочет предложить нам нечто иное. В послесловии он говорит об этом так:

«Когда я впервые задумался о написании этой книги, мне представлялась линейная подача материала — нечто вроде продвинутого курса математического анализа с картинками. Таким был путь, который я прошел, будучи студентом и учителем, единственный известный мне путь, имеющий смысл. Но чем дальше я шел по нему, тем мне было противнее. Мне была нужна дорога из желтого кирпича, с яркими красками и волшебством».
Почему матанализ важен? Да потому что это уникальный по эффективности инструмент количественного описания подвижной Вселенной, мира, в котором, по Гераклиту, «все течет». «Производная и интеграл, как я утверждаю, — это карманные философские системы», — пишет Орлин, и с ним трудно не согласиться.
С другой стороны, основы матанализа полезно знать хотя бы для того, чтобы не сесть в лужу. Целая глава в книге Орлина отведена нашумевшей истории с научной статьей, которая вышла в 1994 году и называлась «Математическая модель для определения общей площади под кривой толерантности к глюкозе и другими метаболическими кривыми» (A mathematical model for the determination of total area under glucose tolerance and other metabolic curves). В этой статье исследовательница-физиолог Мэри Тай рассказала о расчетах метаболических показателей, важных, в частности, при лечении диабета. Она придумала изящный метод: площадь под кривой делится на маленькие прямоугольные сегменты, суммарную площадь которых потом можно рассчитать по формулам обычной геометрии. Все бы хорошо, но открытие Мэри Тай оказалось, мягко говоря, не совсем оригинальным. Она изобрела метод численного интегрирования, который начали применять в XVII веке Кеплер и Лейбниц.
Знающие люди, впрочем, утверждают, что очень похожими численными методами пользовались еще математики Древнего Вавилона. Мэри Тай не сделала ничего плохого: она, проявив творческие способности, самостоятельно придумала удобный и полезный способ расчетов, которым честно поделилась с коллегами. Но знать, что такое интеграл, ей бы определенно не помешало.

Важная оговорка: чтобы понимать, что такое интегральное исчисление, совершенно не обязательно им активно владеть. Это разные вещи. Распознать соответствующий подход можно и не умея брать интегралы (или забыв, как это делается). Такое «понимание в общих чертах» не сделает человека математиком, но оно всё равно полезно. Это элемент научной культуры, который в нашем пронизанном наукой мире может пригодиться абсолютно каждому.
Книга «Время переменных» напоминает лекцию о каком-нибудь экзотическом языке, прочитанную хорошим лингвистом людям, которые не знают этот язык и пока не готовы его учить, но все же по какой-то причине испытывают к нему интерес.
Например, Андрей Анатольевич Зализняк однажды прочитал такую лекцию о санскрите. Разве не интересно кое-что узнать про индийский аналог латыни? Разумеется, никоим образом не предполагалось, что после этой лекции слушатели будут знать санскрит. Но беглый «портрет» этого языка они получили. Вот примерно так и Орлин предлагает своим читателям «портрет» матанализа — области математики, которая тоже в немалой степени служит языком естественных (и не только) наук, согласно максиме Джозайи Гиббса: «Математика — это язык!» Научиться дифференцировать, а тем более интегрировать только по книге Орлина, не дополняя ее учебниками, нельзя. Но что такое в принципе производная и интеграл — читатель будет понимать. И это уже немало.
Орлин, впрочем, идет дальше. Он проявляет впечатляющую изобретательность, стремясь дать читателю ощутить математику «на вкус», как, наверное, меломаны могут ощущать музыку, а любители литературы — поэзию. И действительно, многие части книги весьма поэтичны, хотя от математической техники и фактуры автор никогда далеко не отходит — в этом смысле никакого «растекания по древу» нет.

«С производными все танцуют один и тот же танец, но интегралы дают каждому проявить свой собственный стиль», — пишет Орлин и тут же приводит примеры: скажем, из практики Ричарда Фейнмана, который прославился среди коллег именно виртуозным умением интегрировать. «Если дифференцирование — это правительственное здание с сияющими окнами и снабженными аккуратными табличками конференц-залами, то интегрирование — заколдованный дом с привидениями, полный странных зеркал, скрытых лестниц и неожиданных потайных ходов». Тут даже самый невосприимчивый к математике читатель наверняка почувствует интерес, отличный от нуля.

Знаете ли вы, какую потрясающую вещь однажды сделал Карл Вейерштрасс? Он придумал непрерывную функцию, не имеющую производной ни в одной точке. Нарисовать ее точный график невозможно, но тем не менее она существует. Открытие этой функции ввергло математиков (кроме Вейерштрасса) чуть ли не в депрессию. «Я с ужасом отворачиваюсь от этого прискорбного явления», — писал один из них. Другой математик заметил, что если бы о функции Вейерштрасса знали Лейбниц и Ньютон, то они, пожалуй, и не изобрели бы дифференциального исчисления. Так или иначе, открытый Вейерштрассом монстр «забил последний гвоздь в гроб геометрического восприятия как надежного основания математического анализа» (по словам математика и научного писателя Уильяма Данхэма). Если для вас всё это звучит как тарабарщина, то вы в целевой аудитории Орлина. Почитайте.
Впрочем, в этой книге, как и в предыдущей, Орлин отнюдь не ограничивается чистой математикой. Он вписывает ее в куда более широкий контекст. Даже проблемам космологии отведена целая глава: почему бы не поговорить о космологической постоянной, которую Эйнштейн сначала ввел в уравнение гравитационного поля, а потом оттуда выкинул, и о том, при чем тут расширение Вселенной? Еще одна глава посвящена применению матанализа в экономике (погуглите, что такое кривая Лаффера). Более того, в книгу попал не кто иной, как Лев Толстой. Разговор о Толстом автор начинает с привычных шуток, куда ж без них:
«“Война и мир” — произведение настолько великое, настолько масштабное и настолько изнурительно длинное, что даже спустя 150 лет после его выхода в свет первые читатели только подбираются к концу этого эпохального романа». Но дальше следует интересное обсуждение того, как высказанные в «Войне и мире» историософские идеи Толстого связаны с интегральным исчислением. А они в самом деле связаны! Орлину удается обсудить это весело и понятно.

Свои пределы применимости у затронутых в книге идей тоже есть. Это хорошо видно в самом начале, где автор задорно ругает Парменида за его философию неизменного бытия. С задачей настройки читателя на нужный лад Орлин, может, и справляется, но воспринимать эту часть его рассуждений всерьез, разумеется, невозможно. Особенно забавно, что греческих философов Парменида и Зенона он в сердцах обозвал неудачниками, одетыми в тоги. Ну, бывает.
В конце концов, знание основ матанализа может пригодиться хотя бы для того, чтобы понимать математические шутки — вроде бородатого анекдота, вынесенного в эпиграф к этой рецензии. Дифференцирование, то есть взятие производной, — операция, которая, как правило, меняет функцию до неузнаваемости (например, квадратичная зависимость превращается в линейную).
И только показательная функция, причем с основанием, равным числу e (≈ 2,71828), после дифференцирования остается собой. Сколько ни дифференцируй, ничего больше не добьешься: (e^x)′ = e^x. Такие дела.
Matan Blum — Formula SAE
Руководитель шасси и казначей
Самый влиятельный профессиональный опыт, который можно получить во время учебы.
Один из главных руководителей команды помог интегрировать два разных силовых агрегата в одно шасси и убедиться, что мы можем финансово покрыть все расходы, связанные с созданием гоночного автомобиля. Мне было поручено взять победившее шасси SR и заставить его работать на двух разных автомобилях. Я тесно работал с подвеской, силовой передачей внутреннего сгорания и электрической силовой передачей, чтобы иметь возможность разместить все компоненты в общем шасси и найти необходимые настройки для конкретного автомобиля. Научился сваривать, чтобы собрать автомобиль, и как возглавить подгруппу, чтобы иметь возможность решать несколько проблем проектирования.
Я руководил финансами команды, а также брал на себя инициативу в разработке процессов для команды. Я знал, что нужно сделать много работы и не так много времени, чтобы сделать это, поэтому нам нужно сделать это правильно с первого раза. Со слиянием двух автомобилей мы объединили и финансы обоих автомобилей. Мы решили проблемы цепочки поставок, связанные с Covid, и внедрили несколько непредвиденных обстоятельств для закупки деталей. Под моим руководством Spartan Racing превратилась из клуба с недостаточным финансированием в клубный вид спорта, что привело к дополнительному финансированию в размере 45 тысяч долларов в течение первых двух лет. Преследовал специальное финансирование от школы для финансирования двигателей в ступицах для электромобиля, вложив 25 тысяч долларов в будущее команды.
Я позаботился о том, чтобы, пока я был там, мы разработали инженерные проекты, закупили, отправили, организовали и разместили на машине, чтобы преодолеть одно узкое место за другим. Пока машины строились, я организовал общий рейс для большинства студентов, а также связался с деканом Школы инженерии SJSU, чтобы убедиться, что вся гостиница, аренда и бензин были оплачены для 60 участников, отправляющихся в Мичиган из Калифорнии. .
Необходимо завершить два сложных гоночных автомобиля Formula SAE с годичным сроком проектирования, сборки и соревнований. SR-13 заняла 4-е место в общем зачете (всего 48 команд) в соревнованиях в Мичигане в июне 2022 года, а SRE-6 заняла 8-е место в общем зачете (всего 55 команд) в соревнованиях в Мичигане в июне 2022 года. Лучший результат в Калифорнии!
Результаты:
Michigan, июнь 2022 г.
SR-13:
В целом: 4-е место
Ускорение: 2-е место
Дизайн: 3-е место
Выносливость: 6th Place
Автокросс: 8-е место
Skidpad: 19ft Place
Sre. -6:
В целом: 8-е место
Выносливость: 4-е место
Эффективность: 2-е место
Дизайн: 12-е место
Мичиган, июль 2021 г.
SRE-5:
В целом: 2-е место
3 SR
Выносливость: 01-е место 13 готовы к сварке
SR-13 & SRE-6 в Мичигане, июнь 2022 г.
Общие шасси SR-13 и SRE-6
Тестирование на рисование
5
SENTERSERNENTION
SENTAR Для тестирования TR
Результаты тестирования TR для SRE-6
SRE-6
SRE-6
SR-13
SR-13
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999002
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9 9000 2
.0045 Сравнение между старым и новым шасси
Изменение и добавление труб. шасси с аккумулятором EV
Отладка для SR-13 и SRE-6
SRE-5 и SR-12B
excel — Добавление комментария в виде формулы
спросил 4 года, 1 месяц назад
Изменено 4 года назад
Просмотрено 1к раз
Как автоматизировать комментарии к листу Excel? Есть ли формула для создания комментария типа "= Comment("etc")" или что-то еще?
Например, в столбце с кратким введением о каждой строке я решил, что комментарий будет лучше, чем длинный текст в каждой ячейке.
Приветствуются и другие альтернативы.
excel
excel-формула
комментарии
5
Одним из простых ответов с использованием VBA было бы создание такой функции VBA:
Option Explicit Функция InsertComment (Stringincell как строка, StrinComment как строка) Application.Caller.ClearComments Application.Caller.AddComment InsertComment = строка в ячейке Конечная функция
Теперь вы используете свой обычный Excel и вводите функцию/формулу в ячейку, чтобы получить текст в качестве комментария:
= Комментарий("Строка для просмотра в ячейке","Строка, которую вы хотите видеть в комментарии")
4
Чтобы добавить содержимое каждой ячейки в комментарий, привязанный к этой ячейке, вы можете использовать метод AddComment в VBA:

Подкомментарий() Dim ws As рабочий лист Dim rng As Range Установите ws = Рабочие листы (1) Установить rng = ws.
No related posts.