Формулы синуса косинуса и тангенса и котангенса: определения, формулы, примеры, угол поворота

определения, формулы, примеры, угол поворота

Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии. 

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии. 

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Синус угла (sin α) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла (cosα) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла (tg α) — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла (ctg α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

Приведем иллюстрацию. 

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Важно помнить!

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.

Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от -∞ до +∞. 

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

                                                                 

Начальная точка A с координатами (1, 0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A1. Определение дается через координаты точки A1(x , y). 

Синус (sin) угла поворота

Синус угла поворота α — это ордината точки A1(x , y). sin α=y

Косинус (cos) угла поворота

Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A1(x , y). cos α=х

Тангенс (tg) угла поворота

Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A1(x , y) к ее абсциссе. tg α=yx

Котангенс (ctg) угла поворота

Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A1(x , y) к ее ординате. ctg α=xy

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) и (0, -1). В таких случаях выражение для тангенса tg α=yx просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом.  Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Важно помнить!

Синус и косинус определены для любых углов α.

Тангенс определен для всех углов, кроме α=90°+180°·k, k∈Z (α=π2+π·k, k∈Z)

Котангенс определен для всех углов, кроме α=180°·k, k∈Z (α=π·k, k∈Z)

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α». Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь. 

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10π равен синусу угла поворота величиной 10π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности — точка A c координатами (1, 0).

Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус (sin) числа t

Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу 

t. sin t=y

Косинус (cos) числа t

Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t=x

Тангенс (tg) числа t

Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. tg t=yx=sin tcos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α, отличным от α = 90 ° + 180 ° · k ,   k ∈ Z   ( α = π 2 + π · k ,   k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса.

Котангенс, как сказано выше, определен для всех α, кроме α = 180 ° · k ,   k ∈ Z   ( α = π · k ,   k ∈ Z ). 

Можно сказать, что sin α, cos α, tg α, ctg α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента. 

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k ,   k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k ,   k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело. 

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов.

Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью  соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

                                                                     

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A(1,0) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A1(x,y) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A1OH равен углу поворота α, длина катета OH равна абсциссе точки A1(x,y). Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A1(x,y), а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности. 

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. 

sin α=A1HOA1=y1=y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α, при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы

определения, формулы, примеры, угол поворота

Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии. 

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии. 

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Синус угла (sin α) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла (cosα) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла (tg α) — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла (ctg α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

Приведем иллюстрацию. 

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Важно помнить!

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от -∞ до +∞. 

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

                                                                 

Начальная точка A с координатами (1, 0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A1. Определение дается через координаты точки A1(x , y). 

Синус (sin) угла поворота

Синус угла поворота α — это ордината точки A1(x , y). sin α=y

Косинус (cos) угла поворота

Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A1(x , y). cos α=х

Тангенс (tg) угла поворота

Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A1(x , y) к ее абсциссе.  tg α=yx

Котангенс (ctg) угла поворота

Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A1(x , y) к ее ординате. ctg α=xy

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) и (0, -1). В таких случаях выражение для тангенса tg α=yx просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом.  Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Важно помнить!

Синус и косинус определены для любых углов α.

Тангенс определен для всех углов, кроме α=90°+180°·k, k∈Z (α=π2+π·k, k∈Z)

Котангенс определен для всех углов, кроме α=180°·k, k∈Z (α=π·k, k∈Z)

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α». Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь. 

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10π равен синусу угла поворота величиной 10π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности — точка A c координатами (1, 0).

Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус (sin) числа t

Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t=y

Косинус (cos) числа t

Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t=x

Тангенс (tg) числа t

Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t.  tg t=yx=sin tcos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α, отличным от α = 90 ° + 180 ° · k ,   k ∈ Z   ( α = π 2 + π · k ,   k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α, кроме α = 180 ° · k ,   k ∈ Z   ( α = π · k ,   k ∈ Z ). 

Можно сказать, что sin α, cos α, tg α, ctg α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента. 

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k ,   k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k ,   k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело. 

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью  соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

                                                                     

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A(1,0) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A1(x,y) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A1OH равен углу поворота α, длина катета OH равна абсциссе точки A1(x,y). Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A1(x,y), а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности. 

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. 

sin α=A1HOA1=y1=y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α, при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы

определения, формулы, примеры, угол поворота

Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии.  Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии. 

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии. 

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Синус угла (sin α) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла (cosα) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла (tg α) — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла (ctg α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

Приведем иллюстрацию.  

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Важно помнить!

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от -∞ до +∞. 

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

                                                                 

Начальная точка A с координатами (1, 0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A1. Определение дается через координаты точки A1(x , y). 

Синус (sin) угла поворота

Синус угла поворота α — это ордината точки A1(x , y). sin α=y

Косинус (cos) угла поворота

Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A1(x , y). cos α=х

Тангенс (tg) угла поворота

Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A1(x , y) к ее абсциссе. tg α=yx

Котангенс (ctg) угла поворота

Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A1(x , y) к ее ординате. ctg α=xy

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) и (0, -1). В таких случаях выражение для тангенса tg α=yx просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом.  Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Важно помнить!

Синус и косинус определены для любых углов α.

Тангенс определен для всех углов, кроме α=90°+180°·k, k∈Z (α=π2+π·k, k∈Z)

Котангенс определен для всех углов, кроме α=180°·k, k∈Z (α=π·k, k∈Z)

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α». Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь. 

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10π равен синусу угла поворота величиной 10π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности — точка A c координатами (1, 0).

Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус (sin) числа t

Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t=y

Косинус (cos) числа t

Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t=x

Тангенс (tg) числа t

Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. tg t=yx=sin tcos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α, отличным от α = 90 ° + 180 ° · k ,   k ∈ Z   ( α = π 2 + π · k ,   k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α, кроме α = 180 ° · k ,   k ∈ Z   ( α = π · k ,   k ∈ Z ). 

Можно сказать, что sin α, cos α, tg α, ctg α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента. 

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k ,   k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k ,   k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело. 

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью  соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

                                                                     

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A(1,0) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A1(x,y) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A1OH равен углу поворота α, длина катета OH равна абсциссе точки A1(x,y). Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A1(x,y), а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности. 

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. 

sin α=A1HOA1=y1=y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α, при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы

определения, формулы, примеры, угол поворота

Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии. 

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии. 

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Синус угла (sin α) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла (cosα) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла (tg α) — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла (ctg α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

Приведем иллюстрацию. 

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Важно помнить!

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от -∞ до +∞. 

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

                                                                 

Начальная точка A с координатами (1, 0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A1. Определение дается через координаты точки A1(x , y). 

Синус (sin) угла поворота

Синус угла поворота α — это ордината точки A1(x , y). sin α=y

Косинус (cos) угла поворота

Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A1(x , y). cos α=х

Тангенс (tg) угла поворота

Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A1(x , y) к ее абсциссе.  tg α=yx

Котангенс (ctg) угла поворота

Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A1(x , y) к ее ординате. ctg α=xy

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) и (0, -1). В таких случаях выражение для тангенса tg α=yx просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом.  Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Важно помнить!

Синус и косинус определены для любых углов α.

Тангенс определен для всех углов, кроме α=90°+180°·k, k∈Z (α=π2+π·k, k∈Z)

Котангенс определен для всех углов, кроме α=180°·k, k∈Z (α=π·k, k∈Z)

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α». Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь. 

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10π равен синусу угла поворота величиной 10π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности — точка A c координатами (1, 0).

Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус (sin) числа t

Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t=y

Косинус (cos) числа t

Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t=x

Тангенс (tg) числа t

Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t.  tg t=yx=sin tcos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α, отличным от α = 90 ° + 180 ° · k ,   k ∈ Z   ( α = π 2 + π · k ,   k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α, кроме α = 180 ° · k ,   k ∈ Z   ( α = π · k ,   k ∈ Z ). 

Можно сказать, что sin α, cos α, tg α, ctg α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента. 

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k ,   k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k ,   k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело. 

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью  соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

                                                                     

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A(1,0) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A1(x,y) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A1OH равен углу поворота α, длина катета OH равна абсциссе точки A1(x,y). Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A1(x,y), а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности. 

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. 

sin α=A1HOA1=y1=y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α, при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы

определения, формулы, примеры, угол поворота

Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии.  Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии. 

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии. 

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Синус угла (sin α) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла (cosα) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла (tg α) — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла (ctg α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

Приведем иллюстрацию.  

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Важно помнить!

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от -∞ до +∞. 

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

                                                                 

Начальная точка A с координатами (1, 0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A1. Определение дается через координаты точки A1(x , y). 

Синус (sin) угла поворота

Синус угла поворота α — это ордината точки A1(x , y). sin α=y

Косинус (cos) угла поворота

Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A1(x , y). cos α=х

Тангенс (tg) угла поворота

Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A1(x , y) к ее абсциссе. tg α=yx

Котангенс (ctg) угла поворота

Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A1(x , y) к ее ординате. ctg α=xy

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) и (0, -1). В таких случаях выражение для тангенса tg α=yx просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом.  Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Важно помнить!

Синус и косинус определены для любых углов α.

Тангенс определен для всех углов, кроме α=90°+180°·k, k∈Z (α=π2+π·k, k∈Z)

Котангенс определен для всех углов, кроме α=180°·k, k∈Z (α=π·k, k∈Z)

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α». Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь. 

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10π равен синусу угла поворота величиной 10π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности — точка A c координатами (1, 0).

Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус (sin) числа t

Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t=y

Косинус (cos) числа t

Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t=x

Тангенс (tg) числа t

Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. tg t=yx=sin tcos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α, отличным от α = 90 ° + 180 ° · k ,   k ∈ Z   ( α = π 2 + π · k ,   k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α, кроме α = 180 ° · k ,   k ∈ Z   ( α = π · k ,   k ∈ Z ). 

Можно сказать, что sin α, cos α, tg α, ctg α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента. 

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k ,   k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k ,   k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело. 

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью  соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

                                                                     

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A(1,0) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A1(x,y) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A1OH равен углу поворота α, длина катета OH равна абсциссе точки A1(x,y). Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A1(x,y), а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности. 

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. 

sin α=A1HOA1=y1=y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α, при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов. \circ }=5\)

Ответ: \( \displaystyle 5\).

2. \( \displaystyle \frac{8}{\sin \left( -\frac{27\pi }{4} \right)\text{cos}\left( \frac{31\pi }{4} \right)}\)

\( \displaystyle \frac{8}{\sin \left( -\frac{27\pi }{4} \right)\text{cos}\left( \frac{31\pi }{4} \right)}\)

Опять задача целиком на формулы приведения. Вначале….

\( \displaystyle \frac{8}{\sin \left( -\frac{27\pi }{4} \right)\text{cos}\left( \frac{31\pi }{4} \right)}=\frac{8}{-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{8}{-\frac{2}{4}}=-8:\left( \frac{2}{4} \right)=-16\)

…избавимся от минуса, вынеся его перед синусом (поскольку синус – функция нечетная!!!). Затем рассмотрим углы:

\( \displaystyle \frac{27\pi }{4}=\frac{26\pi }{4}+\frac{\pi }{4}=6\pi +\frac{\pi }{4}\)

Отбрасываем целое количество кругов – то есть три круга (\( \displaystyle 6\pi \)). Остается вычислить: \( \displaystyle sin\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Так же поступаем и со вторым углом:

\( \displaystyle \frac{31\pi }{4}=7\frac{3}{4}\pi =7\pi +\frac{3}{4}\pi \)

Удаляем целое число кругов –3 круга (\( \displaystyle 6\pi \)) тогда:

\( \displaystyle \text{cos}\left( \frac{31\pi }{4} \right)=\cos \left( 7\pi +\frac{3}{4}\pi \right)=\cos \left( \pi +\frac{3}{4}\pi \right)\)

Теперь думаем: в какой четверти лежит оставшийся угол? Он «не дотягивает» до \( \displaystyle 2\pi \) всего \( \displaystyle \frac{\pi }{4}\). {2}}\frac{5\pi }{12} \right)=\sqrt{3}\cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)=-\frac{3}{2}=-1,5\)

Ответ: \( \displaystyle -1,5\).

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния \( \displaystyle 5tg\left( 5\pi -\gamma \right)-tg\left( -\gamma \right)\), если \( \displaystyle tg\gamma =7\).

У тангенса период – \( \displaystyle \pi \), так что не задумываясь отбрасываем его:

\( \displaystyle 5tg\left( 5\pi -\gamma \right)=5tg\left( -\gamma \right)\ =-5tg\gamma \)

Здесь мы использовали еще и тот факт, что тангенс – функция нечетная.

\( \displaystyle 5tg\left( 5\pi -\gamma \right)-tg\left( -\gamma \right)=-5tg\gamma -\left( -tg\gamma \right)=-5tg\gamma +tg\gamma =-4tg\gamma =\)
\( \displaystyle=-4\cdot 7=-28\)

\( \displaystyle=-4\cdot 7=-28\)

Ответ: \( \displaystyle -28\).

10. Най­ди­те \( \displaystyle \sin \left( \frac{7\pi }{2}-\alpha \right)\), если \( \displaystyle sin\alpha =0,8\) и \( \displaystyle \alpha \in \left( \frac{\pi }{2};\pi \right)\)

Вначале упростим выражение, используя формулы приведения (вначале отбросим целые круги и уберем минус):

\( \displaystyle \sin \left( \frac{7\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \left( 2\pi -\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \left( -\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=-\text{sin}\left( \frac{\pi }{2}+\alpha \right)\)

Наш оставшийся угол – во третьей четверти (посмотри на условия для угла в условии задачи!!!). {2}}}=\pm \sqrt{0,36}=\pm 0,6\)

Так как сам угол лежит во второй четверти, а косинус второй четверти отрицательный, то выбираем знак «минус». Окончательно получим:

\( \displaystyle \sin \left( \frac{7\pi }{2}-\alpha \right)=-0,6\).

Ответ: \( \displaystyle -0,6\).

Ну вот, справился со всем без проблем? Очень на это надеюсь!

Начальные сведения о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе

Определения

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего к этому углу катета к гипотенузе: \(\sin \alpha=\dfrac ac\)

 

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе: \(\cos \alpha=\dfrac bc\)

 

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего к этому углу катета к прилежащему катету: \(\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac ab\)

 

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего к этому углу катета к противолежащему катету: \(\mathrm{ctg}\,\alpha=\dfrac ba\)

 

Утверждение

Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы равных углов соответственно равны. \circ=\dfrac{\sqrt2}2\)

Шесть функций (Триггер без слез, часть 2)

Шесть функций (Триггер без слез, часть 2)

Триггер без слез Часть 2:

Авторские права 19972020 Стэн Браун, BrownMath.com

Резюме: Каждая из шести триггерных функций просто одна сторона прямоугольного треугольника разделена на другую сторону . Или, если вы нарисуете треугольник в единичной окружности , каждая функция — длина одного отрезка. простой способ запомнить все шесть определений: запомнить определения синуса и косинуса а затем запомните остальные четыре как комбинации синуса и косинуса , не как самостоятельные функции.

Основные два: синус и косинус

Картинка стоит тысячи слов (вот почему требуется тысяча слов). раз дольше скачивать). Триггерные функции — это не что иное, как длин различных сторон прямоугольного треугольника в различных соотношениях . Так как сторон три, то 3 × 2 = 6 разные способы сделать соотношение (дробь) сторон. Это почему есть шесть триггерных функций, не больше и не меньше .

Из этих шести функций тройка, косинус и касательно львиная доля работы.(Остальные изучаются, потому что их можно использовать для сделайте некоторые выражения проще.) Начнем с синуса и косинуса, потому что они действительно базовые а остальные зависят от них.

Вот один из обычных способов показать прямоугольный треугольник. Ключевым моментом является то, что строчные буквы а , б , в стороны, противоположные углам, отмеченным соответствующими заглавные буквы A , B , C .В большинстве книг используется это соглашение: строчная буква для стороны, противоположной углу верхнего регистра .

Два основных определения отмечены на схеме. Вы должны сохранить их в памяти . Фактически, они должны стать второй натурой для вы, чтобы вы их узнавали, как бы ни повернулся треугольник вокруг. Всегда, всегда синус угла равен противоположному сторона, деленная на гипотенузу (opp / hyp на диаграмме). Косинус равен равна смежной стороне, деленной на гипотенузу (adj / hyp).

(1) Запомнить:

синус = (противоположная сторона) / гипотенуза

косинус = (смежная сторона) / гипотенуза

Какой синус у B на диаграмме? Помните opp / hyp: наоборот сторона b , а гипотенуза c , поэтому sin B = b / c . А как насчет косинуса B ? Помните прил / гип: прилегающая сторона a , поэтому cos B = a / c .

Вы замечаете, что синус одного угла является косинусом другого? Так как A + B + C = 180 для любого треугольник, а C — 90 в этом треугольнике, A + B должен равно 90. Следовательно A = 90 — B и B = 90 — A . Когда два угла складываются 90, каждый угол является дополнением другого угла ° и °, а синус каждого угла составляет o синус другого. Это идентификаторы совместных функций :

(2) sin A = cos (90 — A ) или cos (π / 2 — A )

cos A = sin (90 — A ) или sin (π / 2 — A )

Выражения для длин сторон

Определения синуса и косинуса можно немного изменить, чтобы позвольте вам записать длины сторон через гипотенуза и углы. Например, когда вы знаете что b / c = cos A , вы можно умножить на c и получаем b = c × cos A .Вы можете написать еще выражение для длины b , которое использует синус вместо косинуса? Помните, что противоположность гипотенузы равна синусу, поэтому b / c = sin B . Умножить через c и у вас есть b = c × sin B .

Вы видите, как записать два выражения для длины стороны a ? Пожалуйста, работайте с определениями и убедитесь, что a = c × sin A = c × cos B .

Пример: Дан прямоугольный треугольник с углом A = 52 и гипотенуза c = 150 м. Какая длина стороны b ? Подсказка: нарисуйте картинку и обозначьте A , c , и b .

Решение: Картинки всегда хорошие. Ты не нужно зацикливаться на том, чтобы получить точную картину, но, по крайней мере, сделать это близко. Это поможет вам понять, когда ваш ответ невозможен, чтобы вы знали, что совершили ошибку.В моем маленьком эскизе я установил чтобы сделать угол A чуть больше 45, но на мой взгляд похоже немного меньше. Это нормально.

Вы можете заметить, что я пометил сторону как , хотя мы не нужно это для проблемы. Я сделал это, поэтому у меня не было подумать, с какой стороны было б . Всегда помни правило что сторона с данной буквой противоположна углу с этим письмо. (И, условно, мы всегда ставим C справа угол, так что c гипотенуза.)

Когда у вас есть изображение, решить проблему довольно просто. простой. Вы хотите что-то, связанное с A , это прилегающая сторона и гипотенуза; это должен быть косинус.

cos A = b / c

б = c × cos A = 150 × cos 52 = около 92,35 м.

Пример: Оттяжка закреплена в земле. и прикреплен к вершине 45-футового флагштока. Если он встречается с землей под углом 63, какова длина растяжки?

Решение: Предположительно флагшток вертикальный, поэтому это прямоугольный треугольник с A = 63, a = 45 футов, и гипотенуза c неизвестный.Какая функция задействует противоположную сторону и гипотенузу? Это должен быть синус. Ты знаешь что

sin A = a / c

Следовательно,

c = a / sin A = 45 / sin 63 = около 50,5 футов

Вам может быть интересно, как найти стороны или углы треугольников. когда нет прямого угла. Ну что ж, под темой Решение треугольников.

Синус и косинус в единичной окружности

Часто всплывает один важный особый случай.Предположим, что гипотенуза c = 1; тогда мы называем треугольник a ед. Прямоугольный треугольник . Из приведенных выше абзацев видно, что если c = 1, то a = sin A и b = cos A . Другими словами, в прямоугольный треугольник с противоположной стороной будет равен синусу, а соседняя сторона будет равна косинусу угла.

Треугольник часто рисуют в единичном круге , круге радиус 1, как показано справа.Угол A находится в центре окружности, а на соседней стороне лежит по оси x. Если вы сделаете это, гипотенуза будет радиусом, равным 1. Координаты ( x , y ) внешнего конца гипотенузы — ноги треугольника x и y : ( x , y ) = (cos A , sin A ). Единичный круг — ваш друг : он может помочь вам визуализировать участки триггерных тождеств.

Остальные четыре: касательная, котангенс, секанс, косеканс

Остальные четыре функции не имеют реальной самостоятельной жизни; Они просто комбинации первых двух .Вы могли бы сделать все тригонометрия, не зная ничего больше, чем синусы и косинусы. Но зная что-то в остальных четырех, особенно касательное, часто может спасти вас шаги в вычислении, и ваш учитель будет ожидать, что вы знаете о них на экзаменах.

Мне проще запомнить (извините!) Определение касательной через синус и косинус:

(3) Запомнить:

tan A = (sin A ) / (cos A )

Вы будете использовать функцию тангенса (tan) намного чаще чем последние три функции.(Я доберусь до них через минуту.)

Есть альтернативный способ запомнить значение касательной . Помните из схемы что sin A = напротив / гипотенуза и cos A = смежный / гипотенуза. Подставьте их в уравнение 3, определение функция загара, и у вас загар A = (противоположный / гипотенуза) / (смежный / гипотенуза) или

(4) касательная = (противоположная сторона) / (смежная сторона)

Обратите внимание, что это , а не с пометкой «запомнить»: вам не нужно запомнить, потому что он вытекает непосредственно из определения уравнение 3, и фактически эти два утверждения эквивалент. Я решил представить их в таком порядке, чтобы минимизировать беспорядок opp, adj и hyp среди sin, cos и загар. Однако, если хотите, можете запомнить уравнение 4, а затем вывести эквивалентное тождество уравнение 3, когда вам это нужно.

Пример: Оттяжка закреплена в земле и прикреплена на вершину 45-футового флагштока. Как далеко якорь от базы флагштока, если провод встречается с землей в угол 63?

Решение: Это вариант предыдущий пример.Этот время, вы хотите знать сторону, прилегающую к углу A , а не гипотенуза. Как и раньше, предположим, что флагшток вертикальный, поэтому это прямоугольный треугольник с A = 63, a = 45 футов, и прилегающая сторона b неизвестный. Какая функция задействует соседнюю сторону и противоположную сторону? Это касательная. Вы знаете, что

загар A = a / b

Следовательно,

b = a / tan A = 45 / tan 63 = около 22. 9 футов

Итак, я сказал, что вы можете выполнять все триггеры только с синусами и косинусы. Как это сработает для этой проблемы? Ну синус и косинус обеим нужна гипотенуза, так что у вас будет

sin A = a / c ⇒ c = a / sin A и

cos A = b / c ⇒ c = b / cos A . Следовательно,

b / cos A = a / sin A

b = a × cos A / sin A = 45 × cos 63 / sin 63 = около 22.9 футов

В конце концов, вы попали в то же место, но путь был дольше. Итак, хотя это и не обязательно, касательная может облегчить вашу работу.

Остальные три триггера функции котангенс, секанс и косеканс являются определяется в терминах первых трех . Они используются реже, но упрощают некоторые проблемы в исчисление. В практических задачах, не связанных с исчислением, они вам практически никогда не понадобятся.

(5) Запомнить:

детская кроватка A = 1 / (коричневый A )

сек A = 1 / (cos A )

csc A = 1 / (sin A )

Угадайте что! Это последняя триггерная идентификация, которую вам нужно запомнить.

(Вы, вероятно, обнаружите, что в конечном итоге запомните некоторые другие личности, даже не намереваясь, просто потому, что вы их используете часто. Но уравнение 5 делает последние, что вам придется сесть и запомнить только их собственн.)

К сожалению, определения в уравнении 5 не являются самая легкая вещь в мире для запоминания. Равняется ли секанс на 1? синус или 1 над косинусом? Вот , два полезных совета : Каждое из этих определений имеет совместную функцию с одной и только с одной стороны. уравнения, поэтому у вас не возникнет соблазна подумать, что sec A равно 1 / sin A .А секанс и косеканс идут вместе, как синус и косинус, поэтому у вас не возникнет соблазна подумать, что детская кроватка A равно 1 / sin A .

Для альтернативного подхода к запоминанию выше идентификаторов, вам может понравиться:

Вы можете сразу заметить важную связь между касательной и котангенс. Каждый является совместной функцией другого, как синус и косинус:

(6) желто-коричневый A = детская кроватка (90 — A ) или детская кроватка (π / 2 — A )

детская кроватка A = желто-коричневый (90 — A ) или коричневый (π / 2 — A )

Если вы хотите это доказать, это легко определения и уравнение 2:

детская кроватка A = 1 / tan A

Примените определение загара:

детская кроватка A = 1 / (sin A / cos A )

Упростим дробь:

детская кроватка A = cos A / sin A

Примените уравнение 2:

детская кроватка A = sin (90 — A ) / cos (90 — A )

Наконец, признайте, что эта дробь соответствует определению функция загара, уравнение 3:

детская кроватка A = коричневый (90 — A )

Касательная и co тангенс — это такие же функции, как синус и синус. Выполняя такую ​​же замену, вы можете показать, что секанс и Секунды co также являются совместными функциями:

(7) сек A = csc (90 — A ) или csc (π / 2 — A )

csc A = сек (90 — A ) или сек (π / 2 — A )

Шесть функций в одном изображении

Вы видели ранее, как синус и косинус угла — стороны треугольника в единичной окружности. Оказывается что все шесть функций могут быть изображены таким образом геометрически.

единичный круг (радиус = AB = 1)
sin θ = BC; cos θ = AC; загар θ = ED
csc θ = AG; сек θ = AE; детская кроватка θ = FG

Изображение предоставлено TheMathPage

На рисунке справа треугольник ABC имеет угол θ при центр единичной окружности (AB = радиус = 1). Ты уже знайте, что BC = sin θ и AC = cos θ .

А как насчет загара θ ? Ну, так как DE касается единицы круг, вы можете догадаться, что его длина — загар θ , и вы бы верно. Треугольники ABC и AED похожи, поэтому

ED / AD = BC / AC

ED / 1 = sin θ / cos θ

ED = загар θ

Больше информации исходит от той же пары одинаковых треугольники:

AE / AB = AD / AC

AE / 1 = 1 / cos θ

AE = сек θ

Длина детской кроватки θ и csc θ придет. из другого треугольника, GAF.Этот треугольник также похож на треугольник AED. (Почему? FG перпендикулярно FA, а FA перпендикулярно ОБЪЯВЛЕНИЕ; следовательно, FG и AD параллельны. В начале геометрии вы узнал, что когда параллельные линии разрезаются третьей линией, соответствующие углы обозначены θ в диаграммы равны. Таким образом, FG касается единицы окружности, а значит, углы G и θ равны. )

Используя аналогичные треугольники GAF и AED,

FG / FA = AD / ED

FG / 1 = 1 / tan θ

FG = детская кроватка θ

В этом есть смысл: FG касается единичной окружности и является тангенс дополнения угла θ , а именно угла GAF. Следовательно, FG — котангенс исходного угла θ (или угла GAD).

Наконец, снова используя ту же пару похожих треугольников, вы также можно сказать, что

AG / FA = AE / ED

AG / 1 = сек θ / tan θ

AG = (1 / cos θ ) / (sin θ / cos θ )

AG = 1 / sin θ

AG = csc θ

Эта диаграмма прекрасно передает геометрическое значение всех шести триггерных функций, когда угол θ проведен в центре единичный круг:

sin θ = BC; cos θ = переменный ток; загар θ = ED

csc θ = AG; сек θ = AE; детская кроватка θ = FG

Практические задачи

Чтобы извлечь максимальную пользу из этих проблем, решите их. без предварительного просмотра решений.Вернитесь к главе текст, если вам нужно освежить память.

Рекомендация : Работайте на бумаге труднее обмануть себя, действительно ли ты полностью разобраться в проблеме.

Вы найдете полный решения для всех проблем. Не просто проверяй свой ответы, но проверьте и свой метод.

1 Найдите все шесть функций угла 30. Найдите синус, косинус, и тангенс 60. 2 Найдите sin A , sin B , tan A и tan B .3 A ≈ 53,13. Найдите примерную площадь треугольник. Подсказка: площадь треугольника равна основание × высота /2.

BTW: Зачем называть это синусом?

Очевидно, почему название тангенс имеет смысл: тангенс угла — это длина отрезка, касательного к единичной окружности. А как же синус функция? Как он получил свое название?

Посмотрите на изображение еще раз и обратите внимание, что sin θ = BC — половина хорды круга.Индуистский математик Арьябхата старший (о 475550) использовал слово jya или jiva для этого полуаккорда. В арабском переводе это слово осталось без изменений, но в арабской системе письма джива было написано так же, как арабское слово джайб, означает грудь, складку или залив. Латинское слово, обозначающее грудь, залив или кривую. синус, или синус на английском языке, и начинается с Gherardo из Кремона (ок. 11141187), ставшая общепринятым термином.

Эдмунд Гюнтер (15811626), кажется, был первым опубликовать сокращения sin и tan для sin и касательная.

Мой источник этой истории — Эли Маорс Тригонометрический Восторги (1998, Princeton University Press), стр. 3536. Я настоятельно рекомендую вам обратиться к книге для более полного отчета.

Что нового

• 27 сентября 2017 г. : Откорректировать 29,2 футов до 22,9 футов, здесь и здесь, спасибо Райану МакПарлану.
• 29 октября 2016 г. :
• (промежуточные изменения подавлены)
• 19 февраля 1997 г. : Новый документ.

следующий: 3 / Специальные уголки

тригонометрических идентичностей | Безграничная алгебра

Закон синуса

По закону синусов можно найти неизвестные углы и стороны в любом треугольнике.

Цели обучения

Используйте закон синусов для решения задач с треугольниками любой конфигурации, а также для преобразования тригонометрических выражений

Основные выводы

Ключевые моменты

• Закон синусов используется для определения размеров всех трех углов и всех трех сторон треугольника.
• Закон синусов гласит, что следующие пропорции равны: [латекс] \ displaystyle {\ frac {\ sin \ alpha} {a} = \ frac {\ sin \ beta} {b} = \ frac {\ sin \ gamma } {c}} [/ latex], где [latex] \ alpha, \ beta, [/ latex] и [latex] \ gamma [/ latex] — углы, а [latex] a [/ latex], [latex] b [/ latex] и [latex] c [/ latex] — длины противоположных сторон соответственно.{\ circ} [/ latex] угол, а любой другой треугольник — наклонный. Решить наклонный треугольник означает найти измерения всех трех углов и всех трех сторон.

  Закон синусов гласит, что:

  [латекс] \ displaystyle {\ frac {\ sin \ alpha} {a} = \ frac {\ sin \ beta} {b} = \ frac {\ sin \ gamma} {c}} [/ латекс]

  где [latex] \ alpha, \ beta, [/ latex] и [latex] \ gamma [/ latex] — углы, а [latex] a [/ latex], [latex] b [/ latex] и [latex] c [/ latex] — длины противоположных им сторон соответственно.

  Наклонный треугольник: Стороны этого наклонного треугольника обозначены буквами a, b и c, а соответствующие им углы обозначены [latex] \ alpha [/ latex], [latex] \ beta [/ latex] и [латекс] \ гамма [/ латекс].

  Обратите внимание на стандартный способ маркировки треугольников: угол [латекс] \ альфа [/ латекс] (альфа) — противоположная сторона [латекс] а [/ латекс]; угол [латекс] \ бета [/ латекс] (бета) противоположная сторона [латекс] b [/ латекс]; и угол [латекс] \ гамма [/ латекс] (гамма) является противоположной стороной [латекс] c [/ латекс].

  Чтобы решить наклонный треугольник, используйте любую пару применимых соотношений из формулы закона синусов. При расчете углов и сторон обязательно доведите точные значения до окончательного ответа.

  Пример

  Решите треугольник, показанный на рисунке, округляя окончательные ответы до ближайшей десятой.

  Наклонный треугольник с неизвестными сторонами и углами: В этом треугольнике [латекс] \ альфа = 50 \ градус [/ латекс], [латекс] \ гамма = 30 \ градус [/ латекс] и [латекс] a = 10 [/латекс]. {\ circ} \ quad \ quad \ quad c \ приблизительно 6.5 [/ латекс]

  Закон косинусов

  Закон косинусов можно использовать для определения углов и сторон треугольника в случаях, когда другие законы не применяются.

  Цели обучения

  Используйте закон косинусов для решения задач с треугольниками любой конфигурации, а также для преобразования тригонометрических выражений

  Основные выводы

  Ключевые моменты

  • Закон косинусов можно использовать для определения углов и сторон треугольника в тех случаях, когда закон синусов не может быть применен, например, для треугольников с неизвестными углами.2 [/ latex], где [latex] c [/ latex] — это гипотенуза, а [latex] a [/ latex] и [latex] b [/ latex] — длины двух других сторон.

  Использование закона косинусов

  В некоторых случаях у нас может не быть достаточно информации, чтобы применить закон синусов, чтобы найти неизвестные углы и стороны в треугольнике. Например, рассмотрим треугольник, у которого известны все три стороны, но неизвестны значения углов. В таких случаях недостаточно информации для использования закона синуса. Закон косинусов полезен для: 1) вычисления третьей стороны треугольника, когда известны две стороны и их внутренний угол, и 2) вычисления углов треугольника, если известны только три стороны.

  Закон косинусов определяет соотношение между измерениями углов и длинами сторон наклонных треугольников. Три формулы составляют Закон косинусов. На первый взгляд формулы могут показаться сложными, потому что они включают много переменных. Однако, как только схема будет понята, с законом косинусов легче работать, чем со многими формулами на этом математическом уровне.

  Закон косинусов гласит, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение двух других сторон и косинус включенного угла.2 — 2ab \ cos \ gamma \ end {align} [/ latex]

  Наклонный треугольник (без прямого угла): Наклонный треугольник с углами [латекс] \ альфа [/ латекс], [латекс] \ бета [/ латекс] и [латекс] \ гамма [/ латекс] и наоборот. соответствующие стороны [латекс] a [/ латекс], [латекс] b [/ латекс] и [латекс] c [/ латекс].

  Для определения размера отсутствующей стороны требуется соответствующая величина противоположного угла. При решении для угла нужны длины всех сторон. Обратите внимание, что каждую формулу закона косинусов можно переставить, чтобы найти угол.2 & = 244 — 120 \ sqrt {3} \\ b & = \ sqrt {244 — 120 \ sqrt {3}} \\ b & \ приблизительно 6.0 \ end {align}} [/ latex]

  Обратите внимание, что теперь у нас достаточно информации, чтобы мы могли использовать закон синусов для определения неизвестных углов [латекс] \ альфа [/ латекс] и [латекс] \ гамма [/ латекс] в треугольнике.

  Пифагорейские тождества

  Тождества Пифагора полезны для упрощения выражений с помощью тригонометрических функций.

  Цели обучения

  Соедините тригонометрические функции с теоремой Пифагора, чтобы вывести тождества Пифагора

  Основные выводы

  Ключевые моменты

  • Тождества Пифагора выводятся из теоремы Пифагора и описывают взаимосвязь между синусом и косинусом на единичной окружности. 2 [/ латекс]

    Для треугольника, нарисованного внутри единичного круга, длина гипотенузы треугольника равна радиусу круга, который равен [латекс] 1 [/ латекс]. Длины сторон треугольника составляют [латекс] x [/ латекс] и [латекс] y [/ латекс].

    Тождество Пифагора на единичной окружности: Для треугольника, нарисованного внутри единичной окружности, длина гипотенузы равна радиусу окружности. Стороны треугольника имеют длины [латекс] x [/ латекс] и [латекс] y [/ латекс].2 т = 1 [/ латекс]

    , что верно для любого действительного числа [латекс] т [/ латекс].

    Мы можем использовать тождество Пифагора, чтобы найти косинус угла, если мы знаем синус, или наоборот. Однако, поскольку уравнение дает два решения, нам необходимо дополнительное знание угла, чтобы выбрать решение с правильным знаком. Если мы знаем, в каком квадранте находится угол, мы можем легко выбрать правильное решение.

    Дополнительные тождества могут быть получены из тождества Пифагора [латекс] \ cos ^ 2 t + \ sin ^ 2 t = 1 [/ latex]. 2 т [/ латекс] упрощается до [латекс] 5 [/ латекс].

    Формулы сложения и вычитания углов

    Тригонометрические выражения можно упростить, используя специальные углы и набор формул для сложения и вычитания углов.

    Цели обучения

    Упростите тригонометрические выражения с помощью формул сложения и вычитания углов.

    Основные выводы

    Ключевые моменты

    • Формулы для сложения и вычитания углов в тригонометрических выражениях позволяют нам найти синус, косинус или тангенс
      данного угла, если мы можем разбить его
      на сумму или разность двух специальных углов.
    • Формулы для косинуса: [latex] \ cos (\ alpha + \ beta) = \ cos \ alpha \ cos \ beta — \ sin \ alpha \ sin \ beta [/ latex] и [latex] \ cos (\ alpha — \ beta) = \ cos \ alpha \ cos \ beta + \ sin \ alpha \ sin \ beta [/ latex].
    • Формулы для синуса: [latex] \ sin (\ alpha + \ beta) = \ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta [/ latex] и [latex] \ sin (\ alpha — \ beta) = \ sin \ alpha \ cos \ beta — \ cos \ alpha \ sin \ beta [/ latex].
    • Формулы касательной: [latex] \ displaystyle {\ tan (\ alpha + \ beta) = \ frac {\ tan \ alpha + \ tan \ beta} {1 — \ tan \ alpha \ tan \ beta}} [ / latex] и [latex] \ displaystyle {\ tan (\ alpha — \ beta) = \ frac {\ tan \ alpha — \ tan \ beta} {1 + \ tan \ alpha \ tan \ beta}} [/ latex] .2} [/ латекс].

    Получение формул сложения и вычитания углов

    Часто бывает проще найти точное значение синуса, косинуса или тангенса угла, если мы можем переписать данный угол в терминах двух углов, для которых известны тригонометрические значения. Мы можем использовать специальные углы, которые мы можем просмотреть в единичном круге, показанном ниже.

    Единичная окружность: Единичная окружность со значениями синуса и косинуса, отображаемыми для специальных углов.

    Существуют формулы для сложения и вычитания углов в каждой из тригонометрических функций.Они позволяют нам найти тригонометрическую функцию данного угла, если мы можем разбить ее на сумму или разность двух особых углов.

    Чтобы увидеть, как выводятся эти формулы, мы можем разместить точки на диаграмме единичного круга. Предположим, что угол, для которого мы хотим найти тригонометрическую функцию, — это угол, образованный точкой [латекс] A [/ latex], которая измеряет угол [латекс] \ альфа — \ бета [/ латекс]. Угол, образованный [латексом] A [/ латексом] и точкой [латекс] B [/ латексом] на положительной оси [латекса] x [/ латекса], такой же, как угол, образованный между двумя особыми углами, которые обозначается [латекс] P [/ латекс] и [латекс] Q [/ латекс].Точка [latex] P [/ latex] находится под углом [latex] \ alpha [/ latex] к положительной оси [latex] x [/ latex] – с координатами [latex] (\ cos \ alpha, \ sin \ alpha) [/ latex], а точка [latex] Q [/ latex] находится под углом [latex] \ beta [/ latex] от положительной оси [latex] x [/ latex] — с координатами [ латекс] (\ соз \ бета, \ грех \ бета) [/ латекс]. Углы равны, поэтому расстояние между точками [латекс] P [/ латекс] и [латекс] Q [/ латекс] такое же, как и между точками [латекс] A [/ латекс] и [латекс] B [/ латекс ]. 2} [/ латекс]

    можно вывести ряд соотношений между углами. Мы можем вывести следующие шесть формул.

    Формулы для косинуса:

    [латекс] \ begin {align} \ cos (\ alpha + \ beta) & = \ cos \ alpha \ cos \ beta — \ sin \ alpha \ sin \ beta \\ \ cos (\ alpha — \ beta) & = \ cos \ alpha \ cos \ beta + \ sin \ alpha \ sin \ beta \ end {align} [/ latex]

    Формулы для синуса:

    [латекс] \ begin {align} \ sin (\ alpha + \ beta) & = \ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta \\ \ sin (\ alpha — \ beta) & = \ sin \ alpha \ cos \ beta — \ cos \ alpha \ sin \ beta \ end {align} [/ latex]

    Формулы тангенса:

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ tan (\ alpha + \ beta) & = \ frac {\ tan \ alpha + \ tan \ beta} {1 — \ tan \ alpha \ tan \ beta} \\ \ tan (\ alpha — \ beta) & = \ frac {\ tan \ alpha — \ tan \ beta} {1 + \ tan \ alpha \ tan \ beta} \ end {align}} [/ latex]

    [latex] [/ latex] Они полезны для поиска углов, которые могут быть получены путем сложения или вычитания специальных углов. {\ circ} [/ латекс]. Можно найти тригонометрические функции любого такого угла.

    Пример

    Используя формулу косинуса разности двух углов, найдите точное значение [latex] \ displaystyle {\ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {4} — \ frac {\ pi} {6 } \ right)}} [/ латекс].

    Примените формулу [латекс] \ cos (\ alpha — \ beta) = \ cos \ alpha \ cos \ beta + \ sin \ alpha \ sin \ beta [/ latex]:

    [латекс] \ displaystyle {\ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {4} — \ frac {\ pi} {6} \ right)} = \ cos {\ left (\ frac {5 \ pi } {4} \ right)} \ cos {\ left (\ frac {\ pi} {6} \ right)} + \ sin {\ left (\ frac {5 \ pi} {4} \ right)} \ sin {\ left (\ frac {\ pi} {6} \ right)}} [/ латекс]

    Подставьте значения тригонометрических функций из единичной окружности:

    [латекс] \ displaystyle {\ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {4} — \ frac {\ pi} {6} \ right)} = \ left (- \ frac {\ sqrt {2} } {2} \ right) \ left (\ frac {\ sqrt {3}} {2} \ right) + \ left (- \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ right) \ left (\ frac {1} {2} \ right)} [/ латекс]

    Упростить:

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {4} — \ frac {\ pi} {6} \ right)} & = — \ frac {\ sqrt {6}} {4} — \ frac {\ sqrt {2}} {4} \\ \ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {4} — \ frac {\ pi} {6} \ right )} & = — \ frac {\ sqrt {6} — \ sqrt {2}} {4} \ end {align}} [/ latex]

    Пример

    Найдите точное значение [латекс] \ sin (15 ^ {\ circ}) [/ latex].{\ circ} \ right)} = \ frac {\ sqrt {6} — \ sqrt {2}} {4}} [/ латекс]

    Формулы двойных и половинных углов

    Тригонометрические выражения можно упростить, применив формулы двойного и половинного угла.

    Цели обучения

    Упростите тригонометрические выражения с помощью формул двойного и половинного угла

    Основные выводы

    Ключевые моменты

    • Формулы двойного угла являются частным случаем формул суммы, где [latex] \ alpha = \ beta [/ latex].Они полезны, когда мы хотим найти тригонометрическую функцию угла, который вдвое больше специального угла.
    • Формулы половинного угла также являются частным случаем и полезны, когда мы хотим найти тригонометрическую функцию угла [latex] \ theta [/ latex], который составляет половину особого угла [latex] \ alpha [/ latex ] (Другими словами, [латекс] \ displaystyle {\ theta = \ frac {\ alpha} {2}} [/ latex]).
    • Хотя каждая формула полуугла имеет знак [латекс] \ pm [/ латекс], знак, который применяется в каждом случае, зависит от квадранта, в который попадает угол, и правил применения знаков к тригонометрическим функциям.

    Формулы для двойных углов

    В предыдущей концепции мы использовали формулы сложения и вычитания для тригонометрических функций. Теперь мы еще раз посмотрим на те же формулы. Формулы двойного угла являются частным случаем формул суммы, где [latex] \ alpha = \ beta [/ latex]. Другими словами, они позволяют нам найти тригонометрическую функцию угла, который вдвое больше специального угла. В таких случаях можно выводить формулы для нахождения синуса, косинуса и тангенса, и эти формулы полезны для упрощения тригонометрических выражений.

    Вывод формулы двойного угла для синуса начинается с формулы суммы, которая была введена ранее: [latex] \ sin (\ alpha + \ beta) = \ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta [ /латекс].

    Если мы допустим [latex] \ alpha = \ beta = \ theta [/ latex], то имеем:

    [латекс] \ Displaystyle {\ begin {align} \ sin (\ theta + \ theta) & = \ sin \ theta \ cos \ theta + \ cos \ theta \ sin \ theta \\ \ sin (2 \ theta) & = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta \ end {align}} [/ latex]

    Формула двойного угла для косинуса может быть получена аналогично:

    [латекс] \ cos (2 \ theta) = \ cos ^ 2 \ theta — \ sin ^ 2 \ theta [/ latex]

    Обратите внимание, что мы можем применить тождества Пифагора, чтобы получить еще два варианта формулы косинуса:

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ cos {\ left (2 \ theta \ right)} & = \ cos ^ 2 \ theta — \ sin ^ 2 \ theta \\ & = \ left (1- \ sin ^ 2 \ theta \ right) — \ sin ^ 2 \ theta \\ & = 1-2 \ sin ^ 2 \ theta \ end {align}} [/ latex]

    [латекс] \ Displaystyle {\ begin {align} \ cos {\ left (2 \ theta \ right)} & = \ cos ^ 2 \ theta — \ sin ^ 2 \ theta \\ & = \ cos ^ 2 \ theta — \ left (1- \ cos ^ 2 \ theta \ right) \\ & = 2 \ cos ^ 2 \ theta -1 \ end {align}} [/ latex]

    Аналогичным образом, чтобы вывести формулу двойного угла для касательной, замена [latex] \ alpha = \ beta = \ theta [/ latex] в формуле суммы дает

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ tan {\ left (\ alpha + \ beta \ right)} & = \ frac {\ tan \ alpha + \ tan \ beta} {1 — \ tan \ alpha \ tan \ beta} \\ \ tan {\ left (\ theta + \ theta \ right)} & = \ frac {\ tan \ theta + \ tan \ theta} {1 — \ tan \ theta \ tan \ theta} \\ \ tan {\ left (2 \ theta \ right)} & = \ frac {2 \ tan \ theta} {1 — \ tan ^ 2 \ theta} \ end {align}} [/ latex]

    Формулы двойного угла резюмируются следующим образом:

    • [латекс] \ sin {\ left (2 \ theta \ right)} = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta [/ latex]
    • [латекс] \ cos {\ left (2 \ theta \ right)} = \ cos ^ 2 \ theta — \ sin ^ 2 \ theta [/ latex]
    • [латекс] \ cos {\ left (2 \ theta \ right)} = 1-2 \ sin ^ 2 \ theta [/ latex]
    • [латекс] \ cos {\ left (2 \ theta \ right)} = 2 \ cos ^ 2 \ theta -1 [/ latex]
    • [латекс] \ displaystyle {\ tan {\ left (2 \ theta \ right)} = \ frac {2 \ tan \ theta} {1 — \ tan ^ 2 \ theta}} [/ латекс]

    Пример

    Найдите [латекс] \ sin (60 ^ {\ circ}) [/ latex] с помощью функции [latex] \ sin (30 ^ {\ circ}) [/ latex].{\ circ} \ right)} & = 2 \ left (\ frac {\ sqrt {3}} {4} \ right) \\ & = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ end {align} } [/ латекс]

    Формулы полуугловых

    Формулы полуугла
    могут быть получены из формул двойного угла. Они полезны для нахождения тригонометрической функции угла [латекс] \ theta [/ latex], который составляет половину особого угла [латекс] \ альфа [/ латекс] (другими словами, [латекс] \ displaystyle {\ theta = \ frac {\ alpha} {2}} [/ latex]). Формулы половинного угла следующие:

    • [латекс] \ displaystyle {\ sin {\ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1- \ cos \ alpha} {2}}} [/ латекс]
    • [латекс] \ displaystyle {\ cos {\ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1+ \ cos \ alpha} {2}}} [/ latex ]
    • [латекс] \ displaystyle {\ tan {\ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1 — \ cos \ alpha} {1 + \ cos \ alpha} }} [/ латекс]
    • [латекс] \ displaystyle {\ tan {\ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right)} = \ frac {\ sin \ alpha} {1 + \ cos \ alpha}} [/ latex]
    • [латекс] \ displaystyle {\ tan {\ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right)} = \ frac {1 — \ cos \ alpha} {\ sin \ alpha}} [/ latex]

    Хотя некоторые формулы имеют знак [латекс] \ pm [/ latex], применяется только один знак.{\ circ}) [/ latex], следовательно, положительный.

    Тождества тригонометрической симметрии

    Тождества тригонометрической симметрии основаны на принципах четных и нечетных функций, которые можно наблюдать на их графиках.

    Цели обучения

    Объясните тождества тригонометрической симметрии, используя графики тригонометрических функций

    Основные выводы

    Ключевые моменты

    • Тригонометрические функции бывают четными или нечетными, что означает, что они симметричны относительно оси [latex] y [/ latex] или начала координат соответственно.
    • Четные тригонометрические функции — это косинус и секанс, а нечетные тригонометрические функции — это синус, косеканс, тангенс и котангенс.
    • Определения четных и нечетных функций можно использовать для получения тождеств симметрии, соответствующих каждой из шести тригонометрических функций.
    • Тождества симметрии можно использовать для нахождения тригонометрических функций отрицательных значений.

    Ключевые термины

    • нечетная функция : непрерывный набор точек [latex] \ left (x, f (x) \ right) [/ latex], для которых [latex] f (-x) = -f (x) [/ latex ], и есть симметрия относительно начала координат.
    • четная функция : непрерывный набор точек [latex] \ left (x, f (x) \ right) [/ latex], для которых [latex] f (-x) = f (x) [/ latex], и есть симметрия относительно оси [латекс] y [/ латекс].

    Симметрия в тригонометрических функциях

    Мы уже обсуждали четные и нечетные функции. Напомним, что четные функции симметричны относительно оси [latex] y [/ latex], а нечетные функции симметричны относительно начала координат, [latex] (0, 0) [/ latex]. Напомним, что косинус является четной функцией, потому что он симметричен относительно оси [latex] y [/ latex].С другой стороны, синус и тангенс — нечетные функции, потому что они симметричны относительно начала координат.

    Теперь мы рассмотрим каждую из тригонометрических функций и их совместные функции (секанс, косеканс и котангенс) и заметим симметрию на их графиках. Эта симметрия используется для получения определенных идентичностей.

    Симметрия вокруг оси [latex] y [/ latex]: косинус и секанс являются четными функциями с симметрией относительно оси [latex] y [/ latex].

    Функции косинуса и секанса симметричны относительно оси y.Графики, симметричные относительно оси [latex] y [/ latex], представляют четные функции. Для четных функций любые две точки с противоположными значениями [latex] x [/ latex] имеют одинаковое значение функции. Математически это выражается как [латекс] f (-x) = f (x) [/ latex] для всех [latex] x [/ latex] в домене [latex] f [/ latex].

    Симметрия относительно начала координат : Синус, косеканс, тангенс и котангенс являются нечетными функциями и симметричны относительно начала координат.

    Функции синуса, косеканса, тангенса и котангенса симметричны относительно начала координат.Графы, симметричные относительно начала координат, представляют нечетные функции. Для нечетных функций любые две точки с противоположными значениями [latex] x [/ latex] также имеют противоположные значения [latex] y [/ latex]. Математически это выражается как [латекс] f (-x) = -f (x) [/ latex] для всех [latex] x [/ latex] в домене [latex] f [/ latex].

    Тождества симметрии

    Мы можем применить определения для четных и нечетных функций, чтобы вывести тождества симметрии, соответствующие каждой из наших шести тригонометрических функций.Следующие тождества симметрии полезны при нахождении тригонометрической функции отрицательного значения.

    Обратите внимание, что только два тригонометрических тождества являются четными функциями: косинус и секанс. Для этих функций мы применяем [latex] f (-x) = f (x) [/ latex], чтобы найти следующие идентификаторы:

    [латекс] \ begin {align} \ cos (-x) & = \ cos x \\ \ sec (-x) & = \ sec x \ end {align} [/ latex]

    Для нечетных тригонометрических функций мы применяем [latex] f (-x) = -f (x) [/ latex] и находим следующие тождества:

    [латекс] \ begin {align} \ sin (-x) & = — \ sin x \\ \ csc (-x) & = — \ csc x \\ \ tan (-x) & = — \ tan x \ \ \ cot (-x) & = — \ cot x \ end {align} [/ latex]

    Пример

    Найдите синус, косинус и тангенс [latex] \ displaystyle {\ theta = — \ frac {5 \ pi} {6}} [/ latex].

    Во-первых, мы можем определить, что абсолютное значение [latex] \ theta [/ latex] является особым углом, [latex] \ displaystyle {\ frac {5 \ pi} {6}} [/ latex]. Из единичного круга мы знаем, что [латекс] \ displaystyle {\ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right)} = — \ frac {\ sqrt {3}} {2}} [/ латекс] и [латекс] \ displaystyle {\ sin {\ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right)} = \ frac {1} {2}} [/ latex].

    Используя эти значения из единичного круга, мы можем вычислить [латекс] \ displaystyle {\ tan {\ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right)}} [/ latex]:

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ tan {\ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right)} & = \ frac {\ sin {\ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right)}} {\ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right)}} \\ & = \ frac {\ frac {1} {2}} {- \ frac {\ sqrt {3}} {2}} \\ & = \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ cdot \ left (- \ frac {2} {\ sqrt {3}} \ right) \\ & = — \ frac {1} {\ sqrt {3}} \ end {align}} [/ latex]

    Теперь, когда мы знаем синус, косинус и тангенс [latex] \ displaystyle {\ frac {5 \ pi} {6}} [/ latex], мы можем применить тождества симметрии, чтобы найти функции [latex] \ displaystyle {- \ frac {5 \ pi} {6}} [/ latex].

    Применяя тождество симметрии для косинуса, имеем:

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ cos {\ left (- \ frac {5 \ pi} {6} \ right)} & = \ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {6 } \ right)} \\ & = — \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ end {align}} [/ latex]

    Применяя тождество для синуса, получаем:

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ sin {\ left (- \ frac {5 \ pi} {6} \ right)} & = — \ sin {\ left (\ frac {5 \ pi} { 6} \ right)} \\ & = — \ frac {1} {2} \ end {align}} [/ latex]

    Наконец, применив тождество для касательной, мы имеем:

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ tan {\ left (- \ frac {5 \ pi} {6} \ right)} & = — \ tan {\ left (\ frac {5 \ pi} { 6} \ right)} \\ & = — \ left (- \ frac {1} {\ sqrt {3}} \ right) \\ & = \ frac {1} {\ sqrt {3}} \ end {align }} [/ latex]

    Определение и графики тригонометрических функций

    Углы (аргументы функций): \ (\ alpha \), \ (x \)
    Тригонометрические функции: \ (\ sin \ alpha \), \ (\ cos \ alpha \), \ (\ tan \ alpha \), \ (\ cot \ alpha \), \ (\ sec \ alpha \), \ (\ csc \ alpha \)
    Набор действительных чисел: \ (\ mathbb {R} \)
    Координаты точек на окружности: \ (х \), \ (у \)

    Радиус круга: \ (r \)
    Целые числа: \ (k \)

    1. Тригонометрические функции — это элементарные функции, аргументом которых является угол.Тригонометрические функции описывают соотношение сторон и углов прямоугольного треугольника. Приложения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (рядов Фурье). Эти функции часто встречаются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.
    2. Тригонометрические функции включают следующие функции \ (6 \): синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс.Для каждой из этих функций существует обратная тригонометрическая функция.
    3. Тригонометрические функции могут быть определены с помощью единичной окружности. На рисунке ниже показан круг радиуса \ (r = 1 \). На окружности есть точка \ (M \ left ({x, y} \ right) \). Угол между радиус-вектором \ (OM \) и положительным направлением оси \ (x \) — равен \ (\ alpha \).
    4. Синус угла \ (\ alpha \) — это отношение \ (y \) — координаты точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \) к радиусу \ (r: \)
       \ (\ грех \ альфа = у / г \).
       Поскольку \ (r = 1 \), синус равен \ (y \) — координате точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \).
    5. Косинус угла \ (\ alpha \) — это отношение \ (x \) — координаты точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \) к радиусу \ (r: \)
       \ (\ соз \ альфа = х / г \)
    6. Тангенс угла \ (\ alpha \) — это отношение \ (y \) — координаты точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \) к \ (x \) -координата:
       \ (\ tan \ alpha = y / x, \; \) \ (x \ ne 0 \)
    7. Котангенс угла \ (\ alpha \) — это отношение \ (x \) — координаты точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \) к \ (y \) -координата:
       \ (\ cot \ alpha = x / y, \; \) \ (y \ ne 0 \)
    8. Секанс угла \ (\ alpha \) — это отношение радиуса \ (r \) к \ (x \) — координате точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \ ):
       \ (\ sec \ alpha = r / x = 1 / x, \; \) \ (x \ ne 0 \)
    9. Косеканс угла \ (\ alpha \) — это отношение радиуса \ (r \) к \ (y \) — координате точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \ ):
       \ (\ csc \ alpha = r / y = 1 / y, \; \) \ (y \ ne 0 \)
    10. Соотношение сторон и углов в прямоугольном треугольнике
        В единичном круге проекции \ (x \), \ (y \) точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \) и радиус \ (r \) образуют прямоугольный треугольник, в котором \ (x, y \) — катеты, а \ (r \) — гипотенуза.Следовательно, приведенные выше определения сформулированы следующим образом:
        Синус угла \ (\ alpha \) — это отношение противоположного катета к гипотенузе.
        Косинус угла \ (\ alpha \) — это отношение соседнего катета к гипотенузе.
        Тангенс угла \ (\ alpha \) — это отношение противоположного отрезка к соседнему отрезку.
        Котангенс угла \ (\ alpha \) — это отношение соседнего отрезка к противоположному отрезку.
        Секанс угла \ (\ alpha \) — это отношение гипотенузы к соседнему катету.
        Косеканс угла \ (\ alpha \) — это отношение гипотенузы к противоположному катету.
    11. График функции синуса
        \ (y = \ sin x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R} \), диапазон: \ (- 1 \ le \ sin x \ le 1 \)
    12. График функции косинуса
        \ (y = \ cos x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R} \), диапазон: \ (- 1 \ le \ cos x \ le 1 \)
    13. График касательной функции
        \ (y = \ tan x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R}, \) \ (x \ ne \ left ({2k + 1} \ right) \ pi / 2 \), диапазон: \ (- \ infty \ lt \ tan x \ lt \ infty \)
    14. График функции котангенса
        \ (y = \ cot x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R}, \) \ (x \ ne k \ pi \), диапазон: \ (- \ infty \ lt \ cot x \ lt \ infty \)
    15. График функции секанса
        \ (y = \ sec x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R}, \) \ (x \ ne \ left ({2k + 1} \ right) \ pi / 2 \), диапазон: \ (\ sec x \ in \) \ (\ left ({- \ infty, -1} \ right] \ cup \ left [{1, \ infty} \ right) \)
    16. График функции косеканса
        \ (y = \ csc x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R}, \) \ (x \ ne k \ pi \), диапазон: \ (\ csc x \ in \) \ (\ left ({- \ infty, -1} \ right] \ cup \ left [{1, \ infty} \ right) \)

    Тригонометрия

    Тригонометрия (название происходит от греческого слова, которое переводится как «измерение треугольников») — это раздел математики, изучающий отношения между сторонами и углами треугольников.Тригонометрия имеет множество практических приложений и используется в астрономии, геодезии, навигации и т. Д.

    Тригонометрические функции

    Отношения между сторонами и углами треугольников связаны с тригонометрическими функциями. Обычно тригонометрические функции обсуждаются двумя основными способами: в терминах прямоугольных треугольников и в терминах единичной окружности. Чаще всего они вводятся в определение тригонометрических функций в виде прямоугольного треугольника, как описано ниже.

    Определение прямоугольного треугольника

    Выходной сигнал тригонометрической функции — отношение длин двух сторон прямоугольного треугольника. Для описания сторон прямоугольного треугольника используются следующие термины: гипотенуза, прилегающая сторона и противоположная сторона, как показано на рисунке ниже.

    Стороны прямоугольного треугольника обозначаются следующим образом:

    • Смежно: сторона рядом с θ, которая не является гипотенузой
    • Справа: сторона, противоположная θ.
    • Гипотенуза: самая длинная сторона треугольника, противоположная прямому углу.

    Тригонометрические функции определяются на основе соотношений двух сторон прямоугольного треугольника. Есть шесть тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс. Эти функции часто обозначают как sin, cos, tan, csc, sec и cot. Их определения приведены ниже.

    косеканс:
    секанс:
    котангенс:

    Синус, косинус и тангенс — три наиболее часто используемые тригонометрические функции.Косеканс, секанс и котангенс являются обратными величинами синуса, косинуса и тангенса соответственно. Таким образом, если мы помним определения синуса, косинуса и тангенса, мы можем использовать их обратные величины, чтобы определить определения косеканса, секанса и котангенса.

    Пример:

    Каковы значения sin (45 °), cos (45 °) и tan (45 °)?

    Пример:

    Боб прошел 300 м по холму 30 °, на какую высоту поднялся Боб?

    Высота =	пройденное расстояние × sin (30 °)
    =	300 × 0.5
    =	150 м

    Таким образом, Боб достиг высоты 150 м, пройдя 300 м по склону холма.

    Тригонометрические идентификаторы

    Тригонометрические тождества — это уравнения, которые используются для описания множества взаимосвязей, существующих между тригонометрическими функциями. Помимо прочего, они могут быть полезны для упрощения тригонометрических выражений и уравнений.

    Ниже показаны некоторые личности, с которыми вы можете столкнуться при изучении тригонометрии.

    Взаимные идентичности

    sin (θ) · csc (θ) = 1

    cos (θ) · сек (θ) = 1

    загар (θ) · детская кроватка (θ) = 1

    Факторные идентичности

    Идентификаторы совместных функций

    Нечетные / четные идентификаторы

    грех (-θ) =-грех (θ)

    cos (-θ) = cos (θ)

    загар (-θ) = -тан (θ)

    csc (-θ) = -csc (θ)

    сек (-θ) = сек (θ)

    детская кроватка (-θ) =-детская кроватка (θ)

    Пифагорейские тождества

    cos ² (θ) + sin ² (θ) = 1

    1 + загар ² (θ) = сек ² (θ)

    1 + детская кроватка ² (θ) = csc ² (θ)

    Пример:

    Упростите следующий

    Тригонометрические формулы

    В тригонометрии используется множество формул, которые включают один или несколько углов или сторон треугольника.

    Формулы суммы и разности

    sin (x ± y) = sin (x) · cos (y) ± cos (x) · sin (y)

    cos (x ± y) = cos (x) · cos (y) & mnplus ; sin (x) · sin (y)

    Формулы двойного угла

    sin (2θ) = 2 · sin (θ) · cos (θ)

    cos (2θ) = cos 2 (θ) — sin 2 (θ) = 1-2 · sin 2 (θ) = 2 · cos 2 (θ) — 1

    Формулы половинного угла

    Непрямые треугольники

    Определения тригонометрических функций прямоугольного треугольника применимы только к прямоугольным треугольникам.Их нельзя использовать для непрямых треугольников, таких как треугольник ABC ниже, который является наклонным треугольником.

    Скорее, следующие тождества треугольников можно использовать для связи сторон и углов треугольника ABC.

    Правило синуса

    Закон синусов может использоваться, когда для наклонного треугольника заданы одна сторона и любые два угла, или когда заданы один угол и две стороны.

    Пример:

    Для треугольника ABC, a = 3, B = 70 °, C = 45 °, найдите A, b и c,

    A = 180 ° — B — C = 180 ° — 70 ° — 45 ° = 65 °

    Правило косинуса

    a 2 = b 2 + c 2 — 2bc · cos (A)

    b 2 = a 2 + c 2 — 2ac · cos (B)

    c 2 = a 2 + b 2 — 2ab · cos (C)

    Закон косинусов можно использовать, когда один угол и две его стороны даны для наклонного треугольника, или когда даны все три стороны.

    Пример:

    Для треугольника ABC, A = 45 °, b = 3, c = 5, найдите a,

    a 2	= b 2 + c 2 — 2bc · cos (A)
    	= 3 2 + 5 2 — 2 × 3 × 5 × cos (45 °)
    	= 12,787

    ACT Тригонометрия: полное руководство

    Тригонометрия — это раздел математики, который занимается прямоугольными треугольниками и отношениями между их сторонами и углами.(Слово «триггер» связано со словом «треугольник», чтобы помочь вам запомнить.)

    Обычно в тесте ACT есть около 4-6 вопросов, связанных с тригонометрией (официальные инструкции по ACT говорят, что задачи тригонометрии составляют 7% теста). На первый взгляд они могут показаться сложными, но большинство из них сводятся к нескольким простым концепциям.

    Эта статья будет вашим исчерпывающим руководством по тригонометрии, которое вам нужно знать для ACT. Мы расскажем вам о значении тригонометрии, формулах и понимании, которые вам нужно знать, а также о том, как решать некоторые из наиболее сложных тригонометрических задач ACT.

    Что такое тригонометрия и как ею пользоваться?

    Тригонометрия изучает отношения между сторонами и углами прямоугольных треугольников. Соотношения между размерами сторон прямоугольного треугольника и размерами его углов постоянны, независимо от того, насколько большой или маленький треугольник.

    Некоторые из множества различных возможных типов прямоугольных треугольников.

    Если вы знаете размер одной стороны и один угол, отличный от 90 ° для прямоугольного треугольника, вы сможете определить остальные стороны и углы треугольника.2 = 340 9000 долларов США 3

    $ c = √340 $ или $ c = 2√85 $

    Но что, если у нас есть только одна длина стороны и мера одного из углов (не девяносто градусов)?

    Даже если у нас есть длина только одной стороны, мы все равно можем найти другие, используя тригонометрию, потому что у нас есть мера одного из острых углов.

    Итак, здесь мы могли бы сказать $ sin 34 ° = 12 / \ hypotenuse \ $

    Итак, $ \ hypotenuse \ = 12 / {sin 34 °} $

    Не волнуйтесь, если это еще не имеет для вас смысла! Мы разберем каждый шаг по мере продвижения в руководстве.

    (Примечание: чтобы найти фактическую величину угла в градусах с использованием двух длин сторон, вам нужно будет выполнить вычисление обратной функции (также называемой функцией «дуги»). Но НЕ БОЙТЕСЬ — ACT никогда не заставит вас Сделайте это! Что касается вашей подготовки к математике ACT, поймите, что тест будет предлагать вам только вычислить достаточно далеко, чтобы сказать, например, «$ Cosine‌x = 4/5 $». Вам никогда не придется находить фактическую угловую меру из х по АКТ.

    Мы находим эти меры, понимая отношение определенных сторон треугольника к их соответствующим углам. Это так называемые тригонометрические функции, и есть три, которые вы должны запомнить для ACT: синус, косинус и тангенс. Самый простой способ понять это — использовать мнемоническое устройство SOH, CAH, TOA , которое мы немного обсудим.> / P>

    Тригонометрия широко используется в навигации, а также для расчета высот и расстояний. (На случай, если вам интересно, нужен ли вам триггер в реальной жизни.)

    Наиболее распространенные триггерные вопросы ACT

    Вопросы по тригонометрии в ACT можно разделить на несколько категорий.Мы предоставили несколько реальных математических примеров ACT, чтобы продемонстрировать каждую концепцию.

    # 1: Нахождение синуса, косинуса или тангенса (или, реже, косеканса, секанса или котангенса) угла из заданной прямоугольной треугольной диаграммы.

    # 2: Нахождение синуса, косинуса или тангенса прямоугольного треугольника из задачи со словами.

    Алекс подпирает лестницу к стене. Лестница составляет 23 ° от земли. Если длина лестницы составляет 10 футов, каково выражение для определения расстояния, на котором основание лестницы находится от стены?

    А.10 $ ‌tan‌23 ° $

    Б. 10 $ sin‌23 ° $

    C. 10 $ cos‌23 ° $

    D. $ cos‌ {10/23} $

    E. $ sin {10/23}

    $

    # 3: Нахождение синуса, косинуса или тангенса (или, реже, косеканса, секанса или котангенса) угла от заданного sin, cos или tan и диапазона, в который попадает угол.

    Если $ tan‌Θ = 3/4 \ и 180 ° <Θ <270 ° $, что такое $ sinΘ $?

    A. $ 4/3 $

    Б. $ -4 / 3 $

    C. $ -3 / 4 $

    Д.$ 3/5 $

    -3 Э. $ / 5

    # 4: Определение периода или амплитуды графика.

    Какова амплитуда графика?

    А. 1

    Б. 2

    К. π

    Д. 2π

    E. 0

    # 5: Закон синусов или закон косинусов.

    Для такого вопроса, , они дадут вам формулы закона синусов или закона косинусов , так что вам не нужно беспокоиться об их запоминании.Однако наличие формулы вам не очень поможет, если она вам покажется или звучит как тарабарщина. По мере того, как вы будете изучать это руководство, выполнять практические вопросы ACT по математике, которые мы предоставили, и знакомиться с языком тригонометрии, используемым в этих вопросах, их станет намного легче решать.

    Мы рассмотрим, как решить каждую из этих проблем, , но это даст вам представление о том, как будут выглядеть триггерные проблемы ACT в тесте.

    SOH, CAH, TOA

    Помните эту знаменитую мнемонику? Это спасет вашу жизнь.Давайте пройдемся по каждому.

    SOH (синус)

    Синус — это функция, в которой значение синуса (также называемого «грехом») угла тета можно найти, используя отношение стороны треугольника, противоположной углу тета, к гипотенузе треугольника.

    SOH : S в $ Θ $ = O одна сторона треугольника / H yпотенуза треугольника

    Итак, в этом треугольнике $ sin‌Θ = b / c $, потому что сторона, противоположная углу $ Θ $, равна b , а гипотенуза равна c .

    CAH (косинус)

    Косинус — это функция, в которой значение косинуса (также называемого «$ cos $») угла тета ($ Θ $) можно найти, используя отношение стороны треугольника, примыкающей к углу $ Θ $ (т. Е. не гипотенуза) над гипотенузой треугольника.

    CAH : C os $ Θ $ = A соседняя сторона треугольника / H yпотенуза треугольника

    Примечание: смежный означает, что сторона треугольника касается угла / помогает создать угол $ Θ $.

    В этом же треугольнике $ cos‌Θ = a / c $, потому что сторона, примыкающая к углу $ Θ $, равна a , а гипотенуза равна c .

    TOA (касательная)

    Касательная — это функция, в которой значение тангенса (также называемого «тангенс») угла тета может быть найдено с помощью отношения стороны треугольника, противоположной углу тета, по соседней стороне треугольника к тета (что не является гипотенуза).

    TOA : T и $ $ = O заданная сторона треугольника / A смежная сторона треугольника.

    В этом же треугольнике $ tan‌Θ = b / a $, потому что сторона, противоположная углу $ Θ $, равна b , а смежная сторона — a .

    Теперь, когда вы знакомы со своими мнемоническими устройствами, вы можете составлять вопросы в несколько этапов. Например, немного более сложный вопрос может выглядеть примерно так:

    Вам даны длины двух сторон треугольника, но для решения задачи требуется длина третьей стороны.2 = 21 $

    $ x = √21 $

    Теперь, когда у вас есть размер третьей стороны, вы можете найти $ tan‌B $.

    $ Tan‌B = \ напротив / \ Соседний $

    $ TanB = √21 / 2 $

    Итак, ответ: F , √21 $ / 2 $

    Какие стороны противоположные или смежные?

    Гипотенуза треугольника всегда остается неизменной, но противоположные или смежные стороны меняются в зависимости от угла фокусировки.

    Например, если вы пытаетесь найти $ sin $ угла $ γ $, вы должны использовать соотношение $ b / c $; если вы пытаетесь найти грех угла $ ξ $, вы должны использовать соотношение $ a / c $.2 = 44 $

    $ x = √44 $

    Теперь $ sin $ = $ \ Against / \ hypotenuse $, поэтому $ sin‌M = √44 / 12 $.

    Итак, ответ — K.

    Нет необходимости находить градусную меру (арксинус или обратный синус) угла M на вашем калькуляторе — это все, что вам нужно.

    Вам также может быть предоставлено значение угла и длины стороны знаменателя вашего соотношения. В этом случае управляйте уравнением, как алгебраическим уравнением, и умножайте противоположную сторону на знаменатель.

    $ sin Θ = \ напротив / \ гипотенуза $

    $ гипотенуза $ * sinΘ = $ напротив

    Поскольку вас спрашивают о длине лодки до причала, а эта сторона составляет напротив угла 52 °, вы знаете, что вам понадобится либо sin, либо tan (cos использует смежную и гипотенузу, а не противоположную).

    Вам также дается соседней длины , 30 миль, поэтому вы будете использовать tan. (Вы можете сказать, что эта сторона смежная, потому что сторона, противоположная углу 90 °, является гипотенузой, поэтому 30 миль должны быть еще одним катетом треугольника).

    $ tan‌Θ = \ напротив / \ рядом $

    So $ tan‌52 ° = x / 30 $

    30‌ $ тан52 ° = x

    долл. США

    Итак, ответ — франков, длина лодки до причала 30 тангенциальных 52 °.

    И снова проблема со словом из ранее.

    Алекс подпирает лестницу к стене. Лестница составляет 23 ° от земли. Если длина лестницы составляет 10 футов, каково выражение для определения расстояния, на котором основание лестницы находится от стены?

    А.10 ‌ $ загар‌23 ° $

    Б. 10‌ $ sin‌23 ° $

    C. 10 $ cos‌23 ° $

    D. $ cos‌10 / 23 $

    E. $ sin‌10 / 23 $

    Во-первых, нарисуйте свою картинку, чтобы легче было представить себе, о чем вас просят.

    
    Итак, у нас есть расстояние между лестницей и землей в 23 ° $. Также мы работаем с длинами соседней стороны треугольника и гипотенузы. Это означает, что нам понадобится косинус, так как $ cos‌Θ = \ напротив / \ hypoteneuse $

    .

    Итак, $ cos‌23 ° = \ смежный / 10 $ (Почему 10? Длина лестницы 10 футов)

    Это становится 10 $ ‌cos‌23 ° = \ смежный $

    Итак, ответ: C , 10 $ ‌cos‌23 ° $

    Придется ли мне определять угол?

    Короткий ответ: нет, вас не попросят определить точную величину угла в градусах с помощью тригонометрии.2)}

    долл. США

    Когда Sin, Cos и Tan являются положительными или отрицательными?

    В зависимости от того, где расположен треугольник в двумерном пространстве, значения sin, cos и tan будут отрицательными или положительными.

    В двухмерном пространстве четыре квадранта, разделенных по осям x и y.

    • В квадранте I и x, и y положительны.
    • В квадранте II x отрицателен, а y положителен
    • В квадранте III оба значения x и y отрицательны
    • А в квадранте IV x положительный, а y отрицательный

    Как и в случае со значениями x и y, sin, cos и tan могут быть положительными или отрицательными в зависимости от квадранта, в котором находится треугольник / угол.

    • В квадранте I все положительные
    • В квадранте II sin положителен, а cos и tan отрицательны
    • В квадранте II tan положительный, а sin и cos отрицательные
    • В квадранте IV cos положительна, а sin и tan отрицательны

    Хороший способ запомнить это по мнемонической аббревиатуре ASTC — A ll S tudents T ake C hemistry — чтобы увидеть, какая из функций является положительной в зависимости от квадранта.

    Итак, A ll положительны в квадранте I, S in положительны в квадранте II, T an положительны в квадранте III, и C os положительны в квадранте IV

    Если $ tan‌Θ = 3/4 $ и $ 180 ° <Θ <270 ° $, что такое $ sinΘ $?

    A. $ 4/3 $

    Б. $ −4 / 3 $

    C. $ -3 / 4 $

    D. $ 3/5 $

    -3 Э. $ / 5

    Чтобы решить эту проблему, сначала определите длины сторон треугольника, используя теорему Пифагора (или используя свои знания о 3-4-5 треугольниках).2 = 25 9000 долларов США 3

    $ c = 5

    $

    Итак, наша гипотенуза равна 5.

    Мы знаем, что $ sin Θ = \ Against / \ hypotenuse $. Итак, $ sin‌Θ = 3/5 $.

    Но подождите! Мы еще не закончили. Поскольку они сказали нам, что $ Θ $ лежит между $ 180 ° $ и $ 270 ° $, мы знаем, что значение sin для $ Θ $ отрицательно. Согласно ASTC, только тангенс угла $ Θ $ будет положительным между 180 ° $ и 270 ° $.

    Итак, , наш окончательный ответ — евро, $ — 3/5 $

    Вторичные триггерные функции

    В редких случаях на ACT вам будет предложено указать одну из вторичных триггерных функций.Это косеканс, секанс и котангенс. Они будут отвечать максимум на один вопрос за тест.

    Вы могли заметить, что они похожи на основные триггерные функции, которые вы изучили выше. Фактически, эти вторичные функции являются обратными (обратными) sin, cos и тангенсом.

    Чтобы помочь вам запомнить, что есть что, обратите внимание на третью букву каждого слова:

    • Co s ecant = величина, обратная s ine
    • Se c ant = аналог c osine
    • Co t angent = величина, обратная t angent

    Косеканс

    Косеканс — величина, обратная синусу.$ Косеканс Θ = \ гипотенуза / \ напротив $

    Секант

    Секанс — величина, обратная косинусу. $ Секанс Θ = \ гипотенуза / \ смежный $

    Котангенс

    Котангенс — величина, обратная касательной. $ Котангенс Θ = \ смежный / \ противоположный $

    Полезные формулы с Sin, Cos и Tan

    Есть две формулы, которые время от времени будут появляться в ACT. Если вы чувствуете, что не можете больше запоминать тригонометрию, не беспокойтесь о том, чтобы запомнить их — они могут ответить максимум на один вопрос за тест .2 {x}) $, что также равно 1.

    Итак, мы имеем 1 + 1 = 2

    Окончательный ответ: H , 2.

    $$ (sin‌Θ) / (cos‌Θ) = tan‌Θ $$

    Это уравнение имеет логический смысл, если представить его в виде диаграммы. Допустим, у вас есть треугольник, который выглядит так

    $ Sin Θ $ будет 5 $ / 13 $. $ Cos Θ $ будет $ 12/13 $. $ Tan Θ $ будет 5 долларов США / 12%.

    Вы также можете сказать $ tan‌Θ = {sin‌Θ} / {cos‌Θ} = {5/14} / {12/13} = (5/13) (13/12) = 65/156 $ (вы также можете просто отменить обе 13s для упрощения) = 5 $ / 12 $

    Графические триггерные функции

    ACT не будет запрашивать у вас график триггерной функции, но вам нужно распознать, как каждая функция выглядит в виде графика.

    Синус

    Синусоидальный график пересекает начало координат в виде волны. Он всегда возрастает после $ x = 0 $, после пересечения начала координат.

    Это «нечетная» функция, потому что она не симметрична относительно оси y.

    Косинус

    График косинусов также «волнистый», но не пересекает начало координат. Он спускается после $ x = 0 $.

    Это может помочь вам запомнить, что косинус убывает после x = 0, если подумать, что « co — это low »

    Косинус является «четной» функцией, потому что он симметричен относительно оси y.Это означает, что для всех значений $ x $ $ f (x) = f (-x) $.

    Например, на графике выше $ y = 0,7 $ как при $ x = 1 $ , так и при $ x = -1 $

    Иногда все, что вам зададут, — это определить, является ли график четным или нечетным, а также является ли график sin или cos. Вам будет легко понять это, если вы помните основные элементы тригонометрических графиков.

    Хотя вы можете понять этот вопрос из предоставленной информации, это займет гораздо меньше времени, если вы узнаете, что график является косинусным и, следовательно, четным.А на ACT время ограничено и ценно.

    Касательная

    Касательный график выглядит совсем иначе, чем графики sin и cos — вам просто нужно уметь распознавать касательный график, когда вы его видите.

    Периоды и амплитуды

    ACT иногда просит вас найти период или амплитуду синусоидального или косинусного графика.

    Период

    Период графика — это расстояние по оси x, с которого график начинает повторяться.Найдите расстояние по оси x, на котором точка возвращается в исходное положение после завершения полного цикла .

    Период синусоидального графика здесь равен 2π. Он должен идти как вверх, так и вниз, прежде чем окончательно вернуться к $ y = 0 $.

    Период косинусного графика здесь также равен 2π. Он должен сначала спуститься, а затем снова подняться, чтобы вернуться в исходное положение при $ y = 1 $.

    Амплитуда

    Амплитуда графика — это его высота от оси x, расстояние между его наивысшим значением $ y $ и $ x = 0 $.

    Итак, чтобы использовать тот же график, что и выше:

    И синус, и косинус имеют амплитуду 1 (и, опять же, период 2π).

    Рад

    Радианы — это еще один (более точный) способ измерения расстояния по окружности, а не в градусах. Вместо градусов радианы выражаются через π (и доли π).

    Если у вас есть полный круг, это 360 градусов. Это также 2π радиан.

    Почему 2π радиан? Что ж, придумайте формулу длины окружности. С = 2πr. Если ваш радиус равен 1, тогда ваша окружность равна 2π, что совпадает с вашей мерой в радианах.

    Окружность с радиусом 1 и центром в начале координат называется «единичной окружностью». Радианы удобно рассматривать, помещая их на единичный круг.

    Итак, если у вас есть полукруг, это 180 ° или π радиан.

    И так далее. 90 ° — это $ π / 2 $ радиан, 270 ° — $ (3π) / 2 $ радиан.

    Для преобразования градусов в радианы проще всего использовать преобразование между 180 ° и π .

    Преобразовать 45 ° в радианы => $ (45) {π / 180} = π / 4 $ ‌радиан

    Преобразовать $ (3π) / 4 $ радиан в градусы => $ {(3π) / 4} (180 / π) $ = 135 °

    Шаги к решению триггерного вопроса

    Итак, давайте рассмотрим, как разбить триггерный вопрос

    # 1: Определите, требует ли проблема тригонометрии. Вы можете сказать, что проблема потребует триггера, когда:

    • Проблема упоминает sin, cos или tan в вопросе или в вариантах ответа
    • Задача дает вам диаграмму или описывает прямоугольный треугольник, а затем просит вас найти значение, которое нельзя найти, используя только теорему Пифагора.
    • Как мы видели в этой задаче ранее — вы можете использовать теорему Пифагора в задаче тригонометрии, но вы не можете решить тригонометрическую задачу только , используя теорему Пифагора.
    • Проблема показывает вам «волнистый» график по осям x и y
    • Задача запрашивает период или амплитуду графика

    # 2: Помните SOH, CAH, TOA.2 {‌Θ} и др.

    # 4 :. Вспомните, как выглядят графики синуса, косинуса и тангенса.

    И знайте, что:

    Период = горизонтальное расстояние

    Амплитуда = вертикальное расстояние

    # 5: Празднуйте, потому что вы ответили на триггерные вопросы ACT!

    Итоги

    Хотя тригонометрические задачи могут показаться устрашающими, почти каждый вопрос о тригонометрии ACT может быть решен, если вы знаете основные элементы тригонометрии.

    Чтобы извлечь максимальную пользу из подготовки к математике ACT, запомните эти три триггерные концепции: SOH, CAH, TOA, как управлять своими уравнениями и как распознавать графики функций. Если вы запомните их, вы обнаружите, что решаете практически все триггерные вопросы, которые ACT может бросить вам.

    Что дальше?

    Хотите больше математических стратегий и руководств ACT? Прочтите нашу статью по всем математическим темам, протестированным на ACT, чтобы убедиться, что вы их хорошо усвоили. Вы знаете твердотельную геометрию ACT? Обязательно освежите свои знания, если вы ищете каждую последнюю точку.

    Хотите получить высший балл по математике в ACT? Ознакомьтесь с нашей статьей о том, как набрать 36 в разделе ACT Math от 36 ACT-Scorer.

    Чувствуете себя подавленным? Не знаю, с чего начать? Не ищите дальше наших статей о том, что считается хорошей, плохой или отличной оценкой ACT. Не знаете, в какие дни предлагается ACT? Ознакомьтесь с полным списком дат тестирования ACT, чтобы найти подходящие для вашего расписания.

    И если вы обнаружите, что у вас не хватает времени на математический раздел, посмотрите не дальше нашей статьи о том, как перестать не хватать времени на математику ACT.

    Хотите улучшить свой результат SAT на 160 баллов?

    Ознакомьтесь с нашей лучшей в своем классе онлайн-программой подготовки к SAT. Мы гарантируем возврат ваших денег , если вы не улучшите свой результат SAT на 160 или более баллов.

    Наша программа полностью интерактивна, и она адаптирует то, что вы изучаете, к вашим сильным и слабым сторонам. Если вам понравилось это руководство по математической стратегии, вам понравится наша программа. Наряду с более подробными уроками вы получите тысячи практических задач, организованных по индивидуальным навыкам, чтобы вы могли учиться наиболее эффективно.Мы также дадим вам пошаговую программу, которой нужно следовать, чтобы вы никогда не запутались, что изучать дальше.

    Воспользуйтесь нашей 5-дневной бесплатной пробной версией:

    Формула тригонометрии — [Sin, Cos, Tan, Cot, Sec и Cosec]

    Формула тригонометрии : Тригонометрия — это хорошо известное имя в геометрической области математики, которое актуально в этой области с давних времен и также применяется практически во многих случаях.

    На простом языке тригонометрию можно определить как ту ветвь алгебры, которая связана с треугольником. В этом разделе мы в основном изучаем взаимосвязь между углами и длиной стороны данного треугольника. При таком подробном изучении треугольника формируются уравнения нескольких типов, которые впоследствии решаются для упрощения взаимосвязи между длинами сторон и углов такого треугольника.

    Тригонометрия считается одним из старейших компонентов алгебры, существующей примерно с 3 века.Существует практическое использование тригонометрии в нескольких контекстах, таких как астрономия, геодезия, оптика или периодические функции.

    Формулы тригонометрии

    Что ж, будь то алгебра или геометрия, обе эти области математики основаны на научных вычислениях уравнений, и мы должны выучить различные формулы, чтобы их было легко вычислить.

    Как мы знаем, в тригонометрии мы в основном измеряем разные стороны треугольника, из которых формируются несколько уравнений.Далее формулы тригонометрии составляются в соответствии с различными отношениями, используемыми в области, такими как синус, тангенс, косинус и т. Д. Таким образом, в основном есть номера формул, которые обычно используются в тригонометрии для измерения сторон треугольника. .

    Здесь мы упоминаем список различных типов формул тригонометрии.

    1. Основная формула тригонометрии

    2. Sin Cos Tan на 0, 30, 45, 60 градусов

    3.Пифагорейские тождества

    4. Знак греха, Cos, Tan в разных квадрантах

    A dd– S ugar – T o –C оферта

    5. Радианы

    1 градус = 60 минут
    Пример: 1 ° = 60 ′

    1 минута = 60 секунд
    Пример: 1 ′ = 60 дюймов

    6. Отрицательные углы [четно-нечетные отождествления]

    Sin (-x) = — Sin x
    Cos (-x) = Cos x
    Tan (-x) = — Tan x
    Cot (-x) = — Cot x
    Sec (-x) = Sec x
    Cosec (-x) = — Cosec x

    7.Значение Sin, Cos, Tan повторяется после 2𝛑

    Sin (2𝛑 + x) = Sin x
    Cos (2𝛑 + x) = Cos x
    Tan (2𝛑 + x) = Tan x

    8. Идентификация периодичности — Углы смещения на 𝛑 / 2, 𝛑, 3𝛑 / 2

    9. Идентификаторы суммы углов и разностей

    10. Формула двойного угла

    11. Формула тройного угла

    12. Полугловые идентичности

    13. Сумма идентичностей

    14.Идентификационные данные продукта

    15. Закон греха

    Здесь,

    • ABC — вершины треугольника ABC.
    • Место, противоположное углу A — это a. то есть BC
    • Место, противоположное углу B, — это b. т.е. AC
    • Место, противоположное углу C, — это c. т.е. AB

    16. Закон косинуса

    17. Обратная тригонометрическая функция

    Если Sin θ = x

    , затем поместите Sin на правую сторону

    Таким образом, вы можете видеть, что Sin — это угол. То же, что и обратная функция для всех функций Trignomentry, — это угол.

    18. Область и диапазон функций обратной тригонометрии

    19. Формула обратной тригонометрии

    20. Замена обратной тригонометрии

    Как и любой другой раздел математики, формулы тригонометрии не менее важны, поскольку без этих формул вы не можете использовать значения треугольников для целей измерения. Эти формулы упрощают стороны треугольника, так что вы можете легко измерить все его стороны.

    Мы призываем всех ученых понять эти формулы, а затем легко применять их для решения различных типов задач тригонометрии.

    Синус, косинус и тангенс объяснены с помощью примеров

    Сегодня мы собираемся обсудить еще один основной термин математики: синус, косинус и тангенс. Вкратце эти термины также называются sin cos и tan.

    Синус, косинус и касательные — важные термины в тригонометрии, и их определение основано на прямоугольном треугольнике.В основном они определяются в терминах отношения сторон прямоугольного треугольника. Прямоугольный треугольник — это тип треугольника, в котором один угол равен 90.

    Перед тем, как начать обсуждение основной темы sin cos и tang, мы должны коснуться основы прямоугольного треугольника.

    В прямоугольном треугольнике гипотенуза — это самая длинная сторона, противоположная прямому углу. а перпендикуляр — сторона угла 90.

    Синус, косинус и тангенс

    Итак, согласно рисунку мы можем легко обсудить синус, косинус и тангенс (sin, cos, tan).В любом прямоугольном треугольнике

    Синус θ = Длина перпендикуляра
    Длина гипотенузы

    Cos θ = Длина основания
    длина гипотенузы

    Tan θ = Длина перпендикуляра
    Длина основания

    Простой способ выучить формулы sin cos tan

    Мы обсудим два метода простого изучения формул sin cos и tang. Студентам необходимо запомнить два слова, и они смогут решить все задачи о синус-косинусе и тангенсе.

    Метод 1

    Вы можете легко выучить формулу sin cos и tan, выучив слово SOHCAHTOA. Итак, теперь мы узнаем, как это работает, чтобы запомнить формулу

    Сокращения	Формулы
    SOH	Sin θ = Противоположно / Гипотенуза
    CAH	Cos θ = Соседний / Гипотенуза
    TOA	Желто-коричневый θ = напротив / рядом

    Короче говоря, если мы взяли вышеуказанные сокращения, мы легко запомним формулу синуса, вспомнив SOH.Таким же образом мы можем узнать формулу косинуса, запомнив CAH и формулу касательной с TOA.

    Метод 2

    В приведенном выше методе мы обсуждаем выучить формулы для синусоидального косинуса и тангенса, запоминая одно слово. Точно так же это второй способ легко выучить эти формулы. Согласно прямоугольному треугольнику, если вы выучите эти 3 предложения, вы легко сможете выучить формулы sin cos и tan.

    предложений	Формулы
    У некоторых людей	Sin θ = перпендикуляр / гипотенуза
    Вьющиеся черные волосы	Cos θ = База / Гипотенуза
    Сквозная щетка	Желто-коричневый θ = Перпендикуляр / основание

    Пример: что такое синус cos и тангаж 45 °? Если перпендикуляр 4, база 3 и гипотенуза 6.

    Из рисунка имеем значение θ = 45.

    Гипотенуза = H = 6

    База = B = 3

    Перпендикуляр = P = 4

    Используя формулу синуса

    Sin (θ) = Perp / Hyp

    Sin (45) = 4/6 Sin (45) = 0,666

    По формуле косинуса

    Cos (θ) = База / Hyp

    Cos (45) = 3/6 Sin (45) = 0.5

    По формуле загара

    Желто-коричневый (θ) = Perp / Base

    Тан (45) = 4/3 Тан (45) = 1,33

    Подробнее об идентификаторах триггеров и круге единиц

    .

    No related posts.