Формулы сочетаний: Сочетания — урок. Алгебра, 11 класс.

формула нахождения сочетаний, ее вывод и доказательство, примеры задач

Определение сочетания

Определение 

Сочетание в комбинаторике из n по k представляет собой комплекс, состоящий из k элементов, которые отобраны из n-элементного множества без учета порядка элементов.

В том случае, когда сочетания обладают разными порядками следования их элементов, но имеют идентичный состав, их называют одинаковыми. Данный факт отличает сочетания от размещений. 

Приведем в качестве примера 3-х элементные подмножества 5-ти элементного множества:

Источник: ru.wikipedia.org

Рассмотрим вероятности сочетаний. 3-элементные сочетания 2 и 3 («нестрогие» подмножества, для которых k=3) из 6-элементного множества 1 (n=6) можно считать одинаковыми. При аналогичной ситуации размещения являются разными. Эти сочетания включают в состав аналогичные элементы 1.

Общий смысл состоит в том, что число всех вероятных k-элементных подмножеств n-элементного множества стоит там, где пересекаются k диагональ и n строка треугольника Паскаля.

Предположим, что существуют n неодинаковых объектов. Попробуем отобрать из этого количества m объектов всеми доступными методами. При этом состав отобранных объектов будет изменен, а порядок не имеет значения. Комбинации, которые получились в итоге, являются сочетаниями из n объектов по m, а их число составляет:

Cnm=n!(n-m)!·m!

Приведем пример всех сочетаний из n=3 объектов неодинаковой формы по m=2:

Источник: www.matburo.ru

Исходя из записанной формулы, таких сочетаний насчитано:

C32=3!(3-2)!·2!=3

Очевидным является тот факт, что в любом случае число сочетаний меньше по сравнению с количеством размещений, а точнее, в m! раз. Тогда можно записать следующее справедливое соотношение, которое может пригодиться на уроках алгебры в девятом классе и при решении самостоятельных работ:

Anm=Cnm·Pm.

Геометрическая интерпретация, вывод формулы, ее доказательство

Количество сочетаний n, которые можно выбрать по k, соответствует биномиальному коэффициенту, определенному выражением:

nk=Cnk=n!k!n-k!.

Если n постоянно, то производящая функция последовательности чисел сочетаний n0,n1,n2, … определена, как:

∑k=0nnkxk=(1+x)n.

Запишем двумерную производящую функцию чисел сочетаний:

∑n=0∞∑k=0nnkxkyn=∑n=0∞(1+x)nyn=11-y-xy.

Определение 2

Сочетание с повторениями из n по k представляет собой некий k-элементный комплекс из n-элементного множества при условии, что любой из элементов может принимать участие несколько раз без учета порядка (мультимножество).

Частным случаем является число функций, которые являются монотонными и не убывают, из множества {1,2,…,k} в множество {1,2,…,n}, равное количеству сочетаний с повторениями из n по k.

Количество сочетаний с повторениями из n по k соответствует биномиальному коэффициенту:

Cnk¯=C(n)k=  nk  =n+k-1n-1=n+k-1k=(-1)k-nk=(n+k-1)!k!·(n-1)!.

Докажем данное утверждение. Предположим, что существует n видов объектов. При этом рассматриваемые объекты, принадлежащие к одному виду, нельзя отличить. Представим, что есть какое-то число объектов каждого из видов, которое не ограничено, либо необходимо большое, но не меньше по сравнению с k.

Отберем из рассматриваемого комплекса k объектов. Допустимо формировать выборку из объектов аналогичного вида без учета того, в каком порядке их выбирают. Введем обозначение числа отобранных объектов j-го типа с помощью xj:

xj≥0,j=1,2,…,n.

В таком случае:

x1+x2+…+xn=k.

С другой стороны, количество решений для данного равенства достаточно просто вычислить по методу «шаров и перегородок». В результате любое из решений соответствует распределению в ряду k шаров и n-1 перегородок таким образом, чтобы между (j-1)-й и j-й перегородками располагалось xj шаров. Однако подобных расстановок получится точно n+k-1k, что и требовалось доказать.

Когда n не меняется, производящая функция количества сочетаний с повторениями из n по k определяется по формуле:

∑k=0∞(-1)k-nkxk=(1-x)-n.

Двумерная производящая функция количества сочетаний с повторениями вычисляется таким образом:

∑n=0∞∑k=0∞(-1)k-nkxkyn=∑n=0∞(1-x)-nyn=1-x1-x-y.

Биномиальные коэффициенты обладают следующими свойствами:

1. Свойство симметрии:Cnk=Cnn-k.
2. Свойство Паскаля: Cnk=Cn-1k-1+Cn-1k.
3. Замена индексов: CnmCmn-k=CnkCkn-m.
4. Извлечение из скобок: Cnk=nkCn-1k-1.
5. Рекуррентные формулы: Cnk=n-k+1kCnk-1 Cnk=nn-kCn-1k 
6. Свойство сложения:Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=∑k=0nCnk=2n.
7. Свойство вычитания:Cn0-Cn1+Cn2-…+(-1)nCnn=∑k=0n(-1)kCnk=0.
8. Свойства максимума: когда n является четным числом, максимум для Cnkприk=n2. При нечетном значении n максимумами обладают два коэффициента Cnk,приk=n-12иk=n+12.
9. Свертка Вандермонда: ∑r=0kCnrCmk-r=Cn+mk.
10. Сумма квадратов: ∑k=0n(Cnk)2=C2nn.
11. Взвешенное суммирование: ∑k=0nnCnk=n2n-1 ∑k=0nn2Cnk=n(n+1)2n-2
12. Связь с числами Фибоначчи: Cn0+Cn-11+…+Cn-kk+. ..+C0n=Fn+1.

Примеры задач

Задача 1

На тарелку положили 10 яблок и 5 груш. Нужно вычислить количество способов, с помощью которых можно отобрать 7 штук плодов, а также количество способов отбора 7 плодов при наличии в каждом из них 3 груш.

Решение

Вычислим общее количество яблок и груш:

n = 10 + 5 = 15

Исходя из того, что выборка является неупорядоченной, можно не принимать во внимание порядок отбора фруктов.

Cnk=C157=15·14·13·12·11·10·91·2·3·4·5·6·7=6435

В результате получили, что имеется 6435 разных способов отбора 7 плодов из 15 яблок и груш.

Отложим 4 яблока из 10 и 3 груши из 5.

В случае яблок:

C104=10·9·8·71·2·3·4=210

В случае груш:

C35=C52=5·41·2=10

Руководствуясь правилом произведения, определим, что общее число методов отбора 4 яблок и 3 груш составляет:

C103·C53=210·10=2100

Ответ: 6435; 2100.

Задача 2

В кафе имеется 4 типа пирожных. Нужно посчитать с объяснением число способов, с помощью которых можно приобрести 7 пирожных.

Решение

Здесь не имеет значение, в каком порядке осуществляется отбор, так как выборка является неупорядоченной. Допустимы повторы раскладок пирожных одинакового типа. В результате найти число сочетаний с повторениями можно таким образом:

C¯47=C7+4-17=C107=C103=10·9·81·2·3=120

Ответ: 120

Задача 3

Состав роты следующий:

• 3 офицера;
• 6 сержантов;
• 15 рядовых.

Нужно вычислить количество методов формирования из перечисленных военных отряда, который бы включал в себя 1 офицера, 2 сержантов, 5 рядовых.

Решение

Выполним неупорядоченную выборку без повторений, рассматривая все три имеющиеся множества.

В случае офицеров:

C31=31=3

В случае сержантов:

C62=6·51·2=15

Сочетания в случае рядовых:

C156=15·14·13·12·111·2·3·4·5=3003

Руководствуясь правилом произведения, определим в теории количество методов, с помощью которых можно сформировать отряд:

3·15·3003=135135

Ответ: 135135.

Задача 4

Выполнить сложение:

C61+C62+C63+C64+C65+C66

Решение

Воспользуемся свойством сложения:

∑k=06C6k=26

В результате:

C61+C62+C63+C64+C65+C66=∑k=06C6k-C60=26-1=64-1=63

Ответ: 63.

Задача  5

Выполнить сложение:

Cn1+6Cn2+6Cn3

Решение

Cn1=n,  Cn2=n(n-1)2,  Cn3=n(n-1)(n-2)6

В результате:

Cn1+6Cn2+6Cn3=n+6·n(n-1)2+6·n(n-1)(n-2)6= =n(1+3(n-1)+(n-1)(n-2))=n(3n-2+n2-3n+2)=n3

Ответ: n3.

Модные формулы: 7 сочетаний сезона

Сегодня в рубрике «Fashion-лаборатория» мы разберем 7 актуальных сочетаний вещей, цветов, принтов и стилей. Эти модные формулы станут подсказками, как носить по-новому вещи, которые наверняка уже есть в вашем гардеробе.

 

Платье + брюки/джинсы

Мы уже рассматривали частный случай этой формулы — макси + брюки. В этом сезоне следует обратить внимание на платья средней длины, платья-халаты, платья из прозрачных тканей, которые уместно дополнять не только брюками, но и джинсами.

#1 — Платье-халат от Etro, джинсы от J Brand

 

#2 — Esteban Cortazar, A Detacher, Zimmermann

 

Фуксия + красный

Главное цветовое сочетание сезона — фуксия и другие розовые оттенки с красным: это смело и ярко!

#3 — Жакет от Altuzarra, брюки от Roland Mouret

 

#4 — Zara, Ellery, Mango

Больше идей цветовых сочетаний — в обзоре правил цвета сезона.

 

Микротоп + рубашка

Хитом прошлого лета было сочетание платья-комбинации с футболкой. В этом сезоне тему бельевого стиля в многослойных луках продолжает модная формула «микротоп + рубашка». 

#5 — Рубашка и топ-бюстье от The Row

 

#6 — Prada, Vika Gazinskaya, MSGM

 

Полоска + полоска 

Полосатый принт сам по себе — один из главных трендов этого лета, а сочетание двух или трёх видов полоски в одном комплекте — это модный взрыв. Чтобы не ошибиться, выбирайте вещи в рамках одной коллекции: как правило, так можно подобрать принты в одной цветовой гамме и общем графическом исполнении.

#7 — Платье от MSGM, босоножки от Sam Edelman, клатч от Clare V

 

#8 — Fendi, Desigual, Rosie Assoulin  

 

Цветочные мотивы + гранж

Нежные романтические платья с цветочными принтами дополняем элементами стиля гранж: тяжёлой обувью, аксессуарами с шипами, деталями из чёрной сетки.

#9 — Платье от Ulla Johnson, жилет-косуха от Saint Laurent

 

#10 — No.21, Coach 1941, Simone Rocha

 

Слоганы + прозрачность 

В этом сезоне вещи со слоганами актуально сочетать с чем-либо прозрачным, причем транспарент может частично или полностью перекрывать принт.

#11 — Футболка от Sacai, юбка от Brunello Cucinelli

 

#12 — Dior, Maison Margiela, Hood By Air

 

Мужской стиль + асимметрия 

По сути, это вариант сочетания мужского и женского. Мужские черты — строгий крой, сухие костюмные и рубашечные ткань с соответствующими принтами — сочетаем с характерной для женской одежды выраженной асимметрией.

Причем можно либо составить собственное сочетание «мужское + асимметричное», либо выбрать вещь, совмещающую в себе оба элемента модной формулы.

#13 — Смокинг от J.Crew, топ от Roland Mouret

 

#14 — Burberry, Saint Laurent, Aquilano.Rimondi

 

Подробнее о самых модных вещах лета 2017:

Must have: летние покупки

 

Формулы перестановок и комбинаций | PrepInsta

Формулы комбинаций

Формулы перестановок и комбинаций обсуждались на этой странице, чтобы помочь учащимся запомнить все важные формулы в последнюю минуту перед экзаменом.

Перестановка:

Различное расположение заданного количества вещей путем одновременного взятия некоторых или всех вещей называется перестановкой. Обозначается ⁿ P _r .

• Перестановки изучаются почти во всех разделах математики и во многих других областях науки. В информатике они используются для анализа алгоритмов сортировки.

Комбинация:

Каждая из различных групп или выборок, которые могут быть образованы путем взятия некоторых или всех объектов, называется комбинацией. Это обозначается ⁿ c _r .

Формулы перестановок и комбинаций

• Всего 9n C_r = \frac{n!}{(r)! (n-r)!}

Следует помнить

• Факториал любой отрицательной величины недействителен.
• Если одну вещь можно сделать m способами, а другую можно сделать n способами, то
  • Любой из двух способов можно сделать m + n способами и
  • Оба они могут быть выполнены сделано в m × n способов
• 0! = 1
• 1! = 1
• Если из всего множества n объектов и ‘p 9n P_r = \frac{n!}{p_1 ! × q_2 ! × ……. p_r !}
• ⁿ P _n = n!
• ⁿ c _n = 1
• ⁿ c ₀ = 1
• ⁿ c _r = ⁿ c _(n-r)
• ⁿ c ₀ + ^N C ₁ + ^N C ₂ + ^N C ₃ +… ^N C _N = 2 ^N

.0009

Формулы перестановок и комбинаций – факториал

n ! = n(n-1)(n-2) …… 1

Напр. – 5! = 5(5-1)(5-2)(5-3)(5-4) = 5(4)(3)(2)(1)

Стандартные истины
• 0! = 1
• н! существует только при n >= 0 и не существует при n < 0

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5 040
8	40,320
9	362 880
10	3 628 800

Permutations Formulas


Number of ways in which Permutations out of n things r things can be ИЗБРАННО И РАСПОЛОЖЕНО (обозначается 9n P_r = \frac{n!}{(n-r)!}  n ≥ r
Напр.

• Расположение букв/алфавитов для образования слов со значением или без значения.
• Расположение шаров на столе.

Формулы для комбинаций

Количество способов, которыми r вещей одновременно могут быть ВЫБРАНЫ из n вещей, есть Комбинации (представлены как ⁿ C _r )..

^{n 8} = Количество комбинаций (выборов) из n вещей, взятых по r за раз. 9n P_r = \frac{n!}{(r)! (н-р)!}  ; где n ≥ r (n больше или равно r).

Напр.

• Подборки для людей из общего числа желающих выйти на пикник.
• Заполнение постов людьми
• Отбор в спортивную команду из имеющихся игроков
• Отбор мячей из мешка

Важные свойства:

Свойство 1

Количество перестановок (или вещей) различных расстановок взято все сразу = n!

Свойство 2

Для объектов, в которых P1 одинаковы и относятся к одному типу, P2 одинаковы или другого типа, а P3 одинаковы или другого типа, а все остальные должны быть разными, число перестановок = \frac{ п!}{(p1)! (п2)! (p3)!}

Свойство 3

Когда повторение разрешено количество перестановок n различных вещей, взятых r за один раз = n × n× n ×… (r раз) = n ^r

Свойство 4

Здесь мы подсчитываем количество способов, которыми k мячей могут быть распределены по n коробкам при различных условиях.

Обычно задаются следующие условия:

1. Мячи либо разные, либо идентичные.
2. Ни одна коробка не может содержать более одного мяча, или любая коробка не может содержать более одного мяча.
3. Ни один ящик не может быть пустым, или любой ящик может быть пустым.

Раздача		Сколько мячей КОРОБКИ МОЖЕТ СОБСТВЕННЫЕ
К шариков	в N Boxes	Нет ограничений	≤ 1 (в максимум)	≤ 1 (в максимум)	≤ 1 (в максимум)	≤ 1 (в максимум)	≤ 1 (максимум)	≤ 1 (в максимум)	≤ 1 (максимум) Exactly one)
Distinct	Distinct	n k (formula 1)	n P k (formula 2)	S(k,n ) × п! (формула 3) (не имп)	n P n  = n! if k = n 0 if k ≠ n (formula 4)
Identical	Distinct	(k+n-1) C (n-1) (formula 5	N C K (Формула 6)	(K-1) C (N-1) (Formula 7)0009	1 Если K = N 0 Если K ≠ N (формула 8)

Другие свойства

• ^N P _R = R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! R! × ⁿ C _r
• ⁿ C _r  +  ⁿ C _r-1  = ⁿ⁺¹ C _r
• ⁿ C _x  = ⁿ C _y  когда x = y или x + y = n
• ⁿ C _r  = ^{n 9{n+1}C_{r+1}}{n+1}}
• Чтобы ⁿ C _r было наибольшим,
  • (a) если n четно, r = \frac{n}{2 }
  • (b) если n нечетное, r =\frac{n+1}{2} или \frac{n – 1}{2}

Prime Course Trailer

Похожие баннеры

Приобретите PrepInsta Prime и получите доступ ко всем 200+ курсам, предлагаемым PrepInsta в одной подписке

Получить Прайм

Получите более 200+ курсов Одна подписка

Курсы, такие как AI/ML, облачные вычисления, этический взлом, C, C++, Java, Python, DSA (все языки), конкурентное кодирование (все языки), TCS, Infosys, Wipro, Amazon, СУБД, SQL и другие

Получить Прайм

Список курсов

Список курсов

Контрольный список всех видеокурсов в подписке PrepInsta Prime

Контрольный список всех видеокурсов в подписке PrepInsta Prime

Проверить

Проверить

Перестановки и комбинации – определение, различие и формула

Дата последнего обновления: 04 апреля 2023 г.

•

Всего просмотров: 306,3 тыс.

•

Просмотров сегодня: 7,02 тыс. Заметили ли вы мобильный PIN-код

9 90 использование может быть нарисовано в нескольких вариациях?

Ну, это один из примеров перестановок и комбинаций. Говоря простым языком, комбинация — это когда порядок не важен, а перестановка — когда важен порядок. С помощью комбинаций перестановок можно выразить группу данных в виде наборов и подмножеств.

Относится к различным способам организации определенной группы данных. Обе эти концепции жизненно важны не только на ваших экзаменах на доске, но и на всех конкурсных экзаменах, таких как CAT, JEE и т. д. Таким образом, вам необходимо понимать обе концепции, а также разницу между перестановкой и комбинацией.

 

Определение перестановки и комбинации

Чтобы начать изучать эту главу, вам сначала нужно понять определение перестановки и комбинации и связь между перестановкой и комбинацией.

 

Перестановка

Перестановка — это организация набора данных в определенном порядке или последовательности. Более того, если данные уже расположены по порядку, вы можете изменить их порядок, используя формулу перестановки. В большинстве областей математики происходит перестановка.

 

Комбинация

В отличие от перестановки, комбинация — это когда вы выбираете данные из группы без какого-либо порядка или последовательности. Если группа данных относительно меньше, вы можете рассчитать количество возможных комбинаций.

Разработаем эти определения с примерами перестановок и комбинаций. Например, у вас есть группа из четырех букв P, Q, R и S. Теперь сколькими способами вы можете выбрать три буквы из этой группы? Каждое возможное расположение может быть комбинацией.

Однако способы группировки P, Q, R и S вместе являются перестановками. Итак, PQRS, PRSQ, PSQR, PRQS и т. д. являются перестановками. Если значение перестановки и комбинации неясно, попробуйте пример из реальной жизни.

Согласно примерам комбинаций перестановок из реальной жизни, вы можете сказать, что выбор победителей, таких как 1-й, 2-й и 3-й, является перестановкой. А выбор трех победителей — это комбинация.

 

Разница между перестановкой и комбинацией

До сих пор вы знали ответ на вопрос «определить комбинацию и перестановку», и это может помочь вам отличить перестановку от комбинации. Согласно их определениям и примерам, основное различие между перестановкой и комбинацией заключается в том, что комбинации представляют собой разные способы выбора без учета последовательности. А перестановки — это различные способы расположения по порядку.

Это ключевое различие комбинаций перестановок, которое вы должны понимать, чтобы закрепить концепцию.

 

Базовая формула перестановки и комбинации

В математике есть множество способностей к формуле перестановки и комбинации. Однако большинство этих формул комбинаций перестановок основаны на двух основных формулах. Вот эти базовые формулы перестановки и комбинации –

Формула перестановки

Если общее количество данных равно «n» и выбор из «r» вещей, то перестановка будет (без замены и относительно порядка)-

nPr = (n!) / (n-r)!

Формула комбинирования

Из группы «n» данных выбор «r» вещей без учета порядка и замены-

nCr = (nr) = nPr / r! = п! / {р! (n-r)!} 

Это ключевые формулы для определения вероятностных перестановок и комбинаций. Более того, соотношение между ними nCr = nPr / r!.

Теперь давайте решим несколько вопросов о перестановках и комбинациях, чтобы рассеять ваши сомнения.

 

Проблемы со словами на перестановку и комбинацию

Решая следующие задачи на перестановку и комбинацию, вы можете понять, как вывести эти формулы для решений NCERT на перестановку и комбинацию.

1. Как рассчитать количество комбинаций и перестановок, если n = 14 и r = 3

Класс 11 перестановочные и комбинационные решения:

Согласно вопросу, n = 14

r = 9 3

вывод формулы перестановки-

nPr = (n!) / (n-r)! = 14! / (14 — 3)! = 14! / 11! = (14 х 13 х 12 х 11!) / 11! = 2184

Теперь из формулы комбинации-

nCr = (nr) = nPr/r! = п! / {р! (н-р)!} = 14! / 3! (14 — 3)! = 14! / 3! (11!) = 14 х 13 х 12 х 11! / 2! Х 11!

• 1092

2. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4 –

1. С повторением?

2. Без повторения?

NCERT Класс 11 Перестановка и Комбинация Решение:

Поскольку будет 4-значное число, пусть цифра будет ABCD. Здесь D — единица, C — 10-е место, B — 100-е место, а A — тысячное место.

1. Теперь, с повторением, на месте D возможное количество цифр равно 4. Кроме того, на

месте A, B и C вероятное количество цифр равно 5.

Таким образом, общее количество возможных четырехзначных чисел равно – 4 х 4 х 4 х 4 = 256

2. Возможное количество цифр на месте D равно 4; следовательно, это единичное место. Теперь

Без повторений одна цифра занята в D. Таким образом, для места C возможная цифра будет 3, и будет 2 возможных цифры для B и 1 для A.

Следовательно, общее количество возможных 4- числа без повторения – 4 X 3 X 2 X 1 = 24.

Из приведенных выше вопросов о перестановке и комбинации с решением вы должны были понять структуру вопросов, которые могут появиться на ваших экзаменах.

Тем не менее, если вам нужно еще несколько решений NCERT для перестановок и комбинаций, вы можете перейти на наш веб-сайт Vedantu и проверить все учебные материалы по перестановкам и комбинациям ответов. Они также сопровождаются анкетами и упражнениями. Кроме того, вы также можете изучить перестановку и комбинацию онлайн на наших онлайн-сессиях.

Получите наше приложение Vedantu сейчас для обновленных решений NCERT, класс 11 перестановок и комбинаций.

Различные концепции, в которых используются перестановки и комбинации, помогут нам различать их. Перестановки и комбинации помогают нам получить группу данных в виде наборов и подмножеств, а также могут быть определены как различные способы организации определенных групп данных.

Перестановка используется, когда объекты и вещи относятся к разным видам. Меньшие группы, которые могут быть образованы из элементов большей группы, — это Комбинации.

Когда нам нужно упорядочить последовательность вещей, нам нужны перестановки, тогда как для того, чтобы найти, сколько возможных групп можно сформировать, нам нужны комбинации.

Для списка данных, где порядок данных важен, у нас есть перестановка и группа данных, где нам не нужен какой-либо порядок, это комбинация.

 Формулы перестановки и комбинации помогают нам понять расчеты разницы между этими двумя. Две важные формулы:

Перестановка — это выбор вещей ‘r’ из множества вещей ‘n’ без какой-либо замены, а также там, где важен порядок:

nPr = (n!) / (n-r)

Комбинация есть выбор вещей ‘r’ из множества вещей ‘n’ без замены, но где порядок не требуется и не имеет значения :

nCr = (nr) = nPr / r! = п! / {р! (н-р)!} 

Возьмем пример из NCERT. Решение:

В. Сколько четырехзначных чисел можно составить из 1, 2, 3 и 4 –

1. С повторением?

2. Без повторения?

NCERT Класс 11 Перестановка и Комбинация Решение:

Поскольку будет 4-значное число, пусть цифра будет ABCD.