Формулы теория вероятностей: Теория вероятностей на ЕГЭ по математике. Формулы, теория, решения

Теория вероятности. Основные формулы — презентация онлайн

Похожие презентации:

Основные теоремы и формулы теории вероятности

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика

Основные понятия теории вероятностей

Основные теоремы теории вероятностей

Основные понятия теории вероятностей

Теория вероятностей и математическая статистика

Основные понятия теории вероятности. Случайные события

Статистическая радиофизика. Модели случайных процессов. (Тема 4)

Основные теоремы теории вероятностей

Теория вероятности
Понятие
Формула
PA =
Вероятность, мера вероятности
n( A)
n
Объединение событий
AÈB={x|xÎAÚxÎB}
Пересечение событий
AÇB={x|xÎAÙxÎB}
Противоположное событие
Ā={xÏA}
Разность, или дополнение события
A\B={xÎA|xÏB}
Включение
AÍBÛ»aÎA:aÎB
Равенство
A=BÛ(AÍB)Ù(BÍA)
Строгое включение
AÌBÛ(AÍB)Ù(A¹B)
Несовместимость

AÇB=Æ Û «aÎA:aÏB
Относительная частота события
n( A)* *
n( A)*
n( A)
P =
; PA Þ PA ; * Þ
*
n
n
n
n®¥
*
A
n®¥
Правило умножения несовместных
событий
n*m
Перестановка n элементов
P = n!
Размещение m элементов n способами
Anm =
n!
= n(n — 1)(n — 2)(n — 3). ..(n — m + 1)
(n — m)!
n!
m!(n — m)!
Сочетание m элементов n способами
Cnm =
Условная вероятность события B при
условии, что событие A уже имело место
P( A | B) =
«…есть k объектов, из которых l
обладают интересующим нас признаком;
вероятность
того,
что
среди
m
выбранных объектов данным признаком
будет обладать n объектов, равна…»
PA =
P( A Ç B )
P( B )
n( A)
; n = Ckm ; n( A) = Cln ´ Ckm—l n
n
n
Формула полной вероятности
P( B) = å P( Ai ) P( B | Ai ) = P( A1 ) P( B | A1 ) + P( A2 ) P( B | A2 ) + ..
i =1
Теорема Байеса
P( Bk | A) =
P( Bk ) P( A | Bk )
n
å P( B ) P( A | B )
i =1
i
i
Вероятность k исходов в n
повторяющихся событиях
P( A) = Cnk ´ p k ´ (1 — p ) n-k
Вероятность возникновения исхода
в событии с порядковым номером l
P(t = l ) = p ´ q l -1 = p ´ (1 — p )l -1
Математическая статистика
Понятие
Формула
Размах
R = max(x1;x2;…;xn)-min(x1;x2;…;xn)
X =
Среднее арифметическое
( X + X 2 + X 3 + . .. + X n )
1 n
Xi = 1
å
n i =1
n
1 n
D=
( X i — X )2
å
n — 1 i =1
Дисперсия
s =
Стандартное отклонение
Коэффициент линейной корреляции
1 n
( X i — X )2
å
n — 1 i =1
å (x — x ) × ( y — y )
å (x — x ) × å ( y — y )
rx , y =
i
i
2
2
i
;
df = n — 2
i
( )
n × (n — 1) ;
6 × å D2
Коэффициент ранговой корреляции
r =1-
Коэффициент частной корреляции
rxy — z =
df = n
2
rxy — rxz × ryz
(1 — r )× (1 — r )
2
xz
2
yz
n1 × n2 × (n1 + n2 — 2 ) × ( x — y )
2
2
x
x
+
y
y
× (n1 + n2 )
(
)
(
)
å i
å i
2
t-критерий Стьюдента (в общем случае)
t=
(
t=
t-критерий Стьюдента для независимых групп
)
x-y
(n1 — 1) × s 12 + (n2 — 1) × s 22 × n1 + n2
n1 + n2 — 2
n1 × n2
df = n1 + n2 — 2
t-критерий Стьюдента для зависимых групп
Одновыборочный t-критерий Стьюдента
F-критерий Фишера
t=
å (x — y )
i
i
n × σ ( xi — y i )
t= n×
;
df = n — 1
x-A
σ ; df = n — 1
max( D1; D2 )
F=
min( D1; D2 ) ;
df1 = nmax – 1; df2 = nmin — 1
;

English     Русский Правила

Теория вероятностей, или Не стоит полагаться на случай

Понятия вероятности и случайности затрагивают практически все аспекты нашей жизни. Большинство своих решений мы принимаем, исходя из вероятности наиболее благоприятных для нас событий. Поэтому стоит хотя бы мало-мальски разбираться в теории вероятностей и научиться применять ее законы при решении различных житейских задач.

Обычно первое, что приходит на ум при упоминании о теории вероятности, — это игральные кости или карты. И то, и другое часто ассоциируется с азартными играми или другими занятиями, где все решает Его Величество Случай. Интересно, что сам термин “случайность” довольно точно передает суть понятия вероятности. Если говорить кратко, вероятность — это степень возможности какой-либо случайности.

Аристотель как-то заметил: “Вероятно и то, что много происходит невероятного”. Если перевести этот афоризм на математический язык, то можно выразить понятие вероятности следующим образом:

P = (количество реальных исходов) / (суммарное число реальных и возможных исходов),

где P — вероятность наступления события.

Значение P всегда будет выражено дробным числом в интервале [0, 1] (умножив это число на 100, можно выразить его в процентах). Чем выше значение P, тем больше вероятность наступления события. Если P = 0, говорят о невозможности наступления события; если P = 1, безоговорочно утверждают, что событие произойдет.

Теперь рассмотрим несколько простых, но убедительных примеров того, как работает выведенная нами формула вероятности.

Какова вероятность выпадения “тройки” при игре в кости?

На этот вопрос можно относительно быстро ответить с помощью интуиции. Но давайте попробуем применить нашу формулу. Игральный кубик имеет 6 сторон, но только 1 сторона отображает число “три”. Подставляя эти данные в формулу вероятности, получаем: P(“три”) = 1/6.

Какова вероятность вытянуть валета из колоды карт?

Снова задаем себе вопросы: сколько всего карт в колоде и какое количество в ней валетов? Мы знаем, что в обычной колоде 52 карты, по 4 фигурных экземпляра каждой масти, то есть в общей сложности 4 валета. Следовательно, вероятность вытянуть валета равна 4/52 или 1/13.

Оба приведенных выше примера довольно просты. Но они вполне годятся для того, чтобы в общих чертах ознакомить с теорией вероятностей человека, не искушенного в математике. Для решения более сложных задач используются куда более мудреные методы матанализа.

Вероятность объединения и пересечения

Объединение — это один из двух распространенных типов сложных событий (когда речь идет о двух или более объединенных событиях). Мы определяем вероятность объединения событий X и Y как вероятность того, что произойдет либо X, либо Y, либо и то, и другое. Из этого определения вытекают две различные формулы для вычисления вероятности. Рассмотрим каждую из них.

Объединение взаимоисключающих событий

Если события X и Y не могут произойти одновременно, они считаются взаимоисключающими. В этом случае мы используем следующую формулу:

Предположим, что мы хотим вычислить вероятность выпадения “пятерки” или “шестерки” в ходе игры в кости. Эти события не могут произойти одновременно, поэтому нам просто нужно сложить значения обеих вероятностей. Вероятность выбросить “пятерку” равна 1/6; вероятность выбросить “шестерку” также равна 1/6; следовательно, вероятность выпадения “пятерки” или “шестерки” равна 1/3.

Объединение событий, не исключающих друг друга

В случае, когда X и Y не являются взаимоисключающими, используется следующая формула:

Как вы заметили, эта формула похожа на предыдущую, но с добавлением вероятности событий X и Y, связанных между собой символом, похожим на перевернутую букву U. Это называется пересечением — вторым из двух распространенных типов сложных событий. Вероятность пересечения двух событий определяется как вероятность того, что события X и Y произойдут одновременно.

Остановимся на формуле пересечения, так как она чрезвычайно важна при вычислении вероятности не исключающих друг друга событий.

Классический пример, демонстрирующий эту формулу, — игральные карты. Предположим, мы хотим определить вероятность вытянуть из колоды карту пиковой масти или даму. Зная о не исключающих друг друга событиях, мы можем предположить, что в колоде есть карта, которая одновременно является дамой и относится к пиковой масти. Сначала определяем вероятности выбора карты пиковой масти, дамы и пиковой дамы, которые составляют 13/52, 4/52 и 1/52 соответственно. Итоговое значение вероятности получаем путем сложения первых двух дробей и вычитанием из этой суммы третьей дроби. В результате выходит 16/52 или 4/13.

Пересечение независимых событий

Теперь, когда вы уже познакомились с концепцией пересечения, давайте углубимся в нее еще больше. Обычно мы имеем дело с пересечением независимых событий, когда вероятность одного из них не влияет на вероятность другого. В этом случае формула пересечения выглядит следующим образом:

Например, если подбросить две монеты, то вероятность того, что обе они упадут решкой вверх, равна 0,5 * 0,5 = 0,25. Есть и альтернативный способ решения этой задачи. Для этого нужно вспомнить наше первое определение вероятности, представляющее собой соотношение количества происходящих событий к общему числу исходов. Сначала перечислим все возможные исходы при падении двух монет:

{H, H} , {H, T} , {T , H} , {T ,T}, где H — орел, T — решка.

Сколько исходов может быть с выпадением двух решек? Только один из четырех.

Условная вероятность

Условной считается вероятность события X при условии наступления события Y.

(Обратите внимание, что это уравнение включает в себя выражение для пересечения, которое можно вывести следующим образом: P(X | Y) * P(Y). Такая версия формулы пересечения используется для событий, которые не являются независимыми друг от друга).

Предположим, в деканат поступила информация о посещении практики 41 студентом в течение недели. Используя эти данные, декан построил график и получил следующую картину:

• из 22 первокурсников 9 посещали менее 3 дней, а 13 — более 3 дней;
• из 19 второкурсников 12 посещали менее 3 дней, а 7 — более 3 дней.

Поможем декану выяснить вероятность посещения менее 3 дней практики студентами при условии, что его интересуют в первую очередь первокурсники:

P(< 3 дней | первокурсники).

Сначала вычислим вероятность пересечения. Из общего числа студентов (мы знаем, что практику проходил 41 человек) 9 первокурсников посетили менее 3 дней, так что эта вероятность составляет 9 / 41. Второе, что нам нужно определить, — вероятность быть первокурсником. Она равна 22 / 41. Отсюда условная вероятность будет равна (9 / 41) / (22 / 41), или 9 / 22.

Подведем итоги

Теперь вы имеете представление об основных принципах применения теории вероятностей. Ее формулы пригодятся вам в любом месте, будь то студенческая аудитория или исследовательская лаборатория. Ее законы позволят вам не полагаться на случай. Вычисляя и сопоставляя свои шансы и риски, вы сможете принимать верные решения в области медицины, статистики, финансов и многих других.

Читайте также:

• Годовой план изучения науки о данных
• Что нужно знать, чтобы начать заниматься квантовыми вычислениями
• Статистические типы данных, используемые в машинном обучении

Читайте нас в Telegram, VK и Яндекс.Дзен

---

Перевод статьи Albert Ming, An Introduction to Probability and the World of Chance

Читайте также

Биномиальное распределение.

Определение, свойства, расчет, формула, примеры, применение или провал. (приставка «би» означает два или два раза). Несколько обстоятельств, при которых у нас есть биномиальные эксперименты, — это подбрасывание монеты: орёл или решка, результат теста: пройден или не пройден, выбранный на собеседовании: да/нет, или характер продукта: дефектный/недефектный. Такое распределение биномиальной случайной величины называется биномиальным распределением вероятностей.

Биномиальное распределение — обычно используемое в статистике дискретное распределение. Нормальное распределение, в отличие от биномиального распределения, является непрерывным распределением. Давайте изучим формулу для расчета биномиального распределения, учитывая множество экспериментов и несколько решенных примеров для лучшего понимания.

1.	Что такое биномиальное распределение?
2.	Отрицательное биномиальное распределение
3.	Формула биномиального распределения
4.	Применение биномиального распределения
5.	Среднее биномиальное распределение и дисперсия
6.	Биномиальное распределение против нормального распределения
7.	Свойства биномиального распределения
8.	Часто задаваемые вопросы о биномиальном распределении

Что такое биномиальное распределение?

Биномиальное распределение — это вероятностное распределение биномиальной случайной величины. Случайная величина — это функция с действительным знаком, областью определения которой является выборочное пространство случайного эксперимента. Давайте рассмотрим пример, чтобы понять это лучше.

Дважды подбросьте правильную монету. Это биномиальный эксперимент. Возможны 4 исхода этого эксперимента. {ЧЧ, ХТ, ТХ, ТТ}. Считайте получение одной головы успехом. Подсчитайте количество успехов в каждом возможном исходе. Здесь n(выпадение орла) — успех в n повторных испытаниях биномиального эксперимента. n(X) = 0, 1 или 2 — биномиальная случайная величина. Распределение вероятности представляет собой биномиальную случайную величину, и это известно как биномиальное распределение.

Количество головок (n(X))	Вероятность выпадения орла(P(X))
0	Р(х = 0) = 1/4 = 0,25
1	P(x = 1) = P(HT) = 1/4 + 1/4 = 0,50
2	Р(х = 2) = Р(ЧЧ) = 1/4 = 0,25

Из этой таблицы видно, что выпадение одной решки за один бросок равно 0,50. Теперь, если монета подбрасывается 3 раза, представьте, что мы должны найти биномиальное распределение двух решек. Подбрасывание 3 монет приводит к 8 исходам. {ЧЧ, ЧЧ, ЧЧ, ЧТТ, ЧЧЧ, ЧЧ, ТЧ, ТТТ}. Вероятность выпадения двух решек [P(HH)] равна 3/8. Точно так же мы можем рассчитать вероятность выпадения одного орла, 2 орлов, 3 орлов и 0 орлов. Биномиальное распределение вероятностей дается через случайную величину следующим образом:

P(X = 0) = 1/8

P(X = 1) = 3/8

P(X = 2) = 3/8

P(X = 3) = 1/8

Биномиальное распределение в статистике

Биномиальное распределение составляет основу знаменитого биномиального критерия статистической значимости. Биномиальное распределение представляет собой вероятность «x» успехов эксперимента в «n» испытаниях при заданной вероятности успеха «p» для каждого испытания в эксперименте. Два параметра n и p используются здесь в биномиальном распределении. Переменная «n» представляет количество испытаний, а переменная «p» указывает вероятность любого одного (каждого) результата. Тест, который имеет один результат, такой как успех/неудача, также называется испытанием Бернулли или экспериментом Бернулли, а ряд результатов называется процессом Бернулли.

Рассмотрим эксперимент, в котором каждый раз задается вопрос «да/нет» в серии из n экспериментов. Тогда в биномиальном распределении вероятностей результат с логическим значением успех/да/истина/один представлен с вероятностью p, а неудача/нет/ложь/ноль с вероятностью q (q = 1 — p). В одном эксперименте, когда n = 1, биномиальное распределение называется распределением Бернулли.

Если игральную кость бросают наугад 10 раз, то вероятность выпадения 3 при любом броске равна 1/6. Точно так же, если мы бросим кости 10 раз, мы получим n = 10 и p = 1/6, q = 5/6

Отрицательное биномиальное распределение

Давайте разберемся на примере, когда биномиальное распределение может быть отрицательным. Предположим, мы бросаем кубик и определяем, что выпадение 2 будет неудачей, а все, что не двойка, будет успехом. Пусть неудачи обозначаются буквой «r». Теперь, если игральную кость бросают часто до тех пор, пока 2 не выпадет в третий раз, т. е. r = три неудачи, то биномиальное распределение количества выпавших не-2 будет отрицательным биномиальным распределением.

Формула биномиального распределения

Формула биномиального распределения для любой случайной величины X определяется как; P(x:n,p) = ⁿ C _x p ^x (1-p) ^n-x Или P(x:n,p) = ⁿ C _x p

0 p (q) ^n-x

Где p — вероятность успеха, q — вероятность неудачи, а n — количество попыток. Формула биномиального распределения также записывается в виде n-испытаний Бернулли.

где ⁿ C _x = n!/x!(n-x)!. Следовательно, P(x:n,p) = n!/[x!(n-x)!].p ^x .(q) ^n-x

Расчет биномиального распределения

На приведенном ниже рисунке показана формула, используемая для расчет биномиального распределения:

Применение биномиального распределения

Теперь мы уже знаем, что биномиальное распределение дает вероятность другого набора результатов. В реальной жизни концепция биномиального распределения используется для:

• Определение количества сырья и используемых материалов при изготовлении продукта.
• Проведение опроса положительных и отрицательных отзывов общественности о каком-либо конкретном продукте или месте.
• С помощью опроса ДА/НЕТ
• Чтобы найти количество студентов мужского и женского пола в университете.
• Количество голосов, набранных кандидатом на выборах, подсчитывается с вероятностью 0 или 1.

Рассмотрим карту, выбранную наугад и возвращенную на место. Если этот опыт повторить 5 раз, найдем вероятность выбрать ровно 3 сердечка. Определим количество попыток, успехов и неудач. Испытание заключается в розыгрыше карты 5 раз. Таким образом, n = 5,

успех: вытянутая карта является червой = p = 1/4 = 0,25

неудача: вытянутая карта не является червой = q = 1-0,25 = 0,75

Используя формулу биномиального распределения, получаем ⁵ C\ (_3\) (0,25) ³ (0,75) ² = 0,088

Среднее биномиальное распределение и дисперсия

Для биномиального распределения среднее значение, дисперсия и стандартное отклонение для заданного числа успехов представляются с помощью формул

• Среднее, μ = np
• Дисперсия, σ ² = npq
• Стандартное отклонение σ= √(npq)

Где p — вероятность успеха q — вероятность отказа, где q = 1-p

Биномиальное распределение против нормального распределения

Основное различие между биномиальным распределением и нормальным распределением заключается в том, что биномиальное распределение является дискретным, тогда как нормальное распределение является непрерывным. Это означает, что биномиальное распределение имеет конечное количество событий, тогда как нормальное распределение имеет бесконечное количество событий. В случае, если размер выборки для биномиального распределения очень велик, то кривая распределения для биномиального распределения аналогична кривой нормального распределения.

Свойства биномиального распределения

Свойства биномиального распределения:

• Возможны только два различных результата: истина/ложь, успех/неудача, да/нет.
• В заданном эксперименте существует фиксированное число повторных попыток ‘n’ раз.
• Вероятность успеха или неудачи остается постоянной для каждой попытки/пробы.
• Из ‘n’ независимых испытаний учитываются только успешные попытки.
• Каждое испытание является самостоятельным испытанием, это означает, что результат одного испытания не влияет на исход другого испытания.

Важные замечания по биномиальному распределению

• При использовании биномиального распределения количество наблюдений или испытаний в эксперименте является фиксированным или конечным.
• Каждое наблюдение/попытка/испытание независимо друг от друга. Это означает, что ни одно из испытаний не влияет на вероятность следующего испытания.
• Каждое испытание имеет равную вероятность возникновения. Вероятность успеха одинакова от одного испытания к другому.

☛ Связанные статьи:

• Формула нормального распределения
• Суммарная частота
• Распределение частот

 

Примеры биномиального распределения

1. Пример 1: Если монету подбрасывают 5 раз, используя биномиальное распределение, найдите вероятность:

   (a) Ровно 2 головки

   (b) Не менее 4 головок.

   Решение:

   (a) Повторное подбрасывание монеты является примером испытания Бернулли. Согласно задаче:

   Количество испытаний: n=5

   Вероятность выпадения орла: p= 1/2 и, следовательно, вероятность выпадения орла q =1/2

   Ровно для двух орлов:

   x=2

   Используя формулу биномиального распределения,

   P(x=2) = ⁵ C ₂ p ² q ^5-2 = 5! / 2! 3! × (½) ² × (½) ³

   P(x=2) = 5/16

   (b) Не менее чем для четырех головок

   x ≥ 4, P(x ≥ 4) = P(x = 4) + P(x=5)

   Отсюда, используя формулу биномиального распределения,

   P(x = 4) = ⁵ C ₄ p ⁴ q ^5-4 = 5 !/4! 1! × (½) ⁴ × (½) ¹ = 5/32

   P(x = 5) = ⁵ C ₅ p ⁵ q ^{5-5 _{= (0127 5}} = 1/32

   Ответ: Следовательно, P(x ≥ 4) = 5/32 + 1/32 = 6/32 = 3/16

2. Пример 2: Для того же вопроса, заданного выше, используя биномиальное распределение, найдите вероятность выпадения не более двух орлов.

   Решение:

   Решение: P(не более 2 голов) = P(X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1)

   P(X = 0) = (½) 5 = 1/32

   Используя формулу биномиального распределения, мы получаем

   P(X=1) = ⁵ C ₁ (½) ⁵ = 5/32

   Ответ: Следовательно, P(X ≤ 2) = 1/32 + 5/32 = 3/ 16

3. Пример 3: Случайная величина X имеет следующее биномиальное распределение. Определить P(X>6) и P(0

   X	0	1	2	3	4	5	6	7
   П(Х)	0	к	2к	2к	3к	к 2	2к 2	7к 2 + к

   Решение:

   Это биномиальное распределение.

   Найти k. Сумма всех вероятностей = 1

   0 + k + 2k +2k + 3k + k ² + 2k ² + 7k ² + k = 1

   10k ² + 8 k = 1

   5, решая для k = 1

   5 = 0,1 и -1. Мы считаем, что k = 0,1, поскольку k = -1 делает вероятность отрицательной, что невозможно.

   i) P(X>6)= 7k ² + k

   7(0,1) ² + 0,1

   = 0,17

   ii) P(05 = 3k

   = 0,3

   Ответ: P(X>6)= 0,17 и P(0

перейти к слайду перейти к слайду перейти к слайду

Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок

Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.

Записаться на бесплатный пробный урок

Биномиальное распределение вопросов

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о биномиальном распределении

Что такое биномиальное распределение?

Биномиальное распределение — обычное дискретное распределение, используемое в статистике, в отличие от непрерывного распределения, такого как нормальное распределение. Таким образом, биномиальное распределение представляет собой вероятность x успехов в n испытаниях при заданной вероятности успеха p для каждого испытания и применимо к событиям, имеющим только два возможных результата в эксперименте.

Какова цель биномиального распределения?

Модель биномиального распределения позволяет нам вычислить вероятность наблюдения определенного количества «успехов», когда процесс повторяется определенное количество раз (например, в группе пациентов) и результатом для данного пациента является либо успех или провал.

Что такое формула биномиального распределения?

Формула биномиального распределения:

P(x:n,p) = ⁿ C _x p ^x (q) ^n-x

Где,

• n = количество экспериментов
• х = 0, 1, 2, 3, 4, …
• p = Вероятность успеха в одном эксперименте
• q = вероятность неудачи в одном эксперименте (= 1 – p)

Какова формула среднего и дисперсии биномиального распределения?

Среднее и дисперсия биномиального распределения:

• Среднее = np
• Дисперсия = npq

Где p — вероятность успеха, q — вероятность неудачи, а n — количество попыток.

Каковы критерии биномиального распределения?

Критерии использования биномиального распределения:

• Количество испытаний должно быть фиксированным.
• Каждое испытание должно быть независимым.
• Вероятность успеха одинакова от одного испытания к другому.

В чем разница между биномиальным распределением и нормальным распределением?

Основное различие между биномиальным распределением и нормальным распределением заключается в том, что биномиальное распределение является дискретным, тогда как нормальное распределение является непрерывным. Это означает, что биномиальное распределение имеет конечное количество событий, тогда как нормальное распределение имеет бесконечное количество событий. В случае, если размер выборки для биномиального распределения очень велик, то кривая распределения для биномиального распределения аналогична кривой нормального распределения.

Как определить биномиальное распределение?

Чтобы переменная была биномиальной случайной величиной, должны быть выполнены все следующие условия:

• Существует фиксированное количество испытаний (фиксированный размер выборки).
• При каждом испытании интересующее событие либо происходит, либо нет.
• Вероятность появления (или отсутствия) одинакова в каждом испытании.
• Испытания не зависят друг от друга.

Является ли биномиальное распределение дискретным или непрерывным?

Биномиальное распределение — это дискретное распределение с параметрами n и p, где n — количество попыток, а p — вероятность успеха.

Какая формула биномиального распределения находит стандартное отклонение?

Формула стандартного отклонения для биномиального распределения имеет вид: σ = √(npq), где n = количество испытаний, p = вероятность успеха, q = вероятность неудачи = 1 — p.

Что такое отрицательное биномиальное распределение?

Отрицательное биномиальное распределение — это дискретное распределение вероятностей в статистике. Это помогает найти r успеха в x испытаниях. Здесь мы рассматриваем n + r испытаний, необходимых для получения r успехов.

Понятия вероятности, формулы и примеры из реальной жизни

Вероятность — это раздел математики, который имеет дело с вероятностью наступления события. Важно понимать концепции вероятности, если вы хотите хорошо разбираться в науке о данных и машинном обучении. В этом сообщении блога мы обсудим основные концепции вероятности и приведем примеры, которые помогут вам лучше понять ее. Мы также введем некоторые общие формулы, связанные с вероятностью. Итак, приступим!

Содержание

Что такое вероятность и какие существуют ее типы?

Вероятность — это понятие в математике, которое измеряет вероятность наступления события. Обычно он выражается в виде числа от 0 до 1, где 0 указывает, что событие невозможно, а 1 указывает, что событие обязательно произойдет или событие произойдет всегда. Понятие вероятности можно использовать для моделирования различных ситуаций, от броска игральной кости до вероятности выигрыша в лотерею. Вероятность можно рассчитать с помощью теоретических или экспериментальных методов. Теоретическая вероятность основана на известных скоростях и пропорциях, тогда как экспериментальная вероятность основана на фактических данных. Независимо от того, какой метод используется, вероятность может дать нам ценную информацию о вероятности будущих событий. Вероятность — важный инструмент для статистиков, математиков, ученых и обычных людей. Понимая вероятность, мы можем принимать лучшие решения, создавать более точные прогнозы и избегать потенциальных ловушек.

Существует три типа вероятности :

• Экспериментальная вероятность : Это вероятность того, что событие произойдет, исходя из экспериментальных данных. Обычно он рассчитывается путем проведения испытания или эксперимента и наблюдения за результатом. Например, если вы подбрасываете монету 10 раз, и шесть раз она выпадает орлом, то экспериментальная вероятность того, что монета выпадет орлом, равна 0,6. Экспериментальную вероятность можно использовать для предсказания вероятности события, которое произойдет в будущем, на основе прошлых данных. Однако важно отметить, что экспериментальная вероятность является лишь оценкой, и фактические результаты могут отличаться.
• Теоретическая вероятность : Теоретическая вероятность – это вероятность наступления события, вычисляемая путем деления числа возможных вариантов возникновения события на общее число возможных исходов. Например, если имеется пять равновероятных исходов и только один из них является рассматриваемым событием, то теоретическая вероятность того, что событие произойдет, равна одному из пяти или 20 %. Теоретическая вероятность может рассматриваться как долгосрочное среднее того, как часто происходит событие, при условии, что проводится большое количество испытаний. Это контрастирует с фактической вероятностью, которая представляет собой вероятность того, что событие произойдет на основе наблюдаемых данных. В то время как теоретическая вероятность рассчитывается с использованием предположений и теоретических моделей, фактическая вероятность основана на эмпирических данных. Тем не менее, теоретическая вероятность может дать полезную оценку того, насколько вероятно событие.
• Субъективная вероятность : Субъективная вероятность основана на личном суждении или убеждении человека о вероятности наступления события. Он не основан на каких-либо математических расчетах или данных наблюдений. Например, если вы считаете, что вероятность дождя завтра составляет 50 %, то ваша субъективная вероятность дождя равна 0,50. Субъективная вероятность часто используется в ситуациях, когда нет экспериментальных или теоретических данных, на которые можно положиться. Например, при принятии решения о том, покупать или не покупать страховку, люди часто используют свою субъективную вероятность того, что они испытают событие (например, попадание в автомобильную аварию), чтобы помочь им принять решение.

Прежде чем приступить к пониманию понятий и формул, давайте разберемся с некоторыми основными терминами, используемыми в задачах, связанных с вероятностью:

• Выборочное пространство : множество всех возможных результатов вероятностного эксперимента называется выборочным пространством. Если эксперимент представляет собой подбрасывание монеты один раз, выборочное пространство, представляющее все возможные результаты эксперимента, состоит либо из орла (H), либо из решки (T). Таким образом, выборочное пространство = {H, T}. Если эксперимент представляет собой подбрасывание монеты дважды, выборочное пространство = {HH, HT, TH, TT}. Если подбрасывание одной кости один раз является экспериментом, выборочное пространство = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, представляющее все возможные результаты. Если результатом являются все возможные четные числа, выборочное пространство = {2, 4, 6}. Если результатом являются все возможные нечетные числа, выборочное пространство = {1, 3, 5}. Эксперимент может иметь разные выборочные пространства в зависимости от типов всех возможных ожидаемых результатов.
• Событие : любое подмножество выборочного пространства называется событием. Например, для эксперимента, представляющего монету, подброшенную один раз, выборочное пространство = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Все возможные исходы, которые даже представляют событие. Событие обозначается заглавной буквой, A, B, C и т. д. Таким образом, событие, представляющее исходы события = {2, 4, 6}
• Простое событие : Событие, состоящее из одного исхода, называется простым событием.
• Составное событие : Событие, состоящее из двух или более исходов, называется составным событием.
• Взаимоисключающие события : Два события называются взаимоисключающими, если они не могут произойти одновременно.
• Случайная переменная : Случайная переменная представляет собой переменную, которая может принимать разные значения случайным образом с разной вероятностью. Случайная величина обозначается буквой X. Например, X: нет. орла в монете, подброшенной 10 раз. В этом примере X может принимать значения от 1 до 10, где 1 и 10 имеют наименьшую вероятность, если монета честная.

Учитывая приведенную выше терминологию, вероятность события A (подмножество выборочного пространства S) может быть выражена следующим образом: количество возможных исходов в выборке S

Таким образом, для эксперимента, представляющего собой бросок одной кости, какова вероятность того, что выпадут четные числа?

Пространство выборки = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Событие, скажем, А, что на игральной кости выпало четное число = {2, 4, 6}

P(A) = 3 / 6 = 0,5

Вероятность P(A) можно понимать как экспериментальную вероятность, основанную на трех вышеперечисленных различных типах вероятности.

Аксиомы вероятности

Ниже приведены аксиомы вероятности, на которых основана теория вероятностей:

• 0 <= P(A) <= 1, где A — любое событие
• P(S)=1 , где S — выборочное пространство
• P(A∪B) = P(A)+P(B) , где A и B — взаимоисключающие события

Из приведенных выше аксиом можно вывести следующую формулу:

P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B) , где A и B не исключают друг друга events

Учитывая, что события A и B представляют события в одном и том же пространстве выборок, объединение A и B представляет элементы, принадлежащие либо A, либо B, либо обоим. P(A ∪ B) можно правильно понять .

Что такое предельная вероятность и условная вероятность?

Предельная вероятность относится к вероятности наступления события без учета любых других событий, которые могут произойти в то же время. Например, предельная вероятность подбросить монету и выпасть решка составляет 50%. Условная вероятность, с другой стороны, относится к вероятности того, что событие произойдет при условии, что другое событие уже произошло. Например, условная вероятность подбрасывания монеты и выпадения орла при условии, что монета честная, по-прежнему составляет 50%. Эти концепции важны, потому что они помогают нам понять, как разные события связаны друг с другом. В частности, они могут помочь нам выявить причинно-следственные связи. Например, если мы знаем, что предельная вероятность того, что учащийся получит высокую оценку за тест, низка, но условная вероятность получения учащимся высокой оценки за тест при условии, что он учился, высока, то мы можем заключить, что изучение вероятно, будет причинным фактором в исходе теста.

Формула условной вероятности события A при условии, что произошло событие B:

P(A|B) = P(A∩B)/P(B) , где B — уже произошедшее событие.

Что такое распределение вероятностей?

Распределение вероятностей — это математическая функция, описывающая вероятность возникновения различных возможных исходов случайной величины. Вероятность каждого возможного исхода представлена ​​диапазоном значений, называемым распределением вероятностей. Распределения вероятностей используются для расчета вероятности различных событий, таких как вероятность выпадения определенного числа на игральной кости. Их также можно использовать для прогнозирования вероятности будущих событий, например, на фондовом рынке. Они часто представляются с помощью графиков, что позволяет легко визуализировать вероятность различных исходов. Распределения вероятностей являются важными инструментами в статистике и используются во многих областях, от страхования до азартных игр. На рисунке ниже показан пример распределения вероятностей.

Существует два основных типа распределения вероятностей:

• Дискретное распределение вероятностей : Дискретное распределение вероятностей представляет собой математическую функцию, которая вычисляет вероятность дискретных результатов. Другими словами, он говорит нам, насколько вероятно, что что-то произойдет при определенном количестве событий. Это распределение вероятностей дискретной случайной величины. Дискретные случайные величины могут принимать только дискретные значения (например, целые числа), тогда как непрерывные случайные величины могут принимать любые значения, попадающие в определенный диапазон. Например, если мы трижды подбрасываем монету, существует дискретное распределение вероятностей, которое вычисляет вероятность выпадения либо трех орлов, двух орлов и одной решки, либо одного орла и двух решек. Дискретное распределение вероятностей часто используется при моделировании событий с конечным числом исходов и известной вероятностью для каждого исхода. Например, при бросании игральной кости есть только шесть возможных исходов, и каждый исход равновероятен, поэтому мы можем смоделировать это событие, используя дискретное распределение вероятностей. Некоторые другие примеры дискретных распределений вероятностей включают биномиальное распределение и распределение Пуассона. Биномиальное распределение моделирует вероятность успеха в данном количестве независимых испытаний, а распределение Пуассона моделирует вероятность того, что данное количество событий произойдет за фиксированный период времени.
• Непрерывное распределение вероятностей : Непрерывное распределение вероятностей — это математическая функция, которая вычисляет вероятность непрерывных результатов. Другими словами, он говорит нам, насколько вероятно, что что-то произойдет при бесконечном числе событий. Например, если мы подбрасываем монету бесконечное количество раз, существует непрерывное распределение вероятностей, которое вычисляет вероятность выпадения либо всех орлов, либо всех решек, либо их сочетания. Непрерывные распределения часто используются для моделирования величин, которые могут непрерывно изменяться, таких как рост, вес или время. Существует множество примеров непрерывных распределений вероятностей, включая нормальное распределение, равномерное распределение и экспоненциальное распределение. Каждое из этих распределений имеет разные приложения и может использоваться для моделирования различных типов данных. Например, нормальное распределение часто используется для моделирования данных, равномерно распределенных вокруг среднего значения, таких как результаты тестов или рост. Равномерное распределение часто используется для моделирования данных, которые с равной вероятностью могут появиться в любой точке заданного интервала, например, продолжительность времени, необходимого для включения света. Экспоненциальное распределение часто используется для моделирования данных, которые происходят с постоянной скоростью, например времени между прибытиями автобусов. В общем, непрерывные распределения определяются их функциями плотности вероятности, которые описывают, как вероятности распределяются в диапазоне возможных значений.

Как вероятность используется в машинном обучении?

Вероятность используется в машинном обучении для создания моделей, которые могут предсказывать будущие события. Вероятность может помочь определить, насколько вероятно, что определенное событие произойдет, и эту информацию можно использовать для прогнозирования будущих событий. Например, если модель машинного обучения обучается на наборе данных об исторических погодных условиях, она может использовать вероятность для прогнозирования вероятности будущих погодных явлений. Вероятность также используется в машинном обучении для оценки точности моделей. Тестируя модель на наборе данных и оценивая результаты, исследователь может определить, насколько вероятно, что модель будет точно предсказывать будущие события. Таким образом, вероятность можно использовать для повышения точности моделей машинного обучения и более точных прогнозов будущих событий.

Вероятность — это фундаментальный инструмент машинного обучения, используемый для прогнозирования и принятия решений на основе данных. В обучении с учителем вероятность используется для оценки вероятности каждого возможного результата на основе известных признаков. Это можно использовать для задач классификации, таких как прогнозирование того, является ли электронное письмо спамом или нет. В неконтролируемом обучении вероятность используется для поиска закономерностей в данных, таких как кластеры похожих элементов. Вероятность также используется в обучении с подкреплением, когда агент методом проб и ошибок учится предпринимать действия, которые максимизируют вознаграждение.

Байесовское машинное обучение — это вероятностный подход к машинному обучению, основанный на байесовской теории вероятностей. Байесовская вероятность — это подход к вероятности, который использует предшествующие убеждения о вероятности определенных событий для обновления вероятности после получения новых данных. Это может быть использовано как для контролируемых, так и для неконтролируемых учебных задач. Например, при контролируемом обучении можно использовать байесовскую модель для оценки вероятности каждого возможного результата на основе известных признаков. Это можно использовать для задач классификации, таких как прогнозирование того, является ли электронное письмо спамом или нет. При неконтролируемом обучении можно использовать байесовскую модель для поиска закономерностей в данных, таких как кластеры похожих элементов.

Байесовское машинное обучение — это мощный инструмент для прогнозирования и принятия решений на основе данных. Он основан на надежной теории вероятностей и может использоваться как для контролируемых, так и для неконтролируемых учебных задач. Если вы работаете с машинным обучением, то вам обязательно стоит рассмотреть возможность использования байесовского машинного обучения в своей работе.

• Автор
• Последние сообщения

Аджитеш Кумар

Недавно я работал в области анализа данных, включая науку о данных и машинное обучение / глубокое обучение. Я также увлекаюсь различными технологиями, включая языки программирования, такие как Java/JEE, Javascript, Python, R, Julia и т. д., а также такие технологии, как блокчейн, мобильные вычисления, облачные технологии, безопасность приложений, платформы облачных вычислений, большие данные, и т. д. Чтобы быть в курсе последних обновлений и блогов, следите за нами в Twitter. Я хотел бы связаться с вами на Linkedin.

Ознакомьтесь с моей последней книгой под названием «Основы мышления: создание выигрышных продуктов с использованием первых принципов».

Последние сообщения Аджитеша Кумара (посмотреть все) Precision, Recall и F1-Score — примеры Python — 14 января 2023 г.