Нечетная функция — определение, свойства, график, примеры
LearnPracticeDownload
Нечетные функции — это функции, которые возвращают обратное отрицательное значение при замене x на –x. Это означает, что f(x) — нечетная функция, когда f(-x) = -f(x). Некоторыми примерами нечетных функций являются тригонометрическая функция синуса, функция тангенса, функция косеканса и т. Д. Давайте подробно разберемся с нечетными функциями и их свойствами в следующем разделе.
| 1. | Что такое нечетная функция? |
| 2. | Общая формула функции ODD |
| 3. | Графическое представление нечетной функции |
| 4. | Свойства нечетных функций |
| 5. | Часто задаваемые вопросы о нечетных функциях |
Что такое нечетная функция?
Функция нечетная, если −f(x) = f(−x) для всех x.
График нечетной функции будет симметричен относительно начала координат. Например, f(x) = x
Пример нечетной функции
Посмотрите пример нечетной функции, график f(x) = x 5
Посмотрите на график в 1 st и 3 квадранта и . График выглядит симметричным относительно начала координат. Обратите внимание, что все функции, имеющие нечетную мощность, являются нечетными функциями.
f(x) = x 7 — нечетная функция, но f(x) = x 3 + 2 нечетная функция. Можете ли вы проверить с помощью правила нечетной функции?
Общая формула нечетной функции
Алгебраически, не глядя на график, мы можем определить, является ли функция четной или нечетной, найдя формулу для отражений.
f(−x) = −f(x) для всех x
Пример:
Определите характер функции f(x) = 1/x
Функция является нечетной, если f(−x ) = −f(x) и даже если f(x) = f(−x),
Найдем f(−x), чтобы определить характер функции.
f(−x) = 1/-x = −1/x
= −f(x) (∵ f(x) = 1/x)
Поскольку f(−x) = −f(x), функция нечетная.
Графическое представление нечетной функции
Нечетные Функции симметричны относительно начала координат. Функция на одной стороне оси абсцисс инвертирована по знаку относительно другой стороны или графически симметрична относительно начала координат. Вот несколько примеров нечетных функций, обратите внимание на симметрию относительно начала координат.
y = x 3
f(x) = −x нечетно
f(x) = 6sin(x)
Свойства нечетных функций
Как и другие функции в математике, нечетные функции имеют свои собственные свойства, которые можно использовать для легкого определения нечетной функции. Давайте посмотрим на несколько свойств.
- Сумма двух нечетных функций нечетна.
- Разница между двумя нечетными функциями нечетна.
- Произведение двух нечетных функций четно.
- Частное от деления двух нечетных функций четно.
- Композиция двух нечетных функций нечетна.
- Композиция четной функции и нечетной функции четна.
☛Статьи о нечетной функции
Ниже приведен список тем, тесно связанных с нечетной функцией. Эти темы также дадут вам представление о том, как такие понятия рассматриваются в Cuemath.
- Экспоненциальная функция
- Полиномиальные функции
- Квадратичные функции
- Линейные функции
- Постоянные функции
Примеры нечетных функций
Пример 1. Алгебраически определите, является ли заданная функция f(x) = −3x 3 + 2x четной, нечетной или ни одной из них.
Решение:
Подставим −x в функцию f(x) = 3x 3 + 2x, а затем упростить.
Функция является нечетной, если −f(x) = f(−x)
Найдем f(-x)
f(x) = −3x 3 + 2x
f(−x) = -3(−x) 3 + 2(−x)
= −3(−1) 3 (x) 3 + 2(−x)
= 3x 3 − 2x −−−(1)
−f(x) = −(−3x 3 + 2x)
= 3x 3 − 2x −−−(2)
из (1) и (2) можно сказать, что f(−x) = −f(x)
и данная функция является нечетной функцией.f(x) = −3x 3 + 2x — нечетная функция.
Пример 2: Определите характер функции f(x) = x 3 + 2x.
Решение: Функция равна
- , даже если f(x) = f(−x)
- нечетно, если f(−x) = −f(x)
Найдем f(−x), чтобы определить характер функции
f(−x) = (−x) 3 + 2(−x)
= −x 3 − 2x
= -(х 3 + 2х)
= −f(x)f(−x) = −f(x) это нечетная функция.
Пример 3: Нарисуйте график нечетной функции для примера 2, т. е. f(x) = x 3 + 2x, и объясните, почему это нечетная функция.
Решение: Построим график данной функции
- Обратите внимание, что график симметричен относительно начала координат.
- Для каждой точки (x,y) на графике соответствующая точка (−x,−y) также находится на графике
- Например, (1,3) находится на графике f(x), и соответствующая точка отражения (−1,−3) также находится на графике.
Следовательно, данная функция f(x) нечетна.
перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду
Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.
Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.
Забронировать бесплатный пробный урок
Практические вопросы по нечетной функции
перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы о нечетной функции
Что такое нечетные функции в исчислении?
В исчислении нечетная функция определяется как −f(x) = f(−x) для всех x. График нечетной функции будет симметричен относительно начала координат. Например, f(x) = x 3 нечетно.
Что такое уравнение нечетной функции?
Уравнение нечетной функции, математически выраженное как −f(x) = f(−x) для всех x.
Как определить, является ли функция нечетной функцией или нет?
Если функция удовлетворяет следующим условиям, она является нечетной функцией:
- Если значение f(−x) совпадает со значением f(x) для каждого значения x, функция четная.
- Если значение f(−x) НЕ совпадает со значением f(x) для любого значения x, функция не является четной.
- Если функция имеет четную степень, функция не обязательно должна быть четной.
Является ли Cos x нечетной функцией?
Уравнение нечетной функции, математически выраженное как −f(x) = f(−x) для всех x. При подстановке значения имеем cos(−x) = cos x. Следовательно, cosx НЕ нечетная функция, а четная.
Как узнать, предназначен ли график для нечетной функции, четной или ни для одной?
Существуют определенные правила, позволяющие определить, является ли построенный график нечетной функцией или нет. Правила перечислены ниже.
- НЕЧЕТНЫЙ, если он симметричен относительно начала координат,
- ДАЖЕ, если он симметричен относительно оси Y
- НИ ОДНА, если не указано иное.
Каковы три основных свойства нечетной функции?
Существуют различные свойства, определяющие четную функцию.
Два основных свойства:
- Когда мы вычитаем две нечетные функции, результирующая разность будет нечетной.
- Когда мы умножаем две нечетные функции, получается четное произведение.
- Когда мы складываем две нечетные функции, получается нечетная сумма.
Есть ли функция, которая не является ни нечетной, ни четной?
Функция не может быть ни четной, ни нечетной. Пример: x 3 — x + 1
Почему синус является нечетной функцией?
Мы знаем, что sin (-x) = -sin (x). График sin(x) симметричен относительно начала координат. Итак, нечетная функция.
Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы
Рабочие листы по нечетным функциям
Рабочие листы по математике и
наглядный учебный план
Как вы должны отличать четные и нечетные функции?
Защита и оценка. at NumbersEvaluating at Expressions
Purplemath
Как алгебраически определить, является ли функция четной, нечетной или ни одной?
Чтобы «алгебраически определить», является ли функция четной, нечетной или ни одной из них, вы берете функцию и подставляете − x вместо x , упрощаете и сравниваете результаты с тем, с чего вы начали.
Содержимое продолжается ниже
MathHelp.com
Если вы получите точно такую же функцию, с которой начали (то есть, если f (− x ) = f ( x ), поэтому все знаки одинаковы), то функция четная; если вы получите полную противоположность тому, с чего начали (то есть, если f (− x ) = − f ( x ), поэтому все знаки меняются местами), то функция странно.
Если результат не является ни в точности таким же, ни в точности противоположным (т. е. не имеет всех одинаковых членов, но с обратными знаками), то функция не является ни четной, ни нечетной.
Что является примером определения того, является ли функция четной, нечетной или ни той, ни другой?
Если я нарисую это, я увижу, что это «симметрично относительно оси и »; другими словами, все, что график делает на одной стороне оси y , отражается на другой стороне:
Это отражение относительно оси y является отличительной чертой четных функций.
Также отмечу, что показатели степени всех членов четные — показатель степени постоянного члена равен нулю: 4 x 0 = 4 × 1 = 4. Это полезные подсказки, которые убедительно свидетельствуют о том, что здесь у меня четная функция.
Но вопрос просит меня сделать определение алгебраически , а это значит, что мне нужно сделать алгебру.
Итак, я подставлю — x вместо x и упрощу:
f (- x ) = -3(- x ) 2 0 — 9094 = 2 40094 ( x 2 ) + 4
= −3 x 2 + 4
Сравнивая исходную функцию с моим окончательным результатом выше, я вижу, что у меня есть совпадение, а это означает, что:
Если я построю это на графике, то увижу, что он «симметричен относительно начала координат»; то есть, если я начну с точки на графике по одну сторону оси y и проведу линию из этой точки через начало координат и продолжаю ту же длину по другую сторону y -ось, я попаду в другую точку на графике.
Вы также можете думать об этом как о половине графика на одной стороне оси y , это перевернутая версия половины графика на другой стороне оси y . Эта симметрия является отличительной чертой нечетных функций.
Также обратите внимание, что все показатели степени в правиле функции нечетные, так как второй член может быть записан как 4 x = 4 x 1 . Это полезная подсказка. Я должен ожидать, что эта функция будет странной.
Вопрос требует от меня определить алгебраически, поэтому я подставлю − x вместо x и упрощу:
f (− x ) = 2 (− x ) 3 − 4(− x )
= 2(− x 3 ) + 4 x
= −2 x 3 + 4 x
For the given function чтобы быть нечетным, мне нужно, чтобы приведенный выше результат имел все противоположные знаки исходной функции. Так что напишу исходную функцию, а потом поменяю местами все знаки:
Оригинал: F ( x ) = 2 ( x ) 3 — 4 ( x )
: — F ( ( ().
(). x 3 + 4 x
Сравнивая это с тем, что я получил, я вижу, что они совпадают. Когда я подключил — x к x , все знаки поменялись местами. Это означает, что, как я и ожидал,
f ( x ) нечетно.
Эта функция является суммой двух предыдущих функций. Но, хотя сумма нечетного и четного числа есть нечетное число, я не могу заключить то же самое о сумме нечетной и четной функции.
Обратите внимание, что график этой функции не имеет симметрии ни с одной из предыдущих:
…и все ее показатели не четные или нечетные.
Основываясь на показателях, а также на графике, я бы ожидал, что эта функция будет ни , ни четных и нечетных. Однако, чтобы быть уверенным (и чтобы получить полное признание за мой ответ), мне нужно заняться алгеброй.
Я подключаю — x в для x и упрощает:
F ( — x ) = 2 ( — x ) 3 — 35758) 3 — 3 ( x ) 3 — 35758) 3 — 35788) 3 — 35758) 3 — 3 ( x ) 2 — 4 ( — x ) + 4
= 2 ( — x 3 ) — 3 ( x 2 ) + 4 x + 4 9003
= 2 77777777777777575757777777757 гг.
3 − 3 x 2 + 4 x + 4
При быстром сравнении я вижу, что это не соответствует тому, с чего я начал, поэтому эта функция неравномерна. А как насчет странного?
Для проверки я запишу прямо противоположное тому, с чего начал, т. е. исходную функцию, но со всеми измененными знаками: x 3 + 3 x 2 + 4 x − 4
Это тоже не соответствует тому, что я придумал. Так что исходная функция тоже не является странной. Затем, как я и ожидал:
f ( x ) не является ни четным, ни нечетным.
Как видите, сумма или разность четной и нечетной функций не нечетная функция. На самом деле вы обнаружите, что сумма или разность двух четных функций — это еще одна четная функция, а сумма или разность двух нечетных функций — еще одна нечетная функция.
Есть ли функция, которая одновременно является четной *и* нечетной?
Существует (ровно) одна функция, которая одновременно является четной и нечетной; это нулевая функция, f ( x ) = 0.
Другими словами, «четные» и «нечетные» в контексте функций означают нечто отличное от того, как эти термины используются с целыми числами. . Не пытайтесь смешивать два набора определений; это только смутит вас.
Только потому, что все примеры до сих пор включали полиномиальные функции, не думайте, что концепция четных и нечетных функций ограничена полиномами. Это не. Тригонометрия полна функций, которые являются четными или нечетными, и другие типы функций также могут рассматриваться.
Определите, является ли
г ( x ) = 3/( x 2 + 2) четным, нечетным или ни тем, ни другим.
Это рациональная функция. Процесс проверки четности, нечетности или отсутствия такой же, как всегда. Я начну с подстановки − x вместо x :
g (− x ) = 3/[(− x ) 2 + 2]
= 3/[( x 2 ) + 2]
= 3/( x 2 + 2)
.