Функция е в степени х: Интеграл от е в степени х

Что такое экспонента: определение, формула, свойства, график

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Алгебра Экспонента: определение, формула, свойства, график

В данной публикации мы рассмотрим, что такое экспонента, как выглядит ее график, приведем формулу, с помощью которой задается экспоненциальная функция, а также перечислим ее основные свойства.

• Определение и формула экспоненты
• График экспоненты
• Свойства экспоненциальной функции

Определение и формула экспоненты

Экспонента – это показательная функция, формула которой выглядит следующим образом:

f (x) = exp(x) = e ^x

где e – число Эйлера.

Экспоненциальная функция (так часто называют экспоненту) может быть определена:

Через предел (lim):

Через степенной ряд Тейлора:

График экспоненты

Ниже представлен график экспоненциальной функции y = e ^x.

Как мы видим график (синяя линия) является выпуклым, строго возрастающим, т.е. при увеличении x увеличивается значение y.

Асимптотой является ось абсцисс, т.е. график во II четверти координатной плоскости стремится к оси Ox, но никогда не пересечет и не коснется ее.

Пересечение с осью ординат Oy – в точке (0, 1), так как e⁰ = 1.

Касательная (зеленая линия) к экспоненте проходит под углом 45 градусов в точке касания.

Свойства экспоненциальной функции

1. Экспонента определена для всех x, причем функция везде возрастает, и ее значение всегда больше нуля. То есть:
   • область определения: – ∞ < x + ∞;
   • область значений: 0 < y < + ∞.
2. Обратная к экспоненте функция – это натуральный логарифм (ln x).
   • ln e ^x = x;
   • e ^{ln x} = x, где x > 0.
3. Для экспоненты применимы правила операций с показателями, например: e ^{(a + b)} = e ^a ⋅ e ^b.
4. Производная экспоненты:
   • (e ^x)‘ = e ^x.
   • если вместо x – сложная функция u: (e ^u)‘ = e ^u + u‘.
5. Интеграл экспоненты: ∫ e ^x dx = e ^x + C, где C – константа интегрирования.

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Экспонента равна 0 в какой степени.

Производная e в степени x и показательной функции

Одной из самых известных показательных функций в математике является экспонента. Она представляет собой число Эйлера, возведенное в указанную степень. В Экселе существует отдельный оператор, позволяющий её вычислить. Давайте разберемся, как его можно использовать на практике.

Экспонента является числом Эйлера, возведенным в заданную степень. Само число Эйлера приблизительно равно 2,718281828. Иногда его именуют также числом Непера. Функция экспоненты выглядит следующим образом:

где e – это число Эйлера, а n – степень возведения.

Для вычисления данного показателя в Экселе применяется отдельный оператор – EXP . Кроме того, эту функцию можно отобразить в виде графика. О работе с этими инструментами мы и поговорим далее.

Способ 1: вычисление экспоненты при помощи ручного ввода функции

EXP(число)

То есть, эта формула содержит только один аргумент. Он как раз и представляет собой степень, в которую нужно возвести число Эйлера. Этот аргумент может быть как в виде числового значения, так и принимать вид ссылки на ячейку, содержащую в себе указатель степени.

Способ 2: использование Мастера функций

Хотя синтаксис расчета экспоненты предельно прост, некоторые пользователи предпочитают применять Мастер функций

. Рассмотрим, как это делается на примере.

Если в качестве аргумента используется ссылка на ячейку, которая содержит показатель степени, то нужно поставить курсор в поле «Число» и просто выделить ту ячейку на листе. Её координаты тут же отобразятся в поле. После этого для расчета результата щелкаем по кнопке «OK» .

Способ 3: построение графика

Кроме того, в Экселе существует возможность построить график, взяв за основу результаты, полученные вследствие вычисления экспоненты. Для построения графика на листе должны уже иметься рассчитанные значения экспоненты различных степеней. Произвести их вычисление можно одним из способов, которые описаны выше.

Приведены график и основные свойства экспоненты (е в степени х): область определения, множество значений, основные формулы, производная, интеграл, разложение в степенной ряд, действия с комплексными числами.

Определение

Частные значения

Пусть y(x) = e x . Тогда
.

Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1 .

Область определения, множество значений

Экспонента y(x) = e x определена для всех x .
Ее область определения:
— ∞ Ее множество значений:
0

Экстремумы, возрастание, убывание

Экспонента является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

Обратная функция

Обратной для экспоненты является натуральный логарифм .
;
.

Производная экспоненты

Производная е в степени х равна е в степени х :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Интеграл

Комплексные числа

Действия с комплексными числами осуществляются при помощи формулы Эйлера :
,
где есть мнимая единица:
.

Выражения через гиперболические функции

; ;
.

Выражения через тригонометрические функции

; ;
;
.

Разложение в степенной ряд

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория «Ахиллес и черепаха». Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт… Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что «… дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось… к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса…

» [Википедия, » Апории Зенона «]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие «бесконечность» в этой ситуации, то правильно будет говорить «Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху».

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов.

За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию «Ахиллес и черепаха» очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто — достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент.

По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве — это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, «во множестве не может быть двух идентичных элементов», но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется «мультимножество». Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова «совсем». Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой «чур, я в домике», точнее «математика изучает абстрактные понятия», есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его «математическое множество зарплаты». Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: «к другим это применять можно, ко мне — низьзя!». Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами — на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально…

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует — всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова — значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов — у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких «мыслимое как не единое целое» или «не мыслимое как единое целое».

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа — это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу «Сумма цифр числа». Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры — это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: «Найти сумму графических символов, изображающих любое число». Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы — элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки — это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот «курсы кройки и шитья» от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых — нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
— Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский… Нимб сверху и стрелочка вниз — это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А — это не «минус четыре градуса» или «один а». Это «какающий человек» или число «двадцать шесть» в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

Когда снежный ком катится с горы, он постоянно увеличивается. Чем больше он становится, тем быстрее катится, чем быстрее катится, тем быстрее растет.

Математики и физики очень любят описывать мир при помощи чисел. А еще больше — при помощи функций. Функция — это правило, по которому одному числу (например, x ) ставится в соответствие другое (например y ). Функции бывают простые, вроде y=10x или y=x 2 , а бывают посложнее вроде y=10*sin(7×2+3x-9) . Если вместо x и y подставить определенные физические параметры и найти функцию, которая их связывает, то получится закон природы.

Еще у функций есть производная. Это — скорость изменения функции. То есть то, насколько изменится y при небольшом изменении x . Например, в случае функции y=10x производная всегда постоянная: y всегда будет расти в 10 раз быстрее, чем x . А в случае функции y=x 2 производная будет меняться. Если мы увеличим x c 0 до 1, то y тоже увеличится с 0 до 1. А если увеличим x с 1 до 2, то y увеличится с 1 до 4. То есть, производная с ростом x увеличилась.

Экспонентой называется функция y=e x , где e — хитрое математическое число, которое примерно равно 2,72. Она обладает замечательным свойством: ее производная равна ей самой. То есть, если расстояние, которое проходит снежный ком, зависит от времени как экспонента, то и его скорость выражается той же самой экспонентой. Это свойство очень помогает математикам решать разные дифференциальные уравнения. Они очень любят с ней работать и стараются разные другие функции путем сдвига, растяжения, или переворачивания графика превратить в экспоненту. Все такие функции можно назвать экспоненциальными. У экспоненциально протекающих процессов есть одно общее свойство: за одинаковый интервал времени их параметры меняются в одинаковое число раз. Банковский вклад каждый год увеличивается на 7%, снежный ком за минуту увеличивается в три раза, а количество урана-235 на атомных электростанциях уменьшается вдвое каждые 700 миллионов лет. Экспоненциальные функции окружают нас повсюду. Экспоненциально развиваются все явления, в которых присутствует обратная связь, когда результат влияет на скорость процесса. В случае со снежным комом обратная связь положительная: чем больше результат, тем быстрее протекает процесс. А масса и скорость снежного кома y экспоненциально возрастают со временем x . Аналогично ведут себя деньги в банке при фиксированной процентной ставке. Чем больше денег, тем больше ежегодный прирост — и тем быстрее денег хватит на домик на Мальдивах. Так же увеличивается численность животных при отсутствии внешних угроз: чем больше популяция, тем больше размножающихся особей, тем быстрее она увеличивается. А еще, когда микрофон подносишь близко к динамику, то самый тихий шорох через секунду превратится в звонкий гул.

Бывает, что обратная связь отрицательная: чем больше результат, тем медленнее идет процесс. Например, когда мы голодны, мы начинаем быстро поглощать еду, но как только чувство голода уменьшается, мы начинаем есть спокойно, потом лениво доедаем десерт. Чай остывает тоже по экспоненте: чем больше разность температур между чаем и воздухом, тем быстрее он остывает. Так что, если вам надо срочно отвлечься на 15 минут, а горячего чаю выпить хочется — налейте в него холодного молока или воды. Тогда разница температур уменьшится, и чай не остынет так быстро, как если бы он был горячим.

Чем быстрее движется струна гитары, тем быстрее она тормозится о воздух, поэтому громкость звука после дерганья за струну экспоненциально уменьшается. Еще один пример — ядерный распад. Каждое ядро может распасться в случайный момент времени, но чем ядер больше, тем больше распадов будет происходить за одну минуту. Чем быстрее ядра распадаются, тем меньше их становится, а значит и интенсивность радиации со временем падает.

Табличка на двери

Как дифференцировать экспоненциальные функции — mathsathome.com

Производные экспоненциальных функций: видео-урок 005 х

. Поэтому е в степени х остается неизменным при дифференцировании. Это единственная функция, имеющая это свойство. Производная от e ^kx равна ke ^kx . Для e ^x k=1 и, следовательно, производная e ^x это e ^x.

Поскольку производная e ^x равна e ^x , график производной e ^x выглядит идентично e ^x .

9 0085

Как дифференцировать экспоненту Функция

Чтобы дифференцировать экспоненциальную функцию, скопируйте экспоненциальную функцию и умножьте ее на производную степени. Например, чтобы дифференцировать f(x)=e ^2x , возьмите функцию e ^2x и умножьте ее на производную степени 2x. Производная от 2x равна 2. Следовательно, производная от f(x)=e ^2x равно f'(x)=2e ^2x .

Производная от e ^2x равна 2e ^2x .

Правило дифференцирования экспоненциальной функции состоит в том, что для f(x)=e ^u производная равна f'(x)=u’.e ^u .

u — функция, находящаяся в степени экспоненты, а u’ — производная этой функции.

Другими словами, правило дифференцирования показательной функции заключается в умножении исходной показательной функции на производную от ее степени.

Правило дифференцирования экспоненциальных функций таково: если f(x)=e ^u , то f'(x)=u’.e ^u , где u — функция в степени экспоненты, а u’ — производная этой функции. Для f(x)=e ^2x , u = 2x и u’ = 2. Следовательно, f'(x)=2e ^2x .

Примеры дифференцирования экспоненциальных функций

Чтобы дифференцировать любую экспоненциальную функцию, продифференцируйте степень и умножьте ее на исходную функцию.

Это может быть записано математически как когда , .

В качестве альтернативы это можно записать как когда , .

Например, продифференцируйте f(x) = e ^3x .

u — степень экспоненты, равная 3x.

u’ — производная от u. Дифференцируя 3x, получаем u’ = 3.

Подставляя u = 3x и u’ = 3 в f’(x) = u’.e ^u , получаем f’(x) = 3e ^3x .

Например, дифференцировать f(x)=e ^{x 2} .

u = x ² и так, u’ = 2x.

Следовательно, f'(x) = u’ . e ^u становится f'(x) = (2x).e ^{x 2} .

Например, дифференцировать f(x)=e ^{x 2 +3x} .

u = x ² +3x и, следовательно, u’ = 2x+3.

Следовательно, f'(x) = (2x+3).e ^{x 2 +3x} .

Например, дифференцировать f(x) = e ^{1 / _x} .

Если степень экспоненциальной функции представляет собой дробь, перепишите ее в виде индекса.

¹ / _x можно переписать как x ^-1 . Запись этой дроби в виде индекса позволяет нам дифференцировать ее.

u = x ^-1 и так, u’ = -x ^-2 .

Следовательно, f'(x) = (-x ^-2 )e ^{x -1} .

Это также может быть записано как или .

Например, продифференцируйте e ^sin(x) .

u = sin(x) и, следовательно, u’ = cos(x).

Следовательно, f'(x) = cos(x).e ^sin(x) .

Вот несколько примеров дифференцирования показательных функций с решениями.

Экспоненциальная функция	Производная
y=e x	y’=e x 9 0040
y=e kx	y’=k.e kx
у=е f(x)	y’=f'(x).e f(x)
y=a x	y’=ln(a).a x

90 043

Экспоненциальная функция	Производная
e x	e x
e kx	ke kx
e 3x	3e 3x
5e 2x	10e 2x
e x 2	(2x).e x 2
e (2x 9000 5 3 -x 2 )	(6x 2 -2x) . e (2x 3 -x 2 )
e -x	-e -x 9004 0
e sin(x)	cos(x). e sin(x)

Цепное правило с экспоненциальными функциями

Цепное правило используется для дифференциации функции от функции. Цепное правило гласит, что .

Правило дифференцирования экспоненциальных функций можно использовать в сочетании с цепным правилом.

Например, продифференцируйте y = sin(e ^x ).

Мы можем записать это как y = sin(u), где u = e ^x .

Поэтому и .

Использование цепного правила и так далее.

Правило произведения с экспоненциальными функциями

Правило произведения утверждает, что для функции производная равна .

Наше правило дифференцирования экспонент можно использовать вместе с правилом произведения.

Например, продифференцируйте y=xe ^x .

Здесь u = x и v = e ^x .

Поэтому и .

Используя правило произведения, производная равна .

Мы можем разложить член e ^x так, чтобы .

Правило частных с экспоненциальными функциями

Правило частных .

Вот пример использования правила отношения для дифференцирования экспоненциальных функций.

Дифференцировать .

Согласно правилу частных, u — это функция от числителя, а v — это функция от знаменателя.

u = e ^х и так далее.

v = x и так, .

Подставляя эти значения в правило отношения, .

Это можно упростить, разложив член e ^x .

.

Неявное дифференцирование e

^xy

Чтобы дифференцировать e ^xy , используйте f'(x)=u’.e ^u , где u = xy.

Используйте правило произведения, чтобы неявно дифференцировать мощность «xy».

Неявное дифференцирование говорит нам, что производная от y равна y’.

Если u = xy, правило произведения дает нам u’ = (1)(y)+(x)(y’), что упрощается до u’ = y + xy’.

Следовательно, производная от e ^xy равна (y+xy’)e ^xy .

Если , то .

1. Используйте неявное дифференцирование, чтобы дифференцировать xy, чтобы получить y + xy’.
2. Собери термины вместе
3. Разложите на множители значения y’
4. Решите уравнение для y’

Доказательство производной e

^𝑥

Вот алгебраическое доказательство того, почему производная e ^x равна себя.

1. Предположим, что y = e ^x
2. Возьмем натуральный логарифм обеих частей так, что ln|y|=x
3. Дифференцируя обе части по x, получим ( ¹ / _у )( ^у / _dx ) = 1
4. Умножив обе части на y, получим ^dy / _dx = y
5. Подставив y = e 9 0005 x , результат ^dy / _dx = e ^x

Производная e

^𝑥 с использованием первых принципов

Производная e ^x может быть найдена с помощью дифференцирования по первым принципам.

Формула первых принципов гласит, что функцию градиента можно найти с помощью .

• Если , то .

• Термин может быть записан как .

• Тогда формула первых принципов становится .

• Термин может быть затем вынесен за скобки, чтобы дать нам .

• Этот лимит теперь можно разделить на два лимита.
• потому что в .
• Поскольку , мы можем видеть, что , равно 1.
• становится

Доказательство производной e

^𝑥 с использованием ряда

e ^x можно записать в виде степенного ряда как

Каждый термин можно дифференцировать, чтобы получить термин перед ним.

Например, 1 дифференцируется в 0, x дифференцируется в 1, ^{x 2} / ₂ дифференцируется в x и так далее.

Поскольку в этом степенном ряду бесконечное число членов, ряд остается неизменным после его дифференцирования.

дифференцируется в

Как отличить f(𝑥) = a

^𝑥

Производным от ^x является ^x ln(a). Это правило верно для любого значения больше 0. Например, если y=2 ^x , то ^dy / _dx = 2 ^x ln(2).

Например, если y = 5 ^x , то ^dy / _dx = 5 ^x ln(5).

Доказательство производной от a

^𝑥

Производная от y=a ^x может быть доказана заменой a на e ^пер.(а) .

y=a ^x становится и мощность может быть снижена перед ln, чтобы сделать .

Мы можем дифференцировать это, используя наше правило дифференцирования экспонент: становится .

Вот так вот, .

Получаем .

Мы можем переместить перед числом (а) обратно в степень числа (а). Мы получаем .

Теперь и так.

Вычисление производных экспоненциальных функций

Показательная функция является одной из самых важных функций в исчислении. На этой странице мы выведем выражение для производной e ^x и применить его для вычисления производной других экспоненциальных функций.

Наш первый контакт с числом e и экспоненциальной функцией был на странице о непрерывных сложных процентах и ​​числе e. На этой странице мы дали интуитивное определение числа e, а также интуитивное определение экспоненциальной функции.

Мы также вывели альтернативное выражение для показательной функции. Новым выражением экспоненциальной функции был ряд, т. е.0609 бесконечная сумма .

Вы можете спросить, определение предела намного компактнее и проще, чем эта уродливая бесконечная сумма, зачем беспокоиться?

Оказывается, самый простой способ вывести правило получения производной от e ^x — использовать это представление бесконечного ряда. Почему это? Выражение ряда для e ^x выглядит как многочлен.

Мы можем обобщить идею многочлена, допустив бесконечное число членов, как в выражении экспоненциальной функции. Бесконечный многочлен называется0609 силовая серия.

Отличительной чертой степенного ряда является то, что для вычисления его производной вы действуете точно так же, как и для многочлена. То есть вы берете производную почленно. Сделаем это с экспоненциальной функцией.

Производная e

^x

Рассмотрим рядовое выражение экспоненциальной функции

Мы можем вычислить производную левой части, применяя правило для производной суммы. То есть производная суммы равна сумме производных каждого члена

Мы вычисляем производную почленно.

Мы знаем производные от каждого из этих членов. Теперь есть некоторые числа, которые сокращаются

Мы сокращаем некоторые числа, и мы приходим к удивительному результату

Мы получили удивительный результат. Выражение для производной такое же, как и для исходной функции. это

Производным от e ^x является e ^x

Производная e ^x равна e ^x . Это одно из свойств, которое делает экспоненциальную функцию действительно важной.

Теперь можно на время забыть о выражении ряда для экспоненты. Он нам нужен только здесь, чтобы доказать результат выше. Теперь мы можем применить это для вычисления производной других функций, включающих экспоненту.

Пример 1: f(x) = e ^x

Вычислим производную функции

На первый взгляд может быть не очевидно, но это составная функция. Это означает, что нам нужно применить цепное правило. Внешняя функция экспоненциальная. Его производная равна самому себе. Внутренняя функция — это ax:

Производная внешней функции равна исходной функции

Это было просто. Может потребоваться еще несколько примеров, чтобы привыкнуть к тому факту, что производная экспоненты — это та же экспонента.

Пример 2: f(x) = e ^{x 2}

Рассмотрим теперь другую составную функцию

Для вычисления ее производной снова применим цепное правило. Поскольку внешняя функция экспоненциальная, ее производная равна самой себе

Пример 3: f(x) = e ^x (1-x ² )

Теперь это выглядит сложнее

Здесь мы имеем продукт, поэтому мы должны использовать правило продукта. Для этого мы выделяем два фактора

И применяем правило продукта

И теперь мы факторизируем e ^x , чтобы получить окончательный ответ.

Пример 4: f(x) = e ^cos(x) sin(x)

Рассмотрим следующую функцию. Давайте посмотрим, что я имею в виду. Во-первых, мы применяем правило произведения

. Теперь, чтобы вычислить u’, нам нужно применить цепное правило

. Мы подключаем его к правилу произведения 9.0025

Пример 5: Экспонента с другим основанием, f(x)=a ^x

Теперь давайте рассмотрим экспоненту с основанием, отличным от e.

Как вычислить производную этой функции? Мы используем прием, который регулярно используется при работе с логарифмами.