Error
Sorry, the requested file could not be found
More information about this error
Jump to…
Jump to…Согласие на обработку персональных данных Учебно-тематический планАвторы и разработчики курсаИнформация для студентов и преподавателейВводная лекцияIntroductory lectureЛекция о системе обозначений Lecture on the notation systemВидеолекция (часть 1)Lecture (Part 1)Видеолекция 2. Операции над функциями. Свойства функции.Lecture 2. Operations on functions. The properties of the functionТеоретический материал Практическое занятие. Исследование свойств функций по определениюPractical lesson. Investigation of the properties of functions by definitionЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.1(Часть 1). Числовые функцииQuiz 1.1.1 (part 1)Тест 1.1.1(Часть 2). Числовые функцииQuiz 1.1.1 (part 2)Видеолекция 1. Числовая последовательность Lecture 1. Numeric sequenceВидеолекция 2. Предел числовой последовательностиLecture 2.
4. Непрерывность функции в точкеВидеолекция (часть 1)Lecture 1. Differential calculus of functions of a single variableВидеолекция (часть 2)Lecture 2. Differentiation of a function given parametricallyПрактическое занятие 1. Правила дифференцированияПрактическое занятие 2. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функции, заданной параметрическиPractical lesson 1. Logarithmic differentiation. Differentiating a function defined parametricallyPractical lesson 2. Rules of differentiationЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТаблица производныхТест 1.1.5 Производная функцииВидеолекция 1. Геометрический и физический смысл производнойLecture 1. Geometric and physical meaning of the derivativeВидеолекция 2. Дифференциал функцииLecture 2. Differential of a functionПрактическое занятие 1. Геометрический смысл производнойPractical lesson 1. The geometric meaning of the derivativeПрактическое занятие 2. Производные и дифференциалы высших порядковPractical lesson 2. Higher-order derivatives and differentialsЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.
1.8. Асимптоты графика функцииВидеолекция. Дифференциальное и интегральное исчислениеLecture. Differential and Integral CalculationЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТаблица интеграловТест 1.2.1. Неопределенный интегралВидеолекция. Неопределенный интеграл: методы интегрирования.Lecture. Indefinite integral: methods of integration.Практическое занятие. Внесение функции под знак дифференциалаPractical lesson. Adding a function under the sign of the differentialЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.2.2. Методы интегрированияВидеолекция 1. Интегрирование дробно-рациональных функций (часть1)Lecture 1. Integration of fractional-rational functions (part 1)Видеолекция 2. Интегрирование дробно-рациональных функций (часть 2)Lecture 2. Integration of fractionally rational functions (part 2)Практическое занятие 1. Интегрирование иррациональных выражений (часть 1)Practical lesson 1. Integration of irrational expressions (part 1)Практическое занятие 2. Интегрирование тригонометрических функцийPractical lesson 2.
3.1. Функции нескольких переменных (основные понятия)Quiz 1.3.1Видеолекция Дифференцируемость функции двух переменныхLecture. Differentiable functions of two variablesПрактическое занятие 1. Производные и дифференциалы высших порядковПрактическое занятие 2. Понятие дифференциала первого и второго порядкаPractical lesson 2. The concept of the first- and second-order differentialЗадачи для самостоятельной работыРешения задач Тест 1.3.2. Дифференцирование функции нескольких переменныхQuiz 1.3.2Видеолекция 1. Дифференцирование сложной функции, заданной неявноLecture 1. Differentiation of a complex function and a function given implicitlyВидеолекция 2. Производная по направлению. ГрадиентLecture 2. The directional derivative and the gradientПрактическое занятие 1. Производная по направлению, градиентPractical lesson 1. The directional derivative, the gradientПрактическое занятие 2. Исследование свойств функций по определениюPractical lesson 2. Investigating function properties by defenition Практическое занятие 3.
The system of linear equationsПрактическое занятие 3. Исследование систем линейных уравненийТеоретический материал (лекция 3)Задачи для самостоятельной работы 3Решения задач 3Тест 2.1.1. Системы линейных уравненийСправочник (часть 1)Справочник (часть 3)Видеолекция 1. Векторное пространствоLecture 1. Vector spaceВидеолекция 2. линейная зависимость векторов. Базис векторного пространстваLecture 2. Linear dependence of vectors and the concept of the basis of the vector systemПрактическое занятие 1. Арифметическое векторное пространствоPractical lesson 1. Arithmetic vector spaceПрактическое занятие 2. Линейная зависимость векторов. Базис векторного пространстваPractical lesson 2. Linear dependence of vectors and the concept of the basis of the vector systemТеоретический материал (лекция 1)Задачи для самостоятельной работы 1Решения задач 1Теоретический материал (лекция 2)Задачи для самостоятельной работы 2Решения задач 2Тест 2.1.2. Арифметическое n-мерное векторное пространствоСправочник (часть 1)Справочник (часть 2)Видеолекция 1.
1.4. МатрицыQuiz 2.1.4. MatricesСправочник (часть 1)Справочник (часть 2)Справочник (часть 3)Видеолекция 1. Прямоугольная декартова система координатLecture 1. Rectangular Cartesian coordinate systemТеоретический материалПрактическое занятие. Решение задач в координатахPractical lesson. Solution of problems in coordinatesЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 2.2.1. Декартова система координатСправочникВидеолекция 1. Скалярное произведение векторовLecture 1. Scalar product of vectorsТеоретический материал (Часть 1)Видеолекция 2. Векторное и смешанное произведения векторовLecture 2. Vector and mixed products of vectorsПрактическое занятие 1. Скалярное произведение векторовPractical lesson 1. Scalar product of vectorsПрактическое занятие 2. Применение произведений векторов при решении задачPractical lesson 2. vector and mixed product of vectors to solve themТеоретический материал (Часть 2)Задачи для самостоятельной работы 1Решения задач 1Тест 2.2.2.(часть 1). Скалярное произведение векторов.
Длина вектора. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторовЗадачи для самостоятельной работы 2Решения задач 2Тест 2.2.2. (часть2). Скалярное произведение векторов. Длина вектора. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторовСправочник (Часть 1)Справочник (Часть 2)Видеолекция. Уравнения прямой на плоскости и в пространствеLecture. Equation of a straight line on a plane and in spaceТеоретический материалПрактическое занятие 1. Уравнения прямой на плоскостиPractical lesson 1. Related to the equation of a straight line on a planeЗадачи для самостоятельной работы 1Решение задач 1Практическое занятие 2. Взаимное расположение прямыхPractical lesson 2. The relative position of straight lines.Задачи для самостоятельной работы 2Решение задач 2Тест 2.2.3. Уравнения прямойСправочникВидеолекция. Уравнение плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскостиТеоретический материалПрактическое занятие. Уравнение плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскости Practical lesson.
Equation of a plane Задачи для самостоятельной работы 1Решение задач 1Задачи для самостоятельной работы 2Практическое занятие 2. Взаимное расположение плоскостейPractical lesson 2. Relative position of planesРешение задач 2Тест 2.2.4. Уравнения плоскостиСправочникВидеолекция 1. ЭллипсLecture 1. EllipseТеоретический материал Часть 1Практическое занятие 1. ЭллипсPractical lesson 1. EllipseЗадачи для самостоятельной работы 1Решение задач 1Видеолекция 2. Гипербола и параболаLecture 2. Hyperbola and parabolaТеоретический материал (Часть 2)Практическое занятие 2. Гипербола и параболаЗадачи для самостоятельной работы 2Решение задач 2Тест 2.2.5. Кривые второго порядкаСправочник (Часть 1)Справочник (Часть 2)Аттестация по модулю 2Анкета обратной связиИтоговое тестирование по курсу (1-2)Итоговое тестирование по курсу (2)Видеолекция 1. Основные понятия теории вероятностей Lecture 1. Basic concepts of probability theoryВидеолекция 2. Вероятность случайного событияLecture 2. Probability of a random eventПрактическое занятие 1.
Классическая вероятностьPractical lesson 1. Classical probabilityЗадачи для самостоятельной работы (часть 1)Решения задач (часть 1)Практическое занятие 2. Операции над событиями. Practical lesson (part 2). Algebra of events. Properties of probabilitiesЗадачи для самостоятельно работы (часть 2)Решения задач (часть 2)Теоретический материалТест 3.1.1. Классическая вероятностьВидеолекция 1. Условная вероятностьLecture 1. Conditional probabilityПрактическое занятие 1. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула БайесаPractical lesson 1. Conditional probability. The formula of total probability, Bayes ‘ formulaЗадачи для самостоятельной работы. Условная вероятностьРешения задач. Условная вероятностьВидеолекция 2. Повторные независимые опыты и формула БернуллиLecture 2. Repeated Independent Experiments and the Bernoulli FormulПрактическое занятие 2. Схема БернуллиPractical lesson 2. Bernoulli’s formulaЗадачи для самостоятельной работы. Схема БернуллиРешения задач. Схема БернуллиТеоретический материалТест 3.
1.2. Условная вероятностьВидеолекция 1. Дискретные лучайные величиныLecture 1. Discrete random variablesВидеолекция 2. Числовые характеристики дискретных случайных величинПрактическое занятие. Дискретные случайные величиныPractical lesson. Discrete random variablesЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачЛабораторная работа. Законы распределения дискретных случайных величинLaboratory work 1. Distribution Laws of Discrete Random VariablesЛабораторная работаРешения задач (лабораторная работа)Теоретический материалТест 3.2.1. Дискретные случайные величиныВидеолекция 1. Непрерывные случайные величиныВидеолекция 2. Частные случаи распределений случайных величинLecture 2. Special cases of distributions of random variablesПрактическое занятие. Непрерывные случайные величиныPractical lesson. Continuous random variableЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачЛабораторная работа (видео). Законы распределения непрерывных случайных величинLaboratory work (video). Distribution Laws of Continuous Random VariablesЛабораторная работаРешения задач (лабораторная работа)Теоретический материалТест 3.
2.2. Непрерывные случайные величиныТеоретический материалТест 3.3.1. Законы больших чиселВидеолекция 1. Система случайных величин (часть 1)Видеолекция 2. Система случайных величин (часть 2)Lecture 2. Systems of random variables (part 2)Практическое занятие. Система случайных величинЗадачи для самостоятельной работыРешения задачЛабораторная работаРешение задачи (лабораторная работа)Теоретический материалТест 3.4.1. Совместный закон распределенияВидеолекция 1. Характеристическая функция случайной величиныLecture 1. Characteristic function of a random variableВидеолекция 2. Свойства характеристической функции случайной величиныLecture 2. Properties of characteristic functions random variable Практическое занятие 1. Вычисление характеристической функции случайной величиныPractical lesson 1. Calculation of Characteristic Functions Практическое занятие 2. Проверка устойчивости для стандартных распределенийPractical lesson 2. Testing the robustness for standard distributions.Задачи для самостоятельного решения (часть 1)Задачи для самостоятельного решения (часть 2)Решения задач (часть 1)Решения задач (часть 2)Тест 3.
4.2. (данное тестирование по теме 1)Видеолекция. Основные понятия математической статистикиLecture. The basic concepts of mathematical statisticsЛабораторная работа (видео). Основные понятия математической статистикиLaboratory work (video). Basic concepts of mathematical statisticsТеоретический материалЛабораторная работа. Основные понятия математической статистикиРешения задач (лабораторная работа)Тест 3.5.1. Основные понятия математической статистикиQuiz 3.5.1.Видеолекция. Статистические оценки параметров генеральной совокупности. Lecture. Statistical estimates of general population parametersЛабораторная работа 1 (видео). Статистические оценки параметров генеральной совокупностиLaboratory work 1 (video). Statistical estimators of the parameters of the populationЛабораторная работа 1. Статистические оценки параметров генеральной совокупностиРешения задач 1Лабораторная работа 2 (видео). Минимальный или оптимальный объем выборочной совокупностиLaboratory work 2(video). Minimum or optimal sample sizeЛабораторная работа 2.
Минимальный или оптимальный объем выборочной совокупностиРешения задач 2Теоретический материалТест 3.5.2. Статистические оценкиQuiz 3.5.2Видеолекция. Зависимость между величинами. Виды зависимостейLecture. Dependence between quantities. Types of dependenciesТеоретический материал 1Лабораторная работа 1 (видео, часть 1). Парный корреляционный анализLaboratory work 1 (video, part 1). Pair correlation analysisЛабораторная работа 1. Парный корреляционный анализЛабораторная работа 1 (видео, часть 2). Множественный корреляционный анализРешение задач 1Лабораторная работа 2 (видео, часть 2). Парный регрессионный анализLaboratory work 2 (video, part 2). Paired Regression AnalysisЛабораторная работа 2. Парный регрессионный анализРешения задач 2Теоретический материал 2Тест 3.5.3. Зависимость между величинамиQuiz 3.5.3Лекция. Статистические гипотезы Теоретический материалЛабораторная работа (видео). Статистический критерий хи-квадратLaboratory work. The Chi-Square StatisticЛабораторная работа 1. Критерий хи-квадратРешения задач (Критерий хи-квадрат)Лабораторная работа 2.
Критерий ПирсонаЛабораторная работа (расчетная таблица)Решения задач (Критерий Пирсона)Тест 3.6.1. Проверка статистических гипотез: основные понятияQuiz 3.6.1Видеолекция. Проверка статистических гипотезLecture. Testing statistical hypothesesЛабораторная работа 1 (видео). Сравнение средних выборочных совокупностей при известных дисперсиях генеральных совокупностейLaboratory work 1. Comparison of Sampled Population Means with Known Population VariancesЛабораторная работа 1. Сравнение средних выборочных совокупностей при известных дисперсиях генеральных совокупностейРешения задач (лабораторная работа 1)Лабораторная работа 2 (часть 1). Сравнение средних независимых выборочных совокупностей при неизвестных дисперсиях генеральных совокупностейLaboratory work 2 (part 1). Comparison of means of independent sample populations with unknown variances of general populationsЛабораторная работа 2 (часть 2). Сравнение средних зависимых выборочных совокупностей при неизвестных дисперсиях генеральных совокупностейLaboratory work 2 (part 2).
Comparison of mean dependent sample populations with unknown variances of general populationsЛабораторная работа 2. Проверка статистических гипотез о сравнении средних выборочных совокупностей, если не известны дисперсии генеральных совокупностейРешения задач (лабораторная работа 2)Теоретический материалТест 3.6.2. Проверка гипотезQuiz 3.6.2Аттестация по модулю 3Итоговое тестирование по курсу 1-2-3Итоговое тестирование по курсу для математических специальностейИтоговое тестирование по курсу (3)13. Метод Гаусса
На приведении расширенной матрицы системы к ступенчатым матрицам специального вида основан метод решения систем линейных уравнений, называемый методом Гаусса или методом последовательного исключения неизвестных.
На первом этапе (прямой ход метода Гаусса) расширенная матрица Приводится к ступенчатой матрице , у которой все ненулевые строки имеют первый элемент, равный единице. Решение полученной системы уравнений с расширенной ступенчатой матрицей называется обратным ходом метода Гаусса.
Обратный ход может быть выполнен как в форме последовательного определения неизвестных, начиная с последнего, так и в форме последующего преобразования матрицы к ступенчатой матрице , у которой все ненулевые строки содержат только одну единицу и позволяют в явном виде представить решение системы.
Отметим, что, выполняя прямой ход метода Гаусса, мы получаем возможность эффективного вычисления ранга матрицы и определителя. Если нас интересует ранг матрицы, то после преобразования ее к ступенчатой форме, достаточно подсчитать число ненулевых строк: это и будет ранг матрицы.
Если нас интересует определитель матрицы, то эта матрица, естественно, должна быть квадратной. После преобразования ее методом Гаусса к ступенчатой форме она примет вид верхней треугольной матрицы, то есть матрицы, у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Определитель любой верхней треугольной матрицы равен произведению всех элементов, стоящих на главной диагонали. Если на главной диагонали имеется хотя бы один нулевой элемент, то определитель треугольной матрицы равен нулю и, соответственно, определитель исходной матрицы равен нулю.
Если же на главной диагонали в результате преобразований прямого хода метода Гаусса окажутся только единицы, то надо в процессе преобразований следить за перестановками строк, которые изменяют знак определителя на обратный, и за умножениями или делениями строк матрицы на числа, которые пропорционально изменяют величину определителя. Определитель исходной матрицы находится как произведение всех чисел, на которые делились строки. Знак этого произведения остается прежним, если было проведено четное число перестановок строк, и изменяется на противоположный, если число перестановок строк было нечетным.
Пример. Решим методом Гаусса следующую систему:
Выполняя прямой ход метода Гаусса, приведем расширенную матрицу этой системы к ступенчатой матрице, у которой все ненулевые строки имеют первый ненулевой элемент, равный единице. На первом этапе выполним следующие элементарные преобразования исходной расширенной матрицы: разделим первую строку на число два; сложим вторую строку с первой и результат запишем во вторую строку; из третьей строки вычтем преобразованную первую строку и результат запишем в третью строку:
.
Мы получили в результате, что первая строка ненулевая, имеет первым ненулевым элементом число один, а все элементы в первой колонке под числом один равны нулю. Для того чтобы, вторая строка начиналась с единицы, переставим вторую и третью строки местами:
.
Для того чтобы под единицей во втором столбце стоял нуль, из третьей строки полученной матрицы вычтем вторую строку, умноженную на три, и запишем в третью строку:
.
Наконец, чтобы третья строка имела первым ненулевым элементом число один, поделим третью строку на число пять:
=.
На этом завершается прямой ход метода Гаусса, а преобразованная система уравнений, соответствующая полученной ступенчатой расширенной матрице, равносильна исходной системе уравнений и имеет следующий вид:
Отметим, что, выполняя прямой ход метода Гаусса, мы получаем возможность эффективного вычисления ранга матрицы и определителя. Если нас интересует ранг матрицы, то после преобразования ее к ступенчатой форме, достаточно подсчитать число ненулевых строк: это и будет ранг матрицы.
Если нас интересует определитель матрицы, то эта матрица, естественно, должна быть квадратной. После преобразования ее методом Гаусса к ступенчатой форме она примет вид верхней треугольной матрицы, то есть матрицы, у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Определитель любой верхней треугольной матрицы равен произведению всех элементов, стоящих на главной диагонали. Если на главной диагонали имеется хотя бы один нулевой элемент, то определитель треугольной матрицы равен нулю и, соответственно, определитель исходной матрицы равен нулю. Если же на главной диагонали в результате преобразований прямого хода метода Гаусса окажутся только единицы, то надо в процессе преобразований следить за перестановками строк, которые изменяют знак определителя на обратный, и за умножениями или делениями строк матрицы на числа, которые пропорционально изменяют величину определителя. Определитель исходной матрицы находится как произведение всех чисел, на которые делились строки. Знак этого произведения остается прежним, если было проведено четное число перестановок строк, и изменяется на противоположный, если число перестановок строк было нечетным.
В нашем примере, выполнив прямой ход метода Гаусса, мы одновременно нашли ранг матрицы коэффициентов системы (, так как число ненулевых строк преобразованной матрицы равно трем), а также ранг расширенной матрицы (, так как число ненулевых строк преобразованной матрицы равно трем).
Для вычисления определителя исходной матрицы коэффициентов необходимо обратить внимание на три обстоятельства: вид верхней треугольной матрицы, в которую преобразовалась исходная матрица; на какие числа делились или умножались строки; какое количество (четное или нечетное) перестановок было выполнено в процессе преобразований. Так как на главной диагонали стоят только единицы, то определитель не равен нулю. Далее в процессе преобразований было использовано деление на число 2 первой строки и деление на число 5 третьей строки. Их надо перемножить и подсчитать число перестановок строк местами: была выполнена одна перестановка. Таким образом, определитель матрицы коэффициентов равен: .
Выполним обратный ход метода Гаусса сначала первым способом, то есть последовательно определим неизвестные, начиная с последнего уравнения:
Выполним обратный ход метода Гаусса вторым способом.
Продолжим элементарные преобразования матрицы и приведем ее к ступенчатой матрице , у которой все ненулевые строки содержат только одну единицу. Это позволит в явном виде представить решение системы. Сложим вторую строку с третьей строкой и результат запишем во вторую строку:
=.
Далее, чтобы заменить число два первой строки на число нуль, умножим третью строку на число (-2), сложим с первой строкой и результат запишем в первую строку:
.
На этом заканчивается обратный ход метода Гаусса. Преобразованная система уравнений, соответствующая полученной ступенчатой расширенной матрице типа, равносильна исходной системе уравнений и имеет следующий вид
Который представляет собой запись решения системы в явной форме.
Для исследования решения систем линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных полезна следующая теорема.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Обратная матрица с использованием элементарных операций со строками (Гаусса-Жордана)
Также называется методом Гаусса-Джордана.
Это интересный способ найти обратную матрицу:
Поиграйте со строками (сложение, умножение или замена) пока мы не превратим Матрицу A в Матрицу Идентичности I
И ТАКЖЕ внося изменения в Матрицу Идентичности, она волшебным образом превращается в Обратную!
«Элементарные операции со строками» — это простые вещи, такие как добавление строк, умножение и замена… давайте посмотрим на примере:
Пример: найдите инверсию «А»:
Начнем с матрицы A и запишем рядом с ней матрицу идентичности I:
(Это называется «Расширенная матрица»)
Идентификационная матрица
«Идентификационная матрица» является матричным эквивалентом числа «1»:
Я =
100 010 001
Идентификационная матрица 3×3
- Это «квадрат» (имеет такое же количество строк, как и столбцов),
- У него 1 с по диагонали и 0 с везде.
- Его символ — заглавная буква I .
Теперь мы делаем все возможное, чтобы превратить «А» (матрицу слева) в матрицу идентичности. Цель состоит в том, чтобы в матрице А было 1 с по диагонали и 0 с в другом месте (идентификационная матрица) … и правая сторона приходит в движение, и на ней также выполняются все операции.
Но мы можем выполнять только эти «Элементарные операции со строками» :
- поменять местами строк
- умножьте или разделите каждый элемент в строке на константу
- заменить строку на добавить или вычесть из нее кратное другой строке
И мы должны сделать это со всей строкой , как в этом примере:
Начнем с A рядом с I
Прибавим строку 2 к строке 1,
Затем разделим строку 1 на 5
Умножить вторую строку на -1/2,
Поменять местами вторую и третью строку,
Наконец, вычесть третью строку из второй строки,
Готово!
И матрица А была превращена в матрицу идентичности .
..
… и в то же время Матрица идентичности превратилась в A -1
А −1 =
0,20,20 −0,20,31 0,2−0,30
ГОТОВО! Как по волшебству, и так же весело, как решать любую головоломку.
И обратите внимание: нет «правильного способа» сделать это, просто продолжайте играть до тех пор, пока не добьетесь успеха!
(Сравните это с ответом на обратную матрицу с использованием второстепенных, кофакторов и вспомогательных. Это то же самое? Какой метод вы предпочитаете?)
Большие матрицы
Мы можем сделать это с большими матрицами, например, попробуйте эту матрицу 4×4:
Начните так:
Посмотрите, сможете ли вы сделать это сами (я бы начал с деления первой строки на 4, но вы делаете по-своему).
Вы можете проверить свой ответ с помощью Калькулятора матриц (используйте кнопку «inv(A)»).
Почему это работает
Мне нравится думать об этом так:
- когда мы превращаем «8» в «1» путем деления на 8,
- и проделайте то же самое с «1», получится «1/8»
И «1/8» является (мультипликативным) , обратным 8
Или, более технически:
Общий эффект всех операций со строками такой же, как , умноженный на A -1
Таким образом, А становится I (потому что А -1 А = I )
И я становится А -1 0 (потому что 15 —0 I = А -1 )
2613, 2614, 8494, 8495, 8496, 2615, 2616, 8497, 8498, 8499
1.
3: Исключение Гаусса — Математика LibreTexts- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 14498
- Кен Каттлер
- Университет Бригама Янга via Lyryx
Работа, которую мы проделали в предыдущем разделе, всегда найдет решение для системы. В этом разделе мы рассмотрим менее громоздкий способ поиска решений. Во-первых, мы представим линейную систему с расширенная матрица. Матрица — это просто прямоугольный массив чисел. Размер или размерность матрицы определяется как \(m\times n\), где \(m\) — количество строк, а \(n\) — количество столбцов. Чтобы построить расширенную матрицу из линейной системы, мы создаем матрицу коэффициентов из коэффициентов переменных в системе, а также константную матрицу из констант.
Коэффициенты одного уравнения системы составляют одну строку расширенной матрицы.
Например, рассмотрим линейную систему в примере 1.2.3 \[\begin{array}{c} x+3y+6z=25 \\ 2x+7y+14z=58 \\ 2y+5z=19 \end{array }\nonumber \] Эта система может быть записана в виде расширенной матрицы следующим образом \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 6 & 25 \\ 2 & 7 & 14 & 58 \\ 0 и 2 и 5 и 19 \end{массив} \right] \nonumber \]
Обратите внимание, что в ней точно такая же информация, как и в исходной системе. Здесь подразумевается, что первый столбец содержит коэффициенты от \(x\) в каждом уравнении по порядку \(\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array} \ right] .\) Аналогичным образом мы создаем столбец из коэффициентов при \(y\) в каждом уравнении, \(\left[ \begin{array}{r} 3 \\ 7 \\ 2 \end{array} \ right]\) и столбец из коэффициентов при \(z\) в каждом уравнении, \(\left[ \begin{array}{r} 6 \\ 14 \\ 5 \end{array} \right] .\ ) Для системы из более чем трех переменных мы будем продолжать таким же образом строить столбец для каждой переменной.
Точно так же для системы менее чем с тремя переменными мы просто строим столбец для каждой переменной.
Наконец, мы строим столбец из констант уравнений, \(\left[ \begin{array}{r} 25\\ 58\\ 19 \end{array} \right] .\)
Строки расширенной матрицы соответствуют уравнениям в системе. Например, верхняя строка расширенной матрицы \(\left[ \begin{array}{rrrrr} 1 & 3 & 6 & | & 25 \end{array} \right]\) соответствует уравнению \[x +3y+6z=25.\номер\]
Рассмотрим следующее определение.
Определение \(\PageIndex{1}\): расширенная матрица линейной системы
Для линейной системы вида \[\begin{array}{c} a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m} \end{array}\nonumber \], где \(x_{i}\) — переменные, а \( a_{ij}\) и \(b_{i}\) являются константами, расширенная матрица этой системы задается как \[\left[ \begin{array}{rrr|r} a_{11} & \cdots & a_{1n} & b_{1} \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} & b_{m} \end{array} \right]\nonumber \ ]
Теперь рассмотрим элементарные операции в контексте расширенной матрицы.
Элементарные операции в определении 1.2.4 можно применять к строкам точно так же, как мы применяли их ранее к уравнениям. Изменения в системе уравнений в результате элементарной операции эквивалентны изменениям расширенной матрицы в результате соответствующей операции со строками. Заметим, что из теоремы 1.2.1 следует, что любые элементарные операции со строками, применяемые к расширенной матрице, не изменят решения соответствующей системы уравнений. Теперь формально определим элементарные операции со строками. Это 9Ключевой инструмент 0264 мы будем использовать для поиска решений систем уравнений.
Определение \(\PageIndex{2}\): Элементарные операции со строками
Элементарные операции со строками (также известные как операции со строками ) состоят из следующих
- Переключение двух строк.
- Умножить строку на ненулевое число.
- Заменить строку любым числом, кратным другой добавленной к ней строке.
Вспомните, как мы решали пример 1.2.3. Мы можем сделать те же шаги, что и выше, только теперь в контексте расширенной матрицы и с использованием операций со строками. Расширенная матрица этой системы равна \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 6 & 25 \\ 2 & 7 & 14 & 58 \\ 0 & 2 & 5 & 19\end{array} \right]\nonumber \] Таким образом, первым шагом в решении системы (1.2.5) будет взятие \(\left(-2\right)\) раз первой строки расширенного матрицу и добавьте ее во вторую строку, \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 6 & 25 \\ 0 & 1 & 2 & 8 \\ 0 & 2 & 5 & 19 \ end{массив} \right]\nonumber \] Обратите внимание, как это соответствует (1.2.6). Затем возьмите \(\left( -2\right)\) раз вторую строку и добавьте к третьей, \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 6 & 25 \\ 0 & 1 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right]\nonumber \] Эта расширенная матрица соответствует системе \[\begin{array}{c} x+3y+6z=25 \\ y+2z=8 \\ z=3 \end{array}\nonumber \], что совпадает с (1.2.7). Путем обратной замены вы получаете решение \(x=1,y=2,\) и \(z=3.
\)
С помощью систематической процедуры операций со строками мы можем упростить расширенную матрицу и привести ее к -ступенчатой форме или к сокращенной ступенчатой форме -строки , которую мы определим далее. Эти формы используются для нахождения решений системы уравнений, соответствующих расширенной матрице.
В следующих определениях термин ведущая запись относится к первой ненулевой записи строки при сканировании строки слева направо.
Определение \(\PageIndex{3}\): Строковая эшелонированная форма
Расширенная матрица имеет вид строк-ступенчатая форма if
- Все ненулевые строки выше любых строк нулей.
- Каждая ведущая запись строки находится в столбце справа от ведущих записей любой строки над ней.
- Каждая ведущая запись строки равна \(1\).
Мы также рассматриваем другую сокращенную форму расширенной матрицы, которая имеет еще одно условие.
Определение \(\PageIndex{4}\): Сокращенная форма Row-Echelon
Увеличенная матрица представляет собой сокращенную ступенчато-строковую форму if
- Все ненулевые строки выше любых строк нулей.
- Каждая ведущая запись строки находится в столбце справа от ведущих записей любых строк над ней.
- Каждая ведущая запись строки равна \(1\).
- Все записи в столбце выше и ниже ведущей записи равны нулю.
Обратите внимание, что первые три условия для сокращенной матрицы формы строки-эшелона такие же, как и для матрицы формы строки-эшелона.
Следовательно, каждая редуцированная матрица формы строки-эшелона также имеет форму строки-эшелона. Обратное не обязательно верно; мы не можем предполагать, что каждая матрица в ступенчато-строчной форме также находится в редуцированной ступенчато-строковой форме. Однако часто бывает, что строчно-ступенчатой формы достаточно, чтобы предоставить информацию о решении системы.
Следующие примеры описывают матрицы в этих различных формах. В качестве упражнения потратьте время на то, чтобы тщательно убедиться, что они находятся в указанной форме.
Пример \(\PageIndex{1}\): не в форме строк-эшелон
Следующие расширенные матрицы не в форме строк-эшелонов (и, следовательно, также не в сокращенной форме строк-эшелонов).
\[\left[ \begin{array}{rrr|r} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] ,\left[ \begin{array}{rr|r} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & -6 \\ 4 & 0 & 7 \end{array} \right],\left[ \begin{array}{rrr|r} 0 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 5 & 0 & 2 \\ 7 & 5 & 0 & 1 \ \ 0 & 0 & 1 & 0 \end{массив} \right] \nonumber\]
Пример \(\PageIndex{2}\): Матрицы в форме строк-эшелонов
Следующие расширенные матрицы представлены в форме строк-эшелонов, но не в сокращенной форме строк-эшелонов. \[\left[ \begin{array}{rrrrr|r} 1 & 0 & 6 & 5 & 8 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 7 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] ,\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 5 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{rrr| r} 1 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \]
Обратите внимание, что мы можем применить к этим матрицам дальнейшие операции со строками, чтобы привести их к сокращенной ступенчатой форме строк.
Потратьте время, чтобы попробовать это самостоятельно. Рассмотрим следующие матрицы в сокращенной ступенчато-строковой форме.
Пример \(\PageIndex{3}\): матрицы в сокращенной ступенчатой форме
Следующие расширенные матрицы представлены в сокращенной ступенчатой форме. \[\left[ \begin{array}{rrrrr|r} 1 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{массив} \right] ,\left[ \begin{массив}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{массив} \right], \left[ \begin{array}{rrr| r} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{массив} \right]\nonumber \]
Один из способов использования эшелонированной формы матрицы — это идентификация опорных позиций и опорных столбцов матрицы.
Определение \(\PageIndex{5}\): позиция оси и колонка
Позиция оси в матрице — это расположение ведущего элемента в форме строки-эшелона матрицы.
Столбец сводки — это столбец, содержащий положение сводки.
Например, рассмотрим следующее.
Пример \(\PageIndex{4}\): Позиция оси
Пусть \[A=\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 6 \\ 4 & 4 & 4 & 10 \end{array} \right]\nonumber \] Где находятся опорные позиции и опорные столбцы расширенной матрицы \(A\)?
Решение
Эта матрица имеет вид эшелона строк \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & \frac{3}{ 2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{массив} \right]\nonumber \]
Это все, что нам нужно в этом примере, но обратите внимание, что эта матрица не имеет редуцированную ступенчатую форму.
Чтобы идентифицировать точки опоры в исходной матрице, мы ищем ведущие элементы в ступенчатой форме матрицы. Здесь запись в первой строке и первом столбце, а также запись во второй строке и втором столбце являются ведущими записями. Следовательно, эти местоположения являются опорными позициями.
Мы идентифицируем опорные позиции в исходной матрице следующим образом: \[\left[ \begin{array}{rrr|r} \fbox{1} & 2 & 3 & 4 \\ 3 & \fbox{2} & 1 & 6 \\ 4 & 4 & 4 & 10 \end{array} \right]\nonumber \] Таким образом, опорными столбцами в матрице являются первые два столбца.
Ниже приведен алгоритм преобразования матрицы в ступенчато-строчную форму и сокращенную ступенчато-строковую форму. Вы можете использовать этот алгоритм, чтобы преобразовать приведенную выше матрицу в эшелонированную форму или сокращенную форму эшелона строк самостоятельно для практики.
Алгоритм \(\PageIndex{1}\): Алгоритм сокращенной ступенчатой формы
Этот алгоритм предоставляет метод использования операций со строками для приведения матрицы к сокращенной ступенчатой форме. Начнем с матрицы в ее исходном виде.
- Начиная слева, найдите первый ненулевой столбец. Это первый опорный столбец, а положение в верхней части этого столбца является первой опорной позицией. При необходимости поменяйте местами ряды, чтобы поместить ненулевое число в первую опорную позицию.
- Используйте операции со строками, чтобы сделать записи ниже первой позиции сводки (в первом столбце сводки) равными нулю.
- Игнорируя строку, содержащую первую точку поворота, повторите шаги 1 и 2 с оставшимися строками. Повторяйте процесс до тех пор, пока не останется строк для изменения.
- Разделите каждую ненулевую строку на значение ведущей записи, чтобы ведущая запись стала \(1\). Тогда матрица будет иметь форму строки-эшелона.
На следующем шаге матрица будет переведена из ступенчато-строковой формы в уменьшенную ступенчато-строковую форму.
- Двигаясь справа налево, используйте операции со строками, чтобы создать нули в записях сводных столбцов, которые находятся над позициями сводки. Результатом будет матрица в сокращенной строчно-эшелонной форме.
Чаще всего мы будем применять этот алгоритм к расширенной матрице, чтобы найти решение системы линейных уравнений. Однако мы можем использовать этот алгоритм для вычисления редуцированной ступенчатой формы любой матрицы, которая может быть полезна в других приложениях.
Рассмотрим следующий пример алгоритма \(\PageIndex{1}\).
Пример \(\PageIndex{5}\): нахождение ступенчатой формы матрицы и редуцированной ступенчатой формы матрицы
Пусть \[A = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & -5 & — 4 \\ 1 & 4 & 3 \\ 5 & 10 & 7 \end{array} \right]\nonumber \] Найдите эшелонированную форму \(A\). Затем завершите процесс до тех пор, пока \(A\) не окажется в редуцированной форме строки-эшелона.
Решение
При работе с этим примером мы будем использовать шаги, описанные в алгоритме \(\PageIndex{1}\).
- Первый опорный столбец — это первый столбец матрицы, так как это первый ненулевой столбец слева. Следовательно, первая точка поворота находится в первой строке и первом столбце. Переключите первые две строки, чтобы получить ненулевую запись в первой позиции поворота, показанной в поле ниже. \[\left[ \begin{array}{rrr} \fbox{1} & 4 & 3 \\ 0 & -5 & -4 \\ 5 & 10 & 7 \end{array} \right]\nonumber \]
- Второй шаг включает в себя создание нулей в записях ниже первой опорной позиции. Первая запись второй строки уже является нулем. Все, что нам нужно сделать, это вычесть в \(5\) раз первую строку из третьей строки. Результирующая матрица имеет вид \[\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 4 & 3 \\ 0 & -5 & -4 \\ 0 & 10 & 8 \end{array} \right]\nonumber \]
- Теперь игнорируйте верхнюю строку. Примените шаги \(1\) и \(2\) к меньшей матрице \[\left[ \begin{array}{rr} -5 & -4\\ 10 & 8 \end{array} \right]\nonumber \] В этой матрице первый столбец является опорным столбцом, а \(-5\) находится в первой опорной позиции. Поэтому нам нужно создать ноль под ним. Для этого прибавьте \(2\) раз первую строку (этой матрицы) ко второй. Результирующая матрица имеет вид \[\left[ \begin{array}{rr} -5 & -4\\ 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \] Наша исходная матрица теперь выглядит как \[\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 4 & 3 \\ 0 & -5 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \] Мы видим, что строк больше нет модифицировать.
- Теперь нам нужно создать ведущие \(1\) в каждой строке. В первой строке уже есть начальный символ \(1\), поэтому здесь ничего делать не нужно. Разделите вторую строку на \(-5\), чтобы создать ведущую \(1\). Результирующая матрица имеет вид \[\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right ]\nonumber \] Теперь эта матрица представлена в виде эшелонированной строки.
- Теперь создайте нули в записях над опорными позициями в каждом столбце, чтобы довести эту матрицу до сокращенной формы строки-эшелона. Обратите внимание, что в третьем столбце нет точки поворота, поэтому нам не нужно создавать нули в этом столбце! Столбец, в котором нам нужно создать нули, является вторым. Для этого вычтите в \(4\) раза вторую строку из первой строки. Результирующая матрица имеет вид \[\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & — \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} \\ 0 & 0 & 0 \end{массив} \right]\nonumber \]
Первая запись второй строки уже является нулем. Все, что нам нужно сделать, это вычесть в \(5\) раз первую строку из третьей строки. Результирующая матрица имеет вид \[\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 4 & 3 \\ 0 & -5 & -4 \\ 0 & 10 & 8 \end{array} \right]\nonumber \]
В первой строке уже есть начальный символ \(1\), поэтому здесь ничего делать не нужно. Разделите вторую строку на \(-5\), чтобы создать ведущую \(1\). Результирующая матрица имеет вид \[\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right ]\nonumber \] Теперь эта матрица представлена в виде эшелонированной строки.Эта матрица теперь представлена в сокращенной ступенчато-строковой форме.
Приведенный выше алгоритм дает вам простой способ получить ступенчато-строчную форму матрицы и сокращенную ступенчато-строчную форму матрицы.
Основная идея состоит в том, чтобы выполнять операции со строками таким образом, чтобы в итоге получить матрицу в форме строки-эшелона или сокращенной форме строки-эшелона. Этот процесс важен, потому что полученная матрица позволит вам осмысленно описать решения соответствующей линейной системы уравнений.
В следующем примере мы рассмотрим, как решить систему уравнений, используя соответствующую расширенную матрицу.
Пример \(\PageIndex{6}\): Поиск решения системы
Дайте полное решение следующей системе уравнений \[\begin{array}{c} 2x+4y-3z=-1\\ 5x+10y-7z=-2\\ 3x+6y+5z=9 \end{array}\nonumber \]
Решение
Расширенная матрица для этой системы равна \[\left[ \begin{array}{rrr |r} 2 & 4 & -3 & -1 \\ 5 & 10 & -7 & -2 \\ 3 & 6 & 5 & 9 \end{массив} \right]\nonumber \]
Чтобы найти решение этой системы, мы хотим привести расширенную матрицу к сокращенной ступенчато-строковой форме. Мы сделаем это, используя алгоритм \(\PageIndex{1}\). Обратите внимание, что первый столбец не равен нулю, так что это наш первый сводной столбец.
Первая запись в первой строке, \(2\), является первой ведущей записью и находится в первой позиции поворота. Мы будем использовать операции со строками для создания нулей в записях ниже \(2\). Во-первых, замените вторую строку на \(-5\), умноженное на первую строку, плюс на \(2\), умноженное на вторую строку. Это дает \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 2 & 4 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 3 & 6 & 5 & 9\end{array} \right]\nonumber \] Теперь замените третью строку на \(-3\), умноженное на первую строку, плюс на \(2\), умноженное на третью строку. Это дает \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 2 & 4 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 21 \end{array} \ right]\nonumber \] Теперь записи в первом столбце ниже точки поворота равны нулю. Теперь мы ищем второй опорный столбец, в данном случае это третий столбец. Здесь \(1\) во второй строке и третьем столбце находится в опорной позиции. Нам нужно выполнить только одну операцию со строкой, чтобы создать ноль ниже \(1\).
Умножение второй строки на \(-1\) и добавление ее к третьей строке дает \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 2 & 4 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 20 \end{array} \right]\nonumber \]
Мы могли бы продолжить работу с алгоритмом, чтобы преобразовать эту матрицу в ступенчато-строчную форму или сокращенную ступенчато-строковую форму.
Однако помните, что мы ищем решения системы уравнений. Еще раз взгляните на третью строку матрицы. Обратите внимание, что оно соответствует уравнению \[0x+0y+0z=20\nonnumber \]. У этого уравнения нет решения, потому что для всех \(x,y,z\) левая часть будет равна \(0\) и \(0\neq 20.\) Это показывает, что данная система уравнений не имеет решения. Другими словами, эта система несовместима.
Ниже приведен еще один пример того, как найти решение системы уравнений путем приведения соответствующей расширенной матрицы к уменьшенной ступенчато-строковой форме.
Пример \(\PageIndex{7}\): бесконечное множество решений
Дайте полное решение системы уравнений \[\begin{array}{c} 3x-y-5z=9 \\ y-10z =0 \\ -2x+y=-6 \end{array}\label{eq:1.8}\]
Решение
Расширенная матрица этой системы: \[\left[ \begin{array}{rrr| г} 3 и -1 и -5 и 9\\ 0 & 1 & -10 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & -6 \end{array} \right]\nonumber \] Чтобы найти решение этой системы, мы перенесем расширенную матрицу в уменьшенная ступенчатая форма с использованием алгоритма \(\PageIndex{1}\).
Первый столбец является первым сводным столбцом. Мы хотим использовать операции со строками для создания нулей под первой записью в этом столбце, которая находится в первой позиции поворота. Замените третью строку на \(2\), умноженное на первую строку, на \(3\), умноженную на третью строку. Это дает
\[\left[ \begin{array}{rrr|r} 3 & -1 & -5 & 9 \\ 0 & 1 & -10 & 0 \\ 0 & 1 & -10 & 0 \end{array } \right]\nonumber \]
Теперь мы создали нули под \(3\) в первом столбце, поэтому переходим ко второму сводному столбцу (который является вторым столбцом) и повторяем процедуру. Возьмите \(-1\) раз вторую строку и прибавьте к третьей строке. \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 3 & -1 & -5 & 9 \\ 0 & 1 & -10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right ]\nonumber \] Запись под точкой поворота во втором столбце теперь равна нулю. Обратите внимание, что у нас больше нет сводных столбцов, потому что у нас есть только две ведущие записи.
На этом этапе мы также хотим, чтобы ведущие записи были равны единице.
Для этого разделите первую строку на \(3\). \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & — \frac{1}{3} & — \frac{5}{3} & 3 \\ 0 & 1 & -10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{массив} \right]\nonumber \]
Эта матрица теперь имеет форму строки-эшелона.
Продолжим операции со строками до тех пор, пока матрица не будет приведена в сокращенную ступенчато-строковую форму. Это включает в себя создание нулей над опорными позициями в каждом сводном столбце. Для этого требуется только один шаг, который состоит в том, чтобы добавить \(\frac{1}{3}\) раз вторую строку к первой строке. \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & -5 & 3 \\ 0 & 1 & -10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \номер\]
Это в сокращенной форме строки-эшелона, которую вы должны проверить с помощью определения \(\PageIndex{4}\). Уравнения, соответствующие этой сокращенной форме строки-эшелона, имеют вид \[\begin{array}{c} x — 5z=3 \\ y — 10z = 0 \end{array}\nonumber \] или \[\begin{array} {c} x=3+5z \\ y = 10z \end{array}\nonumber \]
Обратите внимание, что \(z\) не ограничивается никаким уравнением.
На самом деле \(z\) может равняться любому числу. Например, мы можем положить \(z = t\), где мы можем выбрать \(t\) в качестве любого числа. В этом контексте \(t\) называется параметр . Следовательно, набор решений этой системы равен \[\begin{array}{c} x=3+5t \\ y=10t \\ z=t \end{array}\nonumber \], где \(t\) равно произвольный. Система имеет бесконечное множество решений, которые задаются этими уравнениями. Для любого значения \(t\), которое мы выбираем, \(x, y,\) и \(z\) будут заданы приведенными выше уравнениями. Например, если мы выберем \(t=4\), то соответствующее решение будет \[\begin{array}{c} x = 3 + 5 (4) = 23\\ y = 10(4)=40 \ \ z=4 \end{массив}\номер \]
В примере \(\PageIndex{7}\) решение включало один параметр. Может случиться так, что решение системы включает более одного параметра, как показано в следующем примере.
Пример \(\PageIndex{8}\): набор решений с двумя параметрами
Найдите решение системы \[\begin{array}{c} x+2y-z+w=3 \\ x+y -z+w=1 \\ x+3y-z+w=5 \end{array}\nonumber \]
Решение
Расширенная матрица имеет вид \[\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 2 & -1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 & 1 & 5 \end{array} \right]\nonumber \] Мы хотим нести эту матрицу к строчно-эшелонному виду.
Здесь мы опишем используемые операции со строками. Однако убедитесь, что вы понимаете шаги с точки зрения алгоритма \(\PageIndex{1}\).
Умножьте \(-1\) на первую строку и прибавьте ко второй. Затем возьмите \(-1\) раз первую строку и прибавьте к третьей. Это дает \[\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 2 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \end{array} \right]\nonumber \]
Теперь добавьте вторую строку к третьей строке и разделите вторую строку на \(-1\). \[\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 2 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{ массив} \right] \label{twoparameters1}\]
Эта матрица имеет форму эшелона строк, и мы можем видеть, что \(x\) и \(y\) соответствуют опорным столбцам, а \(z\) и \(w\) — нет. Поэтому мы назначим параметры переменным \(z\) и \(w\). Присвойте параметру \(s\) значение \(z\), а параметр \(t\) — значению \(w.\). Тогда первая строка дает уравнение \(x+2y-s+t=3\), а вторая строка дает уравнение \(y=2\). Поскольку \(y=2\), первое уравнение становится \(x+4-s+t=3\), показывая, что решение дается \[\begin{array}{c} x=-1+s-t \ \ y=2 \\ z=s \\ w=t \end{array}\nonumber \] Это решение принято записывать в виде \[\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} -1+s-t \\ 2 \\ s \\ t \end{array} \right] \label{ два параметра2}\]
В этом примере показана система уравнений с бесконечным набором решений, зависящим от двух параметров.
Это может быть менее запутанным в случае набора бесконечных решений, чтобы сначала поместить расширенную матрицу в сокращенную форму строки-эшелона, а не просто в форму строки-эшелона, прежде чем пытаться записать описание решения.
В приведенных выше шагах это означает, что мы не останавливаемся на форме строки-эшелона в уравнении \(\eqref{twoparameters1}\). Вместо этого мы сначала поместим его в сокращенную форму строки-эшелона следующим образом. \[\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end {массив} \right]\nonumber \] Тогда решение равно \(y=2\) из второй строки и \(x=-1+z-w\) из первой. Таким образом, если \(z=s\) и \(w=t,\), решение задается \(\eqref{twoparameters2}\).
Здесь вы можете видеть, что есть два пути к правильному ответу, оба из которых дают один и тот же ответ. Следовательно, можно использовать любой подход. Процесс, который мы впервые использовали в приведенном выше решении, называется Исключение по Гауссу .
Этот процесс включает в себя преобразование матрицы в ступенчатую форму, преобразование обратно в уравнения и использование обратной подстановки для поиска решения. Когда вы выполняете операции со строками до тех пор, пока не получите уменьшенную форму строки-эшелона, процесс называется Исключение Гаусса-Жордана .
Теперь мы нашли решения для систем уравнений без решений и с бесконечным числом решений, как с одним, так и с двумя параметрами. Вспомните три типа наборов решений, которые мы обсуждали в предыдущем разделе; нет решения, одно решение и бесконечно много решений. Каждый из этих типов решений может быть идентифицирован по графу системы. Оказывается, тип решения можно определить и по сокращенной строчно-эшелонной форме расширенной матрицы.
- Нет решения: В случае, когда система уравнений не имеет решения, линейно-ступенчатая форма расширенной матрицы будет иметь строку вида \[\left[ \begin{array}{rrrrr} 0 & 0 & 0 & | & 1 \end{array} \right]\nonumber \] Эта строка указывает, что система несовместима и не имеет решения.
- Одно решение: В случае, когда система уравнений имеет одно решение, каждый столбец матрицы коэффициентов является опорным столбцом. Ниже приведен пример расширенной матрицы в сокращенной ступенчатой форме для системы уравнений с одним решением. \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right]\nonumber \]
- Бесконечное множество решений: В случае, когда система уравнений имеет бесконечно много решений, решение содержит параметры. Будут столбцы матрицы коэффициентов, которые не являются сводными столбцами. Ниже приведены примеры расширенных матриц в редуцированной ступенчатой форме для систем уравнений с бесконечным числом решений. \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\ nonumber \] или \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \end{array} \right]\nonumber \]
Эта страница под названием 1.